Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Luận án tiến sĩ vật lý Huế, 2021 Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mà số: 44 01 03 Ln ¸n tiÕn sÜ vËt lý Ng-êi h-íng dÉn khoa học: PGS.TS Tr-ơng Minh Đức PGS.TS Nguyễn Bá Ân Huế, 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nghiên cứu đồ thị nêu luận án trung thực, đ-ợc đồng tác giả cho phép sử dụng ch-a đ-ợc công bố công trình khác Tác giả luận án Trần Quang Đạt ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng lớn lao thầy giáo PGS.TS Tr-ơng Minh Đức, ng-ời thầy đà gắn bó với từ ngày đầu gặp giảng đ-ờng tr-ờng Đại học S- phạm Huế Thầy đà góp phần định h-ớng nghiệp cho tôi, giúp đỡ từ vừa tốt nghiệp đại học Thầy không giúp đỡ chuyên môn, công việc nghiên cứu, điều kiện để đ-ợc bảo vệ luận án mà nhiều lĩnh vực sống Tôi xin đ-ợc tri ân Thầy giáo nhcảm tạ gia đình Thầy đà dành trọn cho niềm yêu quý chân thành Để có thành công hôm nay, xin bày tỏ lòng biết ơn to lớn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bá Ân Thầy đà có dạy, góp ý vô sắc sảo để uốn nắn cách làm việc cho từ đ-ợc gặp Thầy Thầy đà truyền lửa đam mê, trực tiếp chỉnh sửa câu văn, lỗi tả công trình nghiên cứu Thầy bị đau Tôi xin đ-ợc ghi lòng tạc công ơn lớn lao mà Thầy đà dành cho suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý, tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu nơi Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô Phòng Đào tạo Sau Đại học Phòng, Ban khác tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà đ-a h-ớng dẫn tận tình nh- tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoàn thành thủ tục hành chÝnh st thêi gian häc tËp cđa t«i T«i xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu tr-ờng Đại học Giao thông iii vận tải, Ban Giám đốc Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà cho phép, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian học tập, nghiên cứu công tác Xin trân trọng cảm tạ tới quý thầy, cô bạn bè đồng nghiệp tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà có động viên, chia sẻ lúc khó khăn công việc, học tập công tác Tôi xin cảm ơn tới hai đồng môn chị Lê Thị Hồng Thanh bạn Hồ Sỹ Ch-ơng đà chia sẻ khó khăn với thời gian làm việc Đặc biệt, xin dành tất niềm yêu th-ơng cảm tạ chân thành đến thành viên gia đình Xin đ-ợc cảm ơn bố, mẹ hai bên nội ngoại, anh chị em đà giúp đỡ, lo lắng động viên con, em hoàn cảnh Xin cảm tạ đến gia đình nhỏ tôi, vợ hai Quỳnh Nh- Diệp Chi, thân họ đà chịu nhiều vất vả, mát để đ-ợc hoàn thành luận án Huế, tháng 03 năm 2021 Tác giả Trần Quang Đạt iv Bảng chữ viết tắt Viết tắt BS PD SPD DC v Danh mục hình vẽ 2.1 Sự phụ thuộc hàm Wigner W vào thành phần thực ảo a với p = q = 0, r = 1, h = k = l = 1, αb = αc = 0.5 vµ φ = 37 2.2 Sù phơ thc cđa hµm Wigner W vµo r víi p = 2, q = 1, |αa| = 0.26, |αb| = 0.4, |αc| = 0.5 vµ ϕa + ϕb + ϕc − φ = π (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liỊn nÐt), (3, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch) (2, 1, 1) (đ-ờng g¹ch - chÊm) 37 2.3 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo r víi p = q = vµ φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (2, 2, 2) (®-êng liỊn nÐt), (3, 3, 3) (đờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chÊm) vµ (b) (h, k, l) = (4, 4, 4) (đ-ờng liền nét), (8, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (9, 2, 1) (đờng gạch - chấm) 39 2.4 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn SX;j vµo r víi p = q = 0, h = k = l = j = (đ-ờng liền nét), j = (đ-ờng gạch - gạch) j = (đ-ờng gạch - chấm) 41 2.5 Sù phơ thc cđa hƯ sè ®an rèi Em vµo r víi p = q = vµ h = k = l = m = (đ-ờng liền nét), m = (đ-ờng gạch gạch) m = (đ-ờng gạch - chấm) 42 2.6 Sù phụ thuộc độ đan rối E vào r với p = q = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liỊn nÐt), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chÊm) vµ (b) (h, k, l) = (2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (5, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch), (6, 0, 0) (đ-ờng gạch - chấm) 44 vi 2.7 Sù phơ thc cđa hàm Wigner W vào ảo a với = 1, p = q = 0, = λ = σ = 0.01 h = k = l = 2.8 Sù phô thuéc cđa hµm Wigner W vµo r ví q = 0, = λ = σ = 1, αa = 0.05 vµ αb = αc (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (2, gạch) (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) 2.9 Sự phụ thuộc hƯ sè nÐn S vµo r víi p φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (1, 1, 1) (đ-ờng (đ-ờng gạch - gạch), (4, 4, 4) (đ-ờng gạch (h, k, l) = (5, 3, 1) (®-êng liỊn nÐt), (4, gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) 2.10 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo λ vµ σ 2.11 = vµ φ − ϕ = h = k = l = Sù phô thuộc độ đan rối Ea vào r với = λ = σ = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ- (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (đ-ờng liền né gạch - gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm Sự phụ thuộc độ đan rối Ea vào 2.12 q = vµ = h = k = l = 3.1 Sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kế truyền tự không gian mở vii 3.2 Sù phô thuộc độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba vµo |ζ| víi p = q = 0, τ = 10 −3 |α| = 10 (®-êng liỊn nét), ì 10 (đ-ờng gạch - gạch), 3 ì 10 (đ-ờng gạch - chấm) ì 10 (®-êng chÊm - chÊm) 61 3.3 Sù phơ thc độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vµo |ζ| víi p = q = 0, τ = 10 3 || = ì 10 η = 0.2 (®-êng liỊn nÐt), = 0.3 (đ-ờng gạch - gạch), = 0.5 (đ-ờng gạch - chấm) = 0.7 (đ-ờng chấm - chấm) 64 3.4 Sù phơ thc cđa độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vµo τ víi p = q = vµ |ζ| = 3 |α| = 10 (®-êng liỊn nét), ì 10 (đ-ờng gạch - gạch), 3 ì 10 (đ-ờng gạch - chấm) ì 10 (®-êng chÊm - chÊm) 65 3.5 Sù phơ thc cđa độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vµo Z = η|α|τ víi p = q = |ζ| = 0.5 (®-êng liỊn nÐt), |ζ| = 0.7 (đ-ờng gạch gạch), || = 1.0 (đ-ờng gạch - chấm) || = 3.0 (đ-ờng chấm - chấm) 65 3.6 Sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon lan truyền tự kh«ng gian më 67 3.7 Sù phô thuộc độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon vào T với p = q = vµ r = (h, k, l) = (1, 1, 1) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch) (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) 70 viii 3.8 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc F xác suấ P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon v p = q = vµ (h, k, l) = (1, 1, 1) r = (đ- r = (đ-ờng gạch - gạch) r = (đ-ờng gạc 3.9 Sơ đồ thực nghiệm tạo chồng chất thêm ph lên trạng thái kết hợp ba 4.1 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình F (a) (h, k) = (1, 1) (®-êng liỊn nét), (2, - gạch), (3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, (đ-ờng liền nét), (3, 1) (đ-ờng g¹ch - g¹ch), g¹ch - chÊm) 4.2 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc trung bình F Q = (đ-ờng liền nét), Q = (đ-ờng gạch (đ-ờng gạch - chấm) Q = (®-êng chÊm 4.3 Sù phơ thc cđa ®é trung