Đang tải... (xem toàn văn)
ÔÛ chöông 3, khi tính ñoä beàn cuûa thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm, ta thaáy öùng suaát trong thanh chæ phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa dieän tích maët caét ngang F (maët caét F, di[r]
(1)Chương
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
6.1 KHÁI NIỆM
Ở chương 3, tính độ bền chịu kéo (nén) tâm, ta thấy ứng suất phụ thuộc vào độ lớn diện tích mặt cắt ngang F (mặt cắt F, diện tích F) Trong trường hợp khác, chịu uốn, xoắn… ứng suất khơng phụ thuộc vào diện tích F mà cịn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa cịn yếu tố khác mà người ta gọi chung đặc trưng hình học mặt cắt ngang
Xét chịu uốn hai trường hợp mặt cắt đặt khác H.6.1 Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), chịu lực tốt trường hợp b), trong hai trường hợp diện tích mặt cắt ngang Như vậy, khả chịu lực phụ thuộc vào cách đặt vị trí mặt cắt ngang phương tác dụng lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần ) Cho nên chịu lực phụ thuộc F, mà cần phải nghiên cứu đặc trưng hình học khác mặt cắt ngang để tính tốn độ bền, độ cứng, độ ổn định thiết kế mặt cắt cho hợp lý
H.6.1.Dầm chịu uốn
a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang
z a)
P
x y
P
y
(2)Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang F ( mặt cắt F ) H.6.2 Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy mặt phẳng mặt cắt M(x,y) điểm hình Lấy chung quanh M diện tích vi phân dF
♦ Mơmen tĩnh mặt cắt F trục x (hay y) tích phân:
∫
∫ =
=
F y F
x ydF S xdF
S , (6.1) x, y âm dương nên
mơmen tĩnh có trị số âm dương Thứ nguyên mômen tĩnh [(chiều dài)3]
♦ Trục trung tâm trục có mơmen tĩnh mặt cắt F trục khơng
♦ Trọng tâm giao điểm hai trục trung tâm
⇒ Mômen tĩnh trục qua trọng tâm không ♦ Cách xác định trọng tâm C mặt cắt F:
Dựng hệ trục xoCyo song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2) Ta có
x = xC + xo; y = yC + yo , với C(xc,yc)
Thay vaøo (6.1), ⇒
∫ ∫
∫ + = + = +
=
F
xo C o
F C o
F C
x y y dF y dF ydF y F S
S ( )
vì trục xo trục trung tâm nên Sxo =0, ⇒
Sx = yCF, vaø : Sy = xCF (6.2)
Từ (6.2) ⇒
F S y F S
x x
C y
C = ; = (6.3)
Kết luận: Tọa độ trọng tâm C(xC,yC) xác định hệ trục xOy ban
đầu theo mômen tĩnh Sx , Sy diệân tích F theo (6.4)
Ngược lại, biết trước tọa độ trọng tâm, sử dụng (6.2), (6.3) để xác định mơmen tĩnh
Nhận xét 1:
H.6.2Mặt cắt F trọng tâm C •
x y
M dF
F
O
C
x
xo xC
xo yC
yo
yo
(3)Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trục mơmen tĩnh trục đối xứng khơng (H.6.3a,b)
Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm giao điểm hai trục đối xứng (H.6.3c)
Thực tế, gặp mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp ghép từ nhiều hình đơn giản
Tính chất: mơmen tĩnh hình phức tạp tổng mơmen tĩnh hình đơn giản
