Chuyên đề: Một số bài toán về căn thức

Chứng minh rằng x là một số vô tỉ... Chứng minh rằng x là một số vô tỉ.[r]

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400 Web: http://edufly.vn

Page MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CĂN THỨC

ThS Nguyễn Anh Dũng (Hà Nội)

1 Bài tốn tính tổng Ví dụ 1: Tính tổng sau

1 1

1 2 99 100

S    

  

Lời giải: Với số thực dương n ta có: 1

1 n n

n  n    Suy S  2 1    100  1 10 1 9

2 Tính giá trị biểu thức theo số vơ tỉ cho trước

Ví dụ 2: Tính S 15 15

a b

  biết 3;

2

a  b 

Lời giải: Từ giả thiết suy a b ;ab 1

Do 2  2

2

a b  ab  ab

 3  

3

3

a b  ab  ab ab 

Suy 5  2 3 2 

5

1

20 7 19

S a b a b a b a b a b

a b

           

3 Chứng minh số số vô tỉ

Ví dụ 3: Cho

3

x   Chứng minh x số vô tỉ

Lời giải: Giả sử x số hữu tỉ

Ta có  3

2  x  2 x

 

3

3

2

2 3 3

9

3

3

x x x

x x

x

    

 

 



TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400 Web: http://edufly.vn

Page 4 Chứng minh số số nguyên

Ví dụ 4: Chứng minh số sau số nguyên

3 7 5 2 7 5 2

y    

Lời giải:

Ta có        

   

2 3

3

3

3

1 3 2 3 2

1 2 2

y        

       

Suy điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho 5;

2

a  b 

Chứng minh với số tự nhiên n số n n n

S a b số tự nhiên

Lời giải: Ta có: a b1; ab 1

Với số tự nhiên n ta có:

    

2 1

2

n n n n n n

n n n

S  a  b   a  b  ab ab a b  S  S

Kết hợp với S0 2 ;S11 ta S2 S0  S1N S;  S1S2N;

Bằng quy nạp ta chứng minh SnN với số tự nhiên n, ta có điều phải chứng minh

5 Bài toán phần nguyên

Ví dụ 6: Chứng minh n số nguyên dương thì:

1

n n n

       

    kí hiệu  a số ngun lớn không lớn a

Lời giải: Đặt a 4n2aN

Ta có:

4

a n a  n Vì khơng có số phương có dạng 4n 2 nên

#

a n  Do

4

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400 Web: http://edufly.vn

Page Vì khơng có số phương có dạng 4n  nên

#

a n  Suy a 4n1 a 4n1

 

Ta có:  2

1 2

n n  n  n n  n Suy ra:

1

1 (1)

n n n

n n n a

   

   

     

   

Mặt khác ta có:

   

 

2

2

1 2

4

4

4

n n n n n

n n n

n n n

n n n

      

    

    

   

    

   

Hay  n  n1  a (2)

 

Từ (1) (2) suy  n  n1  a   4n 2

    ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Nếu a b    a  b

Bài tập tự luyện:

1 Tính S 17 17

a b

  , biết 2;

2

a  b 

2 Cho

2

x   Chứng minh x số vô tỉ

3 Chứng minh số sau số nguyên: 36 827 6 827

27 27

  

4 Chứng minh với số tự nhiên n 2 3

n

  

 