7. Bố cục của luận án
2.2. Trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon
2.2.2. Tính chất nén tổng ba mode
Tính chất nén đ-ợc sử dụng rất phổ biến trong các thí nghiệm có độ chính xác cao, nh- dò sóng hấp dẫn trong thí nghiệm LIGO [5], làm lạnh vật chất xuống nhiệt độ rất thấp [30]. Tính chất nén tổng liên quan đến sự tạo ra ánh sáng có tần số tổng. L-u ý rằng trạng thái kết hợp bộ ba không xuất hiện nén tổng ba mode. Chúng tôi hy vọng với các tác động thêm photon lên trạng thái này, nén tổng sẽ đ-ợc bộc lộ trong những trạng thái mới.
Để tính hệ số nén tổng ba mode trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon, tử số của vế trái trong bất ph-ơng trình (1.60) đ-ợc viết lại d-ới dạng
ˆ 2 Nˆ
aNˆ
bNˆ
c h
−4R với R(z) ký hiệu cho phần thực của z. Ta đặt
X∞
Jw = |haˆ w
trong đó Cn;h,k,l(r) và Cn+w;h,k,l(r) đ-ợc xác định nh- trong ph-ơng trình (2.4) và w là số nguyên không âm. Sử dụng các kết quả trong các ph-ơng trình (2.5) và (2.9), hệ số nén S là
S = 2J2 cos 2(φ − ϕ) − 4J12 cos2(φ − ϕ
1 + I
1,1,0 + I
0,1,1 + I
1,0,1 + I
1,0,0 + I
Chúng tôi nghiên cứu tính chất nén tổng ba mode trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon bằng sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình
38
(2.10). Hình 2.3 biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số nén S vào r với p = q = 0 và φ − ϕ = 0 ứng với một số giá trị h, k và l. Nếu r đủ lớn, nén tổng ba mode trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon xuất hiện và độ nén trở nên càng cao khi cả r và số các photon h, k và l thêm vào càng tăng (xem hình 2.3 (a)). Trong miền giá trị lớn của r và p = q = 0, khi cố định tổng số các photon đ-ợc thêm vào ba mode, ví dụ h + k + l = 12, hệ số nén S trở nên càng âm trong tr-ờng hợp số photon thêm vào mỗi mode bằng nhau, trong tr-ờng hợp này h = k = l = 4 (xem hình 2.3 (b)).
0.0 -0.1
S -0.2
-0.3
-0.4 0
Hình 2.3: Sự phụ thuộc của hệ số nén S vào r với p = q = 0 và φ − ϕ = 0 khi (a) (h, k, l) = (2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) và (b) (h, k, l) = (4, 4, 4) (đ-ờng liền nét), (8, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (9, 2, 1) (đ-ờng gạch - chÊm).
Bây giờ, ta hãy nghiên cứu nén bậc cao trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon theo những tiêu chuẩn đ-ợc cho trong các ph-ơng trình (1.65) và
†j ˆ
†j †j 2 j ˆ
j j
(1.66). Trạng thái này có h(ˆa a b bcˆ c ) i = haˆ a b bcˆ c i = 0 khi ja 6=jb 6=jc
†j ˆ
†j †j j ˆ
j j
và giá trị trung bình của các toán tử aˆ a b bcˆ c aˆ a b b cˆ c là không âm, vì vậy trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon không tồn tại nén bậc cao theo X và ˆˆ Y . Tuy nhiên, trong tr-ờng hợp ja = jb = jc = j > 0, sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (2.5), các hệ số nén tổng ba mode bậc cao trong
39
trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon đ-ợc cho bởi
SX;j= 2D0,2j− 4D
02
,j + 2Ij,j,j ,
|Dj,j − I
j,j,j|
hoặc
SY;j= −2D
0,2j + 2I
j,j,j ,
|Dj,j − I
j,j,j|
trong đó
ˆ i †ˆ
† † i
Di1,i2 = h(ˆabcˆ) 1 (ˆa b cˆ ) 2 i
X∞
= C
n;h,k,l(r)C
n+i2−i1;h,k,l(r)
n=max(0,i1−i2)
(2.11)
(2.12)
× p n
a! n
b! n
c! (n
a
+ i
2
− i
1)
!( n
b
+ i
2
−
i1)!(nc + i2 − i1)! với i1 và i2 là các số nguyên không
©m.
Trong tính toán của chúng tôi, hệ số nén SY ;j luôn luôn không âm. Ví dụ cố định p = q = 0, r = 4, h = k = l = 1, ta có SY
;j ≈ 0.356 (0.092, 0.011) khi j = 1 (2, 3). Vì vậy, trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon không có nén
tổng ba mode bậc cao trong Y .ˆ
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (2.11) để làm rõ nén tổng ba mode bậc cao của trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Hình 2.4 biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số nén SX;j theo r ứng với một số bậc j. Kết quả thể hiện rằng trạng thái này tồn tại nén tổng ba mode bậc cao khi biên độ tr-ờng lớn.
Thêm vào đó, tính âm của SX;j trở nên rõ ràng hơn khi bậc j giảm hoặc/và r đ-ợc tăng lên. Ta dễ dàng nhận thấy rằng nén tổng ba mode bậc cao biến mất trong miền nhỏ của r. Bên cạnh đó, khi tăng số các photon thêm vào ba mode, hệ số nén tổng ba mode bậc cao càng âm. Ví dụ, cố định p = q = 0, r = 8 và j = 2, hệ số nén tổng ba mode bậc cao gần đúng −0.07, −0.11, −0.12 và −0.13 t-
ơng ứng với h = k = l = 1, 2, 3 và 4.
40
X ; jS
Hình 2.4: Sự phụ thuộc của hệ số nén SX;j vào r với p = q = 0, h = k = l = 2 khi j = 2 (đ-ờng liền nét), j = 3 (đ-ờng gạch - gạch) và j = 4 (đ-ờng gạch - chÊm).
2.
2.
3.
T Ý nh ch Êt
® an rè i
§ an rè i
® ãn g va i tr ò hạ t nh
© n tr on g cá
c
quá trình thông tin và tính toán l-ợng tử [69]. Thông th-ờng độ
đan rối càng cao thì hiệu quả thực hiện các nhiệm vụ l-ợng tử càng đ-ợc tăng c-ờng. Để dò đan rối trong các trạng thái ba mode, chúng ta có thể sử dụng các tiêu chuẩn trong các ph-ơng trình từ (1.67) đến (1.77). Để định l-ợng độ đan rối trong các trạng thái ba mode và nhiều hơn, ng-ời ta sử dụng những tiêu chuẩn nh- các entropy đã đ-ợc chúng tôi nhắc đến trong ch-
ơng một.
Để dò đan rối bậc cao trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn trong ph-ơng trình (1.77).
Trong tr-ờng hợp
m ˆm m
ma 6=mb 6=mc, trung bình của các toán tử aˆ a b b cˆ c trong trạng thái này
bằng không. Vì vậy trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon không bị đan rối bậc cao. Tuy nhiên khi ma = mb = mc = m, sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (2.5) và (2.13), hệ số
đan rối bậc cao đ-ợc cho bởi
Dm,0
Em= 1 −
Im,0,0I0,m,0I0,0,m
Chúng tôi sử dụng biểu thức giải tích trong ph-ơng trình (2.14) để đánh giá biểu hiện của đan rối bậc cao trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon.
41
Hình 2.5 biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số đan rối bậc cao Em theo biên
độ r ứng với một số giá trị của bậc m. Kết quả thể hiện rằng khi giá trị của r hoặc/và m càng cao, biểu hiện đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon càng rõ.
E
Hình 2.5: Sự phụ thuộc hệ số đan rối bậc cao Em vào r với p = q = 0 và h = k = l = 2 khi m = 1 (đ-ờng liền nét), m = 2 (đ-ờng gạch - gạch) và m = 3 (đ-ờng gạch - chấm).
Cần l-u ý rằng tuy giá trị của Em giảm khi tăng số các photon thêm vào nh- ng bất đẳng thức trong ph-ơng trình (1.76) càng đ-ợc thỏa mãn. Ví dụ khi cố
định m = 2, p = q = 0, r = 5, giá trị của Em đạt −0.79 (−0.46) t-ơng ứng víi h = k = l = 0 (1), nh-ng
gần đúng là
−
trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon trở nên rõ ràng hơn khi tăng số các photon thêm vào. Mặt khác, khi cố định h + k + l, hệ số Em có giá trị lớn nhất khi h = k = l. Ví dụ cố định h + k + l = 6, p = q = 0, r = 5 và m = 2, giá trị của Em gần đúng là −0.43, −0.27 và −0.21 t-ơng ứng với (h, k, l) = (6, 0, 0), (4, 1, 1) và (2, 2, 2).
Bây giờ chúng tôi định l-ợng độ đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon bằng entropy tuyến tính. Toán tử mật độ thu gọn của các mode
42
a, b và c đ-ợc xác định lần l-ợt là X∞
ρˆa
ρˆb
ρˆc n=0
trong đó hệ số Cn;h,k,l(r) đ-ợc xác định bởi ph-ơng trình (2.4) (nh-ng thay
ξ bởi r) và na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l. Sử dụng ph-ơng trình (1.78), entropy tuyến tính của trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon
đ-ợc xác định là
X∞
E = 1
= 1
n=0X
với cn(ξ) và Np,q;h,k,l(r) lần l-ợt đ-ợc xác định nh- trong ph-ơng trình (1.37) và (2.2).
Các kết quả khảo sát của độ đan rối E trong ph-ơng trình (2.18) đ-ợc thể hiện trong hình 2.6. Hình 2.6 (a) biểu diễn sự phụ thuộc của độ đan rối E vào
r với cố định p = q = 0 và một số giá trị h, k, l, trong đó (h, k, l) = (0, 0, 0) t-ơng ứng với trạng thái kết hợp bộ ba và (h, k, l) = (2, 2, 2), (5, 5, 5) t-ơng ứng với trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Ta dễ dàng thấy rằng độ đan rối E luôn luôn d-ơng với bất kỳ giá trị r 6= 0và số các photon đ-ợc thêm vào cả ba mode h, k, l. Giá trị của E trở nên càng lớn khi r tăng lên và tiến tới khoảng 0.9 tại r = 120. Với một giá trị r cho tr-ớc, trạng thái kết hợp bộ ba có
độ đan rối E nhỏ hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Mặt khác, khi số photon đ-ợc thêm vào càng lớn, độ đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon càng cao. Trong hình 2.6 (b), trong miền giá trị
43
nhỏ của r, ta thấy có sự khác nhau nhỏ của độ đan rối E khi tổng số các photon thêm vào đ-ợc cố định nh-ng thay đổi số photon thêm vào mỗi mode. Tuy nhiên khi r lớn, độ đan rối hầu nh- không thay đổi theo h, k và l.
0
Hình 2.6: Sự phụ thuộc của độ đan rối E vào r với p = q = 0 khi (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ- ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) và (b) (h, k, l) = (2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (5, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch), (6, 0, 0) (đ-ờng gạch - chấm).