Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải p2

Định nghĩa tính chất ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.001 Cho A ma trận cấp m  n K Ánh xạ  : K n  K m xác định   x   Ax Chứng minh  ánh xạ tuyến tính Giải: Với x, y  K n a  K Ta có:   x  y   A  x  y   Ax  Ay    x     y    ax   A  ax   aAx  a  x  Vậy  ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.002 Kiểm tra ánh xạ h: ( x; y)  (2 x  y; x  y) có phải ánh xạ tuyến tính khơng? Giải: Với x, y  suy x  ( x1, x2 ) y  ( y1, y2 ) với  ;   K Khi đó, h( x  y )  h( x1  y1 , x2  y2 )  (2( x1  y1 )  x2  y2 , x1  y1  2( x2  y2 ))  (2 x1  x2 , x1  x2 )  (2 y1  y2 , y1  y2 )  h( x)  h( y ) Khi đó, h( x)   (2 x1  x2 , x1  x2 ) Vậy ánh xạ h cho cơng thức ánh xạ tuyến tính Hơn phép biến đổi tuyến tính, hay tốn tử tuyến tính từ khơng gian vector vào Bài 04.03.1.003 Cho A ma trận cấp n K Ánh xạ  : M n  K   M n  K  xác định   X   XA  AX , với X  M n  K  Chứng minh  ánh xạ tuyến tính Giải: Với X , Y  M n  K  , a  K Ta có:   X  Y    X  Y  A  A  X  Y   XA  YA  AX  AY   XA  AX   YA  AY     X    Y    aX    aX  A  A  aX   a  XA   a  AX   a  XA  AX   a  X  Vậy  ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.004 Ánh xạ f   có phải tuyến tính khơng:   x, y     x , y  4) f   x, y     0, y  6) f   x, y     2x  y, x  y  8) f   x, y     x , y    x, y     x, y  3) f   x, y     y, x  5) f   x, y     x, y  1 7) f   x, y     y, y  2) f 1) f 3 Giải: 1) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '    x  x ' ,  y  y '   x, y    x ', y '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    2kx, ky   k  2x, y   kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 2) Xét f   x, y    x ', y '   f  x  x ', y  y '    x  x ' ,  y  y '    x , y    x '2 , y '  f  x, y   f   x ', y '  Vậy ánh xạ cho khơng phải tuyến tính 3) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   y  y ', x  x '   y, x    y ', x '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    ky, kx   k  y, x   kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 4) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   0, y  y '   0, y    0, y '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    0, ky   k  0, y   kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 5) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   x  x ', y  y ' 1   x, y  1   x ', y ' 1  f  x, y   f  x ', y ' Vậy ánh xạ cho khơng phải tuyến tính 6) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '    x  x '  y  y ', x  x ' y  y '   x  y, x  y    x ' y ', x ' y '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    2kx  ky, kx  ky   k  2x  y, x  y   kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 7) Xét f  x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   y  y ', y  y '   y, y    y ', y '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    ky, ky '  k  y, y '  kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 8) Theo