Các phương pháp giải toán tiểu học phần 1

Hướng dẫn giáo viên và học sử dụng thành thạo các phương pháp thường dùng trong toán tiểu học như phương pháp khử, phương pháp thế, phương pháp rút về đơn vị. Đây là bộ tài liệu rất hay, kinh điển về toán tiểu học

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC

Phần thứ nhất Giới thiệu các phương pháp giải toán ở tiểu học

§ 1.Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

Khi phân tích một bài toán cần phải thiết lập được các mối liên hệ và phụthuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó Muốn làm việc này ta thườngdùng các đoạn thẳng thay cho các số ( số đã cho, số phải tìm trong bài toán ) đểminh họa các quan hệ đó Ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp cácđoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ vàphụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòicách giải bài toán

Ví dụ 1 Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540m Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng 14 số mét vải hoa ?

Phân tích Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 1 :

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế này dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: số mét vải hoa nhiều hơn vải xanh là 540m ( biểu thị quan hệ hai số hơn kémnhau một đơn vị ) và số mét vải hoa nhiều gấp 4 lần số mét vải xanh ( biểu thịquan hệ so sánh số này gấp số kia một số lần )

Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải xanh bằng cách lấy 540 chia cho 3 (

vì số mét vải xanh bằng 13 của số 540m ) ; Cũng nhờ sơ đồ gợi cho ta cách tìm

số mét vải hoa bằng cách lấy số mét vải xanh tìm được đem cộng với 540m (

hoặc gấp 4 lần số mét vải xanh )

Phân tích Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2 :

Nhìn sơ đồ này gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngàythứ ba Từ đó tìm được đáp số của bài toán

Giải :Ngày thứ hai sửa chữa được là :

15 + 1 = 16 (m)

Ngày thứ ba sửa chữa được là :

15 + 2 = 17 (m)

Cả ba ngày sửa chữa được là :

15 + 16 + 17 = 48 (m)Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :

48 : 3 = 16 (m)

Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây :

Cả ba ngày sửa chữa được là :

15 x 3 + 1 + 2 = 48 (m)Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :

48 : 3 = 16 (m)Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 3 thì bài toán có thể giải một cách ngắn gọn hơn như sau :

GiảiNếu ta chuyển 1m của ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số mét của cả ba ngàyđều bằng nhau và bằng số mét của ngày thứ hai ( hình 3 ) Vậy số mét của ngàythứ hai là:

15 + 1 = 16 (m)Trung bình mỗi ngày sửa được 16m

Ví dụ 3 Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, còn Dương đi từ B đến A Hai bạngặp nhau lần đầu tại một điểm C cách A 3km, rồi lại tiếp tục đi Giang đến B rồiquay lại A ngay, còn Dương đến A rồi cũng trở về B ngay Hai bạn gặp nhau lầnthứ hai tại một điểm D cách B 2km

Phân tích Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 4 :

Theo đầu bài thì Giang đi từ A đến B rồi quay lại D, còn Dương đi từ B đến Arồi cũng quay lại D, lúc đó hai bạn gặp nhau lần thứ hai ở D Nhìn trên sơ đồ tathấy, cho đến khi gặp nhau lần thứ hai ở D, cả Giang và Dương đã đi cả thấy 3lần quãng đường AB Khi Giang và Dương gặp nhau lần thứ nhất ở C thì cả haibạn đã đi được vừa đúng một lần quãng đường AB, trong khi đó Giang đi đượcđoạn AC dài 3km Do đó khi cả hai bạn đi cả thấy ba lần quãng đường AB thìGiang di được là

3 x 3 = 9 (km) Đoạn đường Giang đi được từ A đến B rồi tới D dài hơn quãng đường AB mộtđoạn BD dài 2km Vì vậy quãng đường AB dài là

9 – 2 = 7 (km) Khi gặp nhau lần thứ nhất thì Giang đi được 3km, do đó Dương đi được là

7 – 3 = 4 (km)Trong cùng một thời gian kể từ lúc bắt đầu đi cho đến khi gặp nhau mà Dương

đi được 4km, Giang đi được 3km, suy ra Dương đi nhanh hơn Giang

GiảiCho đến khi gặp nhau lần thứ hai thì cả hai bạn Giang và Dương đã đi cả thẩy 3lần quãng đường AB Hai bạn cứ đi một lần quãng đường AB thì Giang đi được3km Như vậy Giang đã đi một quãng đường là :

3 x 3 = 9 (km)Quãng đường AB dài là :

9 – 2 = 7 (km)Khi gặp nhau lần đầu tiên, Giang đi được 3km, còn Dương đi được là :

7 – 3 = 4 (km)Cùng một thời gian Dương đi được một quãng đường dài hơn quãng đường của Giang, nên Dương đi nhanh hơn Giang

Bải tập

1.Người ta lấy ra khỏi một kho đông lạnh 17 tấn cá Hỏi phải đưa vào kho đó bao

nhiêu tấn cá để trong kho sẽ có số cá nhiều hơn số cá trước khi lấy là 8 tấn ?

