Bao đầy đủ của vành và môđun

1 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh tr-ơng đức bao đầy đủ vành môđun chuyên ngành: đại số & lý thuyết số mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dẫn khoa học: ts ngun thÞ hång loan Vinh - 2009 Mục lục Trang Mở đầu Chương I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại 1.2 Các phép toán iđêan 1.3 Không gian tôpô 1.4 Giới hạn ngược 1.5 Vành địa phương 1.6 Căn Jacobson 10 1.7 Môđun hữu hạn sinh 10 1.8 Môđun Noether 10 1.9 Môđun phẳng 11 Ch-ơng II Bao đầy đủ Vành môđun 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Bao đầy đủ I adic 14 2.3 Mét sè tÝnh chÊt……………………………………………… 16 KÕt luËn …………………………………………………………………………… 28 Tài liệu tham kho 29 Mở đầu Bao đầy đủ vành môđun đà đ-ợc nhiều nhà toán học giới Krull, Zariski, I.S Cohen quan tâm nghiên cứu Cho A vành, M A - môđun, tập định h-ớng Giả sử M họ môđun M đ-ợc số hoá  cho nÕu    th× M   M  Ta lÊy M   nh- hệ lân cận Khi M trở thành nhóm tôpô phép cộng Trong tôpô này, với x M hệ lân cận x x M   Trong M , phÐp céng, phÐp trõ phép nhân với vô h-ớng x ax với a A ánh xạ liên tục Khi M A M iđêan nên phÐp nh©n: (a  M  )(b  M  ) ab M ánh xạ liên tục Tôpô đ-ợc gọi tôpô tuyến tính M tôpô tách (tức Hausdorff) tuyến tính tự nhiên : M  ng-ỵc M M M M M   Víi    ta cã mét ¸nh xạ M Do xây dựng hệ ; A - môđun Khi giới hạn ng-ợc lim M M đ-ợc gọi bao đầy ®đ cđa M vµ ký hiƯu lµ Mˆ Cho : M M ánh xạ A - tuyến tính tự nhiên Khi ánh xạ liên tục ( M ) trù mật M Với phép chiếu p : M M M , đặt ker pr M * DƠ thÊy r»ng t«p« cđa Mˆ trïng víi t«p« tun tính xác định họ M * Vì p toàn ánh nên M M * M M bao đầy đủ M lại trùng với M Nếu : M M đẳng cấu ta nói môđun M đầy đủ (theo tôpô đà cho) Khi M A M M , trở thành hệ ng-ợc vµnh, Mˆ  Aˆ lµ mét vµnh vµ  : A A đồng cấu vành M * A A - môđun nh-ng lại iđêan A Trong số tôpô tuyến tính tôpô đ-ợc xác định iđêan đặc biệt quan trọng Cho I iđêan A M A - môđun, tôpô M xác định I n M n1,2 đ-ợc gọi tôpô I - adic Với tôpô A M A M t-ơng ứng đ-ợc gọi bao đầy đủ I - adic cđa A vµ M DƠ thÊy r»ng M A - môđun Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày cách có hệ thống bao đầy đủ A M vành A môđun M Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đ-ợc chia thành ch-ơng Để dễ theo dõi nội dung luận văn, ch-ơng trình bày (không chứng minh) kiến thức sở Đại số giao hoán Tôpô liên quan đến kết chứng minh ch-ơng sau Trong Ch-ơng 2, trình bày nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày khái niệm chứng minh số tính chất bao đầy đủ A M vành A môđun M Luận văn đ-ợc hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh nhờ h-ớng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành biết ơn sâu sắc tới cô, ng-ời đà tận tình giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Chúng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số lý thuyết số đà giảng dạy bảo vấn đề liên quan đến đề tài nghiên cứu Chúng xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học Vinh, tr-ờng THPT 1-5 Nghĩa Đàn, đồng nghiệp, bạn bè bạn học viên lớp Cao học 15 chuyên ngành Đại số lý thuyết số đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, ngày 05 tháng 12 năm 2009 Tác giả: Tr-ơng Đức Thanh Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc lại số kiến thức sở Đại số giao hoán tôpô liên quan đến chứng minh ch-ơng Sau ta xét vành l giao hoán, có đơn vị, Noether 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại Định nghĩa Cho I iđêan vành A Khi (i) I đ-ợc gọi iđêan nguyên tố I A víi mäi x, y  A mµ xy  I x I y I (ii) I đ-ợc gọi iđêan cực đại I A không tồn iđêan J A cho J thùc sù chøa I 1.2 C¸c phÐp toán iđêan 1.2.1 Tổng iđêan (i) Cho I , J iđêan vành A Khi ®ã I  J  a  b | a I , b J iđêan vành A đ-ợc gọi tổng hai iđêan I J ; (ii) Cho I j I jS j jS họ tuỳ ý iđêan vành A Khi { a j | a j  I j , a j hầu hết trừ số hữu hạn a j 0} jS iđêan vành A đ-ợc gọi tổng họ iđêan I j jS 1.2.2 Định nghĩa Cho I , J iđêan vành A Nếu I  J  A th× ta nãi I , J nguyên tố 1.2.3 Tích iđêan Cho I , J iđêan vành A Khi kí hiệu IJ iđêan sinh tất phần tử dạng ab , a  I , b  J Tøc lµ n  IJ   aibi |  I , bi  J , n    i Iđêan IJ đ-ợc gọi tích iđêan I J Đặc biệt, cho I iđêan A n m I n   ai1 ai2 ain | j  I , m    i 1  1.2.4 §Þnh lý NÕu I1 , I , , I n iđêan đôi nguyên tố th× A I1 I n  A I1   A I n 1.3 Kh«ng gian t«p« 1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp ( X , ) , X tập hợp, họ tập X thoả m·n: (i)  , X  ; (ii) U ,V   U  V  ; (iii) U t  , t  T  tT U t  1.3.2 Định nghĩa Cho X Y không gian tôpô ánh xạ f : X Y đ-ợc gọi liên tục x0 X , nÕu víi mäi l©n cËn V cđa f ( x0 ) Y , tồn lân cận U x0 cho f (U )  V NÕu f liên tục phần tử x X , f đ-ợc gọi liên tục X 1.3.3 Định lý Giả sử f : X Y g : Y Z ánh xạ liên tục không gian tôpô Khi ánh xạ hợp thành h g f :X Z liên tục 1.3.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, A, B X , A , B bao đóng A, B X A, B gọi tách đ-ợc A B A B 1.3.5 Định nghĩa Không gian tôpô ( X , ) đ-ợc gọi T1 - không gian, với hai phần tử khác x, y  X , tån t¹i tËp më U chứa x nh-ng không chứa y 1.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc gọi T2 - không gian không gian Hausdorff, với cặp x, y  X , x  y , th× tồn lân cận U x , V cña y cho: U  V   1.3.7 Định lý Nếu X T2 - không gian X T1 - không gian 1.3.8 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc gọi T3 - không gian không gian quy, X T1 - không gian với phần tử x X , mäi tËp F ®ãng, cho x  F , tồn tập mở U ,V cho mäi phÇn tư x U , F  V U V 1.3.