ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH pps

Chơng 5 ánh xạ tuyến tính 5.1 ánh xạ tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng K. ánh xạ f: E F đợc gọi là ánh xạ tuyến tính, một đồng cấu hay một toán tử tuyến tính nếu: (i) x,yE: f(x+y)=f(x)+f(y) (ii) xE và tK : f(tx)=tf(x) hoặc (iii) x,yE, t,sK: f(tx+sy)=tf(x)+sf(y) f: EE gọi là tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính trên E. f: EK gọi là dạng tuyến tính, hoặc phiếm hàm tuyến tính. 2. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính f: E F và g: E F Phép cộng: (f+g)x=f(x)+g(x) Phép nhân với một số: (f)x=f(x) Tích của các ánh xạ tuyến tính Cho f: EE1, g: E1F khi đó (gof)(x)=g(f(x)) Tổng các ánh xạ tuyến tính, tích một số với một ánh xạ tuyến tính, và tích các ánh xạ tuyến tính đều là các ánh xạ tuyến tính. 3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Cho I={e 1 ,e 2 , ,e n } là một cơ sở trong E, W={ 1 , 2 , , m } là một cơ sở trong F và f: E F là một ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa: Ma trận A= a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 của hệ { f(e 1 ),f(e 2 ), ,f(e n ) } trên cơ sở W gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trên {I,W}. Ma trận của tự đồng cấu f:E E trên cơ sở {I,I} là ma trận vuông. Chú ý: Khi thay đổi cơ sở {I,W} ma trận của f sẽ thay đổi. 177 4. Biểu thức dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng tr- ờng K và dim(E)=n, dim(F)=m, khi đó trên mỗi cặp cơ sở {I,W] mọi ánh xạ f(x) đều có dạng: f(x)=A.x trong đó A là ma trận của f trong cơ sở {I,W}. Ngợc lại mỗi ma trận A=(a ij ) m ì n trên cơ sở {I,W} xác định duy nhất một ánh xạ f(x)=Ax mà A là ma trận của f. Hệ quả : Nếu A và B tơng ứng là ma trận của các ánh xạ f và g khi đó: 1. Ma trận của f+g là A+B. 2. Ma trận của t.f là t.A. 3. Ma trận của gof là B.A. B. Bài tập 1. Trên R,R 2 ,R 3 . Các ánh xạ sau có phải là ánh xạ tuyến tính không a. f(x,y)= x b. f(x,y)= xy c. f(x,y)= x+y d. f(x,y)= x-y e. f(x,y)= a a là một hằng số. f. f(x,y)= ax g. f(x,y)= ax+by h. f(x,y)= (2x,2y) i. f(x,y)= (2x,3y) j. f(x,y)= (y,x) k. f(x,y)=(x+1,y+1) l. f(x,y)= (x,y,x+y) m. f(x,y)= (x,y,a) 2. Cho ánh xạ tuyến tính f: R 3 R 2 có biểu thức: f(x,y,.z)=(2x+y+z,x-z) a. Tìm ma trận của f trên cơ sở chính tắc của R 3 và R 2 . b. Tìm ma trận của f trên cặp cơ sở: e 1 = 1 0 0 e 2 = 0 1 0 e 3 = 0 0 1 R 3 và 1 = 1 0 2 = 1 1 R 2 3. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc, biểu diễn f dới dạng ma trận. a. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z) b. f(x,y,z)=2x-3y+5z c. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y) d. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y) e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y) 4.a. E=L[0,1]={x=x(t):x(t) hàm liên tục trên [0,1]}. Chứng tỏ: f: ER: f(x)= x t dt( ) 0 1 là một phiếm hàm tuyến tính. 178 b. Trên P 3 (t)}={x(t)= a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 } tìm ma trận của phiếm hàm tuyến tính: f(x)= x t dt( ) 0 1 trên cơ sở I={1,t,t 2 ,t 3 }. 