2.Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi Hãy tính tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần

5.Hà, Phương và Hiếu cùng tham gia trồng su hào Hà và Phương trồng được 46

cây, Phương và Hiếu trồng được 35 cây Hiếu và Hà trồng được 39 cây Hỏi mỗibạn trồng được bao nhiêu cây su hào ?

6.Một thùng đựng dầu cân nặng cả thẩy 14kg Người ta đổ ra một phần ba số

dầu trong thùng thì cả thùng và số dầu còn lại nặng 10kg Tính xem thùng không

có dầu nặng mấy kilôgam ?

7.Giang cùng với mẹ đi tẩu hỏa về quê Đi được nửa quãng đường thì Giang

chợt ngủ thiếp đi Lúc thức giấc, Giang hỏi mẹ thì biết rằng còn phải đi một nửacủa quãng đường mà Giang đã ngủ thì mới đến nơi Hỏi quãng đường mà Giangngủ thiếp đi bằng bao nhiêu phần quãng đường phải đi ?

8.Hiệu của hai số bằng 12 Nếu gấp số lớn lên 3 lần thì số mới tạo thành sẽ hơn

số bé 48 đơn vị Tìm mỗi số đã cho

chia cho số thứ hai thì đều được thương là 2 và dư 1 Tìm mỗi số đó.

10.Hai anh em đi hái nấm Em hỏi “Anh hái được bao nhiêu nấm rồi ? Có được

nửa chục không ?” Anh trả lời : “Nếu lấy đi một nửa số nấm của anh rồi choanh một cái nấm thì anh sẽ có nửa chục Thế còn em hái được bao nhiêu nấm ?”

Em trả lời: “Nếu lấy đi một nửa số nấm của em và lấy thêm một cái nữa thì em

sẽ có nửa chục”

Hỏi cả hai anh em hái được bao nhiêu nấm ?

§2 Phương pháp rút về đơn vị phương pháp tỉ số

Trong một bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ ( thuận hay nghịch ) người tathường cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượngthứ hai Bài toán đó đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai

Để tìm giá trị đó, ở cấp Một có thể sử dụng một trong những phương pháp

thường dùng như phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số …

Ví dụ 1 Có 45m vải may được 9 bộ quần áo như nhau Hỏi phải dùng baonhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế ?

Phân tích Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứnhất ( 9 bộ và 7 bộ ) và một giá trị của đại lượng thứ hai (45m) Ta phải tìm mộtgiá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( đó là số mét vải để may 7 bộ quần áo )

Ta tóm tắt bài toán như sau :

9 bộ : 45m

7 bộ : ?mBài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây :

1 bộ : ?m

7 bộ : ?m

a )Bước một: Tìm xem 1 bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của đại lượng thứ hai)b)Bước hai: Tìm xem 7 bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của đại lượng thứ hai)

phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước :

a)Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với một giá trị nào củađại lượng thứ hai ( ở bài toán này thì 1 bộ quần áo ứng với 5m vải ) Để làm việcnày ta có thể thực hiện phép tính chia

Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì có bấy nhiêu lần giá trị tươngứng ( vừa tìm ) của đại lượng thứ hai Giá trị này của đại lượng thứ hai chính là

số phải tìm trong bài toán ( ở bài toán này thì 7 bộ quần áo ứng với 35m vải )

Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính nhân

Ví dụ 2 Có 50m vải may được 10 bộ quần áo như nhau Hỏi có 40m vải cùngloại thì may được mấy bộ quần áo như thế ?

Phân tích Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứnhất ( 50m và 40m ) và một giá trị của đại lượng thứ hai ( 10 bộ ).Ta phải tìmmột giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( đó là số bộ quần áo may được từ40m vải ).Ta tóm tắt bài toán như sau :

50m : 10 bộ40m : ? bộBài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây :

?m : 1 bộ40m : ? bộa)Bước một: Tìm xem một bộ quần áo hết mấy mét vải ? ( của đại lượng thứ nhất )

50 : 10 = 5 (m)

Số bộ quần áo may được là :

40 : 5 = 8 ( bộ )Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị Cách giả này thườngđược tiến hành theo hai bước :

a)Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ hai tương ứng với một giá trị nào củađại lượng thứ nhất ( ở bài toán này thì một bộ quần áo ứng với 5m vải ) Để làmviệc này ta có thể thực hiện phép tính chia

b)So sánh giá trị còn lại của đại lượng thứ nhất với giá trị tương ứng ( vừa tìm )xem lớn nhỏ gấp mấy lần ( ở bài toán này so sánh 40m và 5m ) Kết quả nàychính là số phải tìm trong bài toán Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tínhchia

