Đang tải... (xem toàn văn)
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1 Kiến thức cần nhớ * Tam giác đồng dạng:
- Trường hợp thứ nhất: (c.c.c)
ABC A’B’C’ AB = AC = BC
A'B' A'C' B'C'
- Trường hợp thứ nhất: (c.g.c) ABC A’B’C’ AB = AC
A'B' A'C' ; A = A'
- Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ABC A’B’C’ A = A' ; B = B'
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'
AH = k (Tỉ số đồng dạng);
A'B'C' ABC
S
S = K
2
2 Bài tập áp dụng Bài 1:
Cho ABC cóB = C, AB = cm, BC = 10 cm a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu? Giải
Cách 1:
Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC ACD ABC (g.g) AC AD
AB= AC
2
AC AB AD =AB.(AB + BD)
= = AB(AB + BC)
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2:
E
D
C B
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vẽ tia phân giác BE ABC ABE ACB
2
AB AE BE AE + BE AC
= AC = AB(AB + CB)
AC AB= CB=AB + CB= AB + CB = 8(8 + 10) = 144
AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) Vì b > anên b = a + b = a +
+ Nếu b = a + (a + 1)2= a2 + ac 2a + = ac a(c – 2) =
a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c = Bài 2:
Cho ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm
Giải
Ta có CD = BC
AD AC =4 CD = cm BC = cm
Bài toán trở Bài 3:
Cho ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho
2
OB CE =
BD Chứng minh
a) DBO OCE
b) DOE DBO OCE
c) DO, EO phân giác góc BDE, CED
D
C B
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB
Giải a) Từ
2
OB CE =
BD
CE OB
=
OB BD B = C (gt) DBO OCE
b) Từ câu a suy O = E3 (1)
Vì B, O ,C thẳng hàng nên O + DOE EOC 1803 + = (2) tam giác EOC E + C EOC 1802 + = (3)
Từ (1), (2), (3) suy DOE= =B C DOE DBO có DO = OE
DB OC (Do DBO OCE)
và DO = OE
DB OB (Do OC = OB) DOE= =B C
nên DOE DBO OCE
c) Từ câu b suy D = D1 DO phân giác góc BDE Củng từ câu b suy E = E1 EO phân giác góc CED
c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi D di động AB
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)
Cho ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B a) Chứng minh tích BD CE khơng đổi
b)Chứng minh DM tia phân giác BDE
c) Tính chu vi AED ABC tam giác Giải
a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM, mà DME = B(gt) nên CME = BDM, kết hợp với B = C (ABC cân A) suy BDM CME (g.g)
BD BM
= BD CE = BM CM = a
CM CE không đổi
b) BDM CME DM = BD DM = BD
ME CM ME BM
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE = BMD hay DM tia phân giác BDE
c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC
kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB MH = MI = MK DKM = DIM
2
3
1 H
I
O E
D
C B
A
K H
I
M E D
C B
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC tam giác nên suy CME củng tam giác CH = MC
2
a = AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a
Bài 5:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F
a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE
Giải
a) DE // AM DE = BD DE = BD.AM
AM BM BM (1)
DF // AM DF = CD DF = CD.AM = CD.AM
AM CM CM BM (2)
Từ (1) (2) suy
DE + DF = BD.AM + CD.AM
BM BM =
BD CD BC
+ AM = AM = 2AM
BM BM BM
không đổi
b) AK // BC suy FKA AMC (g.g) FK = KA AM CM (3)
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA
= = =
ED BD ED + EK BD + KAKD BD + DMAM =BM AM=CM (2)
(Vì CM = BM)
Từ (1) (2) suy FK EK
AM =AM FK = EK hay K trung điểm FE
Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)
Cho hình thoi ABCD cạnh a có A = 600, đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N
a) Chứng minh tích BM DN có giá trị không đổi
b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD
K F
E
D M
C B
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Giải
a) BC // AN MB = CM
BA CN (1)
CD// AM CM = AD CN DN (2)
Từ (1) (2) suy
2
MB AD
= MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
b) MBD vàBDN có MBD = BDN = 1200
MB MB CM AD BD
= =
BD BA = CN DN =DN(Do ABCD hình thoi có
0
A = 60 nên AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy M = B1 MBD vàBKD có BDM = BDK M = B1 nên BKD = MBD = 1200 Bài 7:
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh
a) IM IN = ID2
b) KM = DM
KN DN
c) AB AE + AD AF = AC2 Giải
a) Từ AD // CM IM = CI ID AI (1)
Từ CD // AN CI ID
AI= IN (2)
Từ (1) (2) suy IM
ID = ID
IN hay ID
2 = IM IN
b) Ta có DM = CM DM = CM DM = CM
MN MB MN + DM MB + CM DN CB (3)
Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN
IK = IN IK - IM = IN - IK KM = KN KM = IM
IM IK IM IK IM IK KN IK
KM IM CM CM
=
KN ID = AD = CB (4)
Từ (3) (4) suy KM = DM
KN DN
c) Ta có AGB AEC AE = AC AB.AE = AC.AG
AG AB AB AE = AG(AG + CG) (5)
1
1 K
M
N D
C B
A
I
K F
G
E M D
C
B
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CGB AFC AF = CG CG
AC CB = AD(vì CB = AD)
AF AD = AC CG AF AD = (AG + CG) CG (6)
Cộng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG
AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB AE + AD AF = AC2
*Bài tập tự luyện Bài
Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G Chứng minh: AB + AD = AC
AE AF AG
HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài
Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh:
a) DE2 = FE
EG BE
2
b) CE2 = FE GE
(Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh
a) BH CM AD
HC MA BD =
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -