9 10 đề ôn tập môn TOÁN vào lớp 10 CHUẨN (1)

MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT ĐỀ SỐ Câu 1) Cho biểu thức  x −7  x +3 A =  + − ÷ ÷:  x − 2 x + x − x −  x − 10 x ( x > 0, x ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = − 2 3) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên 2 Câu 2) Cho phương trình x − ( m − 1) − m + m − = , với m tham số a) Chứng minh phương trình cho có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x1 , x2 Tìm 3 x  x  m để biểu thức A =  ÷ −  ÷ đạt giá trị lớn  x2   x1  Câu 3) Một ca nơ xi dịng 78km ngược dịng 44 km với vận tốc dự định ca nơ xi 13 km ngược dịng 11 km với vận tốc dự định Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Câu 4) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ( O ) ta kẻ tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến ( O ) cho tia KC nằm hai tia KA, KO Gọi H trung điểm CD a) Chứng minh: điểm A, K , B, O, H đường tròn nằm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Gọi M trung điểm AB Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI ⊥ OB Câu 5) Cho số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≤ xyz + ĐỀ SỐ Câu 1) Cho biểu thức:  ( a + b)   a + 2b3  a ÷  P= − − a ÷ ÷  a − 2b3 a + 2ab + 2b ÷  2b + 2ab    a) Tìm điều kiện a b để biểu thức P xác định Rút gọn biểu thức P 3 b) Biết a = + b = − Tính giá trị P 2 Câu 2) Cho phương trình x + 2mx + m − = , với m tham số Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình a) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A= x1 x2 + x + x22 + ( x1 x2 + 1) Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đôi tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa tăng thêm so với dự định đội tàu phải bổ sung thêm tàu tàu chở http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số hàng  x + my = m + Câu 4) Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ  mx + y = 3m − có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Câu 5) Cho nửa đường trịn ( O; R ) đường kính BC A điểm di động nửa đường trịn Vẽ AH vng góc với BC H Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC nửa đường tròn ( O ) D, E , M AM cắt BC N a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật ·AME = ·ACN b) Tính DE theo R chứng minh D, E , N thẳng BD.CE hàng c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn Câu 6) Cho x, y > x + y ≥ x + y Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ ĐỀ SỐ Câu 1) Cho b > a > Xét biểu thức: P= a − b3 a b − − a −b a+ b b− a a) Rút gọn P http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Biết ( a − 1) ( b − 1) + ab = , tính giá trị biểu thức P Câu 2) Cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) : y = mx + a) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt A, B Gọi x1 , x2 hoành độ ( x1 + x2 ) + x12 + x2 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB điểm A, B Tìm giá trị lớn Q = Câu 3) Một ô tô xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A, B cách 150km, ngược chiều gặp sau 1,5 h Hỏi sau gặp tơ đến B xe máy đến A biết vận tốc xe máy vận tốc ô tô Câu 4) Cho tam giác ABC vuông A AB < AC Gọi H hình chiếu A BC M điểm đối xứng H qua