5. Chứng tỏ các ánh xạ a. f(a+bt+ct 2 )=(a+b)+(a-c)t+(b+2c)t 2 b. f(a+bt+ct 2 )=a+c+(b-a)(1+t)+(a+b-c)(1+t) 2 là tự đồng cấu trên P 2 (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+a 2 t 2 } Tìm ma trận của chúng trên cơ sở {1,t,t 2 } và trên cặp cơ sở I={1,t,t 2 } và W= {1,1+t,(1+t) 2 }. 6. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của chúng trên các cặp cơ sở tơng ứng. a. f(a+bt)=a+b+(a-b)(1+t)+(a+2b)(1+t) 2 b. f(a+bt+ct 2 +dt 3 )=a-d+(b-c)(1+t)+(a+b+c+d)(1+t) 2 c. f(a+bt+ct 2 )=c+(a+b)t+(a+c)t 2 +(b+c)t 3 d. f(a+bt)=a-b+(a+b)t+(2a-3b)t 3 e. f(a+bt+ct 2 +dt 3 )=a+b+c+(b+c+d)t 7. Cho f: P 3 (t)={x(t)=a+bt+ct 2 +dt 3 } M 2x3 = = wvu zyx A xác định bởi: f(a+bt+ct 2 +dt 3 )= + dcdc baba 2 2 Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f. 8. Cho f: P 2 (t)={x(t)=a+bt+ct 2 } M 2x3 = = wvu zyx A xác định bởi: f(a+bt+ct 2 )= + acac baba 2 2 Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f, biểu diễn f dới dạng ma trận. 9. Cho f: M 2x3 = = wvu zyx A P 3 (t)={x(t)=a+bt+ct 2 } xác định bởi: wvu zyx f =x+y+z+(z+u)t+(u+v+w)t 2 179 Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f. 10.Trên không gian 22ì M các ma trận cấp 2x2, với X= uz yx , cho f(X)= 03 21 X . Tìm ma trận của f trên cơ sở chính tắc. 11. Cho f: M 2x3 = = wvu zyx A M 2x2 = dc ba xác định bởi: a. wvu zyx f = ++ ++ wvuz uzyx b. wvu zyx f = ++ ++ wvyz yxvu Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f. 12. Trong R 2 chứng tỏ phép quay một góc là một tự đồng cấu, tìm ma trận của nó. 13. Cho các ánh xạ: f:R 4 R 3 với f(x,y,z,u)=(x+y+u,x+y+z,y-z+u) g:R 3 R 2 với g(x,y,z)=(2x+z,x-y+z) tìm ma trận của gof. 14. Cho các ánh xạ: f: R 2 R 3 với f(x,y)=(x+2y,x-y,2x+y) g: R 3 R 2 với g(x,y,z)=(x+y+z,x-y-2z) tìm ma trận của gof. C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số 1. a. Có b. Không c. Có d. Có e. Có nếu a=0, không nếu a0 1 f. Có g. Có h. Có 2 i. Có j. Có k. Không 3 l. Có m. Có nếu a=0, không nếu a0 2. a. Dễ dàng kiểm tra f là ánh xạ tuyến tính. Trên cơ sở chính tắc của R 3 và R 2 ta có: f(e 1 )=(2,1) f(e 2 )=(1,0) f(e 3 )=(1,-1) Vậy ma trận của f là: 180 2 1 1 1 0 1 Chú ý: Ta thấy ma trận của f có các hàng tơng ứng là các hệ số của x,y,z trong biểu thức của các toạ độ kết quả b. Ta có f(e 1 )=(2,1) = 1 + 2 = 1 1 f(e 2 )=(1,0) = 1 +0. 2 = 1 0 f(e 3 )=(1,-1)=2 1 - 2 = 2 1 Vậy ma trận của f trên cặp cơ sở (I,W) là A= 1 1 2 1 0 1 3.a. Viết vế phải thành véc tơ cột ta đợc f(x,y,z)= + zy zyx yx 53 2 = 2 1 0 1 3 5 0 1 1 x y z Vậy f là một ánh xạ tuyến tính và ma trận của f là: 2 1 0 1 3 5 0 1 1 b. f(x,y,z)=(2 -3 5) z y x c. f(x,y)= y x 11 12 21 d. f(x,y,z)= z y x 011 412 121 e. f(x,y,z)= z y x 011 112 121 4. a. Ta có: f(x+y)= { 0 1 x(t)+y(t)}dt= x t dt( ) 0 1 + y t dt( ) 0 1 =f(x)+f(y) 181 nên f là một phiếm hàm tuyến tính trên E. b. Trên cơ sở I={1,t,t 2 ,t 3 } ta có: f(1)= dt 0 1 =1, f(t)= tdt 0 1 = 2 