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc gọi T4 - không gian không gian chuẩn tắc, X T1 - không gian với hai tập đóng rời A, B tồn tập mở U ,V cho U  A , V  B , U V 1.3.10 Định nghĩa Giả sử ( X , ) không gian tôpô, M tập X Đặt:  M  V  M  U : U Khi M tôpô M Cặp ( X , M ) đ-ợc gọi không gian ( X , ) ; M đ-ợc gọi tôpô cảm sinh 1.3.11 Định nghĩa Giả sử quan hệ t-ơng đ-ơng không gian tôpô X Gọi X tập lớp t-ơng đ-ơng, i : X X ánh xạ th-ơng, tức ánh xạ xác định i( x) x , x lớp t-ơng đ-ơng chứa x Tôpô xác định ánh xạ i đ-ợc gọi tôpô th-ơng Đó tôpô mạnh X  cho i liªn tơc TËp X  víi tôpô th-ơng đ-ợc gọi không gian th-ơng 1.3.12 Mệnh đề Giả sử f : X Y ánh xạ từ không gian th-ơng X vào không gian tôpô Y Khi đó, f liên tục f i : X Y liên tơc 1.3.13 T«p« tun tÝnh Cho A mt vnh, v cho F l mt iđêan ca A cho bt k iđêan I1 , I F th× tồn I F1được chứa I1  I Khi chóng ta có th nh ngha mt tôpô A bi ly  x  I | I F hệ l©n cận điểm x với x  A Chóng ta thấy c¸ch trực tiếp rng tôpô ny vi phép cng v phép nhân ánh xạ liên tc Nói cách khác A l mt vnh tôpô Tôpô mt vnh xây dựng theo cách ny c gi l tôpô tuyến tính Cho M l mt A - môđun, ta nh ngha mt tôpô tuyến tính M theo phng pháp cách thay iđêan bi môđun 1.4 Giới hạn ng-ợc Một tập thứ tự I đ-ợc gọi tập định h-ớng với i, j I tồn k I để i k j k 1.4.1 Định nghĩa Cho I tập định h-ớng Giả sử M i iI họ A môđun với cặp i j có đồng cấu A - môđun ji : M j M i Khi ®ã hä M  i iI cïng víi hä ( ji )i j đ-ợc gọi hệ ng-ợc điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: (i) ii ánh xạ đồng M , với mäi i  I ; (ii) ki   ji kj tức biểu đồ sau giao hoán kj Mk Mj  kj  ji Mi víi mäi i  j k Ta kí hiệu hệ ng-ợc lµ ( M i , ji ) 10 1.4.2 Định nghĩa Giới hạn ng-ợc (hay giới hạn nội xạ) hệ ng-ợc A môđun ( M i , ji ) A - môđun M với họ A - đồng cấu ( fi )iI , ®ã fi : M  M i cho điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: (i) ji f j  fi , tøc biĨu ®å sau giao ho¸n fj Mj M  ji fi Mi víi mäi i  j ; (ii) NÕu M ' lµ A - môđun M với họ A - ®ång cÊu ( gi )iI , ®ã gi : M '  M i tho¶ m·n  ji g j  gi , tøc biĨu ®å sau giao ho¸n gj Mj M  ji gi Mi víi mäi i j , tồn A - ®ång cÊu  : M '  M cho fi   gi víi mäi i  I 1.4.3 Định lý Giới hạn hệ ng-ợc A - môđun ( M i , ji ) tồn sai khác đẳng cấu Ng-ời ta kí hiệu giới hạn ng-ợc limM i 1.4.4 Nhận xét Trong tr-ờng hợp tập định h-ớng tập số tự nhiên, hä M  n n0 cïng hä ®ång cÊu (n : M n  M n1 )n1 lµ mét hƯ ng-ợc, viết gọn ( M n ,n ) Cịng cÇn l-u ý r»ng  ji : M j M i với j i đ-ợc hiểu lµ  ji  i 1  j 1 j 17 lân cận phần tử tuỳ ý r  A gåm c¸c líp ghÐp r  I t với t 0,1,2 Khi vành đầy đủ A theo tôpô đ-ợc gọi bao ®Çy ®đ I - adic cđa A ký hiƯu bëi A Theo Nhận xét 1.4.4, tr-ờng hợp A đ-ợc định nghĩa cách thông th-ờng theo ngôn ngữ dÃy Cauchy nh- sau: Một dÃy Cauchy A dÃy rn phÇn tư cđa A cho víi mäi t  , tồn số tự nhiên n0 để rn  rm  I t víi mäi n, m  n0 DÃy rn đ-ợc gọi hội tơ vỊ d·y kh«ng nÕu víi mäi t  tồn số tự nhiên n0 để rn  rn  I t víi mäi n  n0 Hai d·y Cauchy  rn  vµ  sn đ-ợc gọi t-ơng đ-ơng, ký hiệu rn  nÕu d·y (rn  sn ) héi tơ vỊ dÃy không Khi quan hệ sn tập dÃy Cauchy quan hệ t-ơng đ-ơng Ta ký hiệu A tập lớp t-ơng