Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán đã cố định công việc đắp xong một đoạn đường và số người đều có 4 người nên số giờ làm việc trong mỗi ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.. Giải bài toán trên ta tìm đ[r]
(1)GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học, dạng toán “Tạo lập số” đề cập từ lớp Càng lên lớp trên thì cấu trúc dạng toán này yêu cầu phức tạp Vậy việc dạy và học toán “Tạo lập số” nào cho có hiệu cao Chúng ta hãy cùng trao đổi qua các bài toán sau : Bài toán 1: Cho các chữ số 1, 3, a) Lập các số có chữ số từ chữ số trên b) Lập các số có chữ số khác từ chữ số trên Phân tích : a) Các số lập thỏa mãn các điều kiện : Có chữ số Từ các chữ số đã cho Mỗi chữ số có thể lặp lại số Như ta có sơ đồ hình cây sau : b) Các số lập thỏa mãn các yêu cầu sau : Có chữ số Từ các chữ số đã cho - Mỗi chữ số xuất lần số (khác ý a) Ta có sơ đồ sau : Giải : Nhìn vào sơ đồ hình cây (1) ta thấy : a) Các số có chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555 b) Nhìn vào sơ đồ hình cây (2) ta có các số thỏa mãn đầu bài là : 135, 153, 315, 351, 513, 531 Nhận xét : Phân tích theo sơ đồ hình cây ta nên vẽ theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc từ lớn đến bé) Như thuận lợi bài toán yêu cầu xếp các số lập theo thứ tự Bài toán 2: a) Có bao nhiêu số có chữ số lập thành từ chữ số lẻ ? b) Có bao nhiêu số có chữ số khác lập thành từ chữ số lẻ ? Phân tích : - Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, vì ta phải có bước tìm chữ số cần lập tìm số lượng chữ số - Bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà yêu cầu tìm số lượng số Lời bàn : Ta có nên lập các số đó đếm không ? - Nếu đề toán cho ít chữ số thì ta có thể làm theo cách đó Nhưng có nhiều chữ số thì làm theo cách đó là thời gian chí không liệt kê hết Vậy có cách nào và lập luận nào cho chuẩn xác ? Nhìn vào bài toán ta thấy các chữ số đã cho mà khác thì : Lop4.com (2) - Có bao nhiêu chữ số có nhiêu cách chọn hàng cao nhất, có nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhì cho cách chọn hàng cao thứ nhất, có nhiêu cách chọn hàng cao thứ ba cho cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì (Nếu là các chữ số không thiết phải khác số) - Có bao nhiêu chữ số thì có nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhất, số cách chọn hàng cao thứ nhì cho cách chọn hàng cao thứ kém 1, số cách chọn hàng cao thứ ba cho cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì kém 2, Nếu là các chữ số phải khác số) Số lượng số chính tích các cách chọn Giải : Từ phân tích trên ta có thể đưa cách giải chuẩn xác sau : a) Có chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, Với chữ số đó ta có đúng cách chọn chữ số hàng trăm Với cách chọn chữ số hàng trăm ta có đúng cách chọn chữ số hàng chục Với cách chọn chữ số hàng trăm, hàng chục ta có đúng cách chọn chữ số hàng đơn vị Mỗi cách chọn cho ta đúng số Vậy có tất : x x = 125 (số) thảo mãn đề bài b) Với chữ số trên ta có đúng cách chọn chữ số làm hàng trăm Sau đã chọn chữ số làm hàng trăm ta còn - = (chữ số) nên có đúng cách chọn chữ số làm hàng chục Sau đã chọn chữ số làm hàng trăm, hàng chục ta còn - = (chữ số) nên có đúng cách chọn chữ số hàng đơn vị Mỗi cách chọn cho ta đúng số Vậy có tất : x x = 60 (số) thỏa mãn đề bài Đáp số : a) 125 số ; b) 60 số Chú ý : Nếu các chữ số đã cho có chữ số thì cần lưu ý chữ số không đứng làm hàng cao Các em thử vận dụng linh hoạt cách giải trên để giải các bài toán tạo lập số gắn với nhiều điều kiện khác xem nhé Thành thạo loại toán này các em giải nhiều bài toán thực tế lí thú Chúc các em thành công ! SỬ DỤNG CHẶN TRÊN, CHẶN DƯỚI TRONG GIẢI TOÁN Có thể nói giải các bài toán tiểu học, sử dụng chặn trên, chặn giúp cho việc giải nhiều bài toán trở nên sáng sủa, mạch lạc và có tác dụng không nhỏ việc rèn tư toán học cho học sinh tiểu học Tuy nhiên thủ thuật trên là bước dãy các bước giải bài toán vì nó ít lưu ý với học sinh Để giúp các bạn học sinh làm quen với phép suy luận trên, chúng ta hãy cùng giải số bài toán sau : Bài : Tìm abc , biết: abc + ab + c = 263 Bài Cách Có : abc *a = 100 + b 110 + b x b x 11 + b x Vì 153 giải : : (Sử dụng chặn trên) nhỏ 262 Vậy a = ; : 1bc + 1b + c = 263 x 10 + c + 10 + b + c = 263 11 + c x = 263 (cấu tạo thập phân số) c x = 263 - 110 (tìm số hạng chưa biết) 11 + c x = 153 lẻ, c x chẵn nên b x 11 lẻ Lop4.com (3) Vậy Kiểm *a 200 220 b x b Vì b Nếu c c Nếu c c c c Vậy Thử b tra = + + b 