Ví dụ 3 Một xe máy đi 3 giờ được 60km Hỏi xe đó đi trong 6 giờ được baonhiêu ki lô mét ? ( Coi như vận tốc không đổi )

Phân tích Tóm tắt bài toán như sau :

3 giờ : 60km

6 giờ : ?km

Bài toán có thể giải theo hai bước sau đây :

a)6 giờ gấp bao nhiêu lần 3 giờ ? suy ra

b)Quãng đường phải tìm gấp bấy nhiêu lần 60km

Giải

So sánh 6 giờ với 3 giờ ta thấy :

6 : 3 = 2 (lần)Vậy trong 6 giờ xe máy đi được :

60 x 2 = 120 (km)Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp tỉ số Cách giải theo phương phápnày thường được tiến hành theo hai bước :

a)So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem số này gấp mấy lần số kia ( ởbài toán này 6 giờ gấp 2 lần 3 giờ )

b)Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai cũng được tăng ( hoặc giảm ) đúng một sốlần vừa tìm ở bước a, ( ở bài toán này 60km được tăng gấp hai lần ) Kết quả tìmđược chính là số phải tìm trong bài toán

Ngoài cách giải bằng phương pháp tỉ số, bài toán ở ví dụ 3 còn có thể giải bằng phương pháp rút về đơn vị :

Trong 1 giờ xe máy đi được là :

60 : 3 = 20 (km)Trong 6 giờ xe máy đi được là :

20 x 6 = 120 (km)Hoặc giải như sau :

3 giờ = 180 phút

6 giờ = 360 phút

Vì vậy 60km đi hết 180 phút nên đi 1km hết thời gian là :

180 : 60 = 3 ( phút )Trong 3 phút đi được 1km, do đó trong 360 phút đi được quãng đường là :

144 : 6 = 24 (km/ giờ)

Bài toán trên đã được giải theo phương pháp rút về đơn vị Cách giải này cũngđược tiến hành theo hai bước

a)Tìm sự tương ứng giữa một đơn vị của đại lượng thứ nhất với một giá trị của đại lượng thứ hai ( 1 giờ ứng với 144km/ giờ ) bằng cách thực hiện phép tính nhân

b)Nhờ sự tương ứng này mà tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( 6 giờứng với 24km/giờ ) bằng cách thực hiện phép tính chia

Tuy nhiên, ở tiểu học có thể trình bày bài giải như sau :

Quãng đường từ A đến B dài là :

36 x 4 = 144 (km)Vận tốc của ô tô là :

144 : 6 = 24 (km/ giờ )Ngoài phương pháp rút về đơn vị, có thể giải bài toán này theo phương pháp tỉ

số bằng cách lập luận như sau :

Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau Theo đầu bài ta vẽ sơ đồ vận tốc của ô tô trong hai lần chạy ( hình 5 ) :

Vận tốc phải tìm của ô tô là :

36 : 6 = 24 (km/ giờ)

Ví dụ 5 Để chuyên chở 39kg hàng hóa trên quãng đường dài 74km phải chiphí hết 12000 đồng Hỏi phải chi phí hết bao nhiêu tiền nếu chuyên chở 26kgtrên quãng đường dài 185km ?

(Giá cước chuyên chở tỷ lẹ thuận với khối lượng hàng hóa và đường dài )

Phân tích Tóm tắt bài toán như sau :

39kg – 74km – 12000 đồng

26 kg – 185km - ? đồng

Ta có thể “tách” bài toán đã cho thành hai bài toán đơn giản hơn và tiến hànhgiải liên tiếp hai bài toán đó Kết quả của bài toán thứ hai chính là đáp số của bàitoán đã cho

Ta tiến hành như sau :

a)Cứ chuyên chở 39kg ( đi 74km ) thì chi phí là 12 000 đồng Vậy chuyên chở26kg ( đi 74km ) thì chi phí là :

12000 x 26

39 = 8000 ( đồng )b)Chuyên chở (26kg) trên đường dài 74km thì chi phí là 8000 đồng Vậy chuyênchở (26kg) đi trên đường dài 185km thì chi phí là :

8000 x 185

74 = 20000 (đồng)Bài tập

11.Mua 6 ngòi bút hết 3000 đồng Hỏi mua 12 ngòi bút như thế hết bao nhiêu

tiền ?

12.Một người tính rằng nếu mua 15kg gạo thì phải trả 30 000 đồng Hỏi nếu

người đó trả 6000 đồng thì mua được bao nhiêu kilôgam gạo ?