1 , f(t 2 )= t dt 2 0 1 = 3 1 , f(t 3 )= t dt 3 0 1 = 4 1 Vậy phiếm hàm có ma trận: A=(1 2 1 3 1 4 1 ) 5. a. Dễ dàng kiểm tra f là tự đồng cấu. Trên cơ sở {1,t,t 2 } ta có: f(1)=1+t=(1,1,0), f(t)=1+t 2 =(1,0,1), f(t 2 )=-t+2t 2 =(0,-1,2) Vậy ma trận của f là: A= 210 101 011 Trên cặp cơ sở I={1,t,t 2 } và W={1,1+t,(1+t) 2 } ta có f(1)=1+t=(0,1,0) f(t)=1+t 2 =2-2(1+t)+(1+t) 2 =(2,-2,1) f(t 2 )=-t+2t 2 =3-5(1+t)+2(1+t) 2 = (3,-5,2) Vậy f có ma trận là: A= 210 521 320 6. a. Trên cặp cơ sở {1,t} và {1,1+t, (1+t) 2 } A= 21 11 11 b. Trên cơ sở {1,t,t 2 ,t 3 } và {1,1+t, (1+t) 2 } A= 1111 0110 1001 182 c. Trên cơ sở {1,t,t 2 }và {1,t,t 2 ,t 3 } A= 110 101 011 100 d. Trên cơ sở {1,t}và {1,t,t 3 } A= 32 11 11 e. Trên cơ sở {1,t,t 2 ,t 3 } và {1,t} A= 1110 0111 7. Với x= a+bt+ct 2 +dt 3 , y= a+bt+ct 2 +dt 3 , khi đó: f(x+y)=f((a+a)+(b+b)t+(c+c)t 2 +(d+d)t 3 ) = ++++ +++++ )'(2''' )'(2''' ddccddcc bbaabbaa = + dcdc baba 2 2 + + '2''' '2''' dcdc baba =f(x)+f(y) f(x)= + dcdc baba 2 2 = + dcdc baba 2 2 =f(x) hay f là ánh xạ tuyến tính. Ta có f(1)= 000 101 f(t)= 000 210 f(t 2 )= 101 000 f(t 3 )= 200 000 Vậy trên cơ sở {1,t,t 2 ,t 3 } và cơ sở chính tắc của các ma trận cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận A= 2100 0000 0100 0021 0010 0001 8. A= 102 001 100 021 010 001 183 9. A=           111000 001100 000111 10. Ta cã: f(e 1 )=         03 21         00 01 =         03 01 =e 1 +3e 3 =(1,0,3,0) f(e 2 )=         03 21         00 10 =         30 10 =e 2 +3e 4 =(0,1,0,3) f(e 3 )=         03 21         01 00 =         00 02 =2e 1 =(2,0,0,0) f(e 4 )=         03 21         10 00 =         00 20 =2e 2 =(0,2,0,0) VËy ma trËn cña f lµ: A=               0030 0003 2010 0201 11. a.               110000 001100 001100 000011 b.               110000 000110 000011 011000 12. Víi a=(x,y) ∈R 2 cã to¹ ®é cùc lµ: x=rcosθ y=rsinθ sau phÐp quay mét gãc ϕ ta ®îc: ϕ(a)=a’=(x’,y’) víi x’=rcos(θ+ϕ)=rcosθ cosϕ -rsinθ sinϕ =xcosϕ-y sinϕ y’=r sin(θ+ϕ )=rsinθcosϕ+rcosθ sinϕ =xsinϕ +ycosϕ Díi d¹ng ma trËn ta cã: 184 x y ' ' = cos sin sin cos x y Vậy ma trận của ánh xạ là: A= cos sin sin cos 13. Ma trận tơng ứng của f và g là: F= 1110 0111 1011 G= 111 102 Vậy ma trận của gof là A=G.F= 2210 3132 14. A= 14 24 5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa: ảnh của ánh xạ tuyến tính f: EF : Im(f)={ yF | x E: y=f(x) } Từ định nghĩa ta có: a. Im(f)=f(E) b. Nếu f có ma trận A thì yIm(f) phơng trình A.x=y có nghiệm. Vì phơng trình Ax=y có thể có nhiều hơn một nghiệm, nên có thể có nhiều phần tử của E cùng chung một ảnh. Hệ quả : 1. Im(f) là một không gian con của F. 2. Nếu I={e 1 ,e 2 , ,e n } là cơ sở của E và f có ma trận A thì: Im(f)=L{ f(e 1 ),f(e 2 ), ,f(e n )} và dim(Im(f))=dim(L{f(e 1 ),f(e 2 ), ,f(e n )}=r(A) 3. Cơ sở của Im(f) là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của {f(e 1 ),f(e 2 ), ,f(e n )} hay hệ ứng với các cột cơ sở của A. 4. Hạng r(f)=dim(Im(f))=r(A). 