đầu f   x, y     x, y   Do xét f  k  x, y    f  kx, ky     kx , ky  k Vậy ánh xạ cho khơng phải tuyến tính Bài 04.03.1.005 Ánh xạ f :   x , y  kf  x, y  có phải tuyến tính khơng:   x, y, z     0,0  4) f   x, y, z     x  y,3 y  z    x, y , z     x, x  y  z  3) f   x, y, z    1,1 1) f 2) f Giải 1)Xét   x, y, z    x ', y ', z '   f   x  x ', y  y ', z  z '    x  x ',  x  x '   y  y '   z  z '    x, x  y  z    x ', x ' y ' z '   f   x, y, z    f   x ', y ', z '   f  k  x, y, z    f   kx, ky, kz     kx, kx  ky  kz    kx, k  x  y  z    k  x, x  y  z   kf   x, y, z   f Vậy ánh xạ cho tuyến tính 2) Xét f  x, y, z    x ', y ', z '  f  x  x ', y  y ', z  z '   0,0   0,0   0,0   f  x, y, z   f  x ', y ', z ' f  k  x, y, z    f  kx, ky, kz    0,0   kf  x, y, z  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 3) Xét f  k  x, y, z    f  kx, ky, kz   1,1  kf  x, y, z  trừ k  1 Vậy ánh xạ cho khơng tuyến tính 4) Xét f   x, y, z    x ', y ', z '   f  x  x ', y  y ', z  z '    x  x '   y  y ' ,3  y  y '   z  z '     x  y,3 y  z    x ' y ',3 y ' z '   f   x, y, z    f   x ', y ', z '  f  k  x, y, z    f  kx, ky, kz    2kx  ky,3ky  4kz    k  x  y  , k  y  z    kf Vậy ánh xạ cho tuyến tính Bài 04.03.1.006   x, y , z   Ánh xạ f : M2  có phải tuyến tính khơng:  a b   1) f     a  d c d    a b   a b  2) f     det    c d   c d    a b   3) f      2a  3b  c  d c d    a b   2 4) f     a b   c d   Giải:  a b    a ' b '    a  a ' b  b '   1) Xét f       f       c d     c ' d '    c  c ' d  d '   a b    a ' b '     a  a '   d  d '  f    f     c d     c ' d '   a b     ka kb   f k   f       ka  kd  k  a  d   kf  c d     kc kd    a b      c d   Vậy ánh xạ cho tuyến tính  a b     ka kb   ka kb b a  f   k 2) Xét f  k        c d  c d     kc kd   kc kd k  a b    kf     trừ k  c d c d   a b Vậy ánh xạ cho không tuyến tính  a b    a ' b '    a  a ' b  b '   3) Xét f       f       c d     c ' d '    c  c ' d  d '    a  a '    b  b '    c  c '    d  d '    2a  3b  c  d    2a ' 3b ' c ' d '   a b    a ' b '    f   f      c d     c ' d '   a b     ka kb   f k   f      2ka  3kb  kc  kd  k  2a  3b  c  d   kf c d kc kd      Vậy ánh xạ cho tuyến tính  a b      c d    a b     ka kb   2 2  f 4) Xét f  k       ka    kb   k  a  b     c d     kc kd    a b    k  a  b   kf     trừ k  c d   Vậy ánh xạ cho khơng tuyến tính Bài 04.03.1.007 Ánh xạ f : P2  P2 có phải tuyến tính khơng: 1) f  a0  a1 x  a2 x   a0   a1  a2  x   2a0  3a1  x 2) f  a0  a1 x  a2 x   a0  a1  x  1  a2  x  1 3) f  a0  a1 x  a2 x   4) f  a0  a1 x  a2 x    a0  1  a1 x  a2 x Giải 1) Xét f  a   a1 x  a2 x    b0  b1 x  b2 x   f  a  b0    a1  b1  x   a2  b2  x   a0  b0    a1  b1    a2  b2   x    a0  b0    a1  b1   x  a0   a1  a2  x   2a  3a1  x  b0   b1  b2  x   2b0  3b1  x  f  a0  a1 x  a2 x   f  b0  b1 x  b2 x    f k  a0  a1 x  a2 x   f  ka0  ka1 x  ka2 x   ka0   ka1  ka2  x   2ka0  3ka1  x  k  a0   a1  a2  x   2a0  3a1    kf  a0  a1 x  a2 x  