Đạo hàm trung bình và các phương pháp phối hợp để giải một số bài toán biên

TRUONG DAI HQC TONG HOP HA NOl Khoa Toan - Co - Tin hoc " ' • • ' ' ' ' ^ \ ' DAO HAM TRÜNG BÍNH VA CÁC PHÜONG PHÁP PHOI HCÍP • • DE GIÁI MĨT SO BÁI TOAN BIEN Chuyén ngánh: Toan hoc tính toan Más6 1-01-07 LUÁN AN PHO TIEN SI TOAN LY •^•'^ irifí !\¡Ü>^^, : THAY HUONG DAN: PHÁN VAN HAP HA NOI - 1993 MUC LUC Chijdng : M¿ dáu $1 Dao hám trxmE binh tích phan $2- Mót so khái niém bo trO 2.1 Nghiém xáp xi 2.2 Phiidng pháp can bang sai so 2.3 Các phép bien doi toan t\l g ¿: Cae bal toan bien co nghiem khong trun w 6 12 $1_ Bái toan bien d^ng phúc tap có nghiém gián cJoan 12 $2- Bái toan bien dang phúc ta.p có nghiém khóng trdn 17 $3 Bái toan bien dang don gian có nghiém khóng trdn 19 OJlUOn^ ü - Cae bai toan bien co he so khong tron 20 $1 Bái toan bien mot chiéu d^ng don gian 20 $2_ Bái toan bien 26 mot chiéu dang tóng qt ChllĨn^ 4' Cae bai toan bien eo bien ky di 30 $1 Bái toan bien vói phuong trinh laplaxd 30 $2 Bái toan bien vói phildng trinh poatxóng 42 ChliĨnS dMot so philong phap phoi hop giai Bái toan bien khóng dúng tren mién có bien ky di 46 $1- PhUdng pháp bien doi Laplaxd 46 $2 Phildng pháp 50 duóng thang $3- PhUdng pháp láp tích phán Phu luC 52 64 - A^ CHÜQNGl MO DAU Trong ehudng md dáu, tac giá trinh báy khái niém deo hám trung binh tích phán, mgt so tính chát quan trgng cüa vá mgt vái khái niém bó trd can thiét cho viéc nghién cúu d chiidng sau $1 Bao hám trung binh tích phán: 1.1 Sinh nghia [13]: i) Xét F:X —••• Y (X,Y - B khóng gian)' , Xo ^ X néu V h "íi X , ton t^ii: ( lim S-i-O F(xo+th)-F(xo) dt - SFCxo,h) 2Í /g- t thif F(xo,h) ggi bien phán trung binh (theo thú cüa hám F tai xo tích phán) iij Néu tai Xo ta cc5'F(xo,h) ~ Ah dó A - Toan tü tuyen tính giói ngi, thi F dUdc ggi la vi trung binh, co dao ham trung binh theo tích phán t§.i Xo, vá viét F'(xo, h)= Ah Nhán xét: De muc dinh nghién cúu cüa luán án nén ó dáy chi sü dung d&o ham trung binh tích phán theo dinh nghia tren Ta có thé md róng dinh nghia tren báng cách thay thé biéu thúc tronfe i) bói biéu thúc: F(xo+th)-F(xo) 1 im ^-ãã0 ể dỏy: dt = ĐF(xo.h) (ô+P )S -ai ô, B > O 1.2 Tinh chát [13] i) Hién nhién ta có: (FTG)( lim ^'-^O f(t)dt = 2ó im [f(5) - f(-Q)] S-^0 -5 F(Xo-i-5h) - F (Xo) F (Xo-5h) F(xo+§h) - F(xo) — lim — 5^ L^-^O F'(XO-HO) F(xo-5h) - F(xo) -í + lim + F'(xo-O) ==> (dfcm) $2 Mót s6 Jdiái niém b6 tro 2-1- Nghiém xáp xi [1] iriá sü can tim nghiém :i + «o 1=1 ' (2.1.4) ó dáy ai(i=0,n) só can tim; { *í^i(x) } (1=1,=^ ) hám dáy dü, túc thoa man dieu kién sau: i) { ¥'i(x) }._ dóc láp tuyén tính V n ii) V£> O, Vu,3n cho: Dat (2.1.4) [u- (ZtXiíí?i-HXo)] d x váo (2.1.1), ^ (2.1.2), i ¿ (2.1.3) ta R: = L ( U * ) - b TÍ O (2.1.6) Ri: = S(ü*) (2.1.7) Rs: = - s ?