7. Bố cục của luận án
3.2. Tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba
Có một số sơ đồ thực nghiệm đã đ-ợc đề xuất để tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba nh-ng chúng chỉ tạo ra đ-ợc trạng thái này trong không gian cục
55
bộ nh- bẫy ion [16], [93]. Trong tr-ờng hợp này, sử dụng trạng thái kết hợp bộ ba để thêm hoặc bớt photon cũng nh- ứng dụng vào các nhiệm vụ l-ợng tử là ch-a thể thực hiện đ-ợc. Từ đó, chúng tôi đề xuất sơ đồ thực nghiệm mới tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba đảm bảo tính khả thi trong thực tế và các mode có thể lan truyền tự do trong không gian mở để thực hiện các nhiệm vụ trong quang l-ợng tử. Trong sơ đồ tạo ra trạng thái này, chúng tôi sử dụng các thiết bị quang có sẵn đối với công nghệ hiện nay nh- bộ dịch pha, bộ tách chùm, tinh thể phi tuyến Kerr, các đầu dò quang cũng nh- các trạng thái kết hợp ở đầu vào [42].
Để bắt đầu thảo luận về sơ đồ mới tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba, chúng tôi viết lại trạng thái này ở trong ph-ơng trình (1.34) d-ới dạng các trạng thái Fock bằng cách đặt ξ = ζ3 là
Ψ (ζ) =
| p,q i
123
trong đó các mode 1 ≡ a, 2 ≡ b, 3 ≡ c và Np,q(|ζ|) đ-ợc cho bởi
n=0
Sơ đồ thực nghiệm mới tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba trong ph-ơng trình (3.1) đ-ợc phác họa nh- trong hình 3.1. Những thiết bị quang mà chúng tôi sử dụng gồm có bốn bộ tách chùm cân bằng, năm bộ dịch pha, bốn tinh thể phi tuyến Kerr và hai đầu dò quang.
ˆ
Tác dụng của bộ tách chùm cân bằng Bxy trong sơ đồ đ-ợc cho bởi
Bˆ xy|αix|βiy =
trong đó |αix và |βiy là các trạng thái kết hợp của hai mode x và y. Bên cạnh
đó, biến đổi của bộ dịch pha khi tác dụng lên trạng thái kết hợp |αix
56
Hình 3.1: Sơ đồ thực nghiệm mới tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba lan truyền tự do trong không gian mở. Từ BS1 đến BS4 ký hiệu cho các bộ tách chùm cân bằng, các hình vuông là các bộ dịch pha, các khung vuông với ±$ thể hiện cho các tinh thể phi tuyến Kerr, P D1 và P D2 là các đầu dò quang không lý t-ởng. Sơ đồ sử dụng các trạng thái đầu vào bao gồm ba trạng thái kết hợp cùng biên độ |ζ|, hai trạng thái chân không và một trạng thái kết hợp có biên độ |α 2| 1. Các đ-ờng tròn thể hiện cho các đ-ờng dẫn quang có tác dụng đ-a√ các mode vào những thiết bị một cách đồng thời.
của mode x đ-ợc cho là ˆ
Px(φ)|αix = |αe
Đối với các tinh thể phi tuyến Kerr có c-ờng độ $, biến đổi của chúng đ-ợc
đặc tr-ng bởi toán tử Kˆ
xy = e− ˆ
Kxy|nix|βiy
với |nix và |βiy lần l-ợt là trạng thái Fock của mode x và trạng thái kết hợp của mode y, t là thời gian t-ơng tác của hai chùm quang bên trong tinh thể. Để tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba có biên độ |ξ|, chúng tôi sử dụng ba trạng thái kết hợp chính ở đầu vào là |ζi1, |ζi2 và |ζi3 t-ơng ứng với ba mode 1, 2
và 3, trong đó ξ = ζ3. Các trạng thái phụ ở đầu vào bao gồm một trạng thái
√ √
kết hợp |α 2i4 của mode 4 có biên độ lớn |α 2| 1 cùng với hai trạng
57
thái chân không |0i5 và |0i6 t-ơng ứng với mode 5 và 6. Bây giờ trạng thái vào của toàn bộ hệ đ-ợc biểu diễn là
√
|Ψvàoi = |ζ, ζ, ζi123| 2αi4|0i5|0i6.