11 x 43 x b b lại = ; 3 ; ; 7 b = ; ; ; loại : 2bc + 2b + c =263 b x 10 + c + 20 + b + c = 263 x 11 + c x = 263 (cấu tạo thập phân số) + c x = 263 - 220 (tìm số hạng chưa biết) 11 + c x = 43 lẻ, c x chẵn nên b x 11 lẻ 11 < 44 Vậy b = ; = : 11 + c x = 43 x = 43 11 x = 22 (loại) = : 33 + c x = 43 x = 43 33 x = 10 = 10 : = abc = 235 : 235 + 23 + = 263 (đúng) Cách : (Sử dụng chặn trên và chặn dưới) Có : abc nhỏ 263 Vậy a nhỏ Vì 199 + 19 + = 227 < 263 Vậy suy a > Vậy a = trở trường hợp cách Bài : Một hình chữ nhật có chiều dài 50 m Giữ nguyên chiều dài và tăng chiều rộng thêm 10 m, ta hình chữ nhật mới, hình chữ nhật này có diện tích diện tích hình vuông có cạnh lớn 53 m Biết số đo cạnh hình vuông là số tự nhiên, hãy tìm chiều rộng hình chữ nhật đã cho ? (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội, 1984 1985) Bài giải : Gọi ABCD là hình chữ nhật ban đầu (AB = 50 m) ; ABMN là hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật DCMN là : 50 x 10 = 500 (m2) Diện tích hình chữ nhật ABCD không vượt quá : 50 x 50 = 2500 (m2) Vậy diện tích hình chữ nhật không vượt quá : 2500 + 500 = 3000 (m2) Biết số đo cạnh hình vuông là số tự nhiên lớn 53 m Vậy cạnh hình vuông là 54 m thì diện tích hình chữ nhật là : 54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2 Nếu cạnh hình vuông là 55 m thì diện tích hình chữ nhật là : 55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2 Vậy diện tích hình chữ nhật là 2916 m2 Chiều rộng hình chữ nhật cũ là : Lop4.com (4) 2916 Đáp : 50 số - 10 : = 48,32 48,32 (m) m Bài : Một quan tổ chức trồng cây Một phần ba số nhân viên mang theo con, mang theo Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10 cây, trẻ em trồng cây Hỏi quan đó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên nữ ? Biết họ trồng tất 216 cây (Đề thi học sinh giỏi liên tỉnh Hồng Công) Bài giải :(Dùng chặn trên, chặn dưới) Theo đề bài, nhân viên nam trồng nhiều cây nhân viên nữ nên phép thử, ta biết : Số nhân viên ít 18 người vì số nhân viên 18 người thì số cây trồng ít (khi nhân viên toàn nữ) là: Gi sử số nhân viên ít là 18 thì số trẻ em ít là : 10 x 18 + x (18 : 3) = 216 (cây) đúng số cây đầu bài - Số nhân viên phải nhiều 14 người vì số nhân viên băng 14 người thì số câu trồng nhiều (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + x (14 : 3) =210 (cây) (nhỏ 216 cây) Theo đề bài lại có: 1/3 số nhân viên có mang theo Vậy số nhân viên phải chia hết cho 3, đó số nhân viên phải 15 Số mang theo là: 15 : = (con) Số cây mà nhân viên trồng là: 216 - x = 186 (cây) Gi sử 15 nhân viên toàn là nam thì số cây trồng là : 13 x 15 = 195 (cây) Số nhân viên nữ là : (195 - 186) : (13 - 10) = (nhân viên) Số nhân viên nam là : 15 = 12 (nhân viên) Thử lại : 12 x 13 + x 10 + x = 216 (đúng) Đáp số : nhân viên nữ : ; nhân viên nam : 12 Như qua bài toán dạng khác nhau, việc sử dụng chặn trên, chặn giúp chúng ta giải bài toán và hạn chế số trường hợp cần thử chọn Sau đây là số bài toán để các em vận dụng a) Điền chữ số vào dấu (?) trường hợp sau : ?? + ?? = ?97 b) Tìm số nguyên nhỏ cho tổng các chữ số nó 22 Giả sử A là số có hai chữ số, B là tổng các chữ số A ; C là tổng các chữ số B Tìm A biết A = B + C + 51 Tìm a, b, c biết : abc x (a + b + c) = 1000 Tìm số tự nhiên, biết tổng số đó và tổng các chữ số nó 1987 TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH Bài viết số 1: Chương trình Toán lớp 4, đã giới thiệu hai đại lượng tỉ lệ thuận, đó là hai đại lượng mà đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian và quãng đường (trong chuyển động đều), số lượng loại hàng và số tiền hàng, độ dài cạnh hình vuông và chu vi hình vuông, số người làm và sản phẩm làm Lop4.com (5) (khi suất người nhau), số sản phẩm và lượng nguyên vật liệu để sản xuất sản phẩm, Nếu biết cặp giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ thuận và giá trị đại lượng này thì ta có thể tìm giá trị tương ứng đại lượng (bài toán tìm giá trị đó thường gọi là bài toán tam suất đơn thuận) Chúng ta có cách giải các bài toán dạng này, đó là phương pháp rút đơn vị và phương pháp tìm tỉ số Ví dụ 1: May ba quần áo hết 15 mét vải Hỏi may quần áo hết mét vải ? Tóm tắt: quần áo hết 15 m vải quần áo hết ? m vải Lời giải : * Cách rút đơn vị May quần áo hết: 15 : = (m) May quần áo hết: x = 45 (m) * Cách dùng tỉ số quần áo gấp quần áo số lần là: : = (lần) Số mét vải may quần áo đó là: 15 x = 45 (m) Những bài toán hai đại lượng làm sở để ta giải các bài toán xuất ba