giáo trình và bài tập Quy hoạch tuyến tính

1. Cac vi du dân đên bai toan Quy hoach tuyên ́ ́ ̣ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ tinh (QHTT): ́ 1.1 Lâp kê hoach san xuât: ̣ ́ ̣ ̉ ́ san phâm ̉ ̉ Chi phí S1 S2 S3 Sô l ng nguyên ́ ượ liêu hiên co ̣ ̣ ́ Nguyên liêu 1 (N1) ̣ Nguyên liêu 2 (N2) ̣ Nguyên liêu 3 (N3) ̣ Lao đông ̣ 4 2 3 10 5 4 6 7 3 3 4 6 15.000 12.000 10.000 500.000 Gia s răng san phâm san xuât ra đêu co thê tiêu thu đ c ̉ ử ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ượ hêt v i l i nhuân khi ban môt đ n vi san phâm S ́ ớ ợ ̣ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̉ 1, S2, S3 t ng ng la 5000:10000:7000 (đông). Yêu câu lâp kê hoach ươ ứ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̣ san xuât tôi u. ̉ ́ ́ ư Goi x ̣ jla sô san phâm cua S ̀ ́ ̉ ̉ ̉ j(j = 1,2, 3) c n san xuât ầ ̉ ́ (xj≥ 0, j = 1, 2, 3.) 1 2 3 4 5 3 15000 x x x + + ≤ Theo kê hoach san xuât phai tim l ng nguyên liêu tiêu ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ượ ̣ hao la: ̀ N1: 1 2 3 2 4 3 12000 x x x + + ≤ N2: 1 2 3 3 6 4 10000 x x x + + ≤ N3: Sô phut cân s dung: ́ ́ ̀ ử ̣ 1 2 3 10 7 6 500.000 x x x + + ≤ Tông l i nhuân theo kê hoach san xuât la: ̉ ợ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̀ 1 2 3 5000 10000 7000 x x x + + Yêu c u t i u ầ ố ư là: 5000 10000 7000 max 1 2 3 x x x + + → Mô hinh bai toan: ̀ ̀ ́ Tim x = (x ̀ 1, x2, x3) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1, 2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j        = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Tông quat: ̉ ́ ta co bai toan lâp kê hoach san xuât ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ d i dang bang sô liêu sau đây: ướ ̣ ̉ ́ ̣ Yêu tô ́ ́ san xuât ̉ ́ Sô l ng ́ ượ hiên co ̣ ́ San phâm ̉ ̉ S1 S2 … Sn Y1 b1 a11 a12 … a1n Y2 b2 a21 a22 … a2n … … … … … … … … … … … … Ym bm am1 am2 … am n L i nhuân đ n vi ợ ̣ ơ ̣ c1 c2 … cn Mô hinh: ̀ Tim x = (x ̀ 1, x2,…, xn) sao cho: max 1 n f c x j j j = → ∑ = , 1,..., 1 n a x b i m ij j i j ≤ = ∑ = 0, 1,..., x j n j ≥ = 2.2 Phân bô vôn đâu t : ̉ ́ ̀ ư Môt nha đâu t co 4 ti đông muôn đâu t vao 4 linh v c ̣ ̀ ̀ ư ́ ̉ ̀ ́ ̀ ư ̀ ̃ ự Linh v c đâu t ̃ ự ̀ ư Lai suât/năm ̃ ́ Ch ng khoan ứ ́ Công trai ́ G i tiêt kiêm ử ́ ̣ Bât đông san ́ ̣ ̉ 20% 12% 15% 18% Ngoai ra, đê giam thiêu rui ro, nha đâu t cho răng ̀ ̉ ̉ ̉ ̉ ̀ ̀ ư ̀ không nên đâu t vao ch ng khoan v t qua 30% ̀ ư ̀ ứ ́ ượ ́ tông sô vôn đâu t ; đâu t vao công trai va g i tiêt ̉ ́ ́ ̀ ư ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ kiêm it nhât 25% tông vôn đâu t ; g i tiêt kiêm it ̣ ́ ́ ̉ ́ ̀ ư ử ́ ̣ ́ nhât 300 triêu đông. Hay xac đinh kê hoach phân bô ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ́ ̣ ̉ vôn đâu t sao cho tông thu nhâp hang năm la l n ́ ̀ ư ̉ ̣ ̀ ̀ ớ nhât. ́ • Do tông sô tiên đâu t không đ c v t qua sô tiên ̉ ́ ̀ ̀ ư ượ ượ ́ ́ ̀ hiên co nên: x ̣ ́ 1+ x2+ x3+ x4≤ 4000 (triêu đông) ̣ ̀ •Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao ch ng khoan: ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ứ ́ 0,3( ) 0, 7 0,3 0,3 0,3 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x ≤ + + + ⇔ − + + + ≥ Goi x ̣ 1, x2, x3, x4t ng ng la sô tiên (triêu đông) đâu ươ ứ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ t vao ch ng khoan, công trai, g i tiêt kiêm, bât đông ư ̀ ứ ́ ́ ử ́ ̣ ́ ̣ san ( ) ̉ 0, 1,..., 4 j x j ≥ = •Thu nh p c a năm là: ậ ủ 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 x x x x + + + •Yêu c u t i u: ầ ố ư 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 max x x x x + + + → •Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao công trai va g i tiêt kiêm: ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ ̣ ( ) 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 25 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0 x x x x x x x x x x + ≥ + + + ⇔ + + − ≥ 3 300 x ≥ Và Mô hinh: ̀ Tim x = ( x ̀ 1, x2, x3, x4) sao cho: 1 2 3 4 ( ) 0, 2 0,12 0,15 0,18 max f x x x x x = + + + → 1 2 3 4 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0 x x x x + + − ≥ 3 300 x ≥ 0, 1,..., 4 j x j ≥ = 0, 7 0,3 0,3 0,3 0 1 2 3 4 x x x x − + + + ≥ 1 2 3 4 4000 x x x x + + + ≤ Vây đê lâp mô hinh toan hoc cua môt bai toan th c ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ự tê, ta phân tich bai toan đo theo 3 b c sau: ́ ́ ̀ ́ ́ ướ B c 1: ướ Đăt ân va điêu kiên cho ân. ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ B c 2 ướ :Lâp hê rang buôc chinh ̣ ̣ ̀ ̣ ́ B c 3: ướ Lâp ham muc tiêu ̣ ̀ ̣ 2. Đinh nghia: ̣ ̃ Bai toan quy hoach tuyên tinh dang tông quat ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ́ co dang: ́ ̣ Tim x = (x ̀ 1, x2, …,xn) sao cho: ( ) 1 ( ) min max n j j j f x c x = = → ∑ V i hê rang buôc: ớ ̣ ̀ ̣ , 1,..., ij j i a x b i m ≤     = =   ≥   ∑ 0 0 , 1, 2,..., tuy y j x j n ≥     ≤ =     ham muc tiêu ̀ ̣ rang buôc biên ̀ ̣ ́ (rang buôc chinh ̀ ̣ ́ ) rang buôc dâu ̀ ̣ ́  Vect x=( x ơ 1, x2, x3, x4)Tđ c goi la ượ ̣ ̀ph ng an ươ ́ (PA) cua ̉ bai toan QHTT nêu no thoa man hê rang buôc cua bai toan ̀ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́  Ph ng an x*=( x ươ ́ 1*, x2*, x3*, x4*)T đ c goi la ượ ̣ ̀ ph ng an tôi u ươ ́ ́ ư (PAT ) cua bai toan QHTT nêu gia tri Ư ̉ ̀ ́ ́ ́ ̣ ham muc tiêu tai đo la tôt nhât. ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ́  Giai bai toan QHTT t c la tim ph ng an tôi u cua no ̉ ̀ ́ ứ ̀ ̀ ươ ́ ́ ư ̉ ́ (nêu co). ́ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ Bai toan giai đ c ̀ ́ ̉ ượ la bai toan co PAT . ̀ ̀ ́ ́ Ư Bai toan không giai ̀ ́ ̉đ c ượ la bai toan không co PAT . ̀ ̀ ́ ́ Ư Khi đo hoăc la bai toan không co ph ng an hoăc co ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ươ ́ ̣ ́ ph ng an nh ng ham muc tiêu không bi chăn ươ ́ ư ̀ ̣ ̣ ̣ ( đôi v i bai toan max (min)). ́ ớ ̀ ́ ( ) ( ) f x → +∞ −∞  Nêu ph ng an x thoa man rang buôc nao đo v i dâu ́ ươ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ớ ́ “=” thi ta noi x ̀ ́ thoa man chăt ̉ ̃ ̣ rang buôc đo. Ng c lai ̀ ̣ ́ ượ ̣ nêu thoa dâu “>” hoăc “<” thi ta noi ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ thoa man long ̉ ̃ ̉ rang ̣ buôc đo. ̣ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ - ng v i rang buôc th i ta co vect A Ứ ớ ̀ ̣ ứ ́ ơ i* = (ai1, ai2, …,ai3 - Ky hiêu: ́ ̣ 1 2 3 . j j j a a A i a     =       la vect cac hê sô cua biên x ̀ ơ ́ ̣ ́ ̉ ́ jtrong cac ́ rang buôc (không kê rang buôc dâu). ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ - Hê vect A ̣ ơ i* t ng ng v i cac rang buôc chinh tao ươ ứ ớ ́ ̀ ̣ ́ ̣ thanh ̀ ma trân rang buôc chinh ̣ ̀ ̣ ́ , ky hiêu la A. ́ ̣ ̀ - Cac rang buôc goi la ́ ̀ ̣ ̣ ̀rang buôc đôc lâp tuyên tinh ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ́ nêu ́ hê vect A ̣ ́ ơ i* t ng ng đôc lâp tuyên tinh. ươ ứ ̣ ̣ ́ ́  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ - Ph ng an c c biên ươ ́ ự (ph ng an c ban): ươ ́ ơ ̉ la ph ng ̀ ươ an thoa man chăt n rang buôc đôc lâp tuyên tinh. ́ ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ́ + Ph ng an c c biên (PACB) thoa man chăt đung n ươ ́ ự ̉ ̃ ̣ ́ rang buôc goi la ̀ ̣ ̣ ̀PACB không suy biên ́ , PACB thoa man ̉ ̃ chăt h n n rang buôc goi la ̣ ơ ̀ ̣ ̣ ̀PACB suy biên ́ .  Môt sô khai niêm: ̣ ́ ́ ̣ ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 12 9 max 12 5 0 8 4 6 52 0, 0, f x x x x x x x x x x x x x = + + → − + ≥   + − =   ≥ ≤  Vi du 1: ́ ̣ * 1 1 1 1 -12 5 (1, 12,5); A ; A= 8 8 4 -6 A     = − =         ( ) ( ) 0 1 13 2;0;0 ; 8;0; 2 x x = = Mô hinh bai toan: ̀ ̀ ́ Tim x = (x ̀ 1, x2, x3) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1, 2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j        = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Ham muc ̀ ̣ tiêu Hê rang buôc chinh ̣ ̀ ̣ ́ Hê rang buôc dâu ̣ ̀ ̣ ́ 3. Cac dang đăc biêt cua bai toan QHTT ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ : a. Bai toan QHTT dang chinh tăc: ̀ ́ ̣ ́ ́ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ij 1 max min ,..., 1 ,..., 0 1 n j j j n j i j j f x c x a x b i m x j n = = = → ∑ = = ∑ ≥ = Đinh ly: ̣ ́ Ph ng an x cua bai toan QHTT dang chinh tăc ươ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ́ la ph ng án c c biên khi va chi khi hê thông cac vect ̀ ươ ự ̀ ̉ ̣ ́ ́ ơ {Aj} t ng ng v i cac thanh phân d ng cua ph ng ươ ứ ớ ́ ̀ ̀ ươ ̉ ươ an la đôc lâp tuyên tinh. ́ ̀ ̣ ̣ ́ ́ Ví d 2: ụ Cho bài toán QHTT có h ràng bu c: ệ ộ 1 2 4 2 3 4 2 4 3 2 3 ; ,..., 0 1 4 j x x x x x x x j + + = + + = ≥ = Các ph ng án ươ x1= (4; 0; 3; 0); x2 = (2; 1; 0; 0); x3= (0; 1/2; 0; 3/4) là các PACB theo đ nh lý trên. ị

BÔ CUC BAI GIANǴ ̣ ̀ ̉ 1.Cac vi du dân đên bai toan Quy hoach tuyên ́ ́ ̣ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ tinh:́ 1.1 Lâp kê hoach san xuât:̣ ́ ̣ ̉ ́ 1.2 Phân bô vôn đâu t :̉ ́ ̀ ư 2. Đinh nghia:̣ ̃ 1. Cac vi du dân đên bai toan Quy hoach tuyên ́ ́ ̣ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ tinh (QHTT):́ 1.1 Lâp kê hoach san xuât:̣ ́ ̣ ̉ ́ san phâm̉ ̉ Chi phí S1 S2 S3 Sô l ng nguyên ́ ượ liêu hiên co ̣ ̣ ́ Nguyên liêu 1 (N1)̣ Nguyên liêu 2 (N2)̣ Nguyên liêu 3 (N3)̣ Lao đông ̣ 4 2 3 10 5 4 6 7 3 3 4 6 15.000 12.000 10.000 500.000 Gia s răng san phâm san xuât ra đêu co thê tiêu thu đ c ̉ ử ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ượ hêt v i l i nhuân khi ban môt đ n vi san phâm Ś ớ ợ ̣ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̉ 1, S2, S3 t ng ng la 5000:10000:7000 (đông). Yêu câu lâp kê hoach ươ ứ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̣ san xuât tôi u. ̉ ́ ́ ư Goi x̣ j la sô san phâm cua S̀ ́ ̉ ̉ ̉ j (j = 1,2, 3) c n san xuât ầ ̉ ́ (xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.) 1 2 3 4 5 3 15000x x x + + ≤ Theo kê hoach san xuât phai tim l ng nguyên liêu tiêú ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ượ ̣ hao la:̀ N1: 1 2 3 2 4 3 12000x x x + + ≤ N2: 1 2 3 3 6 4 10000x x x + + ≤ N3: Sô phut cân s dung: ́ ́ ̀ ử ̣ 1 2 3 10 7 6 500.000x x x+ + ≤ Tông l i nhuân theo kê hoach san xuât la: ̉ ợ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̀ 1 2 3 5000 10000 7000x x x + + Yêu c u t i u ầ ố ư là: 5000 10000 7000 max 1 2 3 x x x+ + → Mô hinh bai toan:̀ ̀ ́ Tim x = (x̀ 1, x2, x3) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1,2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j            = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Tông quat:̉ ́ ta co bai toan lâp kê hoach san xuât ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ d i dang bang sô liêu sau đây:ướ ̣ ̉ ́ ̣ Yêu tô ́ ́ san xuât̉ ́ Sô l ng ́ ượ hiên cọ ́ San phâm̉ ̉ S1 S2 … Sn Y1 b1 a11 a12 … a1n Y2 b2 a21 a22 … a2n … … … … … … … … … … … … Ym bm am1 am2 … am n L i nhuân đ n viợ ̣ ơ ̣ c1 c2 … cn Mô hinh:̀ Tim x = (x̀ 1, x2,…, xn) sao cho: max 1 n f c x j j j = → ∑ = , 1, ., 1 n a x b i m ij j i j ≤ = ∑ = 0, 1, .,x j n j ≥ = 2.2 Phân bô vôn đâu t :̉ ́ ̀ ư Môt nha đâu t co 4 ti đông muôn đâu t vao 4 linh v c ̣ ̀ ̀ ư ́ ̉ ̀ ́ ̀ ư ̀ ̃ ự Linh v c đâu t ̃ ự ̀ ư Lai suât/năm ̃ ́ Ch ng khoanứ ́ Công traí G i tiêt kiêmử ́ ̣ Bât đông san ́ ̣ ̉ 20% 12% 15% 18% Ngoai ra, đê giam thiêu rui ro, nha đâu t cho răng ̀ ̉ ̉ ̉ ̉ ̀ ̀ ư ̀ không nên đâu t vao ch ng khoan v t qua 30% ̀ ư ̀ ứ ́ ượ ́ tông sô vôn đâu t ; đâu t vao công trai va g i tiêt ̉ ́ ́ ̀ ư ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ kiêm it nhât 25% tông vôn đâu t ; g i tiêt kiêm it ̣ ́ ́ ̉ ́ ̀ ư ử ́ ̣ ́ nhât 300 triêu đông. Hay xac đinh kê hoach phân bô ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ́ ̣ ̉ vôn đâu t sao cho tông thu nhâp hang năm la l n ́ ̀ ư ̉ ̣ ̀ ̀ ớ nhât.́ • Do tông sô tiên đâu t không đ c v t qua sô tiên ̉ ́ ̀ ̀ ư ượ ượ ́ ́ ̀ hiên co nên: x̣ ́ 1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4000 (triêu đông)̣ ̀ • Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao ch ng khoan:̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ứ ́ 0,3( ) 0,7 0,3 0,3 0,3 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x ≤ + + + ⇔ − + + + ≥ Goi x̣ 1, x2, x3, x4 t ng ng la sô tiên (triêu đông) đâu ươ ứ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ t vao ch ng khoan, công trai, g i tiêt kiêm, bât đông ư ̀ ứ ́ ́ ử ́ ̣ ́ ̣ san ( )̉ 0, 1, ., 4 j x j ≥ = • Thu nh p c a năm là: ậ ủ 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18x x x x + + + • Yêu c u t i u: ầ ố ư 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 maxx x x x + + + → • Điêu kiên vê sô tiên đâu t vao công trai va g i tiêt kiêm:̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̀ ́ ̀ ử ́ ̣ ( ) 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 25 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0x x x x x x x x x x + ≥ + + + ⇔ + + − ≥ 3 300 x ≥ Và Mô hinh:̀ Tim x = ( x̀ 1, x2, x3, x4) sao cho: 1 2 3 4 ( ) 0, 2 0,12 0,15 0,18 maxf x x x x x = + + + → 1 2 3 4 0, 25 0, 75 0, 75 0, 25 0x x x x+ + − ≥ 3 300 x ≥ 0, 1, ., 4 j x j ≥ = 0,7 0,3 0,3 0,3 0 1 2 3 4 x x x x − + + + ≥ 1 2 3 4 4000x x x x+ + + ≤