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 2) Xét f  a   a1 x  a2 x    b0  b1 x  b2 x   f  a   a0  b0    a1  b1  x  1   a2  b2  x  1  b0    a1  b1  x   a2  b2  x   a0  a1  x  1  a2  x  1  b0  b1  x  1  b2  x  1 2  f  a0  a1 x  a2 x   f  b0  b1 x  b2 x    f k  a0  a1 x  a2 x   f  ka0  ka1 x  ka2 x   ka0  ka1  x  1  ka2  x  1   k a0  a1  x  1  a2  x  1 2   kf  a  a x  a x  2 Vậy ánh xạ cho tuyến tính 3) Xét f  a   a1 x  a2 x    b0  b1 x  b2 x   f  a  b0    a1  b1  x   a2  b2  x      f  a0  a1 x  a2 x   f  b0  b1 x  b2 x    f k  a0  a1 x  a2 x   f  ka0  ka1x  ka2 x    k  kf  a0  a1 x  a2 x  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 4) Xét   f k  a0  a1 x  a2 x   f  ka0  ka1 x  ka2 x    ka0  1  ka1 x  ka2 x  k   a0  1  a1 x  a2 x   kf  a0  a1x  a2 x  trừ k  Vậy ánh xạ cho khơng tuyến tính Bài 04.03.1.008 Cho f :  ánh xạ biến điểm mặt phẳng thành điểm đối xứng trục y Hãy tìm cơng thức cho f chứng tỏ tốn tử tuyến tính Giải Nếu  x, y   xạ: f điểm đối xứng đơi với trục y   x, y  Do có ánh  x, y      x, y  Ta xét: f   x, y    x ', y '   f  x  x ', y  y '     x  x ' ,  y  y '    x, y     x ', y '  f f  k  x, y    f  x, y   f  x ', y '  kx, ky    kx, ky   k   x, y   kf  x, y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính Bài 04.03.1.009 Gọi Mmn tập ma trận cỡ m  n Cho B ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác định Chứng minh ánh xạ T : M22  M23 định nghĩa T  A  AB ánh xạ tuyến tính Giải Giả sử A M2x2 có cỡ x 2, B  M2x3 có cỡ x Vậy A nhân với B AB có cỡ x Ánh xạ T  A  AB ánh xạ từ M2x2 tới M2x3 Theo tính chất phép nhân ma trận phép nhân ma trận với số, ta có: A, A '  M2x2  T  A  A '   A  A ' B  AB  A ' B  T  A  T  A ' A  M2x2 , k   T  kA    kA  B  k  AB   kT  A Vậy ánh xạ cho tuyến tính Bài 04.03.1.010 Cho ánh xạ T : phẳng xy  W phép chiếu trực giao điểm a) Tìm cơng thức T b) Tìm T   2,7, 1  lên mặt Giải a) Nếu  x, y, z  tọa độ điểm khơng gian xyz thuộc hình chiếu lên mặt phẳng xy có tọa độ  x, y,0  Vậy có T  x, y, z    x, y,0  b) Áp dụng cơng thức ta có: T  2,7, 1   2,7,0  Bài 04.03.1.011 S sở không gian n chiều V a) Chứng minh v1, v2 , , vr họ độc lập tuyến tính V vecto tọa độ  v1 S ,  v2 S , ,  vr S tạo thành họ độc lập tuyến tính ngược lại b) {v1, , vr } sinh V { v1  S , ,  vr  S sinh R n ngược lại Giải Theo đầu ta xét hai tập E  {v1, v2 , vr } vi V F  { v1 S ,  v2 S , ,  vr S },  vi S  Ta phải chứng minh: 1) Nếu E ĐLTT V F ĐLTT 2) Nếu F ĐLTT n n E ĐLTT V Trước hết ta nêu nhận xét: w   V   wS   0,0, ,0   n c1  v1  S   cr  vr  S   c1v1   cr vr S , vi  V (a) (b) Để chứng minh phần 1) ta giả sử E ĐLTT V xét: c1  v1  S   cr  vr  S   0,0,  (c) n Từ với nhận xét (b) ta suy  c1v1   cr vr S   0,0,  (d) Với nhận xét (a) (d) cho c1v1  c2v2   cr vr   V (e) Nhưng ta giả sử E ĐLTT V nên phương trình (e) buộc c1  c2   cr  (f) Vậy (c)  (f) Điều chứng tỏ F ĐLTT phần 1) chứng minh xong Để chứng minh phần 2) ta giả sử F ĐLTT n xét: c1v1  c2v2   cr vr   V (g) Theo nhận xét (a) ta có: (c1v1  c2v2   cr vr ) S    S   0,0, ,0  Áp dụng nhận xét (b) ta : c1  v1 S  c2  v2  S   cr  vr  S   0,0, ,0  Nhưng ta giả sử F ĐLTT n đẳng thức buộc có (f) Vậy (g)  (f) nghĩa E ĐLTT V phần 2) chứng minh xong Bài 04.03.1.012 Cho f :  ánh xạ tuyến tính cho f (1,1,2)  (1,2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2,2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức f , nghĩa tìm f ( x1, x2 , x3 ) Giải: Đặt S  {v1, v2 , v3} T  {u1, u2 , u3} , v1  (1,1, 2), u1  (1, 2,3) v2  (2,1,1), u2  (0,1,1) v3  (2, 2,3), u3  (0, 1,0)  10   X1  X  X  X  15 22  11 17  (X2)    X  13 X  X  X   23 37   20 32  (X3)     12 X  28 X  14 X  16 X  42 70  38 61  (X4)     23 X  53 X  26 X  30 X 80 133  ( X1 )   Vậy ma trận biểu diễn  theo sở   12 23   4 13 28 53    6 8 14 26    16 30   Bài 04.03.1.059 Hãy tìm ma trận tắc tốn tử tuyến tính sau: a ) T   x1 , x2     x1  x2 , x1  x2  b) T   x1 , x2     x1 , x2  c) T   x1 , x2 , x3     x1  x2  x3 , x1  x2 , x3  d ) T   x1 , x2 , x3     x1 ,7 x2 , 8 x3  Giải: a) Theo đầu T :  xác định T   x1 , x2     x1  x2 , x1  x2  Do đó: T  1,0     2,1 , T   0,1    1,1  1 Vậy ma trận ánh xạ A    1  2x  x  y1 Đó ma trận hệ số hệ   x1  x2  y2 b) Theo đầu T :  xác định T   x1 , x2     x1 , x2  Do đó: T  1,0    1,0  , T   0,1    0,1 1  Vậy ma trận ánh xạ A    0   x  y1 Đó ma trận đơn vị ma trận hệ số hệ   x2  y2 c) Theo đầu T :  xác định T   x1 , x2 , x3     x1  x2  x3 , x1  x2 , x3  Do đó: T  1,0,0    1,1,0  , T   0,1,0     2,5,0  , T   0,0,1   1,0,1 1  Vậy ma trận ánh xạ A  1    0   x1  x2  x3  y1  Đó ma trận hệ số hệ  x1  x2  y2 x  y  d) Theo đầu T :  xác định T   x1 , x2 , x3     x1 ,7 x2 , 8 x3  Do đó: T  1,0,0     4,0,0  , T   0,1,0     0,7,0  , T   0,0,1    0,0, 8 4 0  Vậy ma trận ánh xạ A       0 8 4 x1  y1  Đó ma trận hệ số hệ 7 x2  y2  8 x  y 3  Bài 04.03.1.060 Hãy tìm ma trận tắc tốn tử tuyến tính T : đối xứng a) Trục x b) Đường phân giác y  x  biến v   x, y  thành c) Gốc tọa độ Hãy tính T   2,1  trường hợp Giải: a) Theo đề T   x, y     x,  y  T  1,0    1,0  , T   0,1    0, 1 1  Vậy ma trận ánh xạ A    0 1   1      Do T   2,1    A      1    1 B'         Nghĩa T   2,1    2, 1 theo định nghĩa T b) Theo đề ta có: T   x, y     y, x  T  1,0     0,1 T   0,1   1,0  0  Vậy ma trận nahs xạ A    1    0   2 1  Do T   2,1    A      1    2 B' 1        Nghĩa T   2,1   1,2  theo định nghĩa T c) Theo đầu ta có: T   x, y      x,  y  T  1,0     1,0  T   0,1    0, 1  1  Vậy ma trận ánh xạ A     1  2  1   2  2 Do T   2,1    A          B' 1   1 1   1 Nghĩa T   2,1    2, 1 theo định nghĩa Bài 04.03.1.061 Cho toán tử tuyến tính T :  xác định T   x1 , x2 , x3     x1  x2 , x2  x1 , x1  x3  a) Hãy tìm ma trận T sở B  {v1, v2 , v3} với: v1  1,0,1 , v2   0,1,1 , v3  1,1,0  c) Dùng ma trận thu ý a) để tính T   2,0,0   Giải: a) Ma trận ánh xạ T sở B  {v1, v2 , v3} A   T  v1   B T  v2  B T  v3  B  Ta có: T  v1   T  1,0,1   1, 1,0  T  v2   T   0,1,1    1,1, 1 T  v3   T  1,1,0     0,0,1 Bây biểu diễn T  v1  sở B.Muốn ta viế T  v1   1v1   2v2  3v3 tức 1, 1,0  1 1,0,1    0,1,1  3 1,1,0   1   1    Do 1, ,3 nghiệm hệ 0 1      1      1      Một cách tương tự ta viết T  v2   1v1   2v2   3v3 T  v3    v1   v2   v3 1   1   1 nghiệm hai hệ 0 1       1 , 1   3   1  1 , 2 , 3   ,  ,   1    0  0 1     0    2   1    1  Ba hệ có ma trận hệ số, ta giải chúng phép biến đổi sơ cấp viết ma trận: 1 1 1   1 1   1 1        0 1 1    1 1    1 1  1 0 1 1  1 1 1  2 1 1 1 0 3 / /      1 / /   1 / 1 /  Ta suy 1 A   T  v1   B T  v2   B T  v3   B      Sau ta có T  w   B  A wB , w  1    3 / /       1 / /  3    / 1 /  b) Để tính T  2,0,0  trước hết ta phải tính  2,0,0   B ta có:  2,0,0  c1v1  c2v2  c3v3  c1 1,0,1  c2  0,1,1  c3 1,1,0  1  c1    c1   Vì c1 , c2 , c3 nghiệm hệ 0 1  c2   0   c2  1 1  c3  0  c2   1  3 Ta suy T   2,0,0     A  1   1     B  1  1 Đó T   2,0,0    , muốn có T   2,0,0   sở tắc ta phải viết B  3 1  0  1     1  0   1   1    2  nghĩa T 2,0,0  2, 2,2                1 1  1  0    Tính trực tiếp ta T   2,0,0      0,0  2,2    2, 2,2  trùng kq Bài 04.03.1.062  3 Cho v1  1,3 , v2   1,4  , A    ma trận ánh xạ T :    với sở B  {v1, v2} a) Tìm T  v1   B T  v2   B ' b) Tìm T  v1  T  v2  c) Tìm T  1,1  Giải:  1 0 a) Ta có:  v1 B    ,  v2     0   1  3 1   1     3   , T v  T  v1   B       B       2 5  1  5  2 5 0  2       b) T  v1   11,3   1,4   1  2,3  8  3, 5 T  v2   31,3  5 1,4    5,9  20    2,29  c) Bây tính T 1,1 , trước hết ta tính 1,1  B Ta có: 1,1   1,3    1,4     ,3  4        / Do  ,  nghiệm hệ   3  4     2 /  / 7 Vậy 1,1  B     2 /   3  3  /   1 /  T 1,1  B   1,1 B      2 /    20 /           Ta suy T 1,1   Bài 04.03.1.063 20 1,3   1,4   19, 83 7  đối 1 1 Cho A    ma trận ánh xạ T : P2  P2 sở    2  B  {v1, v2 , v3} với: v1  3x  3x2 , v2  1  3x  x , v3   x  x a) Tìm T  v1   B ' , T  v2  B ' , T  v3  B ' b) Tìm T  v1  , T  v2  , T  v3  c) Tìm T 1  x  Giải: a) Ta có:  v1 B v2 B 1  1      T  v1   B '  A v1 B    ,     0  6  0   3 0   1         T  v2   B '  A v2 B  ,  v3 B   T  v3   B '  Av3 B   5         0   2  1    b) T  v1    3x  3x2    1  3x  x2     x  x2   16  51x  19 x2 T  v2    3x  3x     x  x   6  x  x T  v3   1 x  x    1  x  x     x  x    40 x  15 x c) Trước hết ta biểu diễn p   x2 sở B Ta viết:  x  c1v1  c2v2  c3v3  c1  3x  3x   c2  1  3x  x   c3   x  x    c2  3c3    3c1  3c2  7c3  x   3c1  2c2  2c3  x c2  3c3  c1     Do c1 , c2 , c3 nghiệm hệ  3c1  3c2  7c3   c2  1 3c  2c  2c  c     2   1 Vậy có 1  x     1 T 1  x    A 1  x          B B B  8   Ta suy T 1  x   2  3x  3x    1  3x  3x     x  x   22  56 x  14 x Bài 04.03.1.064 Cho D : P2  P2 toán tử đạo hàm D  p   p ' Tìm ma trận D sở B  {p1, p2 , p3} đây: a) p1  1, p2  x, p3  x2 b) p1  2, p2   3x, p3   3x  8x c) Dùng ma trận thu a) để tính D   x  24 x  d) Làm lại phần c) ma trận b) Giải: a) Ta có D  p1   D 1  1'    x  x D  p2   D  x   x '    x  x D  