185 2. Nhân của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 5.5: Nhân của ánh xạ tuyến tính f: EF: Ker f={ xE| f(x)= F} Hệ quả : 1. Nếu f có ma trận A thì: Ker f={ xE | Ax= F} đó là tập các nghiệm của hệ phơng trình thuần nhất a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 + + + = + + + = + + + = 2. Ker f là một không gian con của E. 3. Nếu r(A)=r và r hàng và r cột đầu là các cột và hàng cơ sở của A khi đó dim(Kerf)=n-r và một cơ sở của Kerf là hệ n-r nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất. x x x x r r r rr + + + + = 1 1 1 2 1 1 1 0 0 = + + + + 0 1 0 2 22 21 2 rr r r r x x x x x x x x n n n rn = 1 2 0 0 1 với x k =(x 1k ,x 2k , ,x rk ) k=r+1,r+2, ,n , là nghiệm của hệ: =+++ =+++ =+++ rkrrrrr krr krr axaxaxa axaxaxa axaxaxa 2211 22222121 11212111 Hệ quả : dim(Imf)+dim (Ker f)=n 5.3 Đẳng cấu của hai không gian tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng trờng K. 1. Toàn cấu 186 [...]... đẳng cấu và có ma trận A-1 4 Không gian véc tơ đối ngẫu a Không gian các ánh xạ tuyến tính L(E,F) Với E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng K, gọi tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là:L(E,F) Hệ quả 1 Với các phép toán (f+g) và (f), L(E,F) là một không gian tuyến tính trên trờng K với phần tử không là ánh xạ đồng nhất không: (x)=,xE, phần tử đối của f(x) là -f(x) 2 Nếu dim(E)=n,... là đơn cấu không? 21 Cho các ánh xạ: 1 2 f: M2x2 M2x2 với f(X)= 2 4X a b a + d b + c g:M2x2 D2x2 với g c d = b + c a d Tìm một cơ sở của Im(gof) và một cơ sở của Ker(gof), gof có là toàn cấu không? 22 Cho các ánh xạ tuyến tính: f: R4R3 với f(x,y,z,u)=(x+y+z,x+y+u,y+z+u) g: R3R2 với g(x,y,z)=(x-y,y+z) Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g) 23 Cho các ánh xạ tuyến tính: f: R2R3 với f(x,y)=(x+2y,x-y,2x+y)... ,f(en)} độc lập tuyến tính suy ra x1=y1, ,xn=yn hay x=y Vậy f là đơn ánh c Nếu {f(e1), ,f(en)} là cơ sở nên theo a nó là hệ sinh do đó f là toàn ánh, theo b nó độc lập tuyến tính nên f là đơn ánh, do đó f là đẳng cấu d Hiển nhiên 17 Nếu B=(bij)nxm hiển nhiên nó là chuyển vị của BT=(bji)mxn, nên phép lấy chuyển vị là toàn ánh Nếu A=(a ij)mxn=B=(bij)mxn, thì AT=BT nên phép lấy chuyển vị là đơn ánh, vậy nó... cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó 3 Ký hiệu Mnxm là không gian các ma trận cấp nxm trên R Xét các ánh xạ xác định nh sau: 2 0 2 a f:M3x2M2x2: f(X)= 0 1 1 X 1 2 2 X 7 b f:M2x2M3x2:f(X)= 0 2 1 1 2 8 c f:M2x2M2x2: f(X)= 4 2 X Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và Ker(f) Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó 4 Cho ánh xạ f: P3(t)P1(t) xác định bởi:... của E, ký hiệu: W={i(x1,x2, ,xn)=xi} (i=1,2, ,n) Định lý: Tập W gồm n ánh xạ tuyến tính i: EK là cơ sở của không gian đối ngẫu E*, hay dim(E*)=n Khi đó ta gọi W là cơ sở đối ngẫu của U Trờng hợp E= Rn đối ngẫu của Rn là L(Rn,R) gồm mọi phiếm hàm tuyến tính từ Rn vào R Xét cơ sở chính tắc I={ e 1,e2, ,en} của Rn và gọi P là tập các ánh