SKKN rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường THVS văn lộc

Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC TRƯỜNG THCS VĂN LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS VĂN LỘC Người thực hiện: Đinh Thị Lan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Văn Lộc SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn HẬU LỘC, NĂM 2021 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh MỤC LỤC STT 10 11 12 13 MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Giaỉ pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận ,kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TRANG 1 2 2 2;3 3-18 18;19 19 19;20 20 MỞ ĐẦU 1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời cơ, Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Trong thực tế giảng dạy mơn Tốn trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn liên quan cơng việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Hiểu điều này, kinh nghiệm học dạy tốn Tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh ” với hy vọng giúp học sinh khơng bỡ ngỡ gặp dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với mơn tốn nói chung tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng 1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh làm tốt tốn phân tích đa thức thành nhân tử từ dễ đến khó Chính dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác sách giáo khoa như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ(đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt học sinh giỏi, giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp gặp dạng tốn khó Mục tiêu cuối rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Học sinh khối trường THCS Văn Lộc 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu qua tài liệu :SGK,SGV,SBT tốn 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua tập thực hành giải học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy , học tập đối tượng học sinh 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh 2.1 CƠ sỞ lý luẬn CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn quan trọng mơn đại số Đây tảng làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp không ba phần tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kỹ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kỹ giải toán, kỹ vận dụng toán , tùy theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn : 2.2 THựC TRạNGVấN Đề NGHIÊN CứU TRC KHI P DNG SNG KIN KINH NGHIM Qua nhiều năm tụi c nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn 8,9 Từ thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy Khi gặp dạng tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức khơng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích em gặp nhiều lúng túng Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhõn t) Để tìm hiểu thực trạng vấn đề tìm cách khắc phục từ đầu năm học Trong kiểm tra khảo sát 47 em học sinh khối 8, đà ghi lại kết sau: Cht lượng Giỏi Khá khảo sát Sè häc SL % SL % 6,4 12,8 sinh Trung bình SL 11 % 23,4 Yêú SL 23 % 48,9 Kém SL % 8,5 khảo sát 2.3.GII PHP V T CHC THC HIỆN Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh 2.3.1 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Trước hết giáo viên cần tổng hợp dạng tốn sau đó: - Sắp xếp toán theo mức độ, từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp với đối tượng cụ thể :  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)  Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu phương pháp) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến) + Phương pháp tìm nghiệm đa thức + Phương pháp hệ số bất định + Phương pháp xét giá trị riêng Tuy nhiên khuôn khổ giới hạn đề tài phụ thuộc vào trình độ nhận thức học sinh Tơi khơng có tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp, mà tập trung vào phương pháp (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6) Các phương pháp cịn lại (phương pháp 7,8,9,10) mang tính chất giới thiệu 2.3.2 C¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lý thuyết * Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi Đa thức thành tích đa thức Các phương pháp Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh  Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLNcủa hệ số ) -Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) *) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đỏi dấu hạng tử Ví dụ Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 ) Phân tích ví dụ - Ta thấy hệ số nguyên dương hạng tử ví dụ 1.1 là: 15; 9; ƯCLN(15, 9, 3) = Vậy hệ số nhân tử chung là: - Lũy thừa chữ hạng tử ví dụ 1.1 là: x 2y2 ; x3y ; x2y3 Lũy thừa chữ có mặt tất hạng tử x y, số mũ nhỏ x y Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung : x2y Vậy nhân từ chung đa thức ví dụ 1.1 là: x2y Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Với ví dụ lúc đầu học sinh gặp lúng túng cách xác định nhân tử chung Giáo viên đưa gợi ý: ? - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) ? - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) không xác định ) - GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ 1.3 giải sau: Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) –   y ( x  y ) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 1.4: Phân tích đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A) * Một số lưu ý sử dụng phương pháp Ví dụ 1.5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) Sai lầm cách viết hạng tử cịn lại ngoặc, Học sinh bỏ sót số (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x 2y hạng tử thứ ngoặc lại số 0) Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + ) Ví dụ 1.6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai - Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh * Chú ý: - Bình phương hai đa thức đối nhau: A2 = (-A)2 (Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn hai Đa thức đối nhau) Phương pháp 2: Dùng đẳng thức a Phương pháp: - Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy b 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = (3 - x)3 Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) Ví dụ 2.7: - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 3xy2 + (3xy2)2 ] = (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 ) Khai thác ví dụ: Qua ví dụ giáo viên hướng cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức q trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà: Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng bình phương (A2 B2) hạng tử cịn lại phân tích dạng (2.A.B) (– 2.A.B ) tìm cách phân tích đưa