Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án – Trường THCS Nga Thắng

Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Chứng minh rằng  AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số [r]

(Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu 1: (4,5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A 4 2 :2 3 3 :2

7 5 3 7 5 3

 

   

     

   

b) Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với 1 2 x  c) Tìm số x, y, z biết rằng: x y

3  7 ; y z

2 5 x + y + z = - 110 Câu 2: (4,5 điểm)

a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng:

4 : 25 5 7 x 3 : 3, 21 4,5.131 : 211

9 18 5 45 2

   

      

   

b) T×m x, biÕt: x x x x x 11x

110

20 12

1

1

1

          

c) Tính giá trị biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 x, y thỏa mãn: x1 + (y + 2)20 =

Câu 3: (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: 2:

b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + 37 = b45 + b - 45 Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE b) Chứng minh rằng: gócDIB = 600

c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, … , a20 có tính chất sau: * a1 số dương

* Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm

Chứng minh : a1.a14 + a14a12 < a1.a12

Hết

Giám thị xem thi khơng giải thích thêm!

Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN

TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018

MƠN THI: TỐN Ngày thi: /03/2018

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP

NĂM HỌC 2017-2018 MƠN : TỐN

Nội dung Điểm

CÂU (4,5đ)

a (1,5)

4 2 2 3 3 2

A : :

7 5 3 7 5 3

 

   

     

   

= 4 2 3 3 :2

7 5 7 5 3

 

    

 

 

4 3 2 3 2 2

: 0 : 0

7 7 5 5 3 3

     

       

   

 

Vậy : A =

0,75 đ 0,5đ 0,25đ

b (1,5)

Vì 1 2

x  nên x = 1

2 x = - 1 2 Với x = 1

2 thì: A = 2.( 1 2)

2

– 1

2 + = Với x = - 1

2 thì: A = 2.(- 1 2)

2

– 3.(-1

2) + = Vậy : A=0 với x = 1

2 A=3 với x = - 1 2

0,75 đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

c (1,5)

Từ x y x y

3   7 6 14 ;

y z y z

2  5 14 35 Suy

x y z

6 14 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

x y z

6 14 35

x y z 110 6 14 35 55

  

 

  = -2

Suy x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70 Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70

0,5đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

CÂU (4,5đ)

a (1,5)

2) Ta có: 4 : 25 5 7 41 18. 7 2 7 5

9 18  9 41    

Lạicó:

1 31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2

3 :3,2 4,5.1 : 21 . . : 1 . .

5 45 2 5 16 45 2 5 43 5 43 5

  

              

         

         

Do đó: - < x < 2 5



mà x  Z nên x {-4; -3; -2; -1}

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b (2,0)

a) Nhận xét: Vế trái đẳng thức  nên vế phải 

suy 11x  hay x  víi x  ta cã:

0,75đ

1 1 1 1 1

11

2 6 12 20 110

1 1 1 1 1

11

2 6 12 20 110

x x x x x x

x x x x x x

          

           

suy x = 1- 1 11 =

10

11(TM) Vậy:x = 10

11

0,25đ

c (1,0)

1) Do x1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥  x1 + (y + 2)20 ≥ với x, y Kết hợp x1+ (y + 2)20 = suy x1= (y + 2)20 =  x = 1; y = -

Giá trị biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 x = 1; y = - là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = + 40 + 2015 = 2057

Vậy C=2057

0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ

CÂU (3,5đ)

a (1,5)

Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c9

Ta có  a + b + c  27

Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội 9,

a + b + c = a + b + c = 18 a + b + c = 27

Theo đề ta có: ;

1 2 3 6

a   b c a b c

Như a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy a = 3, b = 6, c =

Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, hai số cần tìm là: 396; 936

0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b (2,0)

Nhận xét: Với x ≥ x + x = 2x

Với x < x + x = Do x + x số chẵn với  xZ Áp dụng nhận xét b45 + b – 45 số chẵn với b  Z Suy 2a + 37 số chẵn  2a lẻ  a =

Khi b45 + b – 45 = 38

+ Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM) (a; b) = (0; 64)

0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

CÂU (6,0đ)

I K

A

B C

D

E

Ta có: AD = AB; DACBAE AC = AE Suy ADC = ABE (c.g.c)

0,75 đ 0,25 đ

b (1,5)

Từ ADC = ABE (câu a)ABEADC, mà BKIAKD(đối đỉnh)

Khi xét BIK DAK suy BIKDAK = 600 (đpcm)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

c

(1,5) I

K A

B C

D

E

M

N J

Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN ACMAEN ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN CAMEAN

MANCAE = 600 Do AMN

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ d

(2,0) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB BIJ  BJ = BI JBIDBA = 600 suy IBAJBD, kết hợp BA = BD

IBA = JBD (c.g.c) AIBDJB = 1200 mà BID = 600 DIA

 = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE CÂU

(1,5đ) (1,5)

Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 +

a19 + a20) < ; a1 > ; a2 + a3 + a4 > ; … ; a11 + a12 + a13 > ; a15 + a16 + a17 >

0 ; a18 + a19 + a20 > => a14 <

Cũng : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 +

a17) + (a18 + a19 + a20) < => a13 + a14 <

Mặt khác, a12 + a13 + a14 > => a12 >

Từ điều kiện a1 > ; a12 > ; a14 < => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm)

0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Chú ý:

+)Nếu HS làm theo cách khác cho điểm tối đa +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm