Bài tập quy hoạch tuyến tính

BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu này được tác giả tự biên soạn với mục đích ôn tập thi cuối kỳ môn Quy Hoạch Tuyến Tính cho riêng cá nhân và lớp VB2-Toán K1, Đại Học Sư Phạm TPHCM. Do thời gian gấp rút nên các chương từ thuật toán đơn hình về sau chỉ kịp giải bài tập, phần lý thuyết anh chị tự tìm hiểu thêm trong các tài liệu được Giảng Viên cung cấp. Do chỉ soạn trong thời gian ôn thi nên còn sơ sài, tác giả mong nhận được những chia sẻ, góp ý của anh chị để kỳ thi được kết quả tốt hơn. Chi tiết xin liên hệ qua địa chỉ mail: tranhuukhanh.edu@gmail.com Chân thành cảm ơn Tác giả TRẦN HỮU KHANH MỤC LỤC Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI 1 Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 9 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 26 Chương 4: BÀI TOÁN ĐỒI NGẪU 38 Chương 5: BÀI TOÁN VẬN TẢI 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 1 Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI 1. Đường thẳng Giả sử 1 2 , n x x   . Đường thẳng qua 1 x và 2 x được định nghĩa là tập     1 2 1 ,x x x x          hay   1 2 1 2 1 2 1 2 , , , 1 x x p x p x p p p p        Nếu viết lại định nghĩa đầu tiên theo dạng     1 2 1 ,x x x x x         Khi 2 x  phương trình trên có dạng   1 2 1 x x x x     , đây là phương trình tham số của đường thẳng qua 1 x và 2 x trong hình học giải tích. 2. Đoạn thẳng Giả sử 1 2 , n x x   . Ta định nghĩa đoạn thẳng nối hai điểm 1 x và 2 x như sau: (i) Đoạn thẳng đóng     1 2 1 2 ; 1 ,0 1 x x x x x x               (ii) Đoạn thẳng mở       1 2 1 2 ; 1 ,0 1 x x x x x x           (iii) Nửa đoạn thẳng đóng – mở      1 2 1 2 ; 1 ,0 1 x x x x x x             (iv) Nửa đoạn thẳng mở – đóng      1 2 1 2 ; 1 ,0 1 x x x x x x             Hiển nhiên 1 2 ;x x     là một đoạn của đường thẳng qua 1 x và 2 x nằm giữa và bao gồm hai điểm 1 x và 2 x .   1 2 ;x x không bao gồm 1 x và 2 x ,  1 2 ;x x   không bao gồm 2 x và  1 2 ;x x   không bao gồm 1 x Hình 2. Đường thẳng và đoạn thẳng qua 1 x và 2 x 3. Tập lồi Một tập n    là tập lồi nếu  chứa hai điểm nào đó thì  chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Ta nói một tập n    là lồi nếu: 1 2 , ,0 1 x x              1 2 1 x x      2 a) b) Hình 3. a) Tập lồi, b) Tập không lồi 4. Nửa không gian mở, đóng Giả sử n c  , 0 c  và   . Tập   , n x x cx     (hoặc   , n x x cx      ) được gọi là nửa không gian mở trong n  , và tập   , n x x cx     (hoặc   , n x x cx     ) được gọi là nửa không gian đóng trong n  5. Siêu phẳng Giả sử n c  , 0 c  và   . Tập   , n x x cx      được gọi là siêu phẳng trong n  . 6. Không gian con Một tập n    là không gian con nếu 1 2 1 2 , , x x p p        1 2 1 2 p x p x   7. Tổ hợp lồi Một điểm n b  gọi là tổ hợp lồi của hệ 1 , , m n a a   nếu tồn tại m số thực 1 , , m p p sao cho 1 2 1 2 m m b p a p a p a     với 1 , , 0 m p p  và 1 1 m p p    Hoặc, nếu chúng ta định nghĩa một ma trận A cỡ m n có hàng thứ i là i i A a và nếu ta lấy   1 , , n m p p p   và e là một m -vectơ thì ta có b là một tổ hợp lồi của hàng thứ i của A nếu ' , 0, 1 b A p p ep    có một nghiệm m p   Chú ý rằng nếu b là một tổ hợp lồi của hai điểm 1 2 , n a a   , điều này tương đương với 1 2 ,b a a      8. Bao lồi Giả sử n    . Bao lồi của  ký hiệu là    là giao của tất cả các tập lồi trong n  chứa  . Hiển nhiên, nếu  là lồi thì      3 Hình 8. Tập  và bao lồi của nó    9. Đỉnh (điểm cực biên) Giả sử  là tập lồi trong n  . Điểm x được gọi là đỉnh (hay điểm cực biên) của  nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt 1 2 ,x x  . Một tập lồi n    có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng   , n x x cx      và quả cầu mở   B x  không có đỉnh), số đỉnh có thể là hữu hạn (ví dụ như tập   , 0, 1 n x x x ex      , với e trong một n -vectơ, có n đỉnh i e , 1,2, ,i n , với i e là một n - vectơ với 1 i i e  và 0 i j e  , i j ), hay số đỉnh có thể là vô hạn (ví dụ như quả cầu đóng   n B x    là vô hạn số đỉnh được cho bởi   , n x x x x       10. Đa diện và khối đa diện Một tập trong n  mà giao của hữu hạn nửa khoảng đóng trong n  được gọi là đa diện. Nếu một đa diện là giới nội (nghĩa là, mỗi x trong đa diện x   cho vài giá trị không đổi   ) nó được gọi là khối đa diện. BÀI TẬP : Bài 1.1: Chứng minh tập hợp rỗng  là tập lồi? Ta cần chứng minh: 1 2 , ,0 1 x x              1 2 1 x x      Xét hai mệnh đề: 1 2 ,x x  và   1 2 1 x x      Đây là các mệnh đề sai Do đó mệnh đề: 1 2 , ,0 1 x x              1 2 1 x x      là mệnh đề đúng. 4 Vậy:  là tập lồi. Bài 1.2: Chứng minh nửa không gian mở, đóng đều là các tập lồi? Chứng minh nửa không gian mở là tập lồi Đặt   , n x x cx        là nửa không gian mở, ta cần chứng minh: 1 2 , ,0 1 x x              1 2 1 x x      Vì 1 2 ,x x  nên có 1 cx   và 2 cx   Do đó:     1 2 1 1 2 1 2 1 1 c x x cx c x c x cx cx cx                  Mặt khác: 2 1 0 cx cx       nên   2 1 0 cx cx    (vì 0 1    ) Do đó:     1 2 1 2 1 1 0c x x cx cx cx                  Suy ra:   1 2 1 x x      Vậy: Nửa không gian mở   , n x x cx        là tập lồi. (Chứng minh tương tự cho trường hợp nửa không gian đóng) Bài 1.3: Chứng minh mỗi siêu phẳng trong n  là một tập lồi? Đặt   , n x x cx       là siêu phẳng trong n  , ta cần chứng minh: 1 2 , ,0 1 x x              1 2 1 x x      Vì 1 2 ,x x  nên 1 cx   và 2 cx   Do đó:     1 2 1 1 2 1 2 1 1 c x x cx c x c x cx cx cx                  Mặt khác: 2 1 0 cx cx       nên   2 1 0 cx cx    Do đó:     1 2 1 2 1 1 0c x x cx cx cx                  Suy ra:   1 2 1 x x      Vậy: Siêu phẳng   , n x x cx       là tập lồi. Bài 1.4: Chứng minh rằng quả cầu đóng và quả cầu mở là các tập lồi? Chứng minh quả cầu đóng là tập lồi: Xét quả cầu đóng     , n B x x x x x         quanh điểm n x  . Ta cần chứng minh:   1 2 , ,0 1 x x B x                   1 2 1 x x B x       5 Ta có:       1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x                                  1 2 1 x x x x        Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:             1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x              Mà:           1 1 1 1 1 1 x x x x x x            (vì 0 1    ) và:       2 2 2 x x x x x x         (vì 0 1    ) Nên:       1 2 1 2 1 1 x x x x x x x                 Vì :   1 2 , x x B x   nên có: 1 x x    và 2 x x    Do đó:     1 2 1 1x x x                Hay:   1 2 1 x x x            Suy ra:     1 2 1 x x B x       Vậy: Quả cầu đóng là tập lồi (Chứng minh tương tự cho trường hợp quả cầu mở) Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu   i i I  là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) tập lồi trong n  , thì giao của chúng i i I   là một tập lồi? Lấy 1 2 , i i I x x     và 0 1    . Khi đó mỗi i I , 1 2 , i x x  Với mọi 0 1    ta có   1 2 1 i x x      (vì i  là tập lồi) Suy ra   1 2 1 i i I x x         Vậy: i i I   là một tập lồi. Bài 1.6: Chứng minh rằng tổng của hai tập lồi là tập lồi? Giả sử  và  là hai tập lồi trong n  . Ta chứng minh tổng của  và  , kí hiệu là    , là một tập lồi. Lấy 1 2 ,z z    , với 1 1 1 2 2 2 , z x y z x y    , trong đó 1 2 ,x x  và 1 2 ,y