đ-ơng c¸c d·y Cauchy Chó ý r»ng nÕu  rn  sn dÃy Cauchy d·y (rn  sn ) , (rn sn ) còng dÃy Cauchy lớp t-ơng đ-ơng d·y (rn  sn ) , (rn sn ) lµ không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy rn  vµ  sn  , tøc lµ nÕu (rn ) (rn ') (sn ) ( sn ') (rn  sn ) (rn ' sn ') vµ (rn sn ) (rn ' sn ') V× thÕ Aˆ đ-ợc trang bị hai phép toán ; với hai phép toán này, A lập thành vành Mỗi phần tử r A đồng với lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy mà tất phần tử dÃy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành A A r (r ) , (r ) dÃy mà tất phần tử r 18 Cho I iđêan A M A - môđun, tôpô M xác định I n M n1,2 đ-ợc gọi tôpô I - adic Với tôpô M đ-ợc gọi bao đầy đủ I - adic M Dễ thấy M A - môđun: với    a1, a2 ,   Aˆ víi an  A / I n vµ    x1, x2   Mˆ víi xn  M / I n M (víi mäi n ), ta cã a   a1x1, a2 x2 ,   Mˆ Ta gọi M bao đầy đủ I - adic M dÃy ( xn ) phần tư cđa M tho¶ m·n xi  xi1  I i M với i , tồn nhÊt x  M cho x  xi  I i M víi mäi i Mét d·y ( xn ) đ-ợc gọi dÃy Cauchy M với số nguyên d-ơng r tồn số tự nhiên n0 cho xn1 xn  I r M víi n  n0 Khi ®ã phÇn tư cđa bao ®Çy ®đ I - adic M dÃy Cauchy có giới hạn 2.3 Một số tính chất 2.3.1 Định lý Cho A vành, M A - môđun với tôpô tuyến tính N môđun M Ta có N không gian tôpô M N không gian tôpô th-ơng Khi ®ã: (i)  Nˆ  Mˆ   M N  lµ mét d·y khíp vµ Nˆ lµ bao ®ãng cña  ( N ) Mˆ , : M M ánh xạ tự nhiên (ii) Nếu tôpô M xác định dÃy giảm môđun M1 M  th×  Nˆ  Mˆ   M N khớp, nói cách khác  M N   Mˆ Nˆ Chøng minh (i) Giả sử M A - môđun tôpô tuyến tính xác định họ môđun M Cho N môđun M bao đóng N N M đ-ợc xác ®Þnh bëi 19 N  (N  M ) ThËt vËy, x  N  ( x  M  )  N   ,   x  N  M  ,  Ký hiÖu M ' ảnh M môđun th-ơng M N Tôpô th-ơng M N tôpô tuyến tính xác định M ' Thật vậy, cho G M nghịch ảnh G ' M N G ' tập mở tôpô th-ơng M N G mở M , nghĩa là, với x G tồn môđun M cho x M G Điều có nghĩa với x ' G , tån t¹i M ' cho x ' M '  G ' Do ®ã ®iỊu kiƯn M N rời rạc có nghĩa M ' tøc lµ  ( N  M  ) N , hay nói cách khác, N đóng M Hơn nữa, không gian tôpô N tôpô tuyến tính xác định N M Đặt M N M ' Khi ®ã  N (N  M )  M M  M ' M '  M (N M ) dÃy khớp Vì hàm tử giới hạn ng-ợc khớp trái nên lấy giới hạn ng-ợc dÃy khớp ta đ-ợc dÃy sau khíp  Nˆ  Mˆ   M N Ta xem N môđun M cách với M N đ-ợc biểu diễn phần tử N , nghĩa là, ( N ) M * với Do N bao đóng ( N ) Mˆ (ii) Nãi chung th× đồng cấu M M N không toàn ¸nh nh-ng nã lµ toµn ¸nh nÕu   1,2,  ThËt vËy, ®ã M N   lim M  N  M n  20 cho bëi  '   '1, '2 ,    M N  víi  'r  M ( N  M n ) Cho x1  M nghịch ảnh '1 y2 M nghịch ảnh '2 Khi ®ã y2  x1  N  M1 , nªn ta cã thÓ viÕt y2  x1  t  m1 víi t  N vµ m1  M Đặt x2 y2 t x2 nghịch ¶nh cña  '2 tho¶ m·n x2  x1  M1 T-ơng tự ta chọn nghịch ảnh xn  M cđa  'n víi mäi n  1,2, , ta cã xn1  xn  M n Đặt n M M n ảnh xn 1,2 , phần tư cđa lim M M n  Mˆ Gi¶ sử M N hai A - môđun với tôpô tuyến tính cho f : M N ánh xạ tuyến tính liên tục Nếu tôpô M N đ-ợc cho {M } {N } với , tồn t¹i   cho M   f 1 ( N ) Gäi  : Mˆ  N N ánh xạ hợp thành M M M *  N N , ®ã Mˆ  M M * ánh xạ tự nhiên ánh xạ M M * N N đ-ợc cảm sinh bëi f Ta thÊy r»ng  kh«ng phơ thc vào cách chọn M f ( N ) Tõ ®ã víi    ' ta kÝ hiÖu   ' : N N N N ' ánh xạ tự nhiên Dễ dàng thấy đ-ợc ' ' Do có ánh xạ tuyến tính liên tục f : M N xác định ( ) biểu đồ sau giao hoán (với cột ánh xạ tự nhiên) f M N f M N 21 Hơn f đ-ợc xác định sơ đồ tính liên tục T-ơng tự, A B vành với tôpô tuyến tính f : A B đồng cấu vành liên tục f cảm sinh đồng cấu vành f : A B 2.3.2 Định lý Cho A vành, I iđêan, M A - môđun (i) Nếu A vành đầy đủ I - adic th× I  rad ( A) (ii) Nếu M môđun đầy đủ I - adic a I phép nhân a tự đẳng cấu M Chứng minh (i) Víi a  I th×  a  a  a3  héi tô A nghịch đảo a , a phần tử khả nghÞch cđa A Suy I  rad ( A) (ii) Do M A -môđun a phần tử khả nghịch A nên ta có điều cần chứng minh Định lý sau đ-ợc gọi Bổ đề Hensel 2.3.3 §Þnh lý Cho ( A , M , k ) vành địa ph-ơng giả sử A vành đầy đủ M - adic Cho F ( X ) A X đa thức với hƯ tư cao nhÊt b»ng vµ F  k X đa thức nhận đ-ợc từ F cách thu gọn hệ tử F theo môđun M NÕu g , h  k  X đa thức với hệ tử cao b»ng cho ( g , h)  F gh tồn đa thức G , H víi hƯ tư A vµ hƯ tö cao nhÊt b»ng cho F  GH , G  g vµ H  h Chøng minh Gi¶ sư G1 , H1  A X  cho g  G1 , h  H1 th× F  G1H1 mod M  X  Gi¶ sử theo quy nạp đa thức với hệ tử cao Gn , H n đ-ợc x©y dùng cho F  Gn H n mod M n  X  vµ Gn  g , H n  h th× ta cã thĨ viÕt F  Gn H n  iU i ( X ) , víi i M n vµ degU i  deg F 22 Tõ ( g , h)  ta tìm đ-ợc vi , wi k  X  cho U i  gvi  hwi Thay thÕ vi bëi phÇn d- cđa h t-ơng tự với wi ta giả sử deg vi  deg h th× deg hwi  deg(Ui  gvi )  deg F , deg wi  deg g Chän Vi , Wi  A X  cho Vi  vi , degVi  deg vi , Wi  wi , degWi  deg wi đặt Gn1 Gn iWi , H n1  H n  iVi ta cã F  Gn1H n1 mod M n+1  X  Chóng ta xây dựng dÃy đa thức Gn , H n với n 1,2 theo cách tồn lim Gn G lim H n H thoả mÃn F GH , rõ rµng G  G1  g , H  H1 h 2.3.4 Định lý Cho A vành, I iđêan A , M A môđun Giả sử A vành đầy đủ I - adic M tách đ-ợc tôpô I - adic Nếu M IM A I - môđun đ-ợc sinh , ,n i M nghịch ảnh tuỳ ý i M M A - môđun đ-ợc sinh bëi 1 , ,n Chøng minh Theo gi¶ thiÕt ta M   Ai  IM cã M   Ai  I ( Ai  IM ) = Ai I M t-ơng tự nªn ta cã M   Ai  I v M víi v  Víi bÊt kú  M đặt aii , 1  IM th× 1   ai,1i  2 víi ,1  I vµ 2  I M chọn theo trình với ,v I v v I v M thoả mÃn v   ,vi  v1 víi v  1,2 th× ta cã  ,1  ,2  héi tô A NÕu ®Ỉt bi   ,1  ,2  th×    bii  I v M v Định lý sau đ-ợc gọi Bổ đề Artin Rees 23 2.3.5 Định lý Cho A lµ mét vµnh Noether, M lµ mét A - môđun hữu hạn sinh, N môđun M I iđêan A Khi tồn số nguyên d-ơng c cho n  c th× I n M  N  I n c ( I c M  N ) Chøng minh Ta cã I n M  N  I nc ( I c M  N ) hiển nhiên Ta chứng minh bao hàm thức ng-ợc lại Giả sử I đ-ợc sinh r phần tử a1 , , ar M đ-ợc sinh s phần tử , ,s , phÇn tư cđa I