đại lượng mà hai đại lượng bất kì tỉ lệ thuận Ví dụ : Nếu người, người làm việc thì nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc thì nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị công người là nhau) Phân tích : Ta tóm tắt bài toán sau: người làm nhận 150000 đồng 15 người làm nhận ? đồng Để giải bài toán có ba đại lượng, ta phải cố định đại lượng (làm cho đại lượng nhau) để tìm giá trị chưa biết hai đại lượng Việc giải ví dụ đưa giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1a: Nếu người, người làm việc thì nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc thì nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị công người là nhau) Lop4.com (6) Lời giải: 15 người so với người thì gấp: 15 : = (lần) 15 người, người làm việc thì nhận số tiền là: 150000 x = 450000 (đồng) Bài toán 2a: Nếu 15 người, người làm việc nhận 450 000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc thì nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : so với thì gấp: : = (lần) 15 người người làm việc thì nhận số tiền là: 450000 : = 225000 (đồng) Đáp số bài toán chính là đáp số ví dụ Chú ý : Có đường khác để giải ví dụ là đưa việc giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1b : Nếu người, người làm việc thì nhận 150000 đồng Hỏi: Nếu người, người làm việc thì nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị công người là nhau) Lời giải : người người làm việc thì nhận số tiền là: 150000 : = 25000 (đồng) người người làm việc thì nhận số tiền là: 25000 x = 75000 (đồng) Bài toán 2b : Nếu người, người làm việc thì nhận 75000 đồng Hỏi : Nếu có 15 người, người làm việc thì nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : Mỗi người làm việc thì nhận số tiền là: 75000 : = 15000 (đồng) 15 người người làm việc thì nhận số tiền là: 15000 x 15 = 225000 (đồng) Như bài toán phức tạp hơn, có nhiều đại lượng giải nhờ đưa các bài toán có hai đại lượng Bây các bạn hãy cùng giải các bài toán sau đây : Lop4.com (7) Bài : Người ta tính xe cùng loại chở hàng, xe 50 km thì tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng Hỏi xe thế, xe 100 km thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu ? Bài : Có người ăn ngày hết 24 ki-lô-gam gạo Hỏi người ăn 10 ngày thì hết bao nhiêu ki-lô-gam gạo ? Biết phần ăn người là Các bạn có thể trao đổi tiếp xung quanh bài toán các đại lượng tỉ lệ nghịch Mong nhận nhiều ý kiến các bạn Bài viết số 2: Ở bài viết trên đã giúp các bạn nắm phương pháp giải các bài toán có tới đại lượng mà hai đại lượng bất kì tỉ lệ thuận Để chúng ta nhận biết nhanh và giải thành thạo các bài toán các đại lượng tỉ lệ nghịch chúng ta cùng tìm hiểu ví dụ sau : Ví dụ : 14 người đắp xong đoạn đường ngày Hỏi 28 người đắp xong đoạn đường đó bao nhiêu ngày ? (Năng suất lao động người nhau) Tóm tắt : 14 người đắp xong đoạn đường : ngày 28 người đắp xong đoạn đường đó : ? ngày Tương tự toán các đại lượng tỉ lệ thuận, toán các đại lượng tỉ lệ nghịch có cách giải *Cách : Rút đơn vị Một người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : x 14 = 84 (ngày) 28 người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : 84 : 28 = (ngày) *Cách : Dùng tỉ số 28 người so với 14 người thì gấp : 28 : 14 = (lần) 28 người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : : = (ngày) Ví dụ là bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch Nắm vững phương pháp giải bài toán đó chúng ta có thể giải bài toán có tới đại lượng mà hai đại lượng bất kì tỉ lệ nghịch Các bạn hãy theo dõi ví dụ sau : Ví dụ : Nếu có người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi có người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường bao nhiêu ngày (năng suất lao động người nhau) Tóm tắt : người ngày làm : 12 ngày Lop4.com (8) người ngày làm 10 : ? ngày Việc giải bài toán này ta đưa giải liên tiếp hai bài toán đơn mà hai đại lượng bài tỉ lệ nghịch *Cách : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1a : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường đó ngày ? (năng suất lao động người nhau) Bài toán trên đã cố định số làm việc ngày và công việc phải làm (đắp xong đoạn đường đã định) nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải bài toán đó và tìm đáp số là ngày Bài toán 2a : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người đó ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó ngày ? (năng suất lao động người nhau) Vẫn công việc ấy, bài toán đã cố định số người (đều có người) nên số làm việc ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải bài toán này ta tìm đáp số là ngày Đáp số này chính là đáp số ví dụ Ta có thể bày lời giải ví dụ sau : Một người ngày làm việc đắp xong đoạn đường đó số ngày là: 12 x = 48 (ngày) người ngày làm việc đắp xong đoạn đường đó số ngày là: 48 : = (ngày) 10 so với thì gấp: 10 : = (lần) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đõ số ngày là: : = (ngày) *Cách : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1b : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi người ấy, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày? (sức lao động người nhau) Bài toán đã cố định công việc (đắp xong đoạn đường) và số người (đều có người) nên số làm việc ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải bài toán trên ta tìm đáp số là ngày Lop4.com (9) Bài toán 2b : Nếu người, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày ? (sức lao động người nhau) Vẫn công việc ấy, bài toán này đã cố định số làm việc ngày nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải bài toán này và tìm đáp số là ngày Đáp số này chính là đáp số ví dụ Trình bày lời giải sau: 10 so với thì gấp: 10 : = (lần) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó số ngày là: 12 : = (ngày) Một người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó số ngày là: x = 24 (ngày) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường số ngày là: 24 : = (ngày) Ví dụ : Nếu ca có 24 công nhân, công nhân đứng máy thì dệt 720 mét vải Nếu ca có 12 công nhân phải dệt 1440 mét vải thì công nhân phải đứng máy ? (năng suất máy nhau) Việc giải ví dụ trên ta có thể đưa giải liên tiếp bài toán đơn cách đó có bài toán hai đại lượng tỉ lệ thuận, bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch Cũng có thể đưa giải liên tiếp bài toán tỉ lệ thuận Chóng ta cã thÓ giải tất các cách nhớ nhận biết bài nào thuộc dạng nào để tránh nhầm lẫn đáng tiếc TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Chương trình toán đã giới thiệu các bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch sau các em làm quen với các bài toán đại lượng tỉ lệ thuận Trong bài viết “Toán các đại lượng tỉ lệ thuận” tác giả Đỗ Văn Thản đăng trên TTT số 43 đã giúp các bạn nắm phương pháp giải các bài toán có tới đại lượng mà hai đại lượng bất kì tỉ lệ thuận Để các bạn nhận biết nhanh và giải thành thạo các bài toán các đại lượng tỉ lệ nghịch chúng ta cùng tìm hiểu ví dụ sau : Lop4.com (10) Ví dụ : 14 người đắp xong đoạn đường ngày Hỏi 28 người đắp xong đoạn đường đó bao nhiêu ngày ? (Năng suất lao động người nhau) Tóm tắt : 14 người đắp xong đoạn đường : ngày 28 người đắp xong đoạn đường đó : ? ngày Tương tự toán các đại lượng tỉ lệ thuận, toán các đại lượng tỉ lệ nghịch có cách giải *Cách : Rút đơn vị Một người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : x 14 = 84 (ngày) 28 người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : 84 : 28 = (ngày) *Cách : Dùng tỉ số 28 người so với 14 người thì gấp : 28 : 14 = (lần) 28 người đắp xong đoạn đường đó số ngày là : : = (ngày) Ví dụ là bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch Nắm vững phương pháp giải bài toán đó chúng ta có thể giải bài toán có tới đại lượng mà hai đại lượng bất kì tỉ lệ nghịch Các bạn hãy theo dõi ví dụ sau : Ví dụ : Nếu có người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi có người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường bao nhiêu ngày (năng suất lao động người nhau) Tóm tắt : người ngày làm : 12 ngày người ngày làm 10 : ? ngày Việc giải bài toán này ta đưa giải liên tiếp hai bài toán đơn mà hai đại lượng bài tỉ lệ nghịch *Cách : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1a : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường đó ngày ? (năng suất lao động người nhau) Bài toán trên đã cố định số làm việc ngày và công việc phải làm (đắp xong đoạn đường đã định) nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải bài toán đó và tìm đáp số là ngày Lop4.com (11) Bài toán 2a : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người đó ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó ngày ? (năng suất lao động người nhau) Vẫn công việc ấy, bài toán đã cố định số người (đều có người) nên số làm việc ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải bài toán này ta tìm đáp số là ngày Đáp số này chính là đáp số ví dụ Ta có thể bày lời giải ví dụ sau : Một