thực trung bình F với || = 0.5 (đ-ờng liền nét), || = (đ-ờng || = (đ-ờng g¹ch - chÊm) 4.4 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc trung b×nh F p = q = Q = || = (đ-ờng liền nét), | gạch - gạch), || = (đ-ờng gạch - chấm) | chÊm - chÊm) 4.5 Sù phụ thuộc độ trung thực trung bình F p = q = Q = vµ |χ| = (h, k, l) = (0, 0, liÒn nÐt), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, - chấm) (3, 3, 3) (đ-ờng chấm - chấm) ix 117 Yu S and Sun C P (2000), \Canonical quantum teleportation", Physical Review A 61, pp 022310(1-4) 118 Yuan H C., Xu X X., Cai J W and Xu Y J (2019), \Single-mode squeezed vacuum state orthogonalization via photon-addition operation", Optik 183, pp 1043-1047 119 Yun H L and Liang L H (2007), \Application of three-mode EinsteinPodolsky-Rosen entangled state with continuous variables to teleportation", Chinese Physics 16(8), pp 2200(1-8) 120 Zavatta A., Viciani S and Ballini M (2004), \Quantum to classical transition with single-photon-added coherent states of light", Science 306, pp 660-662 118 Phơ lơc Chøng minh c«ng thøc ph-ơng trình (2.2) Sử dụng dạng trạng thái kết hợp ba ph-ơng trình (1.38), ta viết ®-ỵc X∞ h, k, l |Ψp,q; Tõ ®iỊu kiƯn chn hãa cbahΨp,q; h, k, l|Ψp,q; h, k, liabc = 1, ta nhận đ-ợc N p,q ;h,k,l (r) = c ∗(ξ)cn(ξ) m,n=0 m × cbahm + p + q + l, m + p + k, m + h| ⊗ |n + h, n + p + k, n + p + q + liabc ∞ X × = X∞ |cn(ξ)|2 p m!(m + p)!(m + p + q)! (n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! p)!(n + p + q)! n=0 n!(n + cn (r)na!nb!nc X ∞ = n=0 n!(n + p)!(n + p + q)! 2 ®ã na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l vµ |cn()| = c n(r) Đây ph-ơng trình (2.2) P.1 Chứng minh công thức ph-ơng trình (2.7) Thay công thức abc ph-ơng trình (2.6) vào ph-ơng trình (1.53), sau tác dụng toán tử hủy lên trạng thái kết hợp t-ơng ứng, nhận đ-ợc 8e W= 2(| |2+| |2+| |2) a b Np,q c ;h,k,l(r)Np,q 2 2(γ ∗α +γ ∗α +γ ∗α −γ α∗ −γ α∗ −γ α∗ ) d γad γbd γce × Z a a 2π 2π 2π 2π h+k+l (−1) × cbah−γc, hζe b b c dλ dλ0 dλ dλ0 × × 3r2/3 (r)e π6ζ4p+2q Z × 2h 2k c a a b b c c ei[q(λ −λ 1)+(p+q)(λ−λ1)] 2l |γa| |γb| |γc| iλ iλ0 −γb, −γa|ζe , ζe −i(λ +λ0 ) 1 , ζe iλ0 −i(λ+λ0) iabc , ζe iλ , ζe |γa, γb, γciabc.(P.3) Khai triÓn trạng thái kết hợp ph-ơng trình (P.3) dạng |z|2/2 trạng thái Fock |zix = e P k(z k √ / k!)|kix víi x = {a, b, c}, tính toán tích phân theo , , 1, kết hàm Wigner đ-ợc cho phơng trình d-ới 8e 2(|αa|2+|αb|2+|αc|2) Np,q W= X ;h,k,l(r)Np,q (r) π ∞ ξnξ∗m(−1)n+q+h+k+l × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 Z 2 d γad γbd γce × −|γ |2−|γ |2−|γ |2 2γ ∗α +2γ ∗α +2γ ∗α −2γ α∗ −2γ α∗ −2γ α∗ a a b ∗ n+h (γa ) c c a m+h × e × (γb∗)n+p+kγbm+p+k (γc∗)n+p+q+lγcm+p+q+l (P.4) a b c γa b P.2 a b b c c Ta viết lại ph-ơng trình (P.4) d-ới dạng 2(| |2+| |2+|α |2) 8e W= × a b c Np,q m,n=0 × π × π × π 8e = 2(|α | +|α | a b × m,n=0 víi J1 = π J2 = π J3 = Chúng ta xem xét tích phân dạng tổng quát dạng Z J= d2e|| +αβ (β∗)ke−α ββl π (P.5) (P.6) (P.7) (P.8) (P.9) π Để tính tích phân ph-ơng trình (P.9), sử dụng tích phân phức d-ới Z −|β|2+αβ∗ d βe ∗ n n (β ) f(β) = (/) f() Do tích phân ph-ơng trình (P.9) trë thµnh k −α∗α l J = (∂/∂α) [e P.3 ] (P.10) Chúng ta sử dụng định nghĩa hµm Laguerre lµ L i (z) = n ∗ i ∗ víi L n ký hiƯu cho hµm Laguerre §Ỉt α α = |α| = y ⇒ α = y/α ⇒ (∂/∂α) ∗ k k k = (α ) (/y) , tích phân ph-ơng trình (P.11) đ-ợc cho dạng J = k!