n M cã thĨ viÕt  s fi (a)i , ®ã fi ( X )  fi ( X1 , , X r ) đa thức bậc n với hệ tö A Gäi B  A[ X , , X r ] víi n  th× tËp J n  {( f1 , , f s ) B s | f i đa thức bậc n Cho C B s B - môđun sinh n s fi (a)i  N} J n Do B Noether, C B - môđun hữu hạn sinh nên C j Bu j , với u j tổ hợp tuyến tính t phần tử J n Vì C đ-ợc sinh hữu hạn phần tử cđa J n Gi¶ sư C  Bu1   But , ®ã u j  (u j1 , , u js )  J dj víi j t Đặt C maxd1 , , dt  B©y giê nÕu   I n M  N , cã thÓ viÕt    fi (a)i víi ( f1 , , f s ) J n ( f1 , , f s )   p j ( X )u j víi p j  B  A X , , X r  ®ã ( f1 , , f s ) vectơ đa thức bậc n nên số hạng sau n triệt tiêu lẫn Vì giả sử p j ( X ) u i bậc ji n  dj (a)i  I dj M  N Khi víi   I nc ( I c M  N ) víi n  c ®ã    fi (a)i   j p j (a)i u ji (a)i n c, p j (a)  I nc I cdj Từ suy 24 2.3.6 Định lý Với ký hiệu nh- định lý trên, tôpô I - adic N trùng với tôpô cảm sinh tôpô I - adic M không gian N M Chứng minh Theo Định lý 2.3.5 tồn số nguyên d-ơng c cho víi n  c ta cã I n N  I n M  N  I nc N Tôpô N nh- không gian M tôpô tuyến tính xác định I n M N n1,2, công thức cho ta xác định tôpô I n N n1,2, 2.3.7 Định lý Cho A vành Noether, I iđêan, M A -môđun hữu hạn sinh Kí hiệu M , A bao đầy ®đ I - adic cđa M vµ A Khi ®ã M  A Aˆ  Mˆ Do ®ã A vành đầy đủ I -adic M môđun đầy đủ I - adic Chứng minh Theo Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.6, ta có đầy đủ I - adic chuyển dÃy khớp A - môđun hữu hạn sinh thành dÃy khớp Cho A p   Aq   M  dÃy khớp, ta có biểu đồ sau giao ho¸n:  Aˆ q   Aˆ p    Mˆ  0  A p  Aˆ   Aq  Aˆ   M  A với hàng dÃy khớp Trong đó, , , ánh xạ tự nhiên Do đầy đủ giao hoán với tổng trực tiếp ta có , phép đẳng cấu, phép đẳng cấu Từ ta có điều phải chứng minh 2.3.8 Định lý Cho A vành Noether, I iđêan, A bao đầy đủ I - adic A Khi A phẳng A 25 Chứng minh Theo Định lý 1.9.4 ta cần chứng minh a A A đơn cấu với iđêan a A Thật vậy, a A a theo Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.6 ta có a A đơn cấu Từ ta có điều phải chứng minh 2.3.9 Định lý Cho A vành Noether, I iđêan, M A môđun hữu hạn sinh Đặt n I n M N Khi tồn a A cho a  mod I vµ aN  Chứng minh Theo Bổ đề Nakayama, ta cần chøng minh r»ng N  IN Theo bỉ ®Ị Artin-Rees th× I n M  N  IN víi n đủ lớn Khi theo định nghĩa N th× I n M  N trïng víi N Do IN N Định lý sau th-ờng đ-ợc gọi Định lý giao Krull 2.3.10 Định lý (i) Cho A lµ mét vµnh Noether, I lµ iđêan A cho I rad ( A) Khi A - môđun hữu hạn sinh với tôpô I -adic tách đ-ợc môđun tập đóng; (ii) Nếu A miền nguyên Noether I iđêan thực A I n (0) n Chứng minh (i) Trong tr-ờng hợp theo định lý trên, phần tử a khả nghịch A nên N M tách đ-ợc Nếu M ' môđun M M M ' I -adic tách đ-ợc Do ta cã M ' ®ãng M (ii) Theo định lý cho M A , I ta có a a không -ớc nên ta có N 2.3.11 Định lý Cho A vành Noether, I , J iđêan A M A - môđun hữu hạn sinh, kí hiệu ^ bao đầy đủ A - môđun theo tôpô I -adic, : M M ánh xạ tự