Bài giảng số 4: Khái niệm tam giác đồng dạng và các dạng bài tập

A. - Các đỉnh của các góc bằng nhau gọi là các đỉnh tương ứng.. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác. Tính chu vi của hai tam giác đã cho.. Vậy tam giác mới đồng dạng với tam giác ABC[r]

BÀI GIẢNG SỐ KHÁI NIỆM TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Tam giác A B C gọi đồng dạng với tam giác ABC chúng có ba cặp góc đơi ' ' ' bằng ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

' A; '  ; ' 

' ' ' ' ' ' ' ' '

A B B C C

A B C ABC A B B C C A

AB BC CA

             

 Một số khái niệm:

- Các cặp góc gọi góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Các đỉnh góc gọi đỉnh tương ứng

Tỉ số cạnh tương ứng A B' ' B C' ' C A' ' k

AB  BC  CA  gọi tỉ số đồng dạng

 Các tính chất:

- Mỗi tam giác đồng dạng với ( ABC ABC với tỉ số đồng dạng k  ) 1 - Nếu A B C' ' 'ABC ABCA B C' ' '( A B C' ' 'ABC theo tỉ số đồng dạng

1

' ' A B k

AB

 ABCA B C' ' 'theo tỉ số 2

' ' AB k

A B

 )

- Nếu A B C' ' 'ABC A B C'' '' ''ABC A B C' ' 'A B C'' '' ''

 Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng:

Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại

tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

TH

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng:

a)

4

k  ;

b)

3

k 

Giải

a) Giả sử vẽ AMN ABC theo tỉ số

k  , AM

k

AB  

Từ ta suy cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên cạnh AB lấy điểm M cho

4 AM

AB 

Ta có AMN ABC theo tỉ số

k 

b) Giả sử vẽ APQABC theo tỉ số

k  , AP

k

AB  

Từ ta suy cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên cạnh AB lấy điểm P cho

3 AP

AB 

Bước 2: Kẻ Py/ /BC cắt AC Q

Ta có APQABC theo tỉ số k 

Ví dụ 2: Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng

k 

a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác

a) Gọi chu vi tam giác A’B’C’ ABC p’ p

Vì A B C' ' 'ABC theo tỉ số

4

k  nên ta có:

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

A B B C C A A B B C C A p p

k

AB BC CA AB BC CA p p

 

      

 

b) Ta có: ' ' ' 30 ' 90

120

4 4

p

p p p p p

p p             

Vậy chu vi tam giác A’B’C’ 90m , chu vi tam giác ABC 120m

Ví dụ 3: Tam giác ABC có đồng dạng với tam giác mà ba cạnh ba đường cao tam giác

ABC không, cạnh tam giác ABC bằng: a) 9cm; 12cm; 16cm

b) 6cm; 8cm; 9cm

Giải

a) Gọi h h ha, b, c đường cao tương ứng với cạnh 9cm;12cm;16cm

Ta có: 1 12 16

2 2

ABC a b c a b c

S  ah  bh  ch  h  h  h

9 12 16

144 144 144

a b c a b c

h h h h h h

     

Các cạnh tam giác ( xếp theo thứ tự tù nhỏ đến lớn) tỉ lệ với ba số 3, ,6( tam giác tồn tại) Các cạnh tam giác ( xếp theo thứ tự tù nhỏ đến lớn) 9, 12, 16 Vậy tam giác đồng dạng với tam giác ABC

b) Làm tương tự câu a, suy không đồng dạng với tam giác ABC C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ

Bài Cho tam giác ABC Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng:

c) k  ; 2

d)

5

Bài Cho tam giác vuông A’B’C’ đồng dạng với tam giác vuông ABC theo tỉ số đồng dạng

k 

a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác

b) Cho biết tổng chu vi hai tam giác 40m Tính chu vi hai tam giác cho c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác

Đáp số:

a)

b) Chu vi A B C' ' '8 Chu vi tam giác ABC32

c) ' ' '

16 A B C

ABC S

S 

Bài Tìm cặp tam giác đồng dạng hình vẽ sau

Đáp số: ABCAHB;ABCAHC;AHCAHB;

Mức độ nâng cao

Bài Cho tam giác ABC (AC>AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC

sao cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Chứng minh tỉ số KE KD

không phụ thuộc cách chọn điểm D E

Hướng dẫn: Qua D vẽ DG//AC Từ ta có cặp tam giác đồng dạng suy tỉ số:

KE EC BD BA

Bài Trên ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy tương ứng điểm P, Q, R Chứng minh

rằng điều kiện cần đủ để AP, BQ, CR đồng quy PB QC RA

PC QA RB (định lý Cê-va)

Hướng dẫn:

 Điều kiện cần: Có AP, BQ, CR Chứng minh PB QC RA

PC QA RB  Qua A C kẻ đường thẳng

song song với BO cắt CO AO D E Ta có cặp tam giác đồng dạng suy

được tỉ số sau: OB PB RA; AD OE; EC;

EC CP RB OB OA AD Do / /

CQ OE CQ EC

OQ EC

QA OA QA AD

   

Vậy ta có: PB QC RA OB AD EC

PC QA RB EC OB AD 

 Điều kiện đủ: Có PB QC RA

PC QA RB , chứng minh AP, BQ, CR đồng quy Gọi O giao điểm

BQ CR Tia AO cắt BC P’ Khi theo điều kiện cần ta có ' '

P B QC RA

P C QA RB 

Vậy ' '

'

PB P B

P P

Bài Trên đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy tương ứng điểm

P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh điều kiện cần đủ để ba điểm

P, Q, R thẳng hàng PB QC RA

PC QA RB (Định lý Mê-nê-la-uýt)

Hướng dẫn:

Điều kiện cần: P, Q, R thẳng hàng Chứng minh PB QC RA

PC QA RB

Qua A, B, C kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng PQ

Điều kiện đủ: PB QC RA

PC QA RB Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng

Gọi giao điểm RP AC Q’ Dựa vào kết điều kiện cần, chứng minh QQ'

Bài Cho tam giác ABC cạnh a Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2a Một

đường thẳng qua D cắt AB, AC E F Đặt BE x CF,  y. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ED G, đường thẳng song song với ED cắt AB Q Chứng minh

2ax3ayxy0

Hướng dẫn: ; ; 2

3

CG DC EQ

QE CG EQ x

EB  BD  x    ;

EA AF EA a y

EQ FC EQ y



   Thay EQ vào