người ngày làm việc đắp xong đoạn đường đó số ngày là : 12 x = 48 (ngày) người ngày làm việc đắp xong đoạn đường đó số ngày là : 48 : = (ngày) 10 so với thì gấp : 10 : = (lần) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đõ số ngày là : : = (ngày) *Cách : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1b : Nếu người ngày làm việc thì đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi người ấy, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày ? (sức lao động người nhau) Bài toán đã cố định công việc (đắp xong đoạn đường) và số người (đều có người) nên số làm việc ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải bài toán trên ta tìm đáp số là ngày Bài toán 2b : Nếu người, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người, ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường ngày ? (sức lao động người nhau) Vẫn công việc ấy, bài toán này đã cố định số làm việc ngày nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải bài toán này và tìm đáp số là ngày Đáp số này chính là đáp số ví dụ Trình bày lời giải sau : 10 so với thì gấp : 10 : = (lần) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó số ngày là : 12 : = (ngày) Lop4.com (12) Một người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường đó số ngày là : x = 24 (ngày) người ngày làm việc 10 thì đắp xong đoạn đường số ngày là : 24 : = (ngày) Ví dụ : Nếu ca có 24 công nhân, công nhân đứng máy thì dệt 720 mét vải Nếu ca có 12 công nhân phải dệt 1440 mét vải thì công nhân phải đứng máy ? (năng suất máy nhau) Việc giải ví dụ trên ta có thể đưa giải liên tiếp bài toán đơn cách đó có bài toán hai đại lượng tỉ lệ thuận, bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch Cũng có thể đưa giải liên tiếp bài toán tỉ lệ thuận Các bạn hãy giải tất các cách nhớ nhận biết bài nào thuộc dạng nào để tránh nhầm lẫn đáng tiếc TTT khuyến khích việc sáng tác các bài toán tương tự và có quà cho các bạn có đề hay gửi sớm Hãy nhanh lên các bạn nhé ! PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI Có số bài toán cho biết kết sau thực liên tiếp số phép tính số phải tìm Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đôi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối) Khi giải toán phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài Kết tìm bước trước chính là thành phần đã biết phép tính liền sau đó Sau thực hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài, ta nhận kết cần tìm Những bài toán giải phương pháp tính ngược từ cuối thường giải phương pháp đại số phương pháp ứng dụng đồ thị (xem các số tiếp theo) Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 bớt và cuối cùng chia cho ta kết 12 Phân tích: Trong bài này ta đã thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy các phép tính đây: x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối cùng 12 - Ta có thể xác định số trước chia cho kết là 12 (Tìm số bị chia biết số chia và thương số) - Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ và hiệu số) Lop4.com (13) - Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng và tổng số) - Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích và thừa số kia) Từ phân tích trên ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là: 12 x = 36 Số trước bớt là: 36 + = 40 Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : = 12 Trả lời: Số cần tìm là 12 Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45 Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác đề bài sơ đồ sau: Ta có: Số thứ nhất: - 14; + cho kết là 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết là 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết là 45 Từ phân tích trên ta đến lời giải bài toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52 Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24 Lop4.com (14) Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 Lời giải bài toán trên có thể thể bảng Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 Các bạn thử giải các bài toán sau phương pháp tính ngược từ cuối: Bài 1: Tìm số, biết giảm số đó lần, sau đó cộng với 5, nhân với và cuối cùng chia cho kết Bài 2: Tổng số ba số 96 Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ đơn vị thì số thứ gấp đôi số thứ hai và 2/5 số thứ ba Tìm ba số đó DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Trong tháng các em lớp đã học dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Các em đã làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho số nào đó Chẳng hạn : Bài toán1 : (bài trang16 SGK toán 5) Viết chữ số thích hợp vào dấu (*) để số chia hết cho : a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891 các bài toán này ta cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số điền vào dấu * Khi đã học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, các em có thể giải các bài toán phối hợp các điều kiện chia hết để điền chữ số thích hợp : Bài toán : Thay a, b số 2003ab chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, và Phân tích : Tìm chữ số nào trước, muốn tìm chữ số dựa vào dấu hiệu nào ? b là chữ số tận cùng nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho và Vậy tìm a dựa vào dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và số đó có tận cùng là Từ đó ta có cách giải sau Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho và nên b = Thay b = vào số 2003ab ta 200a0 Số này chia hết cho nên tổng các chữ số nó chia hết cho Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho hay (5 +a) chia hết cho Vì chia cho dư nên a có thể là Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là : - A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2) Từ đó các bạn có thể giải bài toán : Bài toán : Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; và dư Nhận xét : A chia cho ; và dư nên A - đồng thời chia hết cho ; và Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải Giải : Vì A chia cho ; và dư nên A - chia hết cho ; và Vậy chữ số tận cùng A - phải 0, suy y = Vì A - chia hết cho nên x + + + + chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết cho nên x chia Lop4.com (15) hết cho 9, x là chữ số hàng cao nên x khác Từ đó x có thể Thay x = ; y = vào A ta số 94591 bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư Bây ta xét : Bài toán : Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư và chia cho dư Tuy các số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Như ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này Giải : Gọi số cần tìm là A Vì A chia cho dư và A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho và Vậy chữ số tận cùng A + là Hiển nhiên A +1 không thể có chữ số Nếu A + có chữ số thì có dạng x0 Vì x0 chia hết cho nên x có thể là ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số đó có 60 là chia hết cho Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59 Do đó số cần tìm là 59 Bài viết này đề cập tới phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số Giải các bài toán xác định các chữ số chưa biết số các bạn có thể tìm thêm phương pháp khác và luyện tập qua các bài tập sau : Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; và dư Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số đã cho ta số có chữ số chia cho dư ; chia cho dư và chia cho dư Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có chữ số khác nhau, chia số đó cho và dư Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; và 5, biết đổi chỗ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Trong tháng các em lớp đã học dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Các em đã làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho số nào đó Chẳng hạn : Bài toán1 : (bài trang16 SGK toán 5) Viết chữ số thích hợp vào dấu (*) để số chia hết cho : a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891 các bài toán này ta cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số điền vào dấu * Khi đã học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, các em có thể giải các bài toán phối hợp các điều kiện chia hết để điền chữ số thích hợp : Bài toán : Thay a, b số 2003ab chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, và Phân tích : Tìm chữ số nào trước, muốn tìm chữ số dựa vào dấu hiệu nào ? b là chữ số tận cùng nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho và Vậy tìm a dựa vào dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và số đó có tận cùng là Từ đó ta có cách giải sau Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho và nên b = Thay b = vào số 2003ab ta 200a0 Số này chia hết cho nên tổng các chữ số nó chia hết Lop4.com (16) cho Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho hay (5 +a) chia hết cho Vì chia cho dư nên a có thể là Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là : - A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2) Từ đó các bạn có thể giải bài toán : Bài toán : Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; và dư Nhận xét : A chia cho ; và dư nên A - đồng thời chia hết cho ; và Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải Giải : Vì A chia cho ; và dư nên A - chia hết cho ; và Vậy chữ số tận cùng A - phải 0, suy y = Vì A - chia hết cho nên x + + + + chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết cho nên x chia hết cho 9, x là chữ số hàng cao nên x khác Từ đó x có thể Thay x = ; y = vào A ta số 94591 bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư Bây ta xét : Bài toán : Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư và chia cho dư Tuy các số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Như ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này Giải : Gọi số cần tìm là A Vì A chia cho dư và A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho và Vậy chữ số tận cùng A + là Hiển nhiên A +1 không thể có chữ số Nếu A + có chữ số thì có dạng x0 Vì x0 chia hết cho nên x có thể là ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số đó có 60 là chia hết cho Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59 Do đó số cần tìm là 59 Bài viết này đề cập tới phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số Giải các bài toán xác định các chữ số chưa biết số các bạn có thể tìm thêm phương pháp khác và luyện tập qua các bài tập sau : Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; và dư Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số đã cho ta số có chữ số chia cho dư ; chia cho dư và chia cho dư Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có chữ số khác nhau, chia số đó cho và dư Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; và 5, biết đổi chỗ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi TOÁN VỀ KIM GIỜ VÀ KIM PHÚT LỚP Để tạo điều kiện cho HS thi giải toán trên Internet và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi xin giới thiệu số bài toán quan trọng kim và kim phút Các bài toán sau : Lop4.com (17) +Kim và kim phút vuông góc với +Kim và kim phút trùng với +Kim và kim phút thẳng hàng với Lop4.com (18) Lop4.com (19) A PHÉP CỘNG I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) + a = a + = a (a - n) + (b + n) = a + b (a - n) + (b - n) = a + b - n x (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x Nếu số hạng gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại giữ nguyên thì tổng đó tăng lên số đúng (n - 1) lần số hạng gấp lên đó Nếu số hạng bị giảm n lần, đồng thời các số hạng còn lại giữ nguyên thì tổng đó bị giảm số đúng (1 - ) số hạng bị giảm đó Trong tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là số lẻ 10 Trong tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là số chẵn 11 Tổng các số chẵn là số chẵn 12 Tổng số lẻ và số chẵn là số lẻ 13 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là số lẻ II BÀI TẬP B PHÉP TRỪ I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ a - (b + c) = (a - c) - b = (a - c) - b Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu chúng không đổi Nếu số bị trừ gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm số đúng (n -1) lần số bị trừ (n > 1) Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ gấp lên n lần thì hiệu bị giảm (n - 1) lần số trừ (n > 1) Lop4.com (20) Nếu số bị trừ tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm n đơn vị II BÀI TẬP C.Phép nhân I Kiến thức cần nhớ a x b = b x a a x (b x c) = (a x b) x c a x = x a = a x = x a = a a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c Trong tích thừa số gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác bị giảm n lần thì tích không thay đổi Trong tích có thừa số gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích gấp lên n lần và ngược lại tích có thừa số bị giảm n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích bị giảm n lần (n > 0) Trong tích, thừa số gấp lên n lần, đồng thời thừa số gấp lên m lần thì tích gấp lên (m x n) lần Ngược lại tích thừa số bị giảm m lần, thừa số bị giảm n lần thì tích bị giảm (m x n) lần (m và n khác 0) 10 Trong tích, thừa số tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại 11 Trong tích, có ít thừa số chẵn thì tích đó chẵn 12 Trong tích, có ít thừa số tròn chục ít thừa số có tận cùng là và có ít thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 13 Trong tích các thừa số lẻ và có ít thừa số có tận cùng là thì tích có tận cùng là D PHÉP CHIA I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Lop4.com (21)