13.Quãng đường từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm

dài 480 bước Hỏi quãng đường từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười dàibao nhiêu bước, biết rằng khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp đều như nhau ?

14.Một người đi xe máy từ A đến B mỗi giờ đi được 30km thì hết 3 giờ Khi trở

về từ B đến A người đó đi hết 6 giờ Hỏi khi trở về mỗi giờ đi được bao nhiêukilômét, biết rằng cả lúc đi và về đều không nghỉ ở dọc đường ?

15.Trong kì thi chọn học sinh giỏi người ta thấy rằng cứ 5 bạn thì có hai bạn gái

còn lại là con trai Hãy tinh xem trong kì thi đó có bao nhiêu bạn gái, biết rằng

có 240 bạn trai tham gia ?

16 Một đơn vị có 45 người đã chuẩn bị đủ gạo ăn trong 15 ngày Sau 5 ngày

đơn vị đó tiếp nhận thêm 5 người nữa Hãy tính xem số gạo còn lại đủ cho đơn

17.Theo dự định thì một đơn vị thanh niên xung phong phải làm xong quãng

đường trong 10 ngày Ngày hôm sau, vì có 10 người đã chuyển đi nơi khác trong

7 ngày nên đội thanh niên đã phải làm xong quãng đường đó trong 12 ngày Hỏilúc đầu đội thanh niên có bao nhiêu người ?

18.Một đội 15 công nhân dự địng lắp xong một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày

làm việc 8 giờ.Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội mỗi ngày làm việc 10 giờ, thìlắp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày ?

19.Người ta tính rằng cứ 3 ô tô chở hàng, mỗi ô tô đi 50km thì tiền chi phí tất cả

là 120000 đồng Vậy nếu 5 ô tô như thế, mỗi ô tô đi 100km thì chi phí hết tất cảbao nhiêu tiền ?

20.Một ô tô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B Nếu chạy mỗi giờ 60km thì ô tô sẽ đến B

vào lúc 15 giờ Nếu chạy mỗi giờ 40km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 17 giờ cùngngày

a)Hỏi tỉnh A cách tỉnh B bao nhiêu kilômét ?

b)Hãy tính xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu kilômét để đến Bvào lúc 16 giờ ?

Giải

Số lớp của hai khối Năm và Bốn là :

Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 300 và 500) mà tổng của hai số đó bằng

800 và tỉ số của hai số đó bằng 35 ( vì 300500= 3

5 ) Bài toán ở ví dụ 1a này chính

là mô hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ 1b sau đây

Ví dụ 1b Hãy chia số 800 thành hai số tỉ lệ thuận với 3 và 5

Phân tích Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm hai số sao cho tổng của hai số đóbằng 800 và tỉ số của chúng bằng 35 Ở Tiểu học co thể hiểu “tỉ số của hai sốbằng 35” một cách đơn giản như sau : nếu số thứ nhất gồm có 3 phần bằng nhauthì số thứ hai gồm có 5 phần như thế Thông thường ta hay dùng sơ đồ đoạnthẳng để biểu diễn cụ thể tỉ số của các số

Khi giải bài toán này ta thường tiến hành theo các bước sau đây :

Đếm hoặc tính số phần của các số Ở bài toán này, cả hai số có 8 phần bằngnhau.

-Lấy tổng các số chia cho số phần đó Ở bài toán này ta thực hiện phép chia sau :

800 : 8 = 1003.Tìm từng số Ở bài toán này ta tìm số thứ nhất như sau :

100 x 3 = 300Tìm số thứ hai như sau :

100 x 5 = 500(hoặc : 800 – 300 = 500)4.Kiểm tra lại cách giải ( không phải yêu cầu bắt buộc )

Ở bài toán này ta thực hiện như sau :

-Tính xem tổng hai số vừa tìm có bằng 800 không ?

Dưới đây nêu lên hình thức trình bình bài giải

GiảiNhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 3 phần bằng nhau và số thứ hai gồm

a)Giả sử ta chọn số thứ nhất là 3 thì số thứ hai là 5 ; khi đó tổng của hai số vừachọn bằng 8

b)Bây giờ ta phải gấp số 8 lên bao nhiêu lần để được số 800 ?

800 : 8 =100 (lần)c)Theo quy tắc nhân một tổng với một số ta phải gấp số 3 lên 100 lần và gấp số

5 lên 100 lần thì ta tính được hai số phải tìm

3 x100 = 300

5 x 100 = 500

Ví dụ 2a Khối Năm có 2 lớp, khối Bốn có 3 lớp và khối Ba có 5 lớp Cả bakhối thu nhặt được 720kg giấy vụn Hỏi mỗi khối thu được bao nhiêu kilôgamgiấy vụn, biết rằng mỗi lớp thu được số giấy vụn như nhau ?

Ví dụ 2b Hãy chia 720 thành ba số tỉ lệ thuận với 2, 3 và 5

Phân tích Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm ba số sao cho tổng của chúng bằng

720 và nếu số thứ nhất có 2 phần thì số thứ hai có 3 phần, số thứ ba có 5 phần như thế Khi giải bài toán này ta cũng tiến hành theo các bước sau đây :

2.Tính giá trị bằng số của mỗi phần ( mỗi đoạn thẳng )

Cả ba số gồm có 10 phần bằng nhau và bằng 720 Vậy mỗi phần bằng :

720 : 10 = 723.Tìm từng số

72 x 2 = 144

72 x 3 = 216

72 x 5 = 3604.Kiểm tra

144 + 216 + 360 = 720144

216=

71 x 2

72 x 3=

2 3 216

360=

72 x 3

72 x 5=

3 5

GiảiCách 1 Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 2 phần bằng nhau, số thứ haigồm có 3 phần và số thứ ba gồm có 5 phần như thế Do đó cả ba số gồm có 10phần bằng 720 Vậy :

Số thứ nhất là :

720 : 10 x 2 = 144

Số thứ hai là :

720 : 10 x 3 = 216

Số thứ ba là :

720 : 10 x 5 = 360Chú ý Ta có thể giải bài toán này theo cách khác

Cách 2 Tiến hành theo các bước sau :

a)Giả sử ta chọn số thứ nhất là 2 thì số thứ hai là 3 và số thứ ba là 5 Khi đó tổngcủa ba số vừa chọn là 10

b)Ta phải gấp số 10 lên bao nhiêu lần để được số 720 ?

nếu số thứ nhất gồm 2 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 3 phần và số thứ bagồm 5 phần như thế Do đó ta thấy số thứ ba bằng tổng hai số kia Vậy số thứ babằng :

720 : 2 = 360Tổng các số thứ nhất và số thứ hai bằng 360 Vậy số thứ nhất bằng 360 : 5 x 2 =

144 và số thứ hai bằng 360 – 144 = 216

Ví dụ 3a Hai đội xe chở gạo : đội thứ nhất có 3 xe và đội thứ hai có 8 xe Độithứ hai chở nhiều hơn đội thứ nhất 100 tạ gạo Biết rằng mỗi xe chở số gạo nhưnhau, hãy tính xem mỗi đội xe chở bao nhiêu tạ gạo ?

Giải

Số xe đội thứ hai hơn đội thứ nhất là :

8 – 3 = 5 (xe)Mỗi xe chở được là :

100 : 5 = 20 (tạ)Đội thứ nhất chở là :

20 x 3 = 60 (tạ)Đội thứ hai chở là :

20 x 8 = 160 (tạ)(hoặc 60 + 100 = 160)

Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 60 và 160) mà hiệu của hai số đó bằng

1.Vẽ sơ đồ đoạn thẳng ( hình 8 )

2.Tính giá trị của mỗi phần

Số thứ hai hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau , 5 phần đó chính là 100 Vậy mỗiphần là :

100 : 5 = 203.Tìm từng số

Số thứ nhất là :

20 x 3 = 60

Số thứ hai là :

20 x 8 = 160

(hoặc 60 + 100 = 160)4.Kiểm tra cách giải

Hiệu của hai số là :

Giải Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ hai gồm có 8 phần bằng nhau và số thứ nhấtgồm có 3 phần như thế Số thứ hai nhiều hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau vàbằng 100 Vậy :

Số thứ nhất là :

100 : 5 x 3 = 60

Số thứ hai là :

100 : 5 x 8 = 160Chú ý Ta có thể giải bài toán này theo cách lập luận sau đây:

a)Giả sử ta chọn số thứ hai là 8 thì số thứ nhất là 3; khi đó hiệu của hai số vừachọn bằng 5

b)Ta phải gấp số 5 lên bao nhiêu lần để được 100 ?

100 : 5 = 20 (lần)c)Tìm từng số

Số thứ hai là :

8 x 20 = 160

Số thứ nhất là :

3 x 20 = 60Bài tập

21 Cho hai số có tổng bằng 132 và biết số này gấp 21 lần số kia Tìm hai số đó 22.Một ô tô đi từ A đến B rồi đi đến C dài tất cả là 320km Hãy tính xem từng

đoạn đường AB, BC dài bao nhiêu kilômét ; biết rằng ô tô đi từ A đến B hết 3giờ, đi từ B đến C hết 5 giờ và vận tốc không đổi trên đường đi từ A đến C ?

23 Chị Hằng hỏi bố: “Năm nay bố bao nhiêu tuổi ạ” ? Bố trả lời: “Con hãy tính

nhé ! Tổng số tuổi của bố và con bằng 68, tuổi của con bằng 13 tuổi của bố” Hãytính tuổi của mỗi người

24.Cho hai số có hiệu bằng 952 và biết số này bằng 181 số kia Tìm hai số đó

25.Một cơ quan dự định giao cho 3 tổ xe vận tải chở 150 tấn gạo Tổ một gồm

các xe chở được 2 tấn mỗi xe, tổ hai gồm các xe chở được 3 tấn mỗi xe, tổ bagồm các xe chở được 5 tấn mỗi xe Hãy tính xem mỗi tổ sẽ chở bao nhiêu tấngạo, biết rằng số xe ở mỗi tổ đều bằng nhau

26 Ba khối học sinh Năm, Bốn, Ba cùng nhau thu nhặt được cả thẩy 855kg giấy

vụn, trong đó khối Năm thu được số giấy gấp 3 lần khối Bốn và khối Bốn thuđược số giấy gấp 2 lần khối Ba Tính số giấy thu được của từng khối lớp

27.Hai bác công nhân Đỗ và Vũ được thưởng 62400 đồng, trong đó 13 số tiền

thưởng của bác Đỗ đúng bằng 15 số tiền thưởng của bác Vũ

Hãy tính số tiền thưởng của từng người

28 Cường và Điệp có cả thẩy 56 tấm ảnh, trong đó 12 số ảnh của Cường đúng

bằng 23 số ảnh của Điệp Hãy tính số ảnh của từng người

29.Ba người thợ thủ công nhận làm một bức tranh sơn mài với số tiền công do

hợp tác xã khoán là 140000 đồng Theo kế hoạch sau khi người thứ nhất làmđược 7 ngày thì hai người trong nhóm mới tới làm Cả ba người lĩnh bao nhiêutiền, biết rằng tiền công một ngày của mỗi người đều như nhau

30.Ba ô tô đi cả thẩy được 550km Ô tô thứ nhất đi được quãng đường bằng 12

quãng đường đi được của ô tô thứ ba, ô tô thứ hai đi được quãng đường bằng 13quãng đường của ô tô thứ ba Hỏi mỗi ô tô đi được bao nhiêu kilômét ?

§4 Phương pháp thay thế

Trong một bài toánn hợp thể phải tìm nhiều số chưa biết Khi giải bài toán đó

ta có thể tạm thời thay thế một vài số chưa biết bằng một số chưa biết khác, hoặcnói cách khác, ta biểu diễn một vài số chưa biết này theo một số chưa biết khác.Lúc đó những số chưa biết này được thay đổi để bằng một số chưa biết đó Dựavào các điều kiện của bài toán ta tìm giá trị của số chưa biết đó, rồi từ giá trị mớitìm này mà tìm tiếp các số chưa biết còn lại của bài toán

Ví dụ 1 Hai lớp 5A và 5B trồng được tất cả 345 cây Lớp 5B trồng được nhiềuhơn lớp 5A là 25 cây Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ?

Phân tích Ở bài toán này có hai số phải tìm là số cây của lớp 5A và số cây củalớp 5B Nếu ta bớt đi 25 cây của lớp 5B thì số cây còn lại của lớp 5B đúng bằng

số cây của lớp 5A, khi đó tổng số cây trồng của hai lớp sẽ còn lại là :

320 : 2 = 160 (cây)

số cây của lớp 5B là :

160 + 25 = 185(cây) Qua cách giải này thấy rằng ta đã tạm thời thay thế số cây của lớp 5B bằng sốcây của lớp 5A (bằng cách bớt đi số cây chênh lệch giữa hai lớp là 25 cây) Haynói một cách khác, ta đã biểu diễn số cây của lớp 5B (là số phải tìm) theo số câycủa lớp 5A (cũng là số cây phải tìm) bằng cách bớt ở lớp 5B 25 cây

Trên thực tế ta có thể giải và trình bày như sau :

GiảiCách 1

Giả sử bớt 25 cây của lớp 5B thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đó tổng sốcây trồng của hai lớp sẽ là :

Phân tích Ở bài toán này có ba số phải tìm là số học sinh lớp 5A, số học sinhlớp 5B, số học sinh lớp 5C Nếu ta lấy ra 4 học sinh ở lớp 5b và lấy ra 14 họcsinh ở lớp 5C thì lúc đó số học sinh ở ba lớp sẽ bằng nhau và bằng số học sinhlớp 5A Từ đó tính được số học sinh 5A ; sau khi tính được số học sinh lớp 5Athì dễ dàng tính được số học sinh lớp 5B và 5C.

