Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế

Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THẾ TUẤN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT XÚC TÁC - ỨC CHẾ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2011 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm nhận giá trị không gian Banach 1.1.1 Không gian hàm khả vi liên tục 1.1.2 Không gian hàm liên tục Holder 1.1.3 Không gian hàm liên tục Holder có trọng 1.1.4 Không gian hàm giải tích Tốn tử tuyến tính 1.2.1 Hạn chế tốn tử tuyến tính 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ Tích phân Dunford 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.4 Nửa nhóm giải tích 1.3 Nội suy không gian Banach 1.4 Không gian toán tử liên hợp 1.4.1 Không gian đối ngẫu 1.4.2 Không gian liên hợp 1.4.3 Toán tử liên hợp 10 1.5 Ngoại suy không gian Banach 11 1.6 Tốn tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính 12 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính tốn tử liên kết 12 1.6.2 Dạng liên hợp toán tử liên hợp 13 Không gian Sobolev-Lebesgue 14 1.7.1 Biên miền 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên 15 1.2 1.7 1.7.3 1.7.4 1.7.5 n Không gian Sobolev-Lebesgue R Không gian Sobolev-Lebesgue Rn+ 15 miền bị chặn 16 Các định lí nhúng 17 i 1.7.6 17 1.7.7 Vết ˚ps (Ω) H−s Không gian H p (Ω) 1.7.8 Không gian tích 19 Toán tử quạt, hàm mũ toán tử lũy thừa 2.1 2.2 2.3 18 20 Toán tử quạt vài tính chất 20 2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt 20 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với dạng tựa tuyến tính 21 2.1.3 Toán tử quạt không gian L2 23 2.1.4 Tính chất chuyển L2 25 Hàm mũ 26 2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh tốn tử quạt 26 2.2.2 Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính 29 Tốn tử lũy thừa 30 2.3.1 Tốn tử lũy thừa nửa nhóm giải tích 31 2.3.2 Miền toán tử elliptic lũy thừa L2 32 2.3.3 Nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 33 Sự tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt toán 37 3.2 Nghiệm địa phương 38 3.3 Nghiệm địa phương không âm 39 3.4 Nghiệm toàn cục 40 3.4.1 Uớc lượng 40 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm 42 3.4.3 Nghiệm toàn cục 46 3.4.4 Ước lượng toàn cục 46 Tài liệu tham khảo 48 ii Lời mở đầu Một cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân với biến thời gian lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết dựa kết nửa nhóm giải tích phát triển vào năm 50 kỉ trước Điểm bật cách tiếp cận cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh tốn tử tuyến tính −A nghiệm dU + AU = Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính ơ-tơ-nơm, dt F (t), < t ≤ T ; U (0) = U0 nghiệm tổng qt cho cơng thức U (t) = e−tA U0 + t −(t−s)A e F (s)ds Khơng vậy, nghiệm Bài tốn Cauchy dU phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, + AU = F (U ), < t ≤ T ; U (0) = U0 dt t nghiệm phương trình tích phân U (t) = e−tA U0 + e−(t−s)A F (U (s))ds Những công thức nghiệm cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng nghiệm tính nhất, tính quy tối đại, tính trơn v.v Đặc biệt tốn phi tuyến, ta suy tính liên tục Lipchitz trí đạo hàm Frechet nghiệm theo giá trị ban đầu Từ xây dựng hệ động lực xác định Bài toán Cauchy; nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; tồn tập hút; nghiên cứu tính ổn định khơng ổn định nghiệm dừng; xây dựng đa tạp trơn ổn định khơng ổn định v.v trí phương pháp giải gần ta thu lời giải số nghiệm Luận văn sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế Chúng chia luận văn làm ba chương Chương nói số khơng gian hàm nhận giá trị không gian Banach, nét khái qt khơng gian Sobolev, tốn tử tuyến tính, khơng gian liên hợp tốn tử liên hợp Chúng giới thiệu khái niệm số tính chất nội suy, ngoại suy khơng gian Banach Chương giành để nói toán tử quạt, hàm mũ toán tử lũy thừa Chúng đề cập đến khái niệm toán tử quạt liên kết với dạng tựa tuyến tính nghiên cứu tính chất chuyển tốn tử L2 Ngoài tồn nghiệm Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính phát biểu Chương trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm toàn cục hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toàn cục hệ phản ứng iv chất Xúc tác-Ức chế trường hợp riêng Do thời gian lực có hạn, số điểm trình bày luận văn cịn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, bạn đồng nghiệp Hà nội, tháng 04 năm 2011 Hoàng Thế Tuấn v Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm nhận giá trị không gian Banach Cho X không gian Banach với chuẩn || || Ta giới thiệu số không gian hàm nhận giá trị X, xác định khoảng R miền C Không gian hàm bị chặn Cho [a, b] đoạn R Xét không gian hàm bị chặn [a, b], kí hiệu B([a, b]; X) Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum F = sup F (t) a≤t≤b Với chuẩn B([a, b]; X) không gian Banach 1.1.1 Không gian hàm khả vi liên tục Cho [a, b] đoạn R m = 0, 1, 2, số nguyên không âm Kí hiệu C ([a, b]; X) khơng gian hàm khả vi liên tục đến cấp m [a, b] Khi m = 0, m C0 ([a, b]; X) không gian hàm liên tục thường kí hiệu cách đơn giản C([a, b]; X) Trên Cm ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau m F Cm max ||F (i) (t)|| = i=0 a≤t≤b Với chuẩn Cm ([a, b]; X) không gian Banach (xem [1, Tr 10]) Sau hai kết Định lý 1.1.1 Cho A tốn tử tuyến tính đóng X Nếu F ∈ C([a, b]; X) AF ∈ C([a, b]; X), b b AF (t)dt F (t)dt = A a a Chứng minh Xét phân hoạch đoạn [a, b] điểm mốc a = t0 < t1 < < tN = b lấy tổng N (tn − tn−1 )F (τn ) với tn−1 ≤ τn ≤ tn n=1 Rõ ràng N N (tn − tn−1 )F (τn )) = A( n=1 (tn − tn−1 )AF (τn ) n=1 Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N (tn − tn−1 ) → 0, ta A b a F (t)dt = b a b a F (t)dt ∈ D(A) AF (t)dt Định lý 1.1.2 Cho a ∈ C([0, T ], R) f ∈ C([0, T ], R) Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C1 ((0, T ], R) thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du + a(t)u ≤ f (t), < t ≤ T, dt u(t) ≤ e− t t a(τ )dτ e− u(0) + t s a(τ )dτ f (s)ds, (1.1) < t ≤ T Nói riêng, a(t) ≡ δ > f (t) ≡ f > u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , < t ≤ T Chứng minh Với t cố định, ta có t t t d u(s)e− s a(τ )dτ = [u (s) + a(s)u(s)]e− s a(τ )dτ ≤ f (s)e− s a(τ )dτ ds Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức theo s đoạn [0, t], ta thu u(t) − u(0)e − t s t a(τ )dτ f (s)e− ≤ t s a(τ )dτ ds Từ (1.1) có u(t) ≤ e− t t a(τ )dτ e− u(0) + t s a(τ )dτ f (s)ds, < t ≤ T Nói riêng, a(t) ≡ δ > t u(t) ≤ e−δt u(0) + e−δ(t−s) f (s)ds, < t ≤ T Thêm vào đó, f (t) ≡ f > u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , < t ≤ T 1.1.2 Không gian hàm liên tục Holder Với m = 0, 1, 2, số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ ([a, b]; X) không gian hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder [a, b] với số mũ σ Trên Cm+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn F Cm+σ = F Cm + sup a≤s Giả sử U (t) = (u(t), v(t))t nghiệm địa phương Bài toán (3.5) xây dựng Ta thấy liên hợp phức U (t) U (t) nghiệm địa phương toán với giá trị ban đầu U0 Do tính nghiệm nên U (t) = U (t) với t ∈ (0, TU0 ] Vì U (t) nhận giá trị thực (0, TU0 ] Để chứng minh tính khơng âm nghiệm, lấy H(u) hàm cho công thức  u H(u) = 0 Rõ ràng H(u) ∈ C1,1 Đặt Ψ(t) = u < 0, u ≥ H(u(t))dx, ta có Ω ∂u u2 dx = a H (u)∆udx + γ H (u) d − cu + dx ∂t χε (v) Ω Ω Ω Theo Công thức Green thứ Ψ (t) = H (u(t)) H (u)∆udx = − Ω Mặt khác ∇H (u)∇udx + Ω H (u) ∂u dx ∂ν ∂Ω ∂u = ∂Ω, nên ∂ν H (u)∆udx = − Ω |∇H (u)|2 dx ≤ ∇H (u)∇udx = − Ω Ω 39 Thêm vào H (u) ≤ 0, H (u)u ≥ 0, nên u2 H (u) d − cu + dx ≤ χε (v) Ω Từ suy Ψ (t) ≤ với t ∈ (0, TU0 ] Vậy Ψ(t) ≤ Ψ(0) = 0, t ∈ (0, TU0 ] Nhưng Ψ(t) ≥ với t ∈ (0, TU0 ], ta có Ψ(t) = với t ∈ (0, TU0 ] Tóm lại, u(t) ≥ với t ∈ (0, TU0 ] H(v(t) − ε0 e−γσt )dx Ta có Một cách tương tự đặt Φ(t) = Ω H (v − ε0 e−γσt )[v − ε0 e−γσt ]dx H (v − ε0 e−γσt )∆vdx − γσ Φ (t) = b Ω Ω u2 H (v − ε0 e−γσt ) dx χε (v) +γ Ω Dễ thấy Φ (t) ≤ với t ∈ (0, TU0 ]; ≤ Φ(t) ≤ Φ(0) = với t ∈ (0, TU0 ] Bởi v(t) ≥ ε0 e−γσt với t ∈ (0, TU0 ] 3.4 Nghiệm toàn cục 3.4.1 Uớc lượng Cho U0 = (u0 , v0 )t ∈ K giá trị đầu thỏa mãn ess inf Ω v0 = ε0 > Giả sử U (t) = (u(t), v(t))t nghiệm địa phương (3.5) [0, TU ] không gian hàm ≤ u ∈ C((0, TU ]); HN2 (Ω)) ∩ C([0, TU ]; H (Ω)) ∩ C1 ((0, TU ]; L2 (Ω)), < v ∈ C((0, TU ]); HN2 (Ω)) ∩ C([0, TU ]; H (Ω)) ∩ C1 ((0, TU ]; L2 (Ω)) (3.6) d (1 − e−γct ), ≤ t ≤ TU Như làm trên, hàm Ψ1 (t) = c H(u1 (t))dx khả vi liên tục có đạo hàm Đặt u1 (t) = u(t) − Ω γu2 H (u1 ) a∆u + γ(d − cu) + − γde−γct dx χε (v) ∂u1 H (u1 ) dx = ∂t Ψ1 (t) = Ω Ω Chú ý ∆u1 = ∆u, nên ta có d H (u1 ) u − (1 − e−γct ) dx + c H (u1 )∆u1 dx − γc Ψ1 (t) = a Ω Ω H (u1 ) Ω 40 γu2 dx χε (v) Do Ψ1 (t) ≤ 0, ≤ t ≤ TU Vậy với ≤ t ≤ TU , ≤ Ψ1 (t) ≤ Ψ1 (0) = H(u(0))dx = H(u1 (0))dx = Ω Ω Điều suy u1 (t) ≥ 0, ≤ t ≤ TU , tức d u(t) ≥ (1 − e−γct ), ≤ t ≤ TU c Một cách tương tự, đặt v1 (t) = v(t) − ε0 e−2γσt + e(t) − (3.7) ε , ≤ t ≤ TU Ở đây, t d √ e(t) = γ( ) σe−2γσt c e2γσs (1 − e−γcs )ds Chú ý d e(t) ≥ 0, lim e(t) = ( √ ) t→∞ c σ d √ e (t) = −2γσe(t) + γ( ) σ(1 − e−γct ) Từ c Φ1 (t) = H (v1 (t)) ∂v1 dx ∂t Ω H (v1 ) v (t) + 2ε0 γσe−2γσt − e (t) dx = Ω ε v−(ε0 e−2γσt + e(t) − ) H (v1 )dx H (v1 )∆vdx − 2γσ =b Ω Ω u2 d √ + σv + σε − ( ) σ(1 − e−γct ) H (v1 )dx χε (v) c +γ Ω H (v1 )∆vdx − 2γσ =b Ω v1 H (v1 )dx Ω d √ u2 + σv + σε − ( ) σ(1 − e−γct ) H (v1 )dx χε (v) c +γ Ω √ u2 + σv + σε ≥ σu, lập luận tương tự phần trước ta có Φ1 (t) ≤ χε (v) với t ∈ (0, TU ] Vì ε H(v(0) − ε0 + )dx = (do v(0) ≥ ε0 ) ≤ Φ1 (t) ≤ Φ1 (0) = Ω Điều dẫn đến v(t) ≥ ε0 e−2γσt + e(t) − 41 ε với ≤ t ≤ TU (3.8) 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm Cho U0 = (u0 , v0 )t ∈ K giá trị đầu cho ess.infΩ v0 = ε0 > Lấy ε số dương thỏa mãn 0< ε ≤ inf {e−2γσt ε0 + e(t)} 0≤t tùy ý, ta chọn số Cp,ξ dương p dup−1 ≤ ξup + Cp,ξ với u không âm (chẳng hạn lấy Cp,ξ ≥ dp (p − 1)p−1 ) ξ p−1 Do II ≤ −γ q up u γ |Ω| Cp,ξ u2 + (pc − σq) − ξ − p dx + Cp,q,ξ,ε , Cp,q,ξ,ε = q v v v εq Ω Chọn p = 4, Điều kiện (3.10) tương đương với q≤ a2 3ab + b2 − ab Ngoài ra, q số không âm thỏa mãn √ 2c − c2 − σ 3ab < q ≤ 2, , σ a + b2 − ab (3.11) tam thức bậc hai qX − 4X + (4c − σq) > với X Với p, q thỏa mãn (3.10), (3.11) chọn ξ dương, đủ nhỏ thỏa mãn minX qX − 4X + (4c − σq) − ξ > Gọi α số dương thỏa mãn minX qX − 4X + (4c − σq) − ξ ≥ α > Khi u4 dx + Cq,ε , vq II ≤ −γα Ω Cq,ε = γ |Ω| C Theo Mệnh đề 1.1.2, εq w(t) ≤ e−αγt w(0) + Cq,ε γα Điều suy −γαt ||w(t)||L1 ≤ e ||w(0)||L1 + Cq,ε e−αγt ≤ q ||u0 ||L1 + Cq,ε ε Vì u2 (t) v(t) L2 u4 (t) = v (t) L1 u4 (t) v q (t) dx v q (t) v (t) = ≤ ε2−q Ω = u4 (t) dx v q (t) 1 Ω w(t) L1 ≤ −αγt e u40 ε2−q ε2−q εq −γct e C e−αγt + u u0 = = L ε2 ε2 ε2 γαt ≤ Cε e− u20 L2 + Chú ý Cε α không phụ thuộc vào U0 TU 43 L1 L2 + Cq,ε C + ε 2 Phương trình với u viết dạng toán tử L2 sau du u2 + A1 u = γ d + , dt v Theo chứng minh Định lý 2.3.4 < t ≤ TU t −tA1 u(t) = e u2 (s) ds v(s) e−(t−s)A1 d + u0 + γ (e−tA1 nửa nhóm giải tích L2 sinh toán tử −A1 ) Như t 8 A1 u(t) = e−tA1 A1 u0 + γ A18 e−(t−s)A1 d + u2 (s) ds v(s) Do t A1 u(t) L2 ≤ e−tA1 L2 3 A1 u0 L2 A18 e−(t−s)A1 d + +γ u2 (s) v(s) L2 ds t ≤ e−γct A1 u0 L2 t A1 e−(t−s)A1 d +γ L2 ds A1 e−(t−s)A1 +γ u2 (s) v(s) L2 ds 0 t ≤ e−γct A18 u0 L2 A18 e− +γ (t−s) A1 L2 e− (t−s) A1 L2 d L2 ds t A18 e−(t−s)A1 +γ L2 Cε e− αγs u20 L2 + ds t ≤e −γct A1 u0 L2 + Cε ( t − s − − (t−s)γc ) 8e ds t + Cε u20 A18 e−(t−s)A1 L2 − αγs ds L2 e e−tA1 L2 ≤ e−γct (theo Định lý Lumer-Phillips) Bất đẳng thức (2.37) 44 Từ t A1 u(t) ≤ e−γct A1 u0 L2 L2 + Cε ( t − s − − γc(t−s) ) 8e ds t + Cε u20 αγs − γc(t−s) −3 ) (t − s)− e β1 e− ds β1 (1 − L2 t ≤ e−γct A1 u0 L2 + Cε ( t − s − − γc(t−s) ds ) 8e t + Cε e− γct β1 u20 − (t − s)− e L2 γc(t−s) 2β1 ds, c } Vì với δ, ζ dương, cách đổi biến α số β1 thỏa mãn β1 > max{1, u = ζ(t − s) ζt t − 38 (δ(t − s)) δ e−ζ(t−s) ds = ( )− ζ ζ δ u− e−u du ≤ ( )− Γ( ) ζ α 0 Nên ta có ước lượng A18 u(t) ≤ Cε e − L2 γct β1 A18 