xạ: P={pi (x1,x2, ,xn)=xi ,i=1,2,,n} là phép chiếu thứ i trong Rn Theo... do đó mọi phiếm hàm tuyến tính trên E đều biểu diễn duy nhất qua hệ P các phép chiếu B Bài tập 1 Tìm cơ sở của dim(f) và Ker(f) của các ánh xạ tuyến tính sau: a f(x,y,z)=(2x+3y-z,y+z,2x+4y) b f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z) c f(x,y,z)=2x-3y+5z d f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y) e f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y) f f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y) Phân loại toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu của các ánh xạ đó 2 Cho : f(x1,x2,... tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính trong R3 biến các véc tơ {a1,a2,a3}thành các véc tơ {b1,b2,b3} Tìm ma trận của các ánh xạ trong cơ sở chính tắc của R 3 Tìm dim(Imf) và dim(Ker(f)) của các ánh xạ đó a {a1=(1,2,1), a2=(-1,0,2) a3=(2,0,0)} {b1=(0,1,2), b2=(1,-1,2),b3=(1,2,0)} b {a1=(1,-1,2), a2=(-2,0,-2), a3=(2,0,1)} {b1=(0,-1,6), b2=(1,-4,2),b3=(1,2,-1)} 6 ánh xạ f trong cơ sở a1=(1,2),a2=(1,-1)... f(Pn(t))=P(k)n(t) 1kn-1 b f(Pn(t))=(t-1) Pn(t) Chứng minh rằng f không là đơn cấu cũng không là toàn cấu Tìm ma trận của f, Im(f) và Ker(f) 12 Trên P2(t) các ánh xạ sau ánh xạ nào là tự đồng cấu, ánh xạ nào là tự đẳng cấu? Tìm ma trận của các ánh xạ đó a f(a0+a1t+a2t2)=a0+(a0+a1)t+(a0+a1+a2)t2 b f(a0+a1t+a2t2)=1+(a0-1)t+(a1-1)t2 c f(a0+a1t+a2t2)=(2a0)+(a0+2a1)t+(a0+a1+2a2)t2 d f(a0+a1t+a2t2)= (a0+a1)t+2a2t2... toàn ánh hay Im(f)=F Định lý: f là toàn cấu r(f)=dim(F) Hệ quả : Nếu f có ma trận A, f là toàn cấu r(A)=dim(F) 2 Đơn cấu Định nghĩa: f: EF đợc gọi là đơn cấu nếu nó là một đơn ánh hay từ f(x)=f(y)x=y Định lý: f: EF là một đồng cấu giữa hai không gian tuyến tính hữu hạn chiều Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng: 1 f là đơn cấu 2 Ker(f)= { } 3 ảnh của mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính là một hệ độc lập tuyến. .. e4= 1 1 5.4 Tự đồng cấu và phép chuyển cơ sở Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K 1 Không gian các tự đồng cấu L(E,E) Tập các tự đồng cấu L(E,E)={f: EE} với các phép toán : f+g (x)=f(x)+g(x) xE 206 (tf)(x)= t.f(x) tK là một không gian tuyến tính trên trờng K a Tính chất Cho f,g,h,I L(E,E) trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên E và tK Khi đó ta có: 1 t.(gof)=(tg)of 2 foI=Iof 3 (f+g)oh=foh+goh . (gof)(x)=g(f(x)) Tổng các ánh xạ tuyến tính, tích một số với một ánh xạ tuyến tính, và tích các ánh xạ tuyến tính đều là các ánh xạ tuyến tính. 3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Cho I={e 1 ,e 2 ,. Chơng 5 ánh xạ tuyến tính 5.1 ánh xạ tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng K. ánh xạ f: E F đợc gọi là ánh xạ tuyến tính, một. dạng tuyến tính, hoặc phiếm hàm tuyến tính. 2. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính f: E F và g: E F Phép cộng: (f+g)x=f(x)+g(x) Phép nhân với một số: (f)x=f(x) Tích của các ánh xạ tuyến tính