Khai triển các trạng thái kết hợp |ζi1, |ζi2 và |ζi3 trong dạng các trạng thái Fock, chúng tôi viết lại ph-ơng trình (3.6) d-ới dạng
|Ψvàoi =
n,m,k=0
√
với anmk = anamak, trong đó al = e−|ζ|2/2ζl/ l! và l = {n, m, k}.
ˆ
Sau khi truyền qua bộ tách chùm BS1 và bộ dịch pha P5(θ), trạng thái | Ψvàoi trở thành
X∞
|Ψ1i =
n,m,k=0
ˆ
Tiếp tục xuyên qua bộ tách chùm thứ hai BS2 và bộ dịch pha P6(φ), trạng thái của hệ bây giờ đ-ợc cho bởi
|Ψ2i = n,m,k=0a
nmk|n, m, ki
123
Trạng thái của hệ tiếp tục đ-ợc đ-a vào các tinh thể phi tuyến Kerr. Sau khi các mode 1 và 4, 2 và 5, 3 và 6 truyền đồng thời qua ba tinh thể phi tuyến
ˆ ˆ ˆ
Kerr K14($), K25($) và K36($), trạng thái của hệ đ-ợc chuyển thành
X∞
n,m,k=0
iαe−i($tm−θ) E
i4 √
2 5
(3.10)
Đặt $t = τ 1, θ = τ p, φ = τ q, ta viết lại trạng thái (3.10) d-ới dạng
|Ψ3i =
n,m,k=0a
nmk|n, m, ki
123|αe−iτ ni
4
58
Để thuận tiện trong việc tính toán, đặt αl = αe−iτ l, khi đó ph-ơng trình (3.11) đ-ợc viết lại là
|Ψ3i = n,m,k=0a
nmk|n, m, ki
123|α
Tiếp theo, mode 5 đ-ợc trộn với mode 6 qua bộ tách chùm BS3 rồi chồng chất cùng mode 4 qua bộ tách chùm BS4. Cần chú ý rằng mode 5 phải thực hiện dịch pha bởi các bộ dịch pha P5(π) → P5(π) → P5(π/2) nh- trong
∞
X
|Ψ4i =
n,m,k=0a
nmk|n, m, ki
123
× −
Sau đó mode 1 và mode 5 cùng đ-ợc truyền qua tinh thể phi tuyến Kerr thứ t- với hệ số phi tuyến −$, trạng thái ra bây giờ là
|Ψrai = víi
βnmk =
γnmk = −
λnmk =
(3.14)
(3.15) (3.16) (3.17)
Tại tầng cuối cùng, chúng tôi sắp xếp hai đầu dò quang PD1 và PD2
để dò số photon lần l-ợt trong các mode 4 và 6. Giả sử các đầu dò quang là lý t-ởng (nghĩa là chúng đếm chính xác số photon đập vào), việc dò số photon trong mode j đ-ợc đặc tr-ng bởi tập hợp đủ của các toán tử đo l-ờng
ˆnj
Mj = |nj ijhnj |, nj = 0, 1, 2, ... Giả sử các giá trị đo đ-ợc đồng thời là
59
{n4, n6}, tức là có n4 và n6 photon lần l-ợt trong các mode 4 và 6, với xác suất Pn4n6 , trạng thái |Ψrai trong (3.14) đ-ợc sắp xếp thành
| Ψ
n4n6
i
víi
|Φn4n6
i = M
4
trong đó trạng thái |φn4n6i1235 có dạng
|φn4n6
i1235 =
xác suất là
Pn4n6
= hΦ
n4n6
|Φn4n6
i =
n,m,k=0
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Chúng ta hãy tập trung vào các mode 1, 2 và 3, trạng thái của chúng đ- ợc đặc tr-ng bởi toán tử mật độ thu gọn có dạng
với Tr5 biểu thị cho việc lấy vết trên mode 5. Từ đó
n4n6
= Pn4n6
ρˆ123
× h
Độ trung thực của trạng thái ứng với ρˆn1234n6 trong trạng thái kết hợp bộ ba trong ph-ơng trình (3.1) là Fn4n6 = 123hΨp,q(ζ)|ρˆn1234n6 |Ψp,q(ζ)i123 và
e−3|ζ|2
Fn
4n
6
= Pn4n6Np,q2(|ζ|) |hn4|0ihn6|0i|2,
trong đó Np,q(|ζ|) đ-ợc cho bởi ph-ơng trình (3.2). Rõ ràng là độ trung thực sẽ khác không trong tr-ờng hợp n4 = n6 = 0. Khi n4 = n6 = 0, độ trung
60
thực tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba trở thành
e−3|ζ|2 F = F00=
P00Np,q2(|ζ|) ,
trong đó
X∞
P=P00= n,m,k=0 |anmk|2e−(|βnmk|2+|λnmk|2)
= e−3|ζ|2 X∞
|ζ|2(n+m+k)
n!m!k!
n,m,k=0
× e− |α4|2 {5−2 cos[(m−n−p)τ ]−2 cos[(k−n−p−q)τ ]−cos[(k−m−q)τ ]}.
(3.25)
(3.26)
F
H
×n h 3.2 : Sù ph ô th ué c củ a
® é tr un
g thực F và xác suất thành công P tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba vào |ζ| với p = q
= 0, τ = 10−3 khi |α| = 103 (đ-ờng liền nét), 2 ì 103 (đ-ờng gạch - gạch), 3 ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) và 5 ì 103 (đ-ờng chấm - chấm).
Chúng tôi sử dụng các biểu thức giải tích trong các ph-ơng trình (3.25) và (3.26) để khảo sát độ trung thực và xác suất thành công tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba trong tr-ờng hợp các đầu dò quang hoạt động lý t-ởng. Hình 3.2 biểu diễn sự phụ thuộc của độ trung thực và xác suất thành công vào |ζ| với p = q = 0 và τ = 10−3 ứng với một số giá trị của |α|. Kết quả thể hiện
rằng độ trung thực đ-ợc cải thiện khi tăng biên độ kết hợp |α 2| của√ mode 4. Đặc biệt nó tiến tới đơn vị khi |α| ≥ 5 ì 103. Tuy nhiên, có sự giảm của
61
xác suất thành công khi tăng |α|. Bên cạnh đó cả độ trung thực và xác suất thành công giảm khi tăng |ζ|.
Bây giờ, chúng tôi xét cho tr-ờng hợp các đầu dò quang PD1 và PD2 hoạt động không lý t-ởng với hiệu suất η, 0 < η < 1. Trong sơ đồ này, chúng tôi sử dụng các đầu dò quang hoạt động theo chế độ bật/tắt, trong
đó chế độ bật (tắt) t-ơng ứng với có (không có) photon đập vào đầu dò.
Việc dò bật/tắt của các đầu dò quang đ-ợc đặc tr-ng bởi toán tử [42]
ΠˆjbËt =
n=0
Πˆjtắt=
n=0
trong đó fntắt(η) = (1 − η)n và fnbật(η) = 1 − fntắt(η). Giả sử rằng kết quả
đo trong mode 4 đ-ợc đặc tr-ng bởi x = bật hoặc tắt và trong mode 6 là y = bật hoặc tắt, có bốn khả năng xảy ra với các sự kiện dò bật/tắt của PD1 và PD2 là {x, y} = {bật, bật}, {tắt, bật}, {bật, tắt} và {tắt, tắt}. Khi
đó |Ψrai trong ph-ơng trình (3.14) đ-ợc sắp xếp thành
|Φx,y(η)i
|Ψx,y(η)i = p , (3.29)
Px,y(η)
víi
|Φx,y(η)i = Π4
và
X∞
Px,y(η) = fx (η)fy (η)|anmkhn4|βnmkihn6|λnmki|2. (3.31)
n4 n6
n,m,k,n4,n6=0
62
Toán tử mật độ thu gọn của hệ lúc này có dạng ρˆ123x,y(η) = Tr456(|Ψx,y(η)ihΨx,y(η)|)
× hn4|βnmkihβn0m0k0 |n4ihγn0m0k0|γnmkihn6|γnmki
× hλn0m0k0 |n6i|n, m, ki123hn0, m0, k0|,
với Tr456 ký hiệu cho lấy vết trên các mode 4, 5 và 6. Độ trung thực của trạng thái có ρˆx,y123(η) đối với trạng thái kết hợp bộ ba |Ψp,q(ζ)i123 là
Fx,y(η) =
=
e−3|ζ|2 Px,y(η)
e−3|ζ|2
Rõ ràng là f0x(η)f0y(η) chỉ khác không trong tr-ờng hợp x = y = tắt, khi đó f0x(η)f0y(η) = 1. Vì vậy, quá trình tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba sẽ thành công nếu các đầu dò quang không lý t-ởng im lặng. Độ trung thực của quá
trình tạo ra trạng thái này trở thành
=e−3|ζ|2
× e η|α
63