í O G(U") - g / O ¿xiOc: (2-1.8) Trong viee tim nghiem xap xi U cho ham sai se R, Ri, Ra dude xác dinh bdi (2.1.6), (2.1.7), (2.1.8) có giá tri bé túy y tren Q + r, da xuát hién nhieu phucng pháp ly thú Dé phuc vu cho viéc nghién cúu d chüdng sau, chúng tói trích dan phiidng pháp can báng sai só dUdc trinh báy [1] 2-2- PhUdng pháp can bang sai so Giá thiét rang VW déu viét dUde duói dang: Z Bifi i=l "trong dó {^^i} Thé thi moi ham (2.2.2- la hám dáy du ; {3 i} u thoa man dieu kién so bien ~inh dúngtúc lá: Ri = Rs - O j (2.2.2) va: (R,W) = (2.2.3) R.Wdo = O ¿\ióc g o l l nghiém x p x i c ü a b i t o a n ( ) , ( ) ; W dUdc g o l l hám t r o n g lUdng Dinh l y ( G a u x d - O s t r ó g r a t x k i ) Míen ii Büóc gla thlet^npl va Bón lien, quy, thé thi: f"^' mat f' la kin va chinh 3w 3u (w 'v^ u - u ^ " w ) dQ (2.1.2), (w -) u an ds (2.2.4) Bao hám ^n Q 3u Trong 36 V toan tü Laplaxó ; 3w ^ ^ _ an theo pháp tuyen 3n cua cae hám u^ w túóng úng 2-3- phép bién doi toan tU: 2.3.1 Phép bién doi LapIaxO mót chiéu: i) Dinh nghia: Phép bien Bol Laplaxó mot chleu phép 361 Bat túóng úng mol hám f(t) mot hám F(s) Búóc xác Binh Báng thúc: F(s): = ^ C f ( t ) , s] bien bol f(t) e ^"^ dt ii) Dieu kién dü dé ton tai phép bién dói Laplaxd mgt chiéu: Phép bién dói Laplaxd mót theo nghia hgi tu tuyét dói néu: + 0O a) Ton tai J if(t)[e f(t)(e o b) Ton tai ^ [f(t), s] dt chiéu cua hám f(t) ton tai - iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu: Phép bién dói dat tUdng úng moi hám^F(s) mgt hám f(t) má y [f(t),s] = F(s) dude ggi phép bién dói ngUOc Laplaxd mgt chiéu cüa hám f(t); vá viét; f(t) = ^ "^[F(s)] iv) S\t ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd a) Néu F(S) hám tai^^[F(s)] giái tích vá có cap nhó non (-1) thi ton b) Giá sü F(s) ' ^[Fi(s), F,2(s), , , Fn(s)] Trong dó ^(zi, zs, -., Zn) hám thoa man dieu kién: '^(Z1,Z2, , Z n ) ~ O < = => Zl = Z2 - Fic(s) = ¿' [fi^(t),s] thi ot CF(s)] ton tai hgi tu tuyét dói = Zn = O ; Vk = l,n vá phép bién dói Laplaiíd tUdng úng v) Tính chát cua phép bién dói Laplaxd: a) Gia thiét Fi(s), F2(s) bién dói Laplaxd cüa hám fi(t), f2(t) tUdng úng Thé thi V «, B ik háng so ta có; [ocfi(t) + tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S) ^ b) Gia thiét F(s) phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t), vá ton tai f (t) Vt > O dó: ^ [f'(t),s] = sF(s) - f(0+0) c) Gia thiét F(s) phép bién dói Laplaxd cüa tai dao hám