( | Mặt khác, mối liên hệ hàm Laguerre hàm siêu bội 2F0 đ-ợc cho bëi Do ®ã ∗ k −|α|2 k l J = (−1) α (α ) e Theo khÝa c¹nh tích phân J1, nhận đ-ợc J1 = (1) n+h ∗ n m 2h −|2α |2 (2αa) (2αa ) |2a| e a T-ơng tự, tích phân J2 trở thành J2 = (−1) n+p+k m ∗ n (2αb) (2αb ) |2αb| 2p+2k −|2α |2 e b × 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb| ) Kết tích phân J3 J3 = (1) n+p+q+l m ∗ n 2p+2q+2l −|2α |2 (2αc) (2αc ) |2αc| e c × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc| ) P.4 Sử dụng ph-ơng trình (P.16), (P.17) (P.18), hàm Wigner ph-ơng trình (P.5) đ-ợc tính toán lµ W= 8e −2(|αa|2+|αb|2+|αc|2) Np,q X ;h,k,l(r)Np,q (r) π ∞ n ∗m ξ ξ × m,n=0 × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m (2αa2αb2αc) (2α ∗ ∗ ∗ n 2h 2p+2k 2p+2q+2l |2αc| a2α b2α c) |2αa| |2αb| × 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa| ) × 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb| ) 2 × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc| ) iφ Chó ý r»ng ξ = re , αx trình (P.19) đ-ợc viết W= m,n=0 ì n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! |2αa|n+m+2h|2αb|n+m+2p+2k|2αc|n+m+2p+2q+2l × 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa| ) × 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb| ) 2 × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q l; 1/|2c| ) Do t-ơng đ-ơng m n tổng nên phần ảo hàm Wigner ph-ơng trình (P.20) triệt tiêu Bây hàm Wigner trë thµnh 8e W= m,n=0 −2(|α |2+|α |2+|α |2) a b c Np,q P.5 |2αa|n+m+2h|2αb|n+m+2p+2k|2αc|n+m+2p+2q+2l × × 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa| ) × 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb| ) 2 × 2F0(−n − p − q − l, m p q l; 1/|2c| ) Đây dạng t-ờng minh công thức (2.7) Chứng minh công thức ph-ơng trình (2.20) Với trạng thái kÕt hỵp bé ba, chóng ta cã i †j cbahΨp,q|xˆ yˆ |Ψp,qiabc = i 6=j hc xˆ 6=y ˆvµ i, j 6= ,0x, y = {a, b, c} Trong tr-êng hỵp xˆ ≡ yˆ ≡ a,ˆ i = j = h, sử dụng dạng trạng thái kết hợp ba ph-ơng trình (1.34), ta có cbahp,q|a h aˆ †h |Ψp,qiabc = Np,q (r) ξn ×p n!(n + p)!(n + p + q)! × cbahm h + p + q, m + p, m| †h ⊗ aˆ ˆa |n, n + p, n + p + qiabc = Np,q ì p = N = Np,q (r)A0 h, , ,0 , (r), p,q ∞ X At,u,v i,j,m (r) = n=0 P.6 n!(n + p)!(n + p + q)!(n + t)!(n i,j,m Trong dạng hàm siêu bội, A t,u,v(r) đ-ợc cho ph-ơng trình (2.21) Trong tr-ờng hợp x ≡ yˆ ≡ b, i = j chóng ta nhËn ®-ỵc Tõ ®iỊu kiƯn chn hãa cbahΦp,q;h,k,l|Φp,q;h,k,liabc = 1, chóng ta thu đ-ợc N2 p,q;h,k,l ) r ( + = σ l †l cbahΨp,q|cˆ cˆ |Ψp,qiabc N (r)[ 2Ah,0,0(r) + 2A0,k+p,0(r) + 2A0,0,l+p+q(r)] (P.26) p,q0,0,00,p,00,0,p+q Đây ph-ơng trình (2.20) Chứng minh công thức ph-ơng trình (4.56) Trạng thái kết hợp |id đ-ợc khai triển lµ − víi hƯ sè khai triĨn dm = e trung thực trung bình ph-ơng trình (4.54) đ-ợc viết Ftb = Khai triển trạng thái kết hợp số phép tính toán, độ trung thực trung bình đ-ợc cho bëi Ftb = − X = m,n=0 P.7 Ta cã tÝch ph©n Z −2|α−β|2 e |α − β| 2n +2m a a d (P.30) (P.31) Đây ph-ơng trình (4.56) P.8 ... pháp tính số phần mềm Mathematica Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trạng thái phi cổ điển phạm vi ba mode trở lại tr-ờng điện từ Các tính chất phi cổ điển đ-ợc nghiên cứu bao gồm tính chất. .. thực nghiên cứu hệ ba mode nh-ng mong muốn làm rõ ph-ơng pháp cải thiện độ phi cổ điển hệ Vì lý chọn Nghiên cứu tính chất ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode" làm đề tài nghiên cứu luận... thuyết hai trạng thái ba mode với độ phi cổ điển đợc cải thiện, làm rõ đ-ợc tính chất phi cổ điển chúng, đề xuất đợc sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái ứng dụng số trạng thái phi cổ điển lĩnh vực