Parabol và bài toán quy hoạch Toán Lớp 10

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 1+2 1+2 Chuyên Parabol toán quy hoạch đề y  x  x 1 Câu (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI ) Cho hàm số có đồ d : y   x  m thị (P) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc toạ độ) Lời giải 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm : x  x   2 x  m � x  x  m   (1) WORD=>ZALO_0946 513 000 Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A , B phương trình (1) phải có hai nghiệm 13 x1 , x2 �   �  4m   � 13  4m  � m  phân biệt (*) Khi giả sử A( x1; 2 x1  m) ; B( x2 ; 2 x2  m) Theo hệ thức Vi-et ta có: �x1  x2  3 � �x1.x2  m  uuu r uuur � x1.x2  (2 x1  m)(2 x2  m)  Tam giác OAB vuông O � OA.OB  � x1.x2  2m( x1  x2 )  m  � 5(m  1)  6m  m  � m  m   �m � 21 Kết hợp điều kiện (*) ta có m � 21 thỏa mãn yêu cầu toán Câu (HSG10 YÊN PHONG 2) Cho hàm số 1)Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số  1 y  x   2m  3 x  2m   1 m  2)Xác định m để đồ thị hàm số   cắt đường thẳng y  x  hai điểm A, B phân biệt cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Lời giải 1)Khi m  ta hàm số y  x  x  *) Tập xác định: D  � �3 1 � I� ; � *) Tọa độ đỉnh: �2 � Trang 2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP �3 � � ;  �� �, nghịch *) Sự biến thiên: Vì a   nên hàm số đồng biến khoảng �2 � 3 � �; � � � � biến khoảng *) Bảng biến thiên WORD=>ZALO_0946 513 000 *) Điểm đặc biệt �3 1 � I� ; � *) Đồ thị : Đồ thị đường parabol có đỉnh �2 �, hướng bề lõm lên 3 x làm trục đối xứng nhận đường thẳng 2)Phương trình hồnh độ giao điểm ĐTHS  1 đường thẳng y  x  là: x   m   x  2m   x  � x  2mx  2m    * Để ĐTHS  1 * cắt đường thẳng y  x  điểm phân biệt A, B � phương trình   m  3 � �� 0 �m  có nghiệm phân biệt � � Gọi x1, x2 nghiệm phương trình  * ,ta có Trang 3 � x1  x2  2m � �x1.x2  2m  TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Đặt A  x1 ;3 x1  1 , B  x2 ;3 x2  1 uuu r uuur OAB vuông O � OA.OB  � 10 x1x2   x1  x2    � 26m  31  �m Vậy 31 26 ( thỏa mãn) m 31 26 WORD=>ZALO_0946 513 000 Câu (HSG10 Kim Liên )Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB ' ' hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào điểm A, B trục AA BB ' ' với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B cầu 200 m Độ cao ngắn ' ' ' ' ' ' ' ' dây truyền cầu CC  m Gọi Q , P , H , C , I , J , K điểm chia ' ' đoạn A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy ' ' ' ' ' ' ' dây truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Lời giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Giả sử Parabol có dạng : y  ax  bx  c, a �0 Vì Parabol qua điểm A  100;30  đỉnh C  0;5  Trang 4 nên ta có hệ phương trình: TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP � a � 10000a  100b  c  30 � 400 � �b �� b0 � � 0 � c5 �2a � c  � � � Vậy (P): y x 5 400 ' ' Đoạn A B chia làm phần nhau, phần có độ dài 25 m Khi đó, tổng độ dài dây cáp treo là: WORD=>ZALO_0946 513 000 OC  y1  y2  y3 �1 � �1 � �1 �   � 252  � � 50  � � 752  � �400 � �400 � �400 �=78,75 m Câu (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019)Một phân xưởng có hai M ,M máy đặc chủng sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I ; II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1, triệu đồng Muốn sản xuất M M2 sản phẩm loại I phải dùng máy máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy máy M2 Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm M M Máy làm việc không ngày, máy ngày làm việc không Tổng số tiền lãi lớn đạt là: A 4, triệu B 7, triệu C 6,8 triệu Lời giải D 5, triệu Chọn C Giả sử phân xưởng sản xuất ngày x (tấn) sản phẩm loại I y (tấn) sản phẩm loại II Số làm việc máy M1 là: 3x  y Số làm việc máy M2 là: x  y Số tiền lãi phân xưởng ngày T  x  1, y (triệu) 3x  y �6 � �x  y �4 � � �x �0 � Theo đề ta có hệ bất phương trình: �y �0 Ta có miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC Trang 5 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP WORD=>ZALO_0946 513 000 T đạt giá trị lớn nằm miền tứ giác OABC , đạt đỉnh Thử lại ta thấy T đạt giá trị lớn ( x, y ) tọa độ điểm B (1;3) Vậy T  2.1  3.1,  6,8 (triệu) Câu (HSG10 tỉnh Hải Dương)Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn Lời giải Giả sử sản xuất x(kg ) sản phẩm loại I y (kg ) sản phẩm loại II Điều kiện x �0, y �0 x  y �200 � x  y �100 Tổng số máy làm việc: 3x  1,5 y Ta có x  1,5 y �120 Số tiền lãi thu T  300000 x  400000 y (đồng) �x �0, y �0 � �x  y �100 � x  1,5 y �120 (I) cho T  300000 x  400000 y đạt giá trị Ta cần tìm x, y thoả mãn: � lớn d : x  y  100; d : 3x  1,5 y  120 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng Trang 6 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(100;0) , cắt trục tung điểm B (0;50) Đường thẳng d cắt trục hoành điểm C (40;0) , cắt trục tung điểm D  0;80  Đường thẳng d1 d cắt điểm E  20; 40  WORD=>ZALO_0946 513 000 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC �x  �T  � y  � ; �x  � T  20000000 � y  50 � ; �x  20 � T  22000000 � y  40 � ; �x  40 � T  12000000 � �y  Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II Câu (HSG12 tỉnh Điện Biên) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm x  y  a �0 � � A  0;9  B  3;  x  y  5a �0 Tìm tất , Gọi D miền nghiệm hệ phương trình � giá trị a để AB �D Lời giải Phương trình đường thẳng AB : x  y   Trường hợp 1: Nếu AB đường thẳng a �2 x  y � � 5a �6 x  y Xét hệ � a �12 � �a �12 � � � 48 � a �� � 5a �48 � a� � C  7;  �AB � C � D Dễ thấy điểm y   x  x � 0;3  Trường hợp 2: Nếu AB đoạn thẳng Ta thay Trang 7 a �2 x  y � � 5a �6 x  y vào hệ � TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP a �9  3x � 3 x  27 � � 3 x  27  � a� � Ta được: � (*) Vậy  x � 0;3 �  a 3x (*) 27 �a �0 27 �a �0 thỏa mãn yêu cầu toán WORD=>ZALO_0946 513 000 Trang 8 ... hình vẽ Giả sử Parabol có dạng : y  ax  bx  c, a �0 Vì Parabol qua điểm A  100 ;30  đỉnh C  0;5  Trang 4 nên ta có hệ phương trình: TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � a � 100 00a  100 b  c  30... ÔN-LỚP Đặt A  x1 ;3 x1  1 , B  x2 ;3 x2  1 uuu r uuur OAB vuông O � OA.OB  � 10 x1x2   x1  x2    � 26m  31  �m Vậy 31 26 ( thỏa mãn) m 31 26 WORD=>ZALO_0946 513 000 Câu (HSG10... thoả mãn: � lớn d : x  y  100 ; d : 3x  1,5 y  120 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng Trang 6 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Đường thẳng d1 cắt trục hồnh điểm A (100 ;0) , cắt trục tung điểm