AB Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH điểm P ( P ≠ M ) Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC điểm N ( N ≠ P ) a) Chứng minh HN = MC b) Gọi E giao điểm thứ hai AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC Chứng minh EN song song với BC c) Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC Chứng minh H trung điểm BK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 5) Cho số a, b, c không âm Chứng minh a + b3 + c ≥ a bc + b ca + c ab ĐỀ SỐ Câu 1) Cho biểu thức   6x +   + 3x3 3x P =  − − x  ÷ ÷ ÷ + 3x ÷ x + x + 3 x −    a) Rút gọn P b) Xác định x nguyên cho P nguyên Câu 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có − x2 Gọi ( d ) đường thẳng qua I ( 0; −2 ) có hệ số góc k phương trình y = a) Viết phương trình đường thẳng ( d ) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt A, B k thay đổi b) Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Chứng minh tam giác IHK vuông I 1  x + + y + =  x y  Câu 3) Giải hệ phương trình   xy + =  xy Câu 4) Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn ( O ) ( B, C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Qua A vẽ cát tuyến ADE đường tròn ( IO ) ; D E thuộc đường tròn ( O ) cho đường thẳng AE cắt đoạn thẳng HB I Gọi M trung điểm dây cung DE a) Chứng minh AB = AD AE b) Chứng minh năm điểm A, B, M , O, C thuộc đường tròn c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp d) Trên tia đối tia HD lấy điểm F cho H trung điểm DF Tia AO cắt đường thẳng EF K Chứng minh IK / / DF 1  Câu 5) Cho a, b, c ∈  ;1 Chứng minh rằng: 2  2≤ a+b b+c c+a + + ≤3 1+ c 1+ a 1+ b ĐỀ SỐ  x +3 x +2 x +2   x  + + : − Câu 1) Cho P =  ÷  ÷ ÷ x +1 ÷  x − 3− x x −5 x +6    a) Rút gọn P b) Tìm x nguyên để P < c) Tìm x để Q = nhỏ P Câu 2) Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( m + 5) x − m với m tham số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Chứng minh d cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) giao điểm d ( P ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x1 − x2 Câu 3) Trên quãng đường AB dài 210 m , thời điểm xe máy khởi hành từ A đến B ôt ô khởi hành từ B A Sauk hi gặp xe máy tiếp đến B ô tô tiếp 15 phút đến A Biết vận tốc ô tô xe máy khơng thay đổi suốt chặng đường Tính vận tốc xe máy ô tô Câu 4) Cho dường tròn ( O ) dây cung BC khơng đường kính Gọi A điểm cung lớn BC Các tiếp tuyến B, C ( O ) cắt S Gọi H hình chiếu vng góc C AB M trung điểm CH Tia AM cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai N a) Gọi D giao điểm SA với BC Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp b) Tia SN cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai E Chứng minh CE song song với SA c) Chứng minh đường thẳng CN qua trung điểm đoạn thẳng SD Câu 5) Giải hệ phương trình:  x + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y )     y − 2x − = − 2x MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ĐỀ SỐ ( Câu 1) Giải phương trình: x + x + + x x + = x + x + ) Câu 2) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + = 1+ a 1+ b 1+ c ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) n n  3+   3−  Câu 3) Chứng minh: an =  ÷ ÷ ÷ +  ÷ − số     phương với số tự nhiên lẻ Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD, BE , CF đồng quy điểm H Đường thẳng CH cắt (O ) điểm G khác C GD cắt (O) điểm K khác G a) Chứng minh OA vng góc với EF b) Chứng minh: AK qua trung điểm M DE c) Gọi N trung điểm DF , AN cắt (O ) điểm L khác A Chứng minh điểm M , L, N , K thuộc đường tròn Câu 5) Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ + 2bc + 2ca + 2ab Câu 6) Cho tập hợp M gồm 1009 số nguyên dương đôi khác số lớn M 2016 Chứng minh tập M có hai số, mà số bội số ĐỀ SỐ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 1) Giải phương trình x + x + x + x + x + x + 17 = Câu 2) Tìm ba chữ số tận A = 2662015 Câu 3) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 - y3 = xy + Biết x = b) ( ) 26 + 15 − Tính giá trị biểu thức + 80 + − 80 P = ( 3x − x − 1) 2016 Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O ) Tiếp tuyến A (O ) cắt tiếp tuyến B, C (O ) S , T BT cắt AC E , CS cắt AB F Gọi M , N , P, Q trung điểm BE , CF , AB, AC Đường thẳng BQ, CP cắt (O) giao điểm thứ K , L a) Chứng minh: ∆ABK #∆EBC b) Chứng minh tứ giác PQKL nội tiếp · · c) Chứng minh: BCM = CBN Câu 5) Với n số tự nhiên, n ≥ , cho n số nguyên x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12 + x22 + x23 + + xn2 + n3 ≤ ( 2n − 1) ( x1 + x2 + + xn ) + n Chứng minh rằng: a) Các số xi ( i = 1, 2, , n ) số nguyên dương b) Số x1 + x2 + + xn + n + không số phương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ĐỀ SỐ x+9 = x + Câu 1) Giải phương trình 2 x +1  x + y − y + 11 = Câu 2) Cho số x, y thỏa mãn:  2  x + y ( x − 3) − y − = Tính giá trị P = x3 + y Câu 3) Tìm tất số tự nhiên n để: 22012 + 22015 + 2n số phương Câu 4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB < AC Tiếp tuyến A (O ) cắt BC T Dựng đường kính AD , OT cắt BD điểm E Gọi M trung điểm BC · a) Chứng minh: EOD =·AMC b) Chứng minh: AE / /CD c) Giả sử BE cắt AT điểm F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt OE điểm G khác E Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm (O) Câu 5) Cho tập hợp X = { 1, 4, 7,10, ,100} Gọi A tập tập X mà số phần tử A 19 Chứng minh A có hai phần tử phân biệt mà tổng chúng 104 ĐỀ SỐ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word = = x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) ( xy + yz + zx ) = ( x + y) ( y + z) ( z + x) ( x + y) ( y + z) ( z + x) ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) n n   +  n  − n   3+   3−   ÷ Câu 3) Ta có an =  ÷ ÷ ÷ +  ÷ − =   ÷ ÷ +  ÷ ÷÷           n n  1+   1−  b Xét dãy S n =  ÷ ÷ ÷ +  ÷ , ta chứng minh n số     nguyên Xét x1 =  x1 + x2 = 1− 1+ ta có  suy x1 , x2 hai , x2 = 2  x1.x2 = nghiệm phương trình: x − x − = n +1 n +1 n n n −1 n −1 Ta có S n +1 = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) hay Sn +1 = S n − S n −1 Ta có S1 = 1, S2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 3, S3 = S − S1 = Từ phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh Sn số nguyên Suy an = ( Sn ) số phương Câu 4) a) Ta có · · AEF + OAE = ( ) ·ABC + 1800 − ·AOC = 900 Suy OA ⊥EF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Việc chứng minh trực tiếp AK qua trung điểm DE tương đối khó Để ý đến chi tiết CH cắt đường tròn (O) điểm G ta thấy G , H đối xứng qua AB , hay F trung điểm GH Như ta cần tìm mối quan hệ điểm F điểm M thông qua tam giác đồng dạng Xét tam giác DFH tam giác DAE : Ta thấy · · · · , Ta có ·AED = 1800 − ·ABD = FHD suy DFH = DBH = DAE ∆DFH ” ∆DAE ⇒ HF HD HF HD HG HD = ⇔ = ⇔ = hay EA ED EA ED EA ED HG HD = Từ suy ∆HGD” ∆EAM ⇒ EA EM · · · EAM = HGD = CAK ⇔ AM ≡ AK c) Giả sử cắt đường tròn (O) điểm khác P B BH Tương tự câu a ta có: P đối xứng với H qua AC Suy AG = AH = AP GP ⊥ OA ⊥ EF suy EF / / MN / / GP , giả sử AL cắt GP Q Ta có: · · · · · suy MNA = ·AQP = ·AGQ + QAG = ·APG + QAG = ·AKG + GKL = AKL tứ giác MKNL nội tiếp Câu 5) Để ý rằng: 2xy ≤ x + y Ta lại có: + 2bc = a + ( b + c ) > ; + 2ca = b + ( c + a ) > 0; 2 + 2ab = c + ( a + b ) > http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nên = a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + + 2bc + 2ca + ab + b + c + c + a + a + b a2 b2 c2 1   + + = −3 +  + + 2 2 2 ÷ 1− a − b − c  2− a 2−b 2−c  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được: 1 9 + + ≥ = Từ suy ra: 2 2 2 2−a 2−b 2−c 6−a −b −c a2 b2 c2 + + ≥ −3 + = Chứng minh hoàn tất + 2bc + 2ca + ab 5 đẳng thức xảy a = b = c = ± Câu 6) Vì số nguyên dương m lẻ không vượt 2015 , ta xây dựng tập Am gồm số dạng 2k m , k ∈ ¥ k k 2k m ≤ 2016 Kí hiệu Am = { m | k ∈ ¥ , m ≤ 2016} Với cách xây dựng trên, m ≥ 1009 Am có phần tử m Vì có 1008 số lẻ khơng vượt q 2016 nên có 1008 tập Am Nhận thấy với n nguyên dương bất kỳ, ≤ n ≤ 2016 , ta viết n = 2k m với m số nguyên lẻ, điều cho thấy số nguyên từ đến 2016 thuộc vào 1008 tập Am Nhưng tập M có 1009 phần tử, chắn có hai phần tử M giả sử a, b ( a < b ) thuộc tập Am Khi a = p.m b = 2q.m với p < q , suy b = 2q − p hay b bội a a ĐỀ SỐ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 1) Viết lại phương trình cho thành: (x + x + 1) + x + x + 17 = Đặt t = x + x + 17 ≥ Ta có x + x + = t − 16 phương trình cho viết thành: (t − 16 ) + t − = ⇔ ( t − ) ( t − ) ( t + ) + 1 = Phương trình   t − = có nghiệm t = hay x + x + = ⇔ x = −1 Phương 2 trình ( t − ) ( t + ) + = vơ nghiệm t ≥ Vậy phương tình có nghiệm x = −1 Câu 2) Ta có 62015 = (5 + 1) 2015 ≡ 1(mod 5) ⇒ 2015 = 5k + với k ∈ Z + Suy A = 265m +1 = 26 ( 265 ) Mặt khác để ý rằng: m ( a + b) = a + 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b3 + 5ab + b5 Nếu a M25 ⇒ ( a + b ) ≡ b5 (mod125) suy 265 ≡ 1(mod125) ⇒ A ≡ 26(mod125) ⇒ A = 125m + 26 Dễ thấy AM suy 125m + 26M ⇒ m chẵn ⇒ m = 2r ⇒ A = 250r + 26 = 248r + 24 + 2( r + 1) ⇒ r chia cho dư ⇒ r = p + Hay A = 250 ( p + 3) + 26 = 1000 p + 776 Vậy chữ số tận A 776 Câu 3) a) Ta viết lại phương trình thành: ( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + x − y = a (a, b ∈ Z ) Ta có a + 3ab = b + ⇔ a3 − = −b(3a − 1) Đặt  xy = b  ⇔ a − 8M(3a − 1) ⇔ 27 ( a − ) M3a − ⇔ ( 27 a − 1) − 215M3a − ⇔ 215M3a − Mặt khác ta có 215 = 5.43 suy 3a − = ±1; ±5; ±43; ±215 Cuối ta thay trường hợp để tìm a, b ⇒ x = 2; y = x = 0; y = −2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Ta có 3 26 + 15 = ( ) ( 26 + 15 − = + ( + ) = + Do ) ( − ) = Đặt a = + 3 80 + − 80 ta có: a = 18 + 3a ⇔ a − 3a − 18 = ⇔ a − 27 − 3a + = ⇔ ( a − 3) ( a + 3a + ) = ⇔ a = (vì a + 3a + > ) Vậy 2016 =1 + 80 + − 80 = Suy x = Khi P = ( 3x − x − 1) Câu 4) Phân tích định hướng giải: Ta dễ chứng minh tính chất sau: Tam giác ABC nội tiếp (O ) , tiếp tuyến B C cắt T , AT cắt (O ) · · D , OT cắt BC H Khi ·AHC = ·ABD BAT = HAC (Xem thêm phần tính chất cát tuyến, tiếp tuyến) Trở lại toán: + Áp dụng kết toán ta có: ∆ABK #∆EBC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Từ kết ∆ABK #∆EBC ý rằng: KP, CM trung tuyến tam giác ∆ABK , ∆EBC nên suy · · · · (1) , tương tự CBN (2) = CLQ BCM = BKP · · · + Ta có PLK (do KLBC nội tiếp PQ / / BC ) Từ = QBC = PQB · · suy tứ giác PQKL nội tiếp nên ta có: BKP (3) = CLQ · · Từ (1), (2), (3) ta có: BCM = CBN Câu 5) a) Ta có: x12 + x22 + x23 + + xn2 + n3 ≤ ( 2n − 1) ( x1 + x2 + + xn ) + n ⇔  xn2 − ( 2n − 1) xn + n − n  +  x22 − ( 2n − 1) x2 + n − n  + +  xn2 − ( 2n − 1) xn + n − n  ⇔ ( x1 − n ) ( x1 − n + 1) + ( x2 − n ) ( x2 − n + 1) + + ( xn − n ) ( xn +1 − n + 1) ≤ Mặt khác ( xk − n )  xk − ( n − 1)  tích hai số ngun liên tiếp nên khơng âm, xk = n xk = n − Do n ≥ nên xk số nguyên dương b) Vì x ∈ { n; n − 1} nên n ( n − 1) ≤ x + x + + x ≤ n k n Do n < + n ≤ + n + x1 + x2 + + xn ≤ n + n + < ( n + 1) Suy x1 + x2 + + xn + + n nằm hai số phương liên tiếp nên khơng số phương ĐỀ SỐ Câu 1) Điều kiện x ≥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình tương đương với: x+9 = x+ 2x 9x + 2x + ⇔ − =0 x +1 x +1 x +1 x +1  2x  8x 2x ⇔ − + = ⇔  − 1÷ ÷ =0 x +1 x +1  x +1  ⇔ 2x = ⇔ x = x + ⇔ x = (thỏa mãn) x +1 Câu 2) Ta có: x + y − y + 11 = ⇔ x3 = −3 ( y − 1) − ≤ −8 ⇒ x ≤ −2 (1) x + y ( x − 3) − y − = ⇔ x ( y + 1) = ( y + 1) + y ⇔ x2 = + 2y ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ y2 +1 (2) Từ (1) (2) suy x = −2 , y = Do x3 + y = −7 Câu 3) Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề Khi tồn số nguyên dương k cho 22012 + 22015 + n = k ⇔ 9.2 2012 + n = k ⇔ ( k + 3.21006 ) ( k − 3.21006 ) = n k + 3.21006 = 2a  b −1 a −b 1006 1006 b Suy k − 3.2 = ⇒ 2a − 2b = 3.21007 hay ( − 1) = 3.2  a, b ∈ ¥ , a + b = n  b − = 1006 b = 1007 ⇔ ⇒ n = 2016 Suy  a −b  a = 1009 2 − = Câu 4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Ta có : Tứ giác AOMT nội tiếp nên : ·AOT = ·AMT suy · EOD =·AMC (cùng bù với góc nhau) b) Ta thấy rằng: ∆AMC#∆EOD ( g g) suy AC MC 2MC BC · = = = suy ∆EAD#∆ABC nên EAD = ·ABC , ED OD 2OD AD tam giác ABC nhọn suy O nằm tam giác suy ·ABC = ·ADC (cùng chắn cung AC ) Từ suy EAD · · = ADC suy AE / /CD suy AE ⊥ AC · AE = T· AC − 900 = DAC · c) Từ chứng minh ta có: F Suy · · AE = DAC · · · hay tứ giác FGBT nội tiếp nên FGT =F = DBC = FBT · · · suy GO phân giác góc ·AGB Gọi I TGB = TFB = EGA giao điểm GO với (O) Ta có OA = OB nên AGBO nội tiếp Mặt khác OA = OB = OI nên I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABG Chú ý: Trong phần chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: ‘’Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , ngoại tiếp ( I ) Đường thẳng AI cắt (O ) D DI =DB = DC ’’ Phần chứng minh dành cho em học sinh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 5) Nhận xét tập hợp X có 34 phần tử, phần tử có dạng 3n + với n = 0,1, 2, ,33 