cap r cüa hám f(t) Vt > O the thi; ^ ífit), s] = s F(s) - s f(0+0) - f f(t) vá ton (0+0) d) Neu^f(ü) hám giói ngi Vt >0 vá ton tai f'(t) Vt>0 "crú diém t=ti, ta, má tai dó f''t) có cae giói han hai phía húu han, thi ^ [f'Ct),s] = 3F(o)-F(0+0)-Zexp(-t±s) [f(ti+O )-x(-i-O ) ] e) Giá sü F(s) phép bién doi vói moi háng só a ta có: Laplaxd cüa hám f(t) dó - 10 %í [f(a.t),s] = a F( ) f) Giá thiet F(s,íx) phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t,'-x) dó « tham so khóng phu thuge váo t vá s Thé thi: ^[lim üt—*-a f(t,'o(),s] - lim F(s,ü() ot—*-a g) Giá thiét F{s) phép bién dói Laplaxd cua f ( t ) , dáng thúc sau: ta có + S^^t t f(t),s|= F'(s) + oC L^~^^ ^ x(t)^Sj= F (s) 4-m 5r[t~^ fft)^^= F^(s)ds (Néu tích phán hgi t u ) Tú tính chát b, vá d, ta có dinh ly thiét láp mói quan cüa phép bién dói Laplaxó vá dao hám trung binh nhu sau: trung f(t): Gla thiét f(t) glól nól Vt>0, binh f'(t) Vt>0; F(s) phép bien ton tal Bao hám Bol Laplaxó cua + Néu f(t) lien tuc thi-ta có: 3^ [ f - t ) , s] = sF(s) - f(0+0) + Neu f(t) có giói han hai phía hüu han tai tx, t2 thi Ífcf'(t), 3] = iF(s) - f(0+0)- i:exp(-tiS) [ f(ti+0)-f(ti-0) j V 2.3.2 Phep bién dói T.FJPlaxd hai chiéu: Phép bién dói Laplaxd hai chiéu phép bién i) Dinh nghia: dói dat tUdng ung moi ham í.\x.) mgt ham Fís) co dang: 11 x^[f(t) F(s) = =oCo[f(t),s)] = f(t)e ^ dt ii) Quan giüa bién dói Laplaxd hai chiéu vá mgt chiéu: Giá thiét ton tai phép bién dói Laplaxd vá hai chiéu cho hám f(t) thé thi: mgt chiéu ^ [ f ( t ) , s ] = ^[f(t),s] + ^[f(-t),s] iii) Tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu: Nhiéu tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu ¿xií^c suy tú tính chát cüa phép bién dói Laplaxd mgt chiéu Trong trng hOp riéng ta có; a) ^B'[f(t),s] = ^ [f(t),s] /? néu f(t) = O t ^ c a) ¿ f s [f(t),s] - ^[f(t),s] ^ neu f(t)=0 t i c - 61 tf ¿ G i j (0) = (P(l) Vdi: p(x) = , q(x) , f(x) = X vi du náy dUde giai báng lude sai phán chudng 3, vá phUdng pháp Gaioekin tren máy tinh dién tú, ket cho dó chinh xác nhU NhUng ta tháy lUdc sai phán chUdng ddn gian hdn nhiéu VI du Xét bái toán ; ^ ^ u ^ O X ^- (0,1) X «e r 3u u 3n Vi du dude giái báng phUdng pháp trinh báy chUdng cho truóng hdP a = 1,2,3, tren máy tinh dién tu Ket q tinh tốn düdc so sánh vói nghiém dúng cua oai toan vá cho dó chinh xác cao - ^ p e : V e L t, t> !• ••-••,-, !'• 1- a y f |_ „ n I ] D f bs- T ¿O ; i'ar n , i , j !.: i n I eyer-; ín s | : : a r r r t > [ - , n J n f r eaJ.; { ' 1- ií\ ) ' , A , Í; ; i f n: • n :i 111 '.< o vi v i t e 111 ( ' A11 o w o 111 yn i , ' no I íB l o p s ' ) un t'j t riíi-p::: [3Jike r l'r in l(?r ?