p3   D  x    x  '  x   x  x 0  Vì B sở tắc P2 , ta suy A  0    0 0  b) D  p1   D  2  2'   p1  p2  p3 3 D  p2   D   x     x  '  3     p1  p2  p3 2 D  p3   D   3x  x     3x  x   3  16 x Ta viết: 3  16 x   p1   p2   p3       3x      3x  8x2  2  2  2  3   23 /   Thì thấy  ,  ,  nghiệm hệ  3  3  16     16 /    8    0   3 /   23 /  Do  D  p1   B  0  ,  D  p2   B    ,  D  p3   B   16 / 3       0      0 3 / 23 /  Vậy ta suy A  0 16 / 3   0 0  c) Vì câu a) B sở tắc P2 nên 0     6   D   x  24 x    0   6    48  B      0 0   24    Do D   x  24 x   6.1  48 x  x  6  48 x trùng với kết tính trực tiếp D   x  24 x     x  24 x  '  6  48 x d) Trong câu b) B khơng phải sở tắc P2 trước hết ta phải biểu diễn p   x  24 x2 sở B,ta có:  x  24 x   p1   p2   p3       x      x  x    2    2    3  3  x  8 x 2    2      Vậy  ,  ,  nghiệm hệ  3  3  6     1  8  24  gg    1 Do   x  24 x     1 nên   B  3 0 3 / 23 /   1  13  D   x  24 x    0 16 / 3  1   16   B      0     0   3   Ta suy D   x  24 x   13 p1  16 p2  13.2  16   3x   6  48 x trùng với kết tính đạo hàm trực tiếp Bài 04.03.1.065 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’ T:  xác định T   x1, x2     x1  x2 ,  x2  B  {u1, u2}, u1  1,0  , u2   0,1; B '  {v1, v2}, v1   2,1 , v2   3,4  Giải: Chú ý B sở tắc 1 2 Do ánh xạ T sở B có ma trận A    0 1  3 Ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: P    1  Ta suy P 1   3 11  1 2 Ma trận T sở B’ là: A '  P 1 AP   3 1 2   3  3 56   11  1 2 0 1 1  11  2  Bài 04.03.1.066 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’ T:  xác định T   x1, x2     x1  x2 ,3x1  x2  B  {u1, u2}, u1   2,3 , u2   4, 1 , B '  {v1, v2}, v1  1,3 , v2   1, 1 Giải: B khơng phải sở tắc, nên ta có: T  u1   T   2,3     7.3,3.2  4.3   23, 6  T  u2   T   4, 1     7. 1 ,3.4   1    3,16  Ta viết biểu diễn T  u1  , T  u2  sở B: T  u1    23, 6   c1u1  c2u2  c1  2,3  c2  4, 1   2c1  4c2 ,3c1  c2  T  u2    3,16   b1u1  b2u2  b1  2,3  b2  4, 1   2b1  4b2 ,3b1  b2  Như  c1, c2   b1 , b2  nghiệm hệ: 2c1  4c2  23 c1  1 / 14  ,  c  c   c  81 / 14   2b1  4b2  3 b1  61 / 14   b  b  16  b2  41 / 14  1 / 14   61 / 14  Vậy T  u1   B   , T  u2   B      81 / 14   41 / 14  Do ma trận ánh xạ T sở B là:  1 / 14 61 / 14   1 61  A     81 / 14 41 / 14  14  81 41 Bây ta tìm ma trận chuyển sở từ B sang B:’ P  v1 B v2 B  1  13 / 14 v1  1u1  a2u2  1,3  1  2,3    4, 1     3.14  1  5 / 14 v2  1u1   2u2   1, 1  1  2,3    4, 1      1 / 14  Ta P    1  13 5    14  3 1  1  Do P 1    nên ma trận ánh xạ T sở B’ là:  13  1   1 61   5  31  A '  P 1 AP      13 14  81 41 14  1  75 25 Chú ý: Nếu làm trực tiếp ta có: T  v1   T  1,3   1  7.3,3  4.3   22, 9  T  v2   T   1, 1    1  7. 