y  Với mọi 0 1    ta có:         1 2 1 1 2 2 1 1 z z x y x y                1 2 1 2 1 1 x x y y          6 Vì  và  là các tập lồi nên có:   1 2 1 x x     và   1 2 1 y y      Do đó:     1 2 1 2 1 1x x y y            Hay là:   1 2 1 z z        Vậy:    là một tập lồi. Bài 1.7: Chứng minh rằng hiệu của hai tập lồi là tập lồi? Chứng minh tương tự bài 1.6 Bài 1.8: Chứng minh rằng tích của một số thực với một tập lồi là tập lồi? Giả sử  là tập lồi trong n  và   . Ta chứng minh tích của  và  , kí hiệu   , là tập lồi Lấy 1 2 ,z z    , với 1 1 2 2 , z x z x     , trong đó 1 2 ,x x  Với mọi 0 1    ta có:     1 2 1 2 1 1 z z x x             1 2 1 x x           Suy ra:   1 2 1 z z        Vậy:   là một tập lồi. Bài 1.9: Chứng minh rằng đường thẳng trong n  là tập lồi? Đường thẳng  qua hai điểm 1 x và 2 x được định nghĩa là tập     1 2 1 ,x x x x x         Lấy hai điểm bất kỳ thuộc  là   1 2 1 1 x x x    và   1 2 1 2 x x x    Với mọi 0 1    ta có:       1 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x                           1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x x x x x x                  1 2 1 1 2 1x x x              Vậy: Đường thẳng trong n  là tập lồi. Bài 1.10: Chứng minh rằng đoạn thẳng qua hai điểm trong n  là tập lồi? Thay 0 1    trong bài 1.9 ta được kết quả Bài 1.11: Cho   1 2 ; ; ; m x x x  là tổ hợp lồi của các vectơ 1 2 ; ; ; m x x x . Chứng minh  là tập lồi? Ta cần chứng minh: 7 1 1 1 , , , , 0 1 m m m x x p p p p            1 1 m m p x p x    (1) Điều kiện đủ: hiển nhiên. Chẳng hạn lấy 2 m  thì  lồi theo bài 1.10. Điều kiện cần: chứng minh theo quy nạp.  Kiểm tra 1 m  ta có (1) đúng (hiển nhiên)  Giả sử (1) đúng với m k , ta cần chứng minh (1) đúng với 1m k  Lấy 1 1 1 1 1 1 , , , , 0 1 k k k x x p p p p              - Nếu 1 0 k p   thì 1 1 1 1 1 1 k k k k k k p x p x p x p x p x          . Do đó (1) đúng với mọi m k - Nếu 1 1 k p   thì 1 2 0 k p p p     . Mà 0 i p  nên 1 1 0 k p p p      1 2 0 k p p p     Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k p x p x p x p x x            - Nếu 1 0 1 k p    thì chúng ta có thể viết: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k i k k k i i k i i i i i i pp x x p x p p x p p                         Vậy: Tổ hợp lồi là tập lồi. Bài 1.12: Chứng minh rằng đa diện lồi là tập lồi? Giả sử đa diện lồi  sinh bởi các điểm   0, i x i m  là: 1 m i i i x p x    , trong đó 1 1 m i i p    ; 0 i p  , 0,i m  . Lấy 1 1 m i i i x x     , 2 1 m i i i x x     thuộc  ( 1 1 1 m m i i i i         ; 0 i   , 0 i   , 0,i m  ) Với mọi 0 1    ta có:     1 2 1 1 1 1 m m i i i i i i x x x x                    1 1 1 1 1 m m m i i i i i i i i i i i x x x x                         1 1 m i i i i x             [...]...    u1   u 2  1 A1   2 A2 Do đó: 1 A1   2 A2 là tập lồi Tương tự ta sẽ chứng minh được 1 A1   2 A2   3 A3 là tập lồi Từ đó suy ra 1 A1   2 A2    m Am là tập lồi Vậy: 1 A1   2 A2    m Am là tập lồi 8 Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 1 Các ký hiệu thường dùng trong quy hoạch tuyến tính (QHTT)  a11 a12 a a22 Giả sử ma trận A   aij   ... đặt x j  t j  t j  0  4 Bài toán QHTT đối ngẫu Các bài toán quy hoạch tuyến tính P và Q sau đây được gọi là đối ngẫu của nhau Bài toán gốc P f  x   c, u  min Bài toán đối ngẫu Q f  y   bT , vT  max Au  bi i yj  0 Au  bi i yj  0 Au  bi i yj   xj  0 vA j  c j xj  0 vA j  c j xj   vA j  c j Nếu bài toán P (bài toán gốc) có các dạng đặc biệt thì bài toán đối ngẫu Q của nó, theo... f không là ánh xạ tuyến tính Vậy: b) không là bài toán QHTT c) Ta có: 2 x  y  2 2x  y  2   2 x  y  2 Chứng minh tương tự câu a) ta được g  x; y    x  5 y , g  x; y   2 x  y  2 và h  x; y   2 x  y  2 là các ánh xạ tuyến tính Hơn nữa tập G   x; y  : 2 x  y  2   x; y  : 2 x  y  2 là giao của hai tập lồi nên là tập lồi (xem chương 1) Vậy: c) là bài toán QHTT  2... ;  y1   2 x1  3 y1    2 x1  3 y1    f  u  Do đó: f là ánh xạ tuyến tính Chứng minh tương tự ta cũng được g  x; y   x  2 y  5 và h  x; y   y  1 cũng là các ánh xạ tuyến tính Hơn nữa tập G   x; y  : x  2 y  5   x; y  : y  1 là giao của hai tập lồi nên là tập lồi (xem chương 1) Vậy: a) là bài toán QHTT b) Xét ánh xạ: f: 2    x; y   Lấy: f  x2  y 2 u   x1... chúng độc lập tuyến tính Do đó x1 là phương án cực biên tối ưu x 2 thỏa dấu = với hai ràng buộc 1 và  2  , chúng độc lập tuyến tính Do đó x 2 là phương án cực biên tối ưu x 4 chỉ thỏa dấu = với một ràng buộc  2  , không đủ hai ràng buộc độc lập tuyến tính Do đó x 4 là phương án tối ưu không cực biên x3 chỉ thỏa dấu = với một ràng buộc  3 , không đủ hai ràng buộc độc lập tuyến tính Do đó x3... g  x; y   2 x  y  2 và h  x; y   2 x  y  2 là các ánh xạ tuyến tính Xét tập G   x; y  : 2 x  y  2   x; y  : 2 x  y  2 Lấy u   0; 2   G và v   0; 2   G Chọn   u  1    v  1 Khi đó: 2 1 1  0; 2    0; 2    0;0   G 2 2 Nên G không là tập lồi Vậy: d) không là bài toán QHTT Bài 2.2: Đưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc và chính tắc  f  x   x1  2 x2...  là một tập lồi Bài 1.13: Cho các tập lồi A1 , A2 ,…, Am và các số thực 1 ,  2 ,…,  m Chứng minh rằng: tập 1 A1   2 A2    m Am cũng là tập lồi? - Trước hết ta chứng minh các 1 A1 là tập lồi Lấy z1 , z 2  1 A1 , với z1  1 x1 , z 2  1 x 2 , trong đó x1 , x 2  A1 Với mọi 0    1 ta có: 1    z1   z 2  1    1 x1  1 x 2  1 1    x1   x 2    Vì A1 là tập lồi...  1 0 0  0     Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 3 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của A , sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ b qua chúng ta được: -  x1  x2  x3  3 1 :  x1  2 x2  x3  15 Giải hệ ta được: v1   0;12; 9    x  0  1 Kiểm tra ta có v1  M Vậy: Điểm cực biên cần tìm là  0;12; 9  Bài 2.5: Cho bài toán QHTT  f  x   x1  2 x2  2 x1  2 x2 ... x*   4 ứng với x*  1; 0;0  Bài 2.9: Cho bài toán QHTT  f  x   x1  x2  max  ax1  bx2  1 TT    x1  0, x2  0  1  2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a và b sao cho: a) Tập phương án khác rỗng? b) Bài toán đã cho có phương án tối ưu? c) Hàm mục tiêu không bị chặn? a) Với mọi a và b bài toán luôn nhận vectơ O  0; 0  làm một phương án, nghĩa là tập phương án luôn khác rỗng b)... án; 3 Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc và chính tắc Dạng chuẩn tắc Dạng chính tắc f  x   c, u  min f  x   c, u  min Au  b Au  b u0 u0 Bằng phép biến đổi đơn giản dưới đây có thể đưa bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ về hoặc là dạng chuẩn tắc, hoặc là dạng chính tắc:  Mỗi ràng buộc Au  bi có thể đưa về Au  xn 1  bi với xn 1  0 i i  Mỗi ràng buộc Au  bi có thể đưa về Au  xn 1  bi . BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu này được tác giả tự biên soạn với mục đích ôn tập thi cuối kỳ môn Quy Hoạch Tuyến Tính cho. A       là tập lồi. 9 Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 1. Các ký hiệu thường dùng trong quy hoạch tuyến tính (QHTT) Giả sử ma trận   11 12 1 21. một tập lồi. Bài 1.7: Chứng minh rằng hiệu của hai tập lồi là tập lồi? Chứng minh tương tự bài 1.6 Bài 1.8: Chứng minh rằng tích của một số thực với một tập lồi là tập lồi? Giả sử  là tập