GiảiCách 1

Theo đầu bài, lớp 5C hơn lớp 5A là :

4 + 10 = 14 ( học sinh )

Giả sử ta lấy ra 4 học sinh lớp 5B và lấy ra 14 học sinh lớp 5C thì số học sinhcòn lại của hai lớp này đều bằng số học sinh của lớp 5A Khi đó tổng số học sinhcòn lại là :

Cách 2

Giả sử ta thêm 14 học sinh vào lớp 5A và thêm 10 học sinh vào lớp 5B thì sốhọc sinh của mỗi lớp đó sẽ bằng số học sinh của lớp 5C Khi đó tổng số học sinh

Giả sử ta lấy ra 10 học sinh lớp 5C rồi chuyển 4 bạn trong đó sang lớp 5A thì

số học sinh của lớp 5A và 5C đều bằng số học sinh lớp 5B Khi đó tổng số họcsinh còn lại là :

Số học sinh lớp 5A là :

40 – 6 = 36(học sinh)

Ví dụ 3 Cô giáo mua cho lớp em một số sách Toán 5, mỗi quyển giá 3000đồng và một số sách Bài tập toán 5 mỗi quyển giá 5000 đồng Số sách toán muanhiều hơn sách bài tập là 12 quyển nhưng số tiền mua mỗi loại sách đó đều nhưnhau Hỏi cô giáo đã mua cho lớp bao nhiêu quyển sách mỗi loại ?

Phân tích Ở bài toán này có hai số phải tìm là số sách bài tập và số sách toán Giả sử mua thêm 12 quyển sách bài tập nữa thì số sách hai loại bằng nhau ( và bằng số sách toán ) Khi đó số tiền mua sách toán sẽ ít hơn số tiền mua sách bài tập là 5000 x 12 = 60000 (đồng) ; đồng thời đã biết giá tiền 1 quyển sách toán ít hơn giá tiền 1 quyển sách bài tập là 5000 – 3000 = 2000 (đồng), nên từ hai hiệu

đó tính được số sách toán phải tìm rồi từ đó tính được số sách bài tập phải tìmrồi từ đó tính được số sách bài tập phải tìm

GiảiGiả sử mua thêm 12 quyển bài tập nữa thì số tiền mua sách toán sẽ ít hơn số tiềnmua sách bài tập là :

5000 x 12 = 60000 (đồng)Giá tiền một quyển sách Toán ít hơn một quyển bài tập là:

Giả sử bớt đi 12 quyển sách toán thì số tiền mua sách bài tập sẽ nhiều hơn số tiền mua sách toán là :

3000 x 12 = 36000 (đồng)Giá tiền 1 quyển bài tập nhiều hơn 1 quyển toán là :

Bài tập

31 Cho hai số có tổng bằng 3879 và hiệu của chúng bằng 9 Hãy tìm hai số đó

32 Tổng hai số chẵn liên tiếp bằng 1986 Hãy tìm hai số đó

33.Tổng ba số chẵn liên tiếp bằng 1986 Hãy tìm ba số đó.

34.Cho ba số a, b và c có tổng bằng 5896, trong đó a bé hơn b là 10 đơn vị và b

bé hơn c là 8 đơn vị.Tìm a, b và c

35 Cho bốn số a, b, c và d có tổng bằng 7889, trong đó b lớn hơn a là 2 đơn vị,

c lớn hơn b là 7 đơn vị và d lớn hơn c là 1 đơn vị Tìm mỗi số đó

36 Hai can dầu có tất cả 30l Nếu chuyển 7l dầu từ can thứ nhất sang can thứ

hai thì can thứ hai sẽ nhiều hơn can thứ nhất là 6l dầu Hỏi lúc đầu mỗi can có

bao nhiêu lí dầu ?

37 Hải đố Hằng: “Trong hai túi của anh có tất cả 35 viên bi Nếu chuyển từ túi

phải sang túi trái một số bi đúng bằng số bi có ở túi phải vẫn nhiều hơn ở túi trái

3 viên bi Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi túi có bao nhiêu viên bi ?”

38 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 54m Nếu tăng chiều rộng lên 2,5m

và giảm chiều dài đi 2,5m thì mảnh đất đó trở thành hình vuông Hãy tính diệntích mảnh đất hình chữ nhật

39.Một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 15 Nếu đổi chỗ các

chữ số của số đã cho thì được một số mới kém số đó 9 đơn vị Tìm số đã cho

40 Một cửa hàng bán ba loại chanh gồm 9kg loại một, 11kg loại hai và 7kg loại

ba được cả thẩy 34600 đồng Giá 1kg loại một đắt hơn loại hai là 400 đồng, hơnloại ba là 600 đồng Tính giá tiền 1kg mỗi loại

§5 Phương pháp giả thiết tạm

Phương pháp này thường dùng đối với bài toán, trong đó đề cập đến hai đốitượng ( người vật hay sự việc ) có những tính chất biểu thị bằng hai số lượngchênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ

có hai năng suất khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau…

Ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bàitoán, một khả năng không có thật thậm chí một tình huống vô lí ( chính vì vậy

mà phương pháp này đòi hỏi người giải toán sức tưởng tượng phong phú, óc suyluận linh hoạt … ) Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời, nhưng phải tìm được giảthiết ấy, nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặcdựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm

Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm đều có thể giải bằngphương pháp khác Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết

tạm thường gọn gàng, dễ hiểu, mang tính chất “độc đáo”.