1 ,3  1   1    8,1 1  31 / T  v1   1v1   2v2   22, 9   1 1,3    1, 1     75 /  1  / T  v2   1v1   2v2   8,1  1 1,3    1, 1      25 /  31 /   / 2 Do T  v1   B '   , T v      B'    25 /   75 /    Ta suy ma trận ánh xạ T sở B’ là: A '   31   75 25 Bài 04.03.1.067 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’ T: B  xác định T   x1 , x2 , x3     x1  x2  x3 ,  x2 , x1  x3  sở chuẩn tắc , v1  1,0,0  , v2  1,1,0 , v3  1,1,1  Giải: Vì B sở tắc 1 1 nên ma trận ánh xạ T sở B là: A  0 1    1  1 1 Ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: P  0 1   0 1 B '  {v1, v2 , v3} với 1 1  Ma trận nghịch đảo P P 1  0 1   0  3 1 Do ma trận ánh xạ T sở B’ là: A '  P 1 AP   1 2 9     1  Bài 04.03.1.068 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’  phép chiếu trực giao lên mặt phẳng xy, B sở chuẩn tắc , B '  {v1, v2 , v3} với v1  1,0,0 , v2  1,1,0 , v3  1,1,1 T: Giải: Một điểm có tọa độ  x, y, z  không gian xyz chiếu trực giao lên mặt phẳng xy thành điểm  x, y,0  Vậy có cơng thức xác định ánh xạ T: T   x, y, z     x, y,0  thay đổi kí hiệu T   x1 , x2 , x3     x1 , x2 ,0  Với B la sở tắc , 1 0  nên ma trận ánh xạ T sở B là: A  0    0 0  1 1 Ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: P  0 1   0 1 1 1  Do ma trận nghịch đảo P là: P  0 1   0  1 1 0  Vậy ma trận ánh xạ T sở B’ là: A '  P 1 AP  0 1    0 0  Bài 04.03.1.069 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’ T:  xác định T  x   5x , B  {u1, u2}, u1   2,3, u2   4, 1, B '  {v1, v2}, v1  1,3 , v2   1, 1  Giải: Theo đề bài: T  u1   5u1  0u2 , T  u2   5u2  0u1  5u2 5  Vậy ma trận T sở B là: A    0  Bây ta tìm ma trận chuyển sở từ B sang B:’ P  v1 B v2 B  1  13 / 14 v1  1u1  a2u2  1,3  1  2,3    4, 1     3.14  1  5 / 14 v2  1u1   2u2   1, 1  1  2,3    4, 1      1 / 14  Ta P    1  13 5  1  1 P     14  3 1  13 5  Vậy ma trận cần tìm A '  P 1 AP    0  Bài 04.03.1.070 Hãy tìm ma trận T sở B suy ma trận T sở B’ T : P1  P1 xác định T  a0  a1 x   a0  a1  x  1 B  { p1, p2}, p1   3x, p2  10  x, B '  {q1, q2}, q1  2, q2   x Giải: Theo đề T  p1   T   3x    3 x  1   3x T  p2   T 10  x   10   x  1  12  x Ta biểu diễn T  p1  , T  p2  sở B 1  / T  p1   1 p1   p2   3x  1   x    10  x      /  1  2 / T  p2   1 p1   p2  12  x  1   x    10  x    2  /  / 2 /  Vậy ma trận ánh xạ T sở B là: A    1 / /  Bây ta tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’: P   q1 B  q2 B  Ta có: a  2 / q1  ap1  bp2   a   x   b 10  x    b  / c  / q2  cp1  dp2   x  c   3x   d 10  x    d  1 /  2 /  Nên có  q1 B   ,  / 3  / 9   1 /   q2 B    2 / /   4 14   14  1 Do P   P      6   / 1 /  18  3 1 1 Do ma trận T sở B’ là: A '  P 1 AP    0 1 ... Vậy ánh xạ cho tuyến tính Bài 04.03.1.009 Gọi Mmn tập ma trận cỡ m  n Cho B ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác định Chứng minh ánh xạ T : M22  M23 định nghĩa T  A  AB ánh xạ tuyến tính Giải. .. a b    k  a  b   kf     trừ k  c d   Vậy ánh xạ cho khơng tuyến tính Bài 04.03.1.007 Ánh xạ f : P2  P2 có phải tuyến tính khơng: 1) f  a0  a1 x  a2 x   a0   a1  a2 ... y  Vậy ánh xạ cho tuyến tính 8) Theo đầu f   x, y     x, y   Do xét f  k  x, y    f  kx, ky     kx , ky  k Vậy ánh xạ cho khơng phải tuyến tính Bài 04.03.1.005 Ánh xạ f : 