7. Bố cục của luận án
3.3. Tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon
Việc thêm photon định xứ lên các mode của trạng thái kết hợp bộ ba đã
làm xuất hiện nén tổng ba mode, tăng độ đan rối trong trạng thái mới. Để thêm photon định xứ lên trạng thái kết hợp bộ ba, chúng ta có thể khai thác các thiết bị chuyển đổi tham số hoặc bộ tách chùm với hệ số truyền qua lớn [33], [64]. Tuy nhiên trong phần này, chúng tôi đề xuất sơ đồ tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon sử dụng các bộ tách chùm nh- là những thiết bị cơ bản. Trong đó, chúng tôi giả sử trạng thái kết hợp bộ ba đã đ-ợc chuẩn bị từ tr-ớc. Sơ đồ thực nghiệm tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon lan truyền tự do trong không gian mở để có thể thực hiện các nhiệm vụ l-ợng tử đ-ợc thể hiện trong hình 3.6.
Trong sơ đồ tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon nh- trong hình 3.6, chúng tôi sử dụng các đầu vào là một trạng thái kết hợp bộ ba ứng với ba mode a, b và c cùng với ba trạng thái Fock |hi1, |ki2 và |li3 của ba mode
độc lập 1, 2 và 3 đã đ-ợc chuẩn bị từ tr-ớc, ở đây |mii ký hiệu là trạng thái số hạt của mode i chứa m photon, i = {1, 2, 3}. Giả sử cả ba bộ tách chùm
đều giống nhau và tác động của chúng đ-ợc đặc tr-ng bởi toán tử [74]
ˆ θ, ϑ
Bxy(
với ϑ và θ là những góc pha, xˆ và yˆ là các toán tử hủy của hai mode x và
66
Hình 3.6: Sơ đồ thực nghiệm tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon lan truyền tự do trong không gian mở. Ký hiệu các đầu vào a, b và c t-ơng ứng với ba mode của một trạng thái kết hợp bộ ba |Ψp,qiabc, |hi1, |ki2 và |hi3 t-ơng ứng với ba trạng thái Fock độc lập. Đầu ra từ mode 1 đến mode 3 đ-ợc dò bởi các đầu dò quang từ PD1 đến PD3, từ BS1 đến BS3 là các bộ tách chùm. Đ-ờng tròn thể hiện cho đ-ờng dẫn quang nhằm đảm bảo các mode đ- ợc đ-a vào các thiết bị một cách đồng thời.
y lần l-ợt đi vào bộ tách chùm. Bằng cách đặt góc pha ϑ = 0, T = cos θ là hệ số truyền qua và ρ = sin θ là hệ số phản xạ của các bộ tách chùm, vì
ˆ ˆ
vậy toán tử Bxy(θ, ϑ) ≡ Bxy(T ). Khi trạng thái đầu vào của mode y là một trạng thái Fock |miy và nếu ở đầu ra các đầu dò quang dò số photon trong mode này im lặng, hiệu ứng của các bộ tách chùm đ-ợc viết thành
0 Bˆ
yh |
Khi một trạng thái Fock |nix của mode x đ-ợc lái vào bộ tách chùm cùng với mode y nh- trên, sự biến đổi trong ph-ơng trình (3.38) dẫn tới
n
| ix →
67
Trong sơ đồ của chúng tôi, trạng thái đầu vào của hệ đ-ợc viết là
|ψvàoi
abc123 = |Ψ
p,qi
abc|hi
1|ki
2|li
3 X∞
= cn(ξ)|n, n + p, n + p + qiabc|h, k, li123, (3.40)
n=0
trong đó trạng thái kết hợp bộ ba |Ψp,qiabc đ-ợc cho bởi ph-ơng trình (1.38).