Ví dụ 1

“Vừa gà vừa chó,

Ba mươi sáu con,

Bó lại cho tròn, Một trăm chân chẵn”

gà, ta suy ra số con vật mỗi loại

GiảiCách 1

Giả sử 36 con toàn là gà cả Như vậy, số chân chỉ có là :

28 : 2 = 14 (con)

Số gà là :

36 – 14 = 22 (con)Cách 2

Giả sử rằng 36 con đều là chó cả Như vậy, tổng số chân là :

44 : 2 = 22 (con)

Số chó là :

36 – 22 = 14 (con)Cách 3

Ta giả thiết rằng mỗi con vật đều bị “chặt đi” một nửa số chân ( rõ ràng, khảnăng này rất vô lí !) Như vậy, mỗi con chó chỉ còn 2 chân và mỗi con gà chỉcòn một chân Tổng số chân chỉ còn một nửa, tức là :

100 : 2 = 50 (chân) Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải “co” một chân lên, để mỗi con vậtđều chỉ có một chân, 36con vật đều chỉ có số chân, 36 con vật có 36 chân Nhưvậy, số chân chó phải “co” lên là :

50 – 36 = 14 (chân)

Vì mỗi con chó tương ứng với một chân “co”, nên suy ra có 14 con chó Vậy số

gà là:

36 – 14 = 22 (con)Đáp số: 22 con gà ; 14 con chó

Ví dụ 2 Hàng ngày cứ đúng giờ đã định, Hòa đi với vận tốc không đổi để đếntrường học kịp giờ truy bài Một hôm, vẫn đúng giờ ấy, nhưng Hòa đi với vận

ốc 50m/ phút nên đến trường chậm giờ truy bài mất 2 phút Hòa tính rằng nếu điđược 60m mỗi phút thì lại đến sớm được 1 phút Tính thời gian cần thiết màthường ngày Hòa vẫn đi từ nhà đến trường và khoảng cách giữa nhà và trường/

Hòa đi từ nhà ( điểm A ) theo vận tốc 50m/phút thì, đi hết thời gian cần thiết,Hòa mới đi được đến được B chứ chưa đi được đến trường ở D, từ B đến D Hòacòn phải đi hết 2 phút nữa ( hình 15 ) Nếu Hòa đi từ A với vận tốc 60m/ phút thìHòa đến D sớm được hơn 1 phút, nghĩa là nếu giả sử Hòa không dừng lại tạitrường ở D mà cứ tiếp tục đi cho hết thời gian cần thiết thì Hòa sẽ đến được điểm C mà đi từ D đến C mất 1 phút.

Bây giờ, ta tưởng tượng có một tình huống “kì lạ” như sau Giả sử có hai bạn Hòa như nhau, lúc đầu cùng đi từ A.Trong cùng một thời gian cần thiết bạn Hòanày đi với vận tốc 50m/ phút nên chỉ đi đến được B, còn bạn Hòa kia đi với vậntốc 60m/ phút nên đến được C Ta lại giả thiết rằng hai bạn Hòa này cùng “đằngsau quay”, bạn Hòa này bắt đầu đi từ B, đồng thời bạn Hòa kia bắt đầu đi từ C

để đuổi kịp bạn Hòa này cho đến khi hai người đi cùng một thời gian cần thiết

và gặp nhau tại A

Như vậy, ta đã đưa bài toán về dạng chuyển động đều cùng chiều với quãngđường từ C đến B và với vận hai vận tốc 50m/ phút và 60m/ phút

Giải Giả sử rằng, khi đi với vận tốc 60m/ phút, Hòa đến trường sớm hơn 1 phút,nhưng không dừng lại ở trường mà cứ tiếp tục đi cho đến hết thời gian cần thiết

đã định thì Hòa đi quá trường là :

60 x 1 = 60 (m)Khi đi với vận tốc 50m/ phút thì Hòa bị chậm mất 2 phút tức là còn cách trường:

50 x 2 = 100 (m)Như vậy, quãng đường chênh lệch nhau là :

60 + 100 = 160 (m)Vận tốc hai lần đi chênh lệch nhau là :