ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

hay.trọng tâm ôn thi hết kỳ cho các bạn năm nhất

Slides Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên: TS. TRỊNH THANH ĐÈO Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Tp.HCM T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 1 / 26 1. Ánh xạ tuyến tính Ký hiệu f : X → Y là phép tương ứng đi từ tập X = Ø vào tập Y = Ø. Ta nói f là ánh xạ nếu mọi phần tử x thuộc X đều có duy nhất một tương ứng y thuộc Y qua phép tương ứng f. Khi đó y được gọi là ảnh của x qua f, ký hiệu y = f(x). Nếu hai ánh xạ f, g : X → Y thỏa mãn f(x) = g(x), ∀x ∈ X thì ta nói f bằng g, ký hiệu f = g. Ánh xạ f : R n → R m được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ R n ; ii) f(αu) = αf(u) với mọi u ∈ R n và với mọi α ∈ R. Các điều kiện trong đònh nghóa trên có thể được thay bởi điều kiện: f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀u, v ∈ R n , ∀α ∈ R. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 2 / 26 1. Ánh xạ tuyến tính Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ R n vào R m được ký hiệu bởi L(R n , R m ). Nếu f ∈ L(R n , R n ) thì f được gọi là toán tử tuyến tính trên R n , và tập hợp L(R n , R n ) được viết ngắn gọn là L(R n ). Nhận xét. Nếu f ∈ L(R n , R m ) thì i) f(0) = 0 (vectơ 0 bên trái thuộc R n , và vectơ 0 bên phải thuộc R m ); ii) ∀u ∈ R n , f(−u) = −f(u). iii) ∀u 1 , u 2 , . . . , u m ∈ R n và ∀α 1 , α 2 , ., α n ∈ R, ta có f(α 1 u 1 + α 2 u 2 + · · · + α m u m ) = α 1 f(u 1 ) + α 2 f(u 2 ) + · · · + α m f(u m ). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 3 / 26 1. Ánh xạ tuyến tính Ví dụ. Chứng minh f(x, y, z) = (2x + y, x − 2y + z) là một ánh xạ tuyến tính từ R 3 vào R 2 . Giải. Với mọi u = (x, y, z), v = (x  , y  , z  ) ∈ R 3 và với mọi α ∈ R ta có f(u + v) = f(x + x  , y + y  , z + z  ) = (2(x + x  ) + (y + y  ), (x + x  )−2(y + y  ) + (z + z  )) = (2x + y, x − 2y + z) + (2x  + y  , x  − 2y  + z  ) = f(u) + f(v). f(αu) = f(αx, αy, αz) = (2αx + αy, αx − 2αy + αz) = α(2x + y, x − 2y + z) = αf(u). Do đó f ∈ L(R 3 , R 2 ). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 4 / 26 2. Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính Nhận xét rằng, mọi ánh xạ tuyến tính f : R n → R m đều có dạng: f(x 1 , x 2 , ., x n ) = (a 11 x 1 +a 12 x 2 + . +a 1n x n , a 21 x 1 +a 22 x 2 + . +a 2n x n , ., a m1 x 1 +a m2 x 2 + . +a mn x n ). Đặt A =     a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn     . Ta gọi A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f. Khi đó f có thể được biểu diễn dưới dạng f(u)  = A.u  , trong đó các vectơ u  và f(u)  là biểu diễn dạng cột của u và f(u). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 5 / 26 2. Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ 1. Xét ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (2x − y + 3z, −x + 4y − 5z). f có dạng ma trận là A =  2 −1 3 −1 4 −5  . Biểu diễn dạng cột của f là f   x y z   =  2x − y + 3z −x + 4y − 5z  =  2 −1 3 −1 4 −5    x y z   . Ví dụ 2. Nếu axtt f có dạng ma trận   2 3 1 4 −1 2 3 2 −4   thì f xác đònh bởi f(x, y, z) = (2x + 3y + z, 4x − y + 2z, 3x + 2y − 4z). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 6 / 26 3. Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở Đònh lý. Cho B = {u 1 , u 2 , ., u n } là cơ sở của R n và S = {v 1 , v 2 , ., v n } là tập hợp các vectơ thuộc R m . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f ∈ L(R n , R m ) sao cho: f(u 1 ) = v 1 , f(u 2 ) = v 2 , . . . , f(u n ) = v n . Chứng minh. Sự tồn tại. Ta xây dựng ánh xạ f: R n → R m như sau: Với mọi u ∈ V, nếu [u] B =   α 1 . . . α n   , nghóa là u = α 1 u 1 + . . . + α n u n thì ta đặt f(u) = α 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α n v n . Khi đó, dễ dàng chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính và f(u i ) = v i , ∀i. Sự duy nhất. Giả sử f, g ∈ L(R n , R m ) sao cho f(u i ) = g(u i ) = v i , ∀i. Khi đó, với mọi u = α 1 u 1 + · · · + α n u n ∈ R n , ta có f(u) = α 1 f(u 1 ) + · · · + α n f(u n ) = α 1 g(u 1 ) + · · · + α n g(u n )= g(u). Do đó f = g. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 7 / 26 3. Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở PP xác đònh áxtt thông qua ảnh của các vectơ cơ sở Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện trên, ta thực hiện như sau: Lấy u = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) là một vectơ bất kỳ thuộc R n . Biểu diễn u dưới dạng tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , . . . , u n : u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + . . . + α n u n (Giải pt để tìm α 1 , α 2 , . . . , α n ). Khi đó ánh xạ f cần tìm là: f(u) = α 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α n v n T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 8 / 26 3. Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở Ví dụ. Tìm f ∈ L(R 2 , R 3 ) sao cho f(1, 1) = (1, 2, 3), f(1, 2) = (3, 2, 1). Giải. Ta có S = {u 1 = (1, 1), u 2 = (1, 2)} là cơ sở của R 2 . Với mọi u = (x, y) ∈ R 2 ta có (u  1 u  2 |u  ) =  1 1 x 1 2 y  →  1 0 2x − y 0 1 −x + y  . Suy ra u = (2x − y)u 1 + (−x + y)u 2 . Do đó f(u) = (2x − y)f(u 1 ) + (−x + y)f(u 2 ) = (2x − y)(1, 2, 3) + (−x + y)(3, 2, 1) = (2x − y, 4x − 2y, 6x − 3y) + (−3x + 3y, −2x + 2y, −x + y) = (−x + 2y, 2x, 5x − 2y) Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm là f(x, y) = (−x + 2y, 2x, 5x − 2y). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 9 / 26 3. Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở PP thứ hai xác đònh áxtt thông qua ảnh của các vectơ cơ sở Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện Đònh lý trên, ta thực hiện như sau: Gọi A là dạng ma trận của f. Với mỗi i, ta có v  i = f(u i )  = A.u  i , nên bằng cách đặt P = (u  1 u  2 . . . u  n ) và Q = (v  1 v  2 . . . v  n ), ta được Q = AP. Do đó A = QP −1 . Khi đó, từ dạng ma trận A của f ta xác đònh được f. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 10 / 26 3. Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở Ví dụ. Tìm f ∈ L(R 2 , R 3 ) sao cho f(1, 1) = (1, 2, 3), f(1, 2) = (3, 2, 1). Giải. Ta có S = {u 1 = (1, 1), u 2 = (1, 2)} là cơ sở của R 2 . Đặt P = (u  1 u  2 )=  1 1 1 2  , Q = (f(u 1 )  f(u 2 )  )=   1 3 2 2 3 1   . Suy ra, P −1 =  2 −1 −1 1  . Do đó, dạng ma trận của f là A = QP −1 =   1 3 2 2 3 1    2 −1 −1 1  =   −1 2 2 0 5 −2   . Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm là f(x, y) = (−x + 2y, 2x, 5x − 2y). T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 11 / 26 4. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ tuyến tính f : R n → R m . * Tập hợp ker f = {u ∈ R n |f(u) = 0} được gọi là nhân của f. * Tập hợp Imf = {f(u)|u ∈ R n } = f(R n ) được gọi là ảnh của f. Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + 2y − z, x + y − 2z). a) Ta có f(3, −1, 1) = (0, 0) nên (3, −1, 1) ∈ ker f. b) Ta có f(1, 2, 1) = (4, 1) nên (4, 1) ∈ Imf. Đònh lý 1. Cho f ∈ L(R n , R m ). Khi đó ker f là không gian con của R n , gọi là không gian nhân của f. Imf là không gian con của R m , gọi là không gian ảnh của f. Đònh lý 2. Nếu A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f thì ker f là không gian nghiệm của hệ AX = 0. Imf là không gian dòng của ma trận A  . T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 12 / 26 4. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Hệ quả. Cho f ∈ L(R n , R m ). Khi đó dim Imf + dim ker f = n. dim Imf còn được gọi là hạng của f, ký hiệu là r(f); dim ker f còn được gọi là số khuyết của f, ký hiệu là null(f). PP tìm cơ sở cho không gian nhân và không gian ảnh Để tìm cơ sở cho không gian nhân và không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f ∈ L(R n , R m ), ta thực hiện như sau: Xác đònh dạng ma trận A của f. Chuẩn hóa A để xác đònh tập nghiệm căn bản của hệ AX = 0. Khi đó, tập nghiệm căn bản trên là cơ sở của ker f. Xác đònh A  và biến đổi A  về dạng bậc thang. Khi đó các vectơ dòng khác 0 trong dạng bậc thang trên là cơ sở của Imf. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 13 / 26 4. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z). Tìm một cơ sở của ker f và một cơ sở của Imf. Giải. Ta có dạng ma trận của f là A =  1 1 2 2 1 −3  . Ta có A chuẩn hóa −−−−−−→  1 0 −5 0 1 7  . Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác đònh bởi (x 1 , x 2 , x 3 ) = (5t, −7t, t), t ∈ R. Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −7, 1). Do đó tập hợp B = {u} là cơ sở của ker f. Ta có A  =   1 2 1 1 2 −3   đưa về dạng −−−−−−−→ bậc thang   1 2 0 −1 0 0   . Do đó tập hợp C = {(1, 2), (0, −1)} là cơ sở của Imf. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 14 / 26 4. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Ví dụ. Cho axtt f(x, y, z) = (x + y − z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 2z). Tìm cơ sở của ker f và Imf. Giải. Dạng ma trận của f là A =   1 1 −1 1 2 3 2 3 2   . Ta có A chuẩn hóa −−−−−−→   1 0 −5 0 1 4 0 0 0   . Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác đònh bởi (x 1 , x 2 , x 3 ) = (5t, −4t, t), t ∈ R. Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −4, 1). Do đó tập hợp B = {u} là cơ sở của ker f. Ta có A  =   1 1 2 1 2 3 −1 3 2   đưa về dạng −−−−−−−→ bậc thang   1 1 2 0 1 1 0 0 0   . Do đó tập hợp C = {(1, 1, 2), (0, 1, 1)} là cơ sở của Imf. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 15 / 26 5. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Cho f ∈ L(R n ) và B = {u 1 , u 2 , . . . , u n } là cơ sở của R n . Ma trận A =  [f(u 1 )] B [f(u 2 )] B . . . [f(u n )] B  được gọi là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B, ký hiệu A = [f] B . Phương pháp tìm ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính. Để xác đònh [f] B ta thực hiện như sau: Tính f(u 1 ), f(u 2 ), . . . , f(u n ). Lấy u bất kỳ thuộc R n , ta xác đònh [u] B . Lần lượt thay u bởi f(u 1 ), f(u 2 ), ., f(u n ) ta xác đònh được [f(u 1 )] B , [f(u 2 )] B , . . . , [f(u n )] B . Từ đó ta được ma trận biểu diễn [f] B . T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 16 / 26 5. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R 2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B = {u 1 = (1, 2), u 2 = (3, 5)} là cơ sở của R 2 . Hãy xác đònh [f] B . Giải. Ta có f(u 1 ) = (4, 5), f(u 2 ) = (11, 12). Với mọi u = (a, b) ∈ R 2 , ta có (u  1 u  2 |u  ) =  1 3 a 2 5 b  chuẩn hóa −−−−−−→  1 0 −5a + 3b 0 1 2a − b  , nên [u] B =  −5a + 3b 2a − b  . Do đó [f(u 1 )] B =  −5 3  , [f(u 2 )] B =  −19 10  . Vậy [f] B =  −5 −19 3 10  . T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 17 / 26 5. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Phương pháp thứ hai để xác đònh [f] B . Tính f(u 1 ), f(u 2 ), ., f(u n ). Đặt A = (u  1 u  2 . . . u  n |f(u 1 )  f(u 2 )  . . . f(u n )  ). Dùng thuật toán Gauss-Jordan để đưa A về dạng (I n | P) Khi đó P = [f] B . Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R 2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B = {u 1 = (1, 2), u 2 = (3, 5)} là cơ sở của R 2 . Hãy xác đònh [f] B . Giải. Ta có f(u 1 ) = (4, 5), f(u 2 ) = (11, 12). Do đó (u  1 u  2 |f(u 1 )  f(u 2 )  ) =  1 3 4 11 2 5 5 12  chuẩn hóa −−−−−−→  1 0 −5 −19 0 1 3 10  . Suy ra [f] B =  −5 −19 3 10  . T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 18 / 26 5. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Ví dụ 2. Cho f ∈ L(R 2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y). Xác đònh ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc của R 2 . Giải. Cơ sở chính tắc của R 2 là B = {ε 1 = (1, 0), ε 2 = (0, 1)}. Ta có f(ε 1 ) = (2, −1), f(ε 2 ) = (1, 3). nên [f] B =  [f(ε 1 )] B [f(ε 2 )] B  =  2 1 −1 3  . Nhận xét. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f ∈ L(R n ) theo cơ sở chính tắc của R n chính là dạng ma trận của f. Đònh lý 1. Cho f ∈ L(R n ) và B là cơ sở của R n . Với mọi u ∈ R n ta có [f(u)] B = [f] B [u] B . Đònh lý 2. Cho P là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B  của R n và f ∈ L(R n ). Khi đó: [f] B  = P −1 [f] B P. T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 19 / 26 5. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Phương pháp tìm toán tử tuyến tính khi biết ma trận biểu diễn Để xác đònh toán tử tuyến tính f ∈ L(R n ) khi biết ma trận biểu diễn f theo cơ sở B = {u 1 , u 2 , . . . , u n } của R n , ta thực hiện như sau: Cho vectơ u bất kỳ thuộc R n , xác đònh [u] B . Tính [f(u)] B = [f] B .[u] B . Giả sử [f(u)] B =    α 1 α 2 . . . α n    . Khi đó toán tử f được xác đònh bởi f(u) = α 1 u 1 + α 2 u 2 + · · · + α n u n . T.T. Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 20 / 26