7. Bố cục của luận án
4.4. Viễn tải l-ợng tử với trạng thái kết hợp bộ ba thêm
Cần l-u ý rằng trạng thái kết hợp cặp và trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon chỉ có thể viễn tải l-ợng tử các trạng thái đơn mode. Chúng không thể thực hiện viễn tải l-ợng tử các trạng thái hai mode hoặc điều khiển viễn tải l-ợng tử theo các giao thức nh- trong [57], [119].
Các nhiệm vụ này đòi hỏi phải sử dụng các nguồn đan rối ba mode.
85
Bây giờ, chúng tôi đ-a ra giao thức mới về viễn tải l-ợng tử của các trạng thái đan rối hai mode thông qua nguồn đan rối kiểu pha-số hạt ba mode. Đó là trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon |Ψp,q; h, k, liabc đ-ợc cho nh- trong ph-ơng trình (2.3). Giả sử Alice sở hữu mode a, các mode b và c là của Bob. Alice viễn tải tới Bob một trạng thái đan rối số hạt photon hai mode 1 và 2 có dạng tổng quát là
X∞
|Ψi12 = dm|m + p1, m + p2i12,
m=0 P
trong đó p1 và p2 là các số nguyên không âm và m |dm|2 = 1, m = {0, 1, 2, ..., ∞}. Các trạng thái có dạng nh- trong (4.35) có thể là trạng thái chân không nén hai mode [111] hoặc trạng thái kết hợp cặp nh- trong ph-ơng trình (1.24) với p1 = 0, p2 = Q. Trạng thái tổng thể của hệ thống lúc này đ- ợc viết d-ới dạng
|Ψvàoi
abc12 = |Ψ
p,q; h, k, li
abc|Ψi
12 X∞
= Cn;h,k,l(ξ)dm|na, nb, nciabc|m + p1, m + p2i12. (4.36)
m,n=0
Để bắt đầu quá trình viễn tải, Alice thực hiện phép đo đồng thời tổng số hạt photon và hiệu pha trên hai mode a và 1. Alice cũng đồng thời thực hiện phép đo pha trên mode 2. T-ơng tự nh- trong quá trình viễn tải l-ợng tử thông qua trạng thái kết hợp cặp, sau phép đo tổng số hạt photon N và hiệu pha φ− trên hai mode a và 1, trạng thái của hệ bây giờ thu gọn thành
trong đó |φ−N ia1 đ-ợc cho bởi ph-ơng trình (4.26). Cần l-u ý rằng trong các trạng thái sau một số phép đo và biến đổi, chúng tôi sẽ viết chúng d-ới dạng
86
không đ-a vào hệ số chuẩn hóa. Điều này đồng nghĩa với việc chúng tôi không đề cập đến xác suất các phép đo trong những giao thức viễn tải l- ợng tử. Bên cạnh đó, phép đo pha của Alice t-ơng ứng với phép chiếu của trạng thái trong ph-ơng trình (4.37) lên trạng thái riêng pha của mode 2 đ-ợc cho bởi ph-ơng trình d-ới đây [88]
1
|φ2i2 = √
trong đó φ2 là kết quả đo đ-ợc, φ02 ≤ φ2 < φ02 + 2π, φ02 Sau phép đo, trạng thái của Bob đ-ợc sắp xếp trong dạng là
|Ψibc = 2hφ2|Ψibc2
=
×|nb, ncibc.
Sau khi thực hiện xong các phép đo, Alice gửi cho Bob tổng số hạt photon N, hiệu pha φ− và pha φ2 bằng kênh thông tin cổ điển. Khi có đ-ợc
ˆ −
các số liệu này, Bob thực hiện phép xoay pha bằng toán tử ei(Nb+h−p−k)φ , lúc này trạng thái của Bob trở thành
|Ψibc =
Tiếp theo, Bob thực hiện các phép dịch chuyển số hạt photon trong mode b từ nb thành N − na, trong mode c từ nc thành N − na − p1 + p2 để thu đ- ợc trạng thái có dạng
|Ψibc =
ˆ
Cuối cùng Bob thực hiện phép xoay pha bằng toán tử eiNcφ2. Trạng thái ra
87
tại Bob đ-ợc sắp xếp thành
|Ψraibc =
Để thấy tính hiệu quả trong giao thức viễn tải l-ợng tử này, chúng ta hãy khảo sát yếu tố độ trung thực trung bình. Độ trung thực trung bình trong quá trình này đ-ợc xác định là
Ftb
=
N =h+p1
=
Chúng tôi xét trạng thái đ-ợc viễn tải là một trạng thái kết hợp cặp đ- ợc cho nh- trong ph-ơng trình (1.24), do đó p1 = 0, p2 = Q, hệ số khai triển
đ-ợc viết là
NQχN−na
dN−na−p1 ≡ p , (4.44)
(N − na)!(N − na + Q)!
trong đó NQ đ-ợc cho bởi trong ph-ơng trình (1.25). Trạng thái ra là
Ψ
| rai
bc
Kết quả độ trung thực trung bình đ-ợc viết là
Ftb = NQ4
(4.45)
(4.46)
Từ ph-ơng trình (4.46), ta dễ dàng thấy rằng có sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình vào biên độ trạng thái đ-ợc viễn tải |χ|. Khi xét với tr-ờng hợp riêng là trạng thái kết hợp bộ ba, tức là h = k = l = 0, độ trung thực
88
trung bình đ-ợc viết lại là
Ftb
với cn(ξ) đ-ợc cho bởi ph-ơng trình
Tr-ớc tiên, sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (4.47), chúng tôi khảo sát độ trung thực trung bình Ftb trong quá trình viễn tải l-ợng tử của một trạng thái kết hợp cặp thông qua trạng thái kết hợp bộ ba. Hình 4.4 biểu diễn sự phụ thuộc của Ftb vào ξ = r với p = q = Q = 0 cho một số tr- ờng hợp của |χ|. Kết quả thể hiện rằng độ trung thực trung bình Ftb tăng khi r tăng nh-ng lại giảm theo |χ|. Điều này t-ơng tự với tr-ờng hợp viễn tải l- ợng tử của một trạng thái kết hợp thông qua trạng thái kết hợp cặp, trong đó Alice thực hiện phép đo tổng số hạt photon và hiệu pha.
tbF
Hình 4.4: Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Ftb
khi |χ| = 1 (đ-ờng liền nét), |χ| = 2 (đ-ờng gạch - gạch), |χ| = 5 (đ-ờng gạch - chấm) và
|χ| = 10 (®-êng chÊm - chÊm).
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (4.46) để khảo sát độ trung thực trung bình Ftb trong quá trình viễn tải l-ợng tử của một trạng thái kết hợp cặp thông qua trạng thái kết hợp bộ ba thêm
photon. Hình 4.5 biểu diễn sự phụ thuộc của Ftb vào ξ = r với p = q = Q = 0 và |χ| = 1 cho một số giá trị của (h, k, l), trong đó (h, k, l) = (0, 0, 0) t-ơng
89
ứng với trạng thái kết hợp bộ ba, các tr-ờng hợp còn lại là trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Kết quả thể hiện rằng độ trung thực trung bình Ftb tăng khi biên độ r và/hoặc số các photon thêm vào h, k, l tăng.
tbF
Hình 4.5: Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Ftb
và |χ| = 1 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) và (3, 3, 3) (đ-ờng chấm - chấm).