u0 L2 + u20 L2 +1 (3.12) Một cách tương tự, phương trình v viết dạng toán tử L2 sau u2 dv + A2 v = γ , dt v < t ≤ TU Do t v(t) = e−tA2 v0 + γ e−(t−s)A2 u2 (s) ds, v(s) t 8 A2 v(t) = A2 e −tA2 A28 e−(t−s)A2 v0 + γ u2 (s) ds, v(s) t A2 v(t) L2 −tA2 ≤ A2 e v0 L2 +γ −(t−s)A2 A2 e L2 u2 (s) v(s) L2 ds Vì e−tA2 ≤ e−γσt (theo Định lý Lumer-Phillips) kết trên, lấy β2 σ số dương thỏa mãn β2 > max{1, }, ta có α L2 A28 v(t) L2 γσt − 2β ≤ Cε e A28 v0 45 L2 + u20 L2 +1 (3.13) 3.4.3 Nghiệm toàn cục Cho U0 ∈ K giá trị đầu thỏa mãn ess.infΩ v0 (x) = ε0 > Lấy ε > đủ nhỏ cho inf 0≤t Các hệ số a, b, c, σ hệ giả định thỏa mãn điều kiện √ + σ 2c − c2 − σ 3ab c> , < σ a + b2 − ab Đây kết Tuy nhiên lực thời gian có hạn, nhiều vấn đề lý thú xây dựng hệ động lực, nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng nhất, v.v chưa đề cập tới luận văn 47 Tài liệu tham khảo [1] R A Adams and J F Fourier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003 [2] K Engel and R Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer-Verlag, Berlin, 2006 [3] L C Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998 [4] A Gierer and H Meinhardt, A theory of biological pattern formation, Kybernetik 12(1972), 30-39 [5] P Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985 [6] K Masuda and K Takahashi, Reaction-diffusion systems in the Gierer-Meinhardt theory of biological pattern formation, Japan J Appl Math 4(1987), 47-58 [7] H Meinhardt, Models of Biogical Pattern Formation, Academic Press, 1982 [8] M D Li, S H Hua and Y C Qin, Boundedness and blow up for the general activator-inhibitor model, Acta Math Appl Sinica 11(1995), 59-68 [9] H Jiang, Global existence of solutions of an activator-inhibitor system, Discrete contin Dyn Syst 14(2006), 681-732 [10] M Renardy and R C Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2004 [11] F Rothe, Global existence of Reaction-Diffusion Systems, Lecture Notes in Math 1072, Springer-Verlag, Beclin, 1984 [12] E.M Stein, Singular Integrals and Differentiability, Princeton University Press, Princeton, 1970 [13] H Triebel, Interpolation Theory, Fuction Spaces, Differential Operators, NorthHolland, Amsterdam, 1978 48 [14] Atsushi Yagi, Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer-Verlag, Beclin, 2010 [15] K Yoshida, Functional Analysis, Springer-Verlag, Beclin, 1980 49 ... 32 2.3.3 Nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 33 Sự tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác- Ức chế 36 3.1 Đặt toán 37 3.2 Nghiệm địa phương... L2 Ngồi tồn nghiệm Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính phát biểu Chương trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm toàn cục hệ phản ứng chất Xúc tác- Ức chế Bằng cách sử dụng... sau τ bước nghiệm địa phương mở rộng khoảng có độ dài cố định Vì vậy, sau hữu hạn bước khoảng nghiệm mở rộng phủ đoạn [0, T ] cho 35 Chương Sự tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác- Ức chế Trong