Với hình đơn giản chữ nhật, trịn, tam giác mặt cắt loại thép định hình I, U, V, L… ta biết trước (hoặc tra theo bảng phần phụ lục ) diện tích, vị trí trọng tâm, từ dễ dàng tính mơmen tĩnh hình phứùc tạp gồm n hình đơn giản:
i n
i n
n y
i n
i n
n x
x F x
F x
F x F S
y F y
F y
F y F S
∑ ∑
= + + + =
= +
+ + =
1
2 1
1
2 1
(6.4)
trong đó: Fi,xi,yi - diện tích tọa độ trọng tâm hình đơn giản thứ i,
n - số hình đơn giản
⇒ Toạ độ trọng tâm hình phức tạp hệ tọa độ xy
∑ ∑
= =
=
= n
i i n i i i y
C
F x F F
S x
1
1 ;
∑ ∑
= =
=
= n
i i n i i i x
C
F y F F
S y
1
1 (6.5)
C x
y
a)
C
x y
c) C
x y
b) C
x y
b)
(4)Thí dụ 6-1 Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L gồm hai hình chữ nhật H.6.4 Tọa độ trọng tâm C hình là:
;
2
2 1
F F
F x F x F S xC y
+ + = =
2
2 1
F F
F y F y F S
y x
C +
+ = =
Thí dụ 6.2 Một mặt cắt ghép, gồm thép chữ Ι số hiệu No55, thép chữ [ số hiệu No27,
và thép chữ nhật 15 × 1,2 cm (H.6.5) Xác định trọng tâm C mặt cắt
Giaûi
Tra bảng (ΓOCT 8239-89) ⇒ số liệu sau: - Đối với thép chữ Ι No55:
h2 = 55 cm t = 1,65 cm F2 = 118 cm2
- Đối với thép chữ [ No27: h3 = 27 cm
F3 = 35,2 cm2 z3 = 2,47 cm - Hình chữ nhật:
F1 = 15 cm x 1,2 cm = 18 cm2
Chọn hệ trục tọa độ xy qua gốc C2 ⇒ tọa độ trọng tâm ba hình là:
28,1cm
2 , 55
1= + =
y ; y2 =0 ; 2,47 29,97cm
2 55
3= + =
y
Diện tích mơmen tĩnh tồn mặt cắt là:
F = F1 + F2 + F3 = 18 + 118 + 35,2 = 171,2 cm2
( )( ) ( )( )
3 2
1F y F yF 28,1 18 29,97 35,2 549,144cm
y
Sx = + + = + − =−
vì y trục đối xứng, trọng tâm C nằm trục
⇒ Tọa độ điểm C là: m
F S y
x x
C
C 32c
2 , 171
144 , 549
;
0 = =− ≈−
=
Dấu (–) cho thấy trọng tâm C nằm phía trục x
Chú ý rằng, trục x chọn tùy ý song thí dụ ta đặt trục x qua trọng tâm C mặt cắt chữ Ι cho tiện tính tốn
H 4 T r o ïn g t a âm h ì n h p h ö ùc t a ïp
x
x x
x1
x2
y2 y1
C1
C2 C
O y
yC xC
x
F1
F2
H.6.5.Trong tâm C hình ghép
x
x
x
x
C1
C2
C3
C X
x y ≡ Y
y1
y3 yC
z3
IoN55
[ No27
150 × 12 mm I
II
(5)Thí dụ 6.3 Cho mặt cắt hình chữ U Tìm trọng tâm C
Chọn hệ trục x,y hình vẽ, trục x qua đáy mặt cắt (trục y trục đối xứng, C nằm trục y)
cm F
S
y x
C
12 4 24
10 12 2
24 =
× + ×
× × + × × = =
) ( ) (
) (
Hay :
cm F
F S S
y x x
C
12 16 16 24
10 12 16 16 24
2
2
1 =
× ×
× × ×
× = =
) _(
) (
) _(
) (
_ _
6.3 MOÂMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 1- Mômen quán tính (MMQT)
♦Mơmen qn tính độc cực
( MMQT điểm) mặt cắt F điểm O định nghĩa biểu thức tích phân:
dF J
F
∫
= ρ2
ρ (6.6)
với ù:ρ- khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O,
♦Mơmen qn tính trục y xcủa mặt cắt F định nghĩa:
∫
∫ =
=
F x F
y x dF J y dF
J ; (6.7)
♦Mơmen qn tính ly tâm mặt cắt F hệ trục x,y định nghĩa:
=∫
F
xy xydF
J (6.8)
Từ định nghĩa mơmen qn tính, ta nhận thấy: - MMQT có thứ nguyên [chiều dài]4
- Jx , Jy , Jp >
- MMQT ly tâm Jxy cóù thể dương, âm khơng - Vì ρ2 =x2+y2 nên
y x J
J
Jρ = + (6.9)
ρ
•
x x
y
y
M
dF F
O
H 6.6 Hình phẳng F
x X 12cm
H 6.12
4cm 4cm
16cm
4cm y
Y