Trước hết, ta tìm cặp hai phần tử phân biệt X 3n + 1,3m + cho 3n + + 3m + = 104 ⇔ m + n = 34 Với n = m = 34 > 33 Với n = 17 m = 17 suy hai phần tử Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân biệt 3n + 1,3m + thỏa mãn n + m = 34 ( 4;100 ) , ( 7;97 ) , ( 10;94 ) , , ( 49;55 ) (*) Nếu ta lấy 19 số từ tập X xảy trường hợp “xấu” 16 số mà số thuộc vào 16 cặp (*) thỏa mãn n + m = 34 Vì tập A có 19 phần tử nên thỏa mãn toán (đpcm) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu 1) Ta có x 1− y2 ≤ x2 + − y 2 y + − 3z ; y = − z = y − 3z ≤ ; 2 3z + − x Suy z 15 − 3x = z − x ≤ 2 = x − y + y − z + z 15 − x ≤ x + − y 2 y + − 3z 3z + − x + + = Điều tương đương 2  1− y2 = x 1 − y = x    2 với hệ:  − 3z = y ⇔  − 3z = y Cộng theo vế ba đẳng  5 − x = z 2   − x = z thức ta P = x + y + 3z = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 2) Trước hết ta có nhận xét: Với số nguyên n > n + n +1 < < Áp dụng vào tốn ta có: n n −1 + n   1 1+  + + + ÷ < A 2 + 3 + 2016 + 2016 +     1 1+ 2 + + + ÷ > A Mặt khác ta 2 + 2 + 2016 − + 2016   có: n + n +1 = n + − n từ suy ( 2016 + − ( 2016 −   1 1+ 2 + + + ÷= 1+ 3+ 20142 + 2016 +   2+  1 1+ 2 + + + 2+ 2016 − + 2016  1+ Do + ( ) 20162 + − < A < + (  ÷= +  ) ) 2016 − ⇔ 4030 < A < 4031 [ A] = 4030 Câu 3) a) Từ phương trình ( 2) ta có: x + 3xy ( 3x + y ) = + ( x + y ) ( x + y + 1) Hay x + 3xy ( x + y − x − y ) = + ( x + y ) ( x + y + 1) ⇔ x + y + xy ( x + y ) = x + y + 3xy ( x + y ) + ( x + y + 1) ( x + y ) + ⇔ ( x + y ) = ( x + y + 1) ⇒ x + y = x + y + ⇒ x = Thay vào 3 phương trình đầu tìm nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 1;1) , ( 1; −4 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ) a = dx  b) Giả sử ( a, b ) = d ⇒ b = dy  x, y = ) ( ab ( a + b ) xy ( x + y ) d ∈Z ⇔ ∈ Z Mặt khác 2 a + ab + b x + xy + y ta dễ dàng chứng minh được: Theo giả thiết ta có: (x + xy + y , x ) = 1; ( x + xy + y , y ) = 1; ( x + xy + y , x + y ) = 1; ( y , x ) = 3 suy d Mx + xy + y ⇒ d ≥ x + xy + y ⇒ a − b = d x − y ≥ d ≥ d ( x + xy + y ) > d xy = ab hay a − b > ab Câu 4) Phân tích định hướng giải a) Từ giả thiết PC QC PC QC = ⇒ = PA QP PA + PC QP + QC ⇔ PC QC = ⇔ PC = CA.CQ AC PC Mặt khác tứ giác AQRB nội = CR.CB Từ suy PC = CR.CB tiếp nên CACQ Hay PC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBR · b) Từ chứng minh ta suy ·APB = PRB ,Ta có ·ABP = 1800 − BAP · · · · ·ASP = ·ABP = PRQ · · − ·APB = BRQ − BRP = PRQ = PSQ nên SP phân giác góc ·ASQ Dựng đường thẳng qua SP cắt AC T ST phân giác ngồi góc ·ASQ Ta http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có TQ PQ CQ PQ + CQ CP TQ − CQ TC = = = = = = suy TA PA CP PA + CP AC TA − CP CT + AP CP ( CT + AP ) = CT AC = CT ( AP + PC ) ⇒ CP AP = CT AP ⇔ CP = CT hay C trung điểm PT Vậy tam giác CSP cân C c) Ta có CS = CP = CQ.CA = CR.CB suy · · · · · · · Hay SRC = BSC = BSD + DSC = BAP + APS = 1800 − BDS · · · Vậy tứ giác BSRD nội tiếp Suy điều BDS = 1800 − SRC = SRB phải chứng minh 2 Câu 6) Với k ∈ ¥ * , ta có ( n + k ) ( n − k − 1) = n + n − k + k ≤ n ( n + 1) Lấy tích từ k = đến m ta ( n + m ) ! ≤ n + m nm ( ) ( n − m) ! (1) Ta có n + k ≥ 2k , với k = 1, 2, , m Lấy tích từ k = đến m , ta ( n + m ) ! ≥ 2m.m! n! Mặt khác n ≥ m ≥ nên n ! ≥ ( n − m ) ! suy Do ( n + m ) ! ≥ 2m.m ( n − m) ! ( n + m) ! ≥ ( n + m) ! n! ( n − m) ! (2) Từ (1) (2) ta có đpcm ĐỀ SỐ 10 Câu 1) Đặt y = x − 5, z = 45 − x ta có y ≥ 0, z ≥  y = 35 − z Từ phương trình cho ta có hệ phương trình:   z = 35 − y (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trừ vế hai phương trình hệ ta y + z = y2 − z2 = y − 2z ⇔ ( y − z ) ( y + z − 2) = ⇔  y = z Với y = z thay vào phương trình đầu hệ (*) ta được: y = y + y = 35 ⇔ ( y + 1) = 36 ⇔   y = −7 Vì y ≥ nên y = suy x = 10 thỏa mãn phương trình cho Với y + z = ⇔ z = − y , thay vào phương trình đầu hệ (*) ta y = 35 − + y ⇔ ( y − 1) = 32 ⇔ y = ± Vì y ≥ nên y = + suy z = − < Do hệ (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = 10 Câu 2) Để ý ta thấy: A = 22 suy ra: A = 22 n+1 n +1 n + = 22.4 + ta có = 3k + nên n n + = 22.4 + = 22(3k +1) + = 4.64 k + 64k = ( 63 + 1) ≡ 1( mod ) ⇒ A ≡ ( mod ) Mặt khác ta có: k A = 22.4 + > 28 + > Suy A = 22 n n +1 + hợp số Câu 3) Vì ( + ∈ A nên theo tính chất c) ta có: ) 2 + ∈ A ⇔ 5+ ∈ A Mặt khác theo tính chất a) có ( −5 ) ∈ A nên ( −5 ) + + =2 6∈A Khi ( + = + ∈ A ⇒ −6 − ∈ A ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( ) Ta có + ∈ A , suy −6 − + + = − ∈ A Do 3− = ∈ A (đpcm) 2+ Câu 4) 1· · · = FEB = BCD a) Ta có FCB suy CF phân giác góc · · · · ED nên tứ giác CH DE CF ⊥ BD Nên HCD BCD = HCB =H nội tiếp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word · EB = H · DC = HBC · b) Vì tứ giác CH DE nội tiếp nên H ( O ) ( C) cắt theo dây cung BE nên suy B, E đối xứng · · · qua OC suy BDC suy tứ giác CELD nội tiếp = CBD = LEC nên điểm C , E , L, D, H nằm đường tròn ( x) Ta · LG = H · EC =CBE · · có: H suy HGLF nội tiếp đường tròn =CFE ( y) c) Ta thấy điểm H trực tâm tam giác BCL LH trục đẳng phương hai đường tròn ( x), ( y ) nên LH cắt EF P PG.PF =PD.PE suy GM / / DN / / PL nên PG PD = Mặt khác PE PF LM PG PD LN = = = suy MN / /EF nên tứ LE PE PF LF giác GM ND hình bình hành Từ suy DN = MG Câu 5) Ta có ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1)  =  ( a − 1) ( b − 1)   ( b − 1) ( c − 1)   ( c − 1) ( a − 1)  ≥ Suy ba số a − 1, b − 1, c − tồn hai số có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( b − 1) ( c − 1) ≥ , suy b + c ≤ + bc Do abc + = bc + a ( b + c ) ≤ bc + a ( bc + 1) hay a + bc ≥ Sử dụng BĐT Cauchy b + c ≥ 2bc a + bc ≥ , ta có: a + b + c + abc − ≥ a + 2bc + abc − = ( a + ) ( a + bc − ) ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = HẾT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... n + m = 34 ( 4 ;100 ) , ( 7 ;97 ) , ( 10 ;94 ) , , ( 49; 55 ) (*) Nếu ta lấy 19 số từ tập X xảy trường hợp “xấu” 16 số mà số thuộc vào 16 cặp (*) thỏa mãn n + m = 34 Vì tập A có 19 phần tử nên thỏa... Câu 5) Cho tập hợp X = { 1, 4, 7 ,10, ,100 } Gọi A tập tập X mà số phần tử A 19 Chứng minh A có hai phần tử phân biệt mà tổng chúng 104 ĐỀ SỐ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài... đến 2016 thuộc vào 100 8 tập Am Nhưng tập M có 10 09 phần tử, chắn có hai phần tử M giả sử a, b ( a < b ) thuộc tập Am Khi a = p.m b = 2q.m với p < q , suy b = 2q − p hay b bội a a ĐỀ SỐ http://dethithpt.com