(S.'L") 0,0 1.1 :; yL3 1(' oo:;s y L j 0.,02^'>: yL^vlv>,.Oin;; yL^>;i ^^ 0.03V:; yLiOJo o:^7; ;-r?:i ^^ 0'1'1; yLI'ri o O''í'U y m : i 0.037; yL in t O.O'-kl :: yt.i7::i0.,026; y¡-22 I - ; yi;2i:,[0,.011; yL2á 011^ ^ y[2^^k^^^ 0,.010í 0.002; yL2v:i- r eí: u l t rocéd u r e f i v r r su /l'l a I r i x ( v a r A ^ B ^ C s '.-e c; t o r ) ; Vc-ir ÍI,V2Vi?r.: l o r ; |)eqin O n a k e U ( l ) - U C n ) > ULÍ]:-1;;ÜL2.1: — ( A L : I / B L : I ) ; Por i : - t o n - d o UL i : : i : - • • ( (CL i - : ) t t l L i 2:i t AL i - l J ^ M I L i - J ) / í ^ L i - I J ) I I L , n - J : - / ( C L n • ] t U L11 " J i A L r^ - ] ^1^ U I n • j ) ^ {make R m a t r i x ] f o r i : - t o n - d o F:L l n - :i í - Ü L i il^l^l^lL , i' i 1;; RLÍ,n-tJ:-HLl,n-i::i; m : l n - : ! : - ( R t K r - i : i : i ' A L n :iM:iLn- : i ) ; f o r i í - n ' - d o w n U ) d o RL , i : - • ( (RL i ' I t C L i r r ] H^^f ; i H |:í.AL i ' H ) / r ( L i I ) ; f o r- j ;"" I o n - d o •for •feI i:=^^2 l o i : •••2 t o j d o RL :i , J ] " = 1J[ J'f-RL U J ü ; n ~ l ror i::^^l t o i - RLi , jJr^^O; !.(nak.e y ( n " l ) - V ( I ) > V | : i r - i : ] ; : - l ; V L i v - : ] i : - (ALi IJ/CLrr 2.1); f o r i r - n - d o w n t o VL i l h - • • í ( l ' L i M JiUT i ' fAL i t n : f VL i " H ) / L L :i) l1Ln-l,r]:-t./(ACtJ:^VLi:itBLtJ;KVL2:n; Onako l u a l r l x ] f o r i : - t o n - S L i , : h - V | i ::i1d1Ln - I., :1 : i ; ;:;Lrv-i j j : - M í : n - i , i : i ; sLo -1,2:1: (nLivi.,i::i:i:ALri-''(::Li:!); for for ion íor for i:-3 i:-3 i:-2 j :-:-l i r. -l lo to lo lo to n-2 S L n - l , i II r ( (!M:n -1 J • 2:iti::í i •2;] vSLn l, r :i1 ALi -IJ )/CLi H n:l t h e n fji* i t e t n ( * Allt: " n l ; f o r \.:-[ t o n - d o xL J ^ ^ ^ ^ i / n ; w r i 11 • ri ( ' C a c:\ 11 a I i 11 (t (o i- iN , ' ) ; for i : ^^1 t o h-qin \) i ); A L i ] : - ^ - ! ' ' ' ' ( r | ( ( x i : i : M x L i - t : D / ) M i f ( x r i U :i i y L j : ! ) / ) ) / ( ' l : ^ : ! ) PL i :\' ••••••• ( f ( ( •••• L i :i ' >: I- i ' ' );re,"-(k!n(n) ; r;1 , ' 11(^1 s t e p - r ^ ^ ^ ''"'••) ' •f' ( V :•: r :i ' t ] i •; [ i ) / ) ) / ( 2tl^) t:?\M!i; • H r i t e n ( ' C a r u a t i 11 (j í«.' r t* J " - ' ) ; f o r ;i - •" t t o 11 d o , t a ^ f í i o ^''' ^ I - " - > ' ' t | f (>;i: i ' i : | f > : L t : ! ) ' ) / ( d ' l i đ ; ; ' ' íni;:!: -ni(:|((xriM:jixLn) •'2)/('!tn)í end;; 'wr i l e n ( ' C a l t i k l a l i n q íor N '); ;¡ t r i v e r t:!.eMa-t.r :i x ( A , H ^ i ; ) ; r o r i:::::! t o n-1 yLiJ:^'=Oii • • »: for i :::;l to n-l for j:^X to n-1 y L i I : - y L t IH'IL i , J :Jtl)L j ] í (jn