dạng đẳng thức (1) (2) (Ví dụ 2.1; 2.2) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) có dạng phân tích, đưa dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) áp dụng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 2.3) - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng (hoặc phân tích đưa dạng) lập phương (A B3 A3 -B3 ) hai hạng tử lại phân tích đưa dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) áp dụng đẳng thức thứ (4) thứ (5) (Ví dụ 2.4; 2.5) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) phân tích, đưa dạng lập phương (A3 B3) áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 2.6; 2.7) Chú ý: Đôi cần phải đổi dấu hạng tử áp dụng đẳng thức Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử: Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) =-[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a Phương pháp Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức b.Ví dụ: * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22) b xy - 5y + 2x – 10 c 2xy + z +2x +yz Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y ) = x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y) b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) c Cách 1: nhóm (2xy + z) (2x +yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức khơng thể phân tích được) Cách 2: nhóm (2xy + 2x) (z + yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 3.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x + – 4y2 b x2 + 4x – y2 + Giải: a x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) b.Cách Nhóm: (x2 + 4x) – (y2 - ) ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x) - (y2 - ) = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp) Cách Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + – y)(x + +y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x – 4y2 – 4y 10 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Giải: a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) (- 4y2 - 4y) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y) = x(x - 2)–4y(y + 1) (Đa thức khơng phân tích tiếp được) Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) ( - 2x - 4y ) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) b Cách 1: Nhóm (x3 – x) (3x2y + 3xy2 ) (y3 – y ) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y ) = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1) = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp ) Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) (- x - y) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y +1) Khai thác ví dụ: Qua ví dụ ta rút nhận xét: ví dụ 3.1 a,b ta nhóm hạng tử với 2, với với với ta phân tích đa thức thành nhân tử Nhưng ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ đa thức khơng thể phân tích dược Tương tự trường hợp (3.1.c) ta nhóm hạng tử với với đa thức khơng thể phân tích được, đa thức phân tích ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ thứ với thứ Tương tự ví dụ cịn lại Như đa thức phân tích tiếp sau nhóm cách hợp lý hạng tử, Việc nhóm cách hợp lý hạng tử đa thức thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà dựa vào kinh nghiệm trình giải toán dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán 11 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực Chú ý: Trong q trình nhóm hạng tử, phải ý tới dấu hạng tử sau nhóm ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh đưa lới giải sau Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: - Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu hạng tử ngoặc thứ hai sau nhóm) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) * Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục khơng thực nữa, cách nhóm sai bị nhầm dấu trình nhóm, phải thực lại (Ví dụ 3.1c Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)  Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp a Phương pháp: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung - Dùng đẳng thức có - Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử b Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử 12 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Ví dụ 4.1: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm hạng tử) = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng đẳng thức) = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) Ví dụ 4.2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr tốn tập 1); Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp, phương pháp tách hạng tử mang tính chất giới thiệu Tuy nhiên phần tập lại có khơng thể áp dụng phương pháp Xin giới thiệu thêm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán Các phương pháp khác (nâng cao)  Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đa thức bậc hai ax2 + bx + c ) a Phương pháp: - Tách hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức b Ví dụ: Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử 13 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Quan sát Đa thức ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Như để phân tích đa thức thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử Giải: Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2) x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x) x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc hạng tử tư do: ) x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: ( tách hạng tử tự do: ) x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Nhận xét: Từ ví dụ , ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Hướng dẫn: 3a Nhận xét z  x = (y  z)  (x  y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : 14 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y) = x2(y  z)  y2(y  z)  y2(x  y) + z2(x  y) = (y  z)(x2  y2)  (x  y)(y2  z2) = (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z) = (x  y)(y  z)(x  z) Chú ý : - Ở câu 3a ta tách y  z =  (x  y)  (z  x) (hoặc z  x=  (y  z)  (x  y)) - Đa thức câu 3.a đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Phương pháp 10) 4) a) x3 – 4x + ; b) x3 + 7x – ; ( áp dụng ví dụ 5.4) Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt hạng tử a Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ: * Thêm bớt số hạng để làm xuất đẳng thức Ví dụ 6.1.: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung ) x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) 15 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Cách 3: - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) *Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 6.2 Phân tích đa thức x5 + x  thành nhân tử Giải: Cách Thêm x4 , x3 , x2 bớt x4 , x3 , x2 x5 + x  = x5  x4 + x3 + x4  x3 + x2  x2 + x  = x3(x2  x + 1)  x2(x2  x + 1)  (x2  x + 1) = (x2  x + 1)(x3  x2  1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x  = x5 + x2  x2 + x  = x2(x3 + 1)  (x2  x + 1) = (x2  x + 1)[x2(x + 1)  1] = (x2  x + 1)(x3  x2  1) Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử Giải : x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)  Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x + x4 + 1, x7 + x5 + 1, ….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x +  Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số) a) Phưong pháp: - Đặt ẩn phụ, đổi biến đa thức cho thành đa thức có bậc nhỏ đơn giản Thực phân tích đa thức theo phương pháp b Ví dụ: Ví dụ 7.1: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử Giải: đặt x2 + x = y ta y2 + 3y + = (y +1)(y+2) 16 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) Ví dụ 7.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Hướng dẫn: Biến đổi đa thức cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x3 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)  Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm đa thức a Phương pháp: Cách 1:Dựa vào kết luận: - Nếu đa thức f(x) có nghiệm a đa thức chứa nhân tử là: (x - a) p - Nếu đa thức f(x)có nghiệm q đa thức chứa nhân tử là(qx p) Dựa vào ta tách đa thức f(x) cho xuất hiên nhân tử (x - a) (qx - p) Cách 2: Dựa vào định lý Bơ du - Đa thức f(x) có nghiệm a f(x) chia hết cho (x - a) Vậy f(x) = (x-a)g(x) Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (x-a) p - Đa thức f(x) có nghiệm q f(x) chia hết cho (qx - p) Vậy f(x) = (qx-p)g(x) Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (qx - p) * Cách tìm nghiệm đa thức Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) a phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 – Nếu đa thức P có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c) => -ac = - a ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi.(hạng tử tự do) 17 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1) b Ví dụ: Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – thành nhân tử *Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức có nghiệm (hay chứa nhân tử (x-1)) - Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ 8.2: a Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - có - + - = � Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) Giải: x3 - 5x2 + 8x - = x3 – x2 – 4x2 + 8x – = (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4) = x2(x - 1) – 4(x - 1)2 = (x - 1)(x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = + � Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1) Vậy f(x) = ( x + 1).g(x) ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13) Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13) + Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm p hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q p ước hạng tử không đổi, q ước dương hạng tử có bậc cao  Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp: 18 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức b.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Các hệ số  1;  Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả: x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta a+c=-6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = Xét bd = với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = d = Hệ thành: a+c=-6 ac = a + bc = -14 2c = -14 + = - c = - 4; a = - Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải tốn sau: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)  Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a Phương pháp: Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số cịn lại b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = 19 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa (x – y) chứa (y – z) (z – x) Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với  x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh khối trường THCS văn Lộc Điều thể cụ thể qua kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê sau: Chất lượng Giỏi Khá khảo sát Sè häc SL % SL % 10,6 13 27,7 sinh Trung bình SL 14 % 29,8 Yêú SL 12 % 25,5 Kộm SL % 6,4 khảo sát Chất lợng học sinh khảo sát so với cha áp dụng : -Gioỉ tăng : 4,2% -Khá tăng: 11,6% -Trung bình tăng: 14,9% -Yếu giảm : 23,4% -Kém giảm : 2,1% 20 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh * Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh q yếu, chưa thực tốt Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ toán dạng Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kỹ thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán 3-KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Cần có q trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em 21 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập 3.2 KIẾN NGHỊ Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình Bộ mơn tốn số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu tiết (4 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Với lượng thời gian đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn Vì Tơi xin có vài kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian, không gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy - Đối với phòng giáo dục: Tổ chức chuyờn v nghiờn cu Thanh Hoá, ngày 05 tháng 03 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngời khác XáC NHậN CủA THủ TRƯởng đơn vị Ngời thực Đi nh Thị Lan 22 Rốn k giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO IV Tài liệu tham khảo: - Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008 - Sách GV, SGK Tốn THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân – Nhà xuất GD - Nâng cao phát triển Tốn - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD - Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn – Nhà xuất GD – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 chu kỳ 2004 – 2007 mơn Tốn – Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất ĐHSP – Giáo trình phương pháp dạy học nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất ĐHSP 23 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh 24 ... cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà: Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử. .. pháp: 18 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức với... hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức b Ví dụ: Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử 13 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân