Bài giảng số 7: Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc

a) Tỉ số hai đường phân giác trong tương ứng cũng bằng k. b) Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H.. và vuông góc với MH c[r]

BÀI GIẢNG SỐ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA (G.G)

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng

dạng với

    A=A'

' ' ' =B'

A B C ABC

B  

  

  

 (g.g)

Chú ý:

Nếu góc đáy tam giác cân góc đáy tam giác cân hai tam giác

đồng dạng với

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC tam giác A’B’C’ đồng dạng với theo tỉ số k Chứng minh

rằng:

a) Tỉ số hai đường phân giác tương ứng k b) Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng k

Giải

Gọi AD A’D’ hai đường phân giác tương ứng góc A A’ Vì          ' ' ' ' ' ' ' ' '

BAD B A D A

A A

ABC A B C

B B B B

                    ' ' ' ' ' ' ' AD AB

BAD B A D g g k

A D A B

      (đpcm)

b)

Ta có

1

1 ' ' ' '

' ' ' '

2

BD BC

BD BC

k

B D C D

B D B C

           

Xét hai tam giác ABD A B D có ' ' '

    ' ' ' ' ' ' ' ' B B

ABD A B D c g c

AB BD

k

A B B D

            

 theo tỉ số k

Vậy ' ' AD

k

A D  (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H

a) AIH CHM, AKH BHM

b) HI HK

Giải

a) Ta có :

 

HCM IAH (cùng phụ với CBA) (1)

    900

CHMKHCHIA IHD 

 

KHCIHD(đối đỉnh) CHMHIA (2)

Từ (1) (2) ta có AIH CHM g g

Do AIH CHM CMHAHIHMBKHA (góc kề bù) (3)

 

CAH HBC (cùng phụ với ACB) (4)

Từ (3) (4) ta có AKH BHM g( g)

b) Theo chứng minh câu a) ta có:

AH HI

AIH CHM

CM MH

   

AH KH AH KH

AKH BHM

BM MH CM MH

      (vì BM = CM )

Vậy HI KH HI HK

MH MH   (đpcm)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC Gọi O

là giao điểm đường trung trực BC AC a) Chứng minh OMN HAB

b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAGOMG c) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH 2GO

Giải

a) Ta có: NO/ /HB (cùng vng góc với CA) / /

/ /

OM AH (cùng vng góc với CB)

Vậy có NMOHAB (góc có cạnh tương ứng vng góc)

 

MNOHBA (góc có cạnh tương ứng vng góc)

 

OMN HAB g g

    (đpcm)

b) Vì

2

OM MN

OMN HAB

AH AB

    

1 GM

GA  (G trọng tâm tam giác ABC) Xét hai tam giác HAG OMG có

 

OMGHAG (hai góc so le trong)

Và

2

GM OM

GA  AH 

Vậy HAGOMG c gc (đpcm)

c) Vì HAG OMG

 

OGM AGH

  nên ba điểm H, G, O thẳng hàng

Và GH GA GH 2GO

GO GM    (đpcm)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Cho tam giác ABC (AB<AC), đường phân giác AD Đường trung trực AD cắt BC K

a) Chứng minh KAB KCA

b) Tính độ dài KD biết BD = 2cm, DC = 4cm

Đáp số: b) KD4cm

Bài Hình thang ABCD ( AB song song CD ) có AB2, 5cm AD, 3, 5cm BD, 5cm

 .

DABDBC

a) Chứng minh ADB đồng dạng với BCD

b) Tính độ dài cạnh BC CD ,

c) Sau tính, vẽ lại hình xác thước compa

Đáp số: BC 7cm CD, 10cm

Bài Cho tam giác vuông ABC A  90 0 Dựng AD vng góc với BC D thuộc ( BC Đường )

phân giác BE cắt AD F Chứng minh FD EA

FA  EC

Bài Cho tam giác ABC AB AC, đường phân giác AD Vẽ tia Dx cho CDxBAC (tia Dx A nằm phía với BC), tia Dx cắt AC E Chứng minh

a) ABCDEC b) DEDB Đáp số:

a) ABCDEC g( g)

b) DE DB AB DE DC

DC DC AC

 

   

 

Bài Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC, lấy điểm D cho CDCA. Gọi E điểm đối xứng với D qua C

a) Chứng minh ABD EBA

b) Gọi BCa CA, b AB, c So sánh a2 b2c2 mà không dùng định lý Pitago

Hướng dẫn : b) Từ câu a) ta có AB BD a2 b2 c2

Mức độ nâng cao

Bài Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Chứng minh AD2 AB AC.

Hướng dẫn: Lấy điểm E AC cho ADEB ADEABD g g

2

AD AB AE AB AC

   ( AE AC ADEB ADC)

Bài a) Cho tam giác ABC có B2 ,C AB 4cm BC, 5cm. Tính độ dài cạnh AC

b) Tính độ dài cạnh tam giác ABC có B2C biết số đo cạnh ba số tự nhiên liên tiếp

Hướng dẫn:

a) Trên tia đối tia BA lấy BDBC Tính AC6cm

b) Theo câu a) ta có AC2 AB AD  AB AB BCb2c2ac

ta có bc nên có hai khả b c b c Đáp số: a5,b6,c4

Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD Tính độ dài BD biết

5 , 20

BC cm AC cm

Đáp số: BD6cm

Bài Các đường phân giác góc ngồi đỉnh B C tam giác ABC cắt K

đường thẳng vng góc với AK K cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh :

a) DBKEKC

b) DE4BD CE

Hướng dẫn: a) Tam giác ADE cân A.Chứng minh CKEDBK  DBK EKC(g-g)

b) Suy từ câu a)

Bài Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  Các điểm D, M, E thuộc cạnh AB,

BC, CA cho DME. Chứng minh BDM CME

Bài Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song

song với AM, cắt AB, AC theo thứ tự E F

a) Chứng minh điểm D chuyển động cạnh AC tổng DEDF có giá trị khơng đổi

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF K Chứng minh K trung điểm của EF

Hướng dẫn: a) DEDF2AM

b) FK KE KA KE KF

AM AM MC

 

   

 

Bài 10 Cho tam giác ABC, A’B’C’ có AA' 180 , BB'. Gọi BCa AC, b AB, c,

' ' ', ' ' ', ' ' '

B C a A C b A B c Chứng minh 'a a b b 'c c '

Hướng dẫn: Dựng tam giác ADE tam giác A’B’C’ hình vẽ Kẻ EF // BC

Tính được: ' ' ' '

' '

b b c AF

a a b b c c

a a c AF c c

 

  



 



Bài 11 Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng vng góc với CI

tại I cắt AC, BC theo thứ tự M, N Chứng minh :

a) AIM ABI

b)

2

AM AI

BN BI

 

  

 

Hướng dẫn:

a) Ta có     

 

0

1 1; 90

2

A B

    

1

2

B

I B AIM ABI g g

      

b) Suy từ câu a)

Bài 12 Tam giác ABC có AB < AC, đường phân giác BD CE Kẻ tia Bx cho

 

DBxDCE (tia Bx A nằm phía với BD), Bx cắt DA F, cắt CE G Chứng minh a) CGCE

b) BDCE Hướng dẫn:

a) BCDBADBF G

 nằm I E CGCE

b) Do B1C1FBCFCBCF BF

  BD BF

FBD FCG g g BD CG

CG CF

      

Kết hợp với câu a) ta có BDCE