nhiên Khi JM JMˆ  bao ®ãng cđa  ( JM ) Mˆ vµ ( M JM )  Mˆ JMˆ 26 Chứng minh Theo Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.6, ta có JM hạt nhân ®ång cÊu Mˆ  ( M JM ) vµ nã b»ng bao ®ãng cđa  ( JM ) Mˆ theo Định lý 2.3.1 Khi giả sử J 1 A vµ  : M r  M xác định r (1 , ,r ) aii th× d·y   M r  M  M JM dÃy khớp, ánh xạ tự nhiên DÃy đầy đủ I -adic ˆ ˆ Mˆ r  Mˆ (M JM )  dÃy khớp Trong xác định c«ng thøc (1 , ,r )   aii gièng nh-  V× vËy  JM   ker (ˆ )  Im(ˆ )   a Mˆ  JM i Theo Ví dụ 1.4.4 bao đầy ®ñ ( X , , X r ) - adic vành đa thức A[ X , , X n ] A đồng với vành chuỗi luỹ thừa hình thức A X , , X n  Sư dơng ®iỊu ta có định lý sau 2.3.12 Định lý Cho A lµ mét vµnh Noether vµ I  (a1 , , an ) iđêan A Khi ®ã bao ®Çy ®đ I - adic Aˆ cđa A ®¼ng cÊu víi A  X , , X n  ( X  a1 , , X n an ) Vì A vµnh Noether Chøng minh Cho B  A[ X , , X r ] đặt I '  X i B , J   ( X i ) B B J A tôpô I ' - adic A xem nh- B - môđun B J trùng với tôpô I - adic A Bây gọi ^ bao đầy ®đ I ' - adic cđa B - m«®un ta cã: Aˆ  Bˆ Jˆ  Bˆ JBˆ  A  X , , X n  ( X  a1, , X n  an ) 2.3.13 Định lý Cho A vành Noether, I iđêan, M A môđun hữu hạn sinh M bao đầy đủ I - adic M Khi tôpô 27 M t«p« I - adic cđa Mˆ xÐt nh- mét A - môđun tôpô IA - adic M xét nh- A - môđun Chứng minh Nếu có M n* hạt nhân ánh xạ từ Mˆ  lim(M I n M ) ®Õn M I n M , tôpô M đ-ợc xác định M n* Do ta cần chứng minh r»ng M n*  I n Mˆ Do M I n M rời rạc theo tôpô I - adic nªn ( M I n M )  M I n M hạt nhân đồng cấu M  ( M I n M ) lµ I n M theo Định lý 2.3.11 Vì M n* I n M Mặt khác I n M ta cã thĨ viÕt lµ ( I n Aˆ ) Mˆ I n A ( IA )n nên tôpô M tôpô IA - adic 2.3.14 Định lý Cho A lµ mét vµnh Noether, I lµ mét iđêan A Nếu xét vành A với tôpô I - adic mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (i) I rad ( A) ; (ii) Mỗi iđêan A tập đóng; (iii) Bao đầy đủ I - adic A A hoàn toàn phẳng A Chứng minh (i) (ii): Hiển nhiên (ii) (iii): Do A phẳng A , nên cần chứng minh với iđêan cực đại M A M A A Theo giả thiết, đóng A nên ta giả sử A A theo Định lý 2.3.11 M A bao đóng M A Mặt khác, M đóng A nªn M Aˆ  A  M V× vËy M Aˆ  Aˆ (iii)  (i): Theo Định lý 1.9.8 ta có với iđêan cực đại M A M A A M Mặt khác M A A tập đóng theo Định lý 2.3.2 Do ánh xạ tự nhiên A A liên tục, M M Aˆ  A ®ãng A NÕu I  M th× I n  M  A , víi n nên ta có M tập đóng Suy IM 28 Nếu điều kiện t-ơng đ-ơng định lý thoả mÃn vành tôpô A đ-ợc gọi vành Zariski I iđêan định nghĩa A Iđêan định nghĩa xác định không 2.3.15 Hệ Cho A vành Zariski A đầy đủ A (i) A vành A (ii) T-ơng ứng M M A song ánh từ tập ( A) tất iđêan cực đại A đến ( A ) ta có A M Aˆ vµ M Aˆ  A  M ˆ MA Mét vÝ dơ quan träng nhÊt cđa vành Zariski vành Noether địa ph-ơng ( A, M ) víi t«p« M -adic Th«ng th-êng, nãi đầy đủ vành địa ph-ơng ng-ời ta th-ờng nói theo nghĩa đầy đủ theo tôpô M - adic, ngoại trừ tr-ờng hợp đặc biệt khác 2.3.16 Định lý Cho A vành nửa địa ph-ơng với iđêan