Tiếp theo các mode a và 1, b và 2, c và 3 đ-ợc lái đồng thời vào ba bộ tách
ˆ ˆ
chùm BS1, BS2 và BS3 đ-ợc đặc tr-ng lần l-ợt bởi toán tử Ba1(T ), Bb2(T )
ˆ
và Bc3(T ). Sau đó các mode 1, 2 và 3 đ-ợc dò lần l-ợt bởi ba đầu dò quang kiểu bật/tắt là PD1, PD2 và PD3. Giả sử tất cả các đầu dò quang hoạt động lý t-ởng, nếu tất cả các đầu dò quang đều im lặng (tức là chúng đều dò đ- ợc không photon trong từng mode), trạng thái đầu ra đ-ợc cho trong dạng
|ψrai
abc =
với P là xác suất dò đồng thời không photon ở tất cả các mode 1, 2, 3 và đ- ợc viết là
P =
Tr
abc123
⊗ 321cbahψ
vào|B
c† 3(T )B
b2(T )B
a1(T )
Sử dụng biến đổi trong ph-ơng trình (3.39) và dựa trên ph-ơng trình (3.40), chúng tôi thu đ-ợc trạng thái ra một cách t-ờng minh là
|ψrai
abc =
× T
Trạng thái trong ph-ơng trình (3.43) đ-ợc viết lại d-ới dạng ψ
| rai
abc
n=0
68
với Np,q(r) đ-ợc cho nh- trong ph-ơng trình (1.35). Hệ số Np,q(rT 3) và Np,q;h,k,l(rT 3) đ-ợc cho lần l-ợt bởi các ph-ơng trình (1.35) và (2.2) nh-ng thay r bởi rT 3 và Cn;h,k,l(ξT 3) đ-ợc cho nh- trong ph-ơng trình (2.4) nh-ng thay ξ bởi ξT 3. So sánh ph-ơng trình (3.44) với ph-ơng trình (2.3), đầu ra chính là trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon nh-ng với biên độ là |ξT 3| (thay v× |ξ|).
Bằng cách dùng ph-ơng trình (3.42),
photon P đ-ợc tính toán là P =
Độ trung thực F của trạng thái đ-ợc tạo ra đ-ợc viết là
với |Ψp,q;h,k,liabc và |ψraiabc lần l-ợt đ-ợc cho bởi các ph-ơng trình (2.3) và (3.44). Sau một số b-ớc tính toán đơn giản, độ trung thực F trở thành
Np,q2;h,k,l(rT 3)Np,q2;h,k,l(r)Np,q2(rT 3)Np,q2(r)
F = . (3.47)
Np,q4;h,k,l(rT 3/2)Np,q4(rT 3/2)
Chúng tôi sử dụng các biểu thức giải tích trong các ph-ơng trình (3.45) và (3.47) để khảo sát xác suất thành công và độ trung thực tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Hình 3.7 biểu diễn sự phụ thuộc của độ trung thực F và xác suất thành công P vào T khi cố định p = q = 0, r = 3 và một số giá trị h, k và l. Bên cạnh đó để thấy đ-ợc sự biến đổi của F và
P theo r, hình 3.8 biểu diễn sự phụ thuộc của độ trung thực F và xác suất thành công P vào T khi p = q = 0 và (h, k, l) = (1, 1, 1) ứng với các giá trị r
= 1, r = 3 và r = 6. Kết quả thể hiện rằng độ trung thực F đ-ợc nâng lên bởi tăng hệ số T và có thể đạt đơn vị khi T tiến đến 1. Tuy nhiên xác
69
F
Hình 3.7: Sự phụ thuộc của độ trung thực F và xác suất thành công P tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon vào T với p = q = 0 và r = 3 khi (h, k, l) = (1, 1, 1) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch) và (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm).
suất thành công P lại giảm khi tăng T và nó tiến về không khi T đạt đơn vị. Mặt khác, khi tăng số các photon thêm vào, độ trung thực cũng nh- xác suất thành công có xu h-ớng giảm. Bên cạnh đó, có sự giảm của độ trung thực khi r tăng lên nh-ng bù lại xác suất thành công lại tăng lên theo r khi
T cao. Những điều này thể hiện sự phù hợp thực nghiệm trong các kết quả tính toán của chúng tôi.
F
Hình 3.8: Sự phụ thuộc của độ trung thực F và xác suất thành công P tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon vào T với p = q = 0 và (h, k, l) = (1, 1, 1) khi r = 1 (đ-ờng liền nét), r = 3 (đ-ờng gạch - gạch) và r = 6 (đ-ờng gạch - chấm).
70