Chúng tôi sử dụng các biểu thức trong các ph-ơng trình (3.34) và (3.35) để khảo sát độ trung thực và xác suất thành công tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba với sự hoạt động không lý t-ởng của các đầu dò quang. Hình 3.3 biểu diễn sự phụ thuộc của của F (η) và P (η) vào |ζ| khi p = q = 0, τ = 10−3 và |α| = 103 ứng với một số giá trị của η. Kết quả thể hiện rằng khi hiệu suất tăng lên, giá trị của độ trung thực đ-ợc nâng cao hơn trong khi xác suất thay đổi không nhiều. Khi τ cỡ 10−3 và |α| đạt giá trị 5 ì 103, độ trung thực F (η) đạt tới 99.9% khi η ≥ 0.7. Chú ý rằng hiện nay hiệu suất l- ợng tử của các đầu dò quang đã có thể đạt trên 0.995 [109].
HLFΗ
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
0.0
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của độ trung thực F (η) và xác suất thành công P (η) tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba vào |ζ| với p = q = 0, τ = 10−3 và |α| = 5 ì 103 khi η = 0.2 (đ-ờng liền nét), η = 0.3 (đ-ờng gạch - gạch), η = 0.5 (đ-ờng gạch - chấm) và η = 0.7 (đ-ờng chấm - chÊm).
Chúng ta hãy xem xét ảnh h-ởng của c-ờng độ phi tuyến của các tinh thể Kerr lên các yếu tố độ trung thực và xác suất thành công tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba. Hình 3.4 biểu diễn sự phụ thuộc của F (η) và P (η) trong các ph-ơng trình (3.34) và (3.35) vào τ khi cố định p = q = 0 và |ζ| = 1 ứng với một số giá trị của |α|. Nh- đ-ợc kỳ vọng, ứng với giá trị cho tr-ớc của |ζ| và | α|, độ trung thực (xác suất) tăng lên (giảm xuống) theo τ .
Cuối cùng, chúng tôi xét cho tr-ờng hợp c-ờng độ phi tuyến của các
64
tinh thể Kerr rất yếu, do đó τ 1. Trong tr-ờng hợp này xác suất P (η) trong ph-ơng trình (3.35) đ-ợc lấy gần đúng là
P(η) e−3|ζ|2
'
H LFΗ
|Α| = 103
|Α| = 2×10 3
|Α| = 3×10 3 |Α| = 5×10 3
0.0004 0.0008 0.0012
Τ
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của độ trung thực F (η) và xác suất thành công P (η) tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba vào τ với p = q = 0 và |ζ| = 1 khi |α| = 103
(đ-ờng gạch - gạch), 3 ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) và 5 ì 103 (đ-ờng chấm - chấm).
H LFΗ
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.00
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của độ trung thực F (η) và xác suất thành công P (η) tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba vào Z = √
η|α|τ víi p = q = 0 khi |ζ| = 0.5 (®-êng liÒn nÐt), |ζ| = 0.7 (®- ờng gạch - gạch), |ζ| = 1.0 (đ-ờng gạch - chấm) và |ζ| = 3.0 (đ-ờng chấm - chấm).
Dựa vào các ph-ơng trình (3.34) và (3.36), ta dễ dàng nhận thấy rằng độ trung thực và xác suất thành công tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba phụ thuộc
65
vào tích η|α|2τ 2. Vì vậy, hình 3.5 biểu diễn sự phụ thuộc của độ trung thực và xác suất thành công vào tham số Z = √
η|α|τ ứng với một số tr-ờng hợp của | ζ|. Ta dễ dàng nhận thấy rằng độ trung thực có thể đạt giá trị 100% khi
Z ≥ 5. Thiết lập sơ đồ thực nghiệm cho điều kiện về giá trị của tích √
η|α|τ
đạt tới 5 là khả thi với công nghệ hiện nay [59].