cực đại M , , M r Đặt I rad ( A)  M 1.M M r Khi ®ã bao đầy đủ I - adic A A phân tích đ-ợc thành tích trực tiếp A A1 Ar Ai AM Ai bao đầy đủ vành địa ph-ơng Ai i Chøng minh Do i  j vµ víi bÊt kú n  , ta cã M in  M nj A Theo Định lý 1.2.4 A I n  A M 1n   A M r , víi n  n Vì lấy giới hạn ta có A lim A I n  (lim A M 1n )   (lim A M rn ) Gäi Ai địa ph-ơng hoá A M i Do A M in vành địa ph-ơng nên A M in  ( A M in )m  ( Ai M i Ai )n i Do ®ã lim A M in cã thĨ ®ång nhÊt víi Aˆi 29 2.3.17 NhËn xÐt Cho ( A, M ) lµ mét vành địa ph-ơng, Noether Từ kết mục có nhận xét sau (1) n>0 M n (0) (2) Với M A -môđun hữu hạn sinh N môđun M (N M nM ) N n (3) Bao đầy đủ A A hoàn toàn phẳng A Do ®ã A  Aˆ vµ IAˆ  A  I với I iđêan A tr-ờng (4) A vành Noether địa ph-ơng với iđêan cực đại M A thặng d- A tr-ờng thặng d- A , mặt khác A M n A A M n víi mäi n  (5) NÕu A lµ vành địa ph-ơng đầy đủ với iđêan I  A , A I cịng lµ mét vµnh địa ph-ơng đầy đủ 2.3.18 Chú ý (i) Cho A vành đầy đủ Khi tồn iđêan nguyên tố p A cho vành địa ph-ơng hoá Ap vành đầy đủ (ii) Giả sử A, M vành Artin địa ph-ơng Khi A vành đầy đủ Thật vậy, tồn số nguyên t cho M t  (iii) Gi¶ sư  A, M vành địa ph-ơng; A bao đầy đủ M - adic cđa A ; M lµ A - môđun Artin Khi M có cấu trúc tự nhiên nh- A - môđun: với x M an A , an  A , xM n  n đủ lớn nên an x không thay đổi n đủ lớn Vì định nghĩa (an ) x phần tử an x với n đủ lớn Khi tập M A - môđun A - môđun 30 kết luận Dựa vào tài liệu tham khảo [4] [5], tác giả đà tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày cách có hệ thống bao đầy đủ A M vành A môđun M Cụ thể, luận văn, tác giả đà trình bày định nghĩa trình bày chứng minh số tính chất bao đầy đủ vành môđun 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ngô Sỹ Thủy (2005), Một số tính chất môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [2] J L Keli (1976), Tôpô đại c-ơng, (Bản dịch tiếng Việt Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh T-ờng dịch, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp xuất năm 1973) Tiếng Anh [3] Atiyah M F and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading, Mass [4] Matsumura H (1970), Commutative algebra, W A Benjamin Inc [5] Matsumura.H (1986), Theory of commutative rings, Cambridge University Press ... A vành địa ph-ơng đầy đủ với iđêan I A , A I vành địa ph-ơng đầy đủ 2.3.18 Chú ý (i) Cho A vành đầy đủ Khi tồn iđêan nguyên tố p A cho vành địa ph-ơng hoá Ap vành đầy đủ (ii) Giả sử A, M vành. .. dÃy khớp 1.5 Vành địa ph-ơng 1.5.1 Định nghĩa (i) Vành A đ-ợc gọi vành địa ph-ơng có iđêan cực đại M Khi vành th-ơng A M tr-ờng đ-ợc gọi tr-ờng thặng d- vành A (ii) Vành A đ-ợc gọi vành nửa địa... hạn ngược 1.5 Vành địa phương 1.6 Căn Jacobson 10 1.7 Môđun hữu hạn sinh 10 1.8 Môđun Noether 10 1.9 Môđun phẳng 11 Ch-ơng II Bao đầy đủ Vành môđun 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Bao đầy đủ I adic 14