1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

05 bài giảng số 1 khái niệm ánh xạ tuyến tính và các tính chất cơ bản

14 501 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 296,29 KB

Nội dung

http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài giảng số 01 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT Cho E, F G không gian véc tơ trường  (   ) Định nghĩa 1.1: Một ánh xạ f : E  F ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu) thoả mãn hai điều kiện sau: i) f (u  v)  f (u)  f (v) với u, v  E ; ii) f (u )   f (u) với u  E ,    Khi F   , ánh xạ tuyến tính f gọi dạng tuyến tính không gian véc tơ E Định nghĩa 1.2: Một ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào gọi tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính E Định nghĩa 1.3: Ánh xạ tuyến tính f : E  F gọi đơn cấu f tuyến tính đơn ánh, f gọi toàn cấu f tuyến tính toàn ánh f gọi đẳng cấu f tuyến tính song ánh Tính chất 1.4: Một ánh xạ f :E F ánh xạ tuyến tính f (u   v)   f (u)   f (v) với u , v  E ,  ,    Tính chất 1.5: Cho ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F, ta có: i) f (0)  ii) f (u )   f (u ) với u  E iii) f (u  v)  f (u)  f (v) với u , v  E Tính chất 1.6: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G ánh xạ tuyến tính hợp g  f ánh xạ tuyến tính Định lý 1.7: Cho E F hai  - không gian véc tơ hữu hạn chiều {e1 , e2 , , en } sở E , { f1 , f , , f n } hệ véc tơ F Khi tồn ánh xạ tuyến tính  từ E vào F cho  (ei )  fi với i  1, 2, , n Hệ 1.8: Cho E F hai không gian véc tơ có số chiều, tồn đẳng cấu f từ không gian véc tơ E lên không gian véc tơ F Từ suy không gian véc tơ n chiều đẳng cấu với  n Định nghĩa 1.9: i) Ảnh không gian véc tơ E qua ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Im f tập hợp xác định bởi: Im f   f ( x )  F | x  E  Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính ii) Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Kerf tập hợp xác định bởi: Kerf   x  E | f ( x )  0 Tính chất 1.10: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F Nếu A không gian véc tơ E f ( A) không gian véc tơ F dim f ( A)  dim A Tính chất 1.11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1.12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf  0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f  F Tính chất 1.13: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều có sở hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } Im f  span{ f (e1 ), f (e2 ),  , f (en )} Tính chất 1.14: Nếu ánh xạ f : E  F đẳng cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F  E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1.15: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G đẳng cấu tuyến tính hợp g  f f g đẳng cấu tuyến tính ( g  f )1  f 1  g 1 Định lý 1.16: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều ta có: dim Im f  dim ker f  dim E II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho ánh xạ f : M 3,1 ()  M 3,1 ( ) , ( M 3,1 () không gian véc tơ ma trận cấp  ) xác định bởi:  x   3x  y  z      f  y   x  2z  z   z     1) Chứng minh f tự đồng cấu tuyến tính M 3,1 () )Chứng minh E1  u  M 3,1 ( R) / f (u )  u E  u  M 3,1 ( R) / f (u )  2u không gian véc tơ M 3,1 () 3) Tìm sở E1 , E2 Gọi véc tơ e2 sở E2 Xác định véc tơ e3 thoả mãn f (e3 )  2e3  e2 Hệ véc tơ e1 , e2 , e3  phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính? Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  x1   x2      1) Gọi u   y1  v   y  hai véc tơ thuộc M 3,1 (), với  ,    , ta có: z  z   1  2  x1  x   3(x1  x )  2(y1  y )  3(z1  z )      f (u   v)  f  y1  y    x1  x  2( z1  z )   z  z    2(z1  z )       (3 x1  y1  3z1 )   (3 x2  y2  3z )      ( x1  z1 )   ( x2  z )     z   z    x1  y1  z1   x2  y  z         x1  z1 x2  z2        z z       f (u )   f (v ) 2) Với véc tơ u, v  E1 ,  ,    , ta có: f (u   v)   f (u)   f (v)  u   v   u   v  E1 Vậy E1 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () Tương tự, ta có E2 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () x 3) Giả sử u   y   E1 , ta có f (u )  u , tức z     3x  y  z   x       x  2z    y,   z  2z     1  1    suy véc tơ u có dạng c1  , với c   Vậy sở E1 véc tơ e1  1   0 0     x  3x  y  z  x     Tương tự v   y   E , ta có f (v)  2v , tức  x  z    y  , suy véc tơ v có dạng z    z  2z        2  2     m1  , với m   Vậy sở E2 véc tơ e2    0 0     x Gọi e3   y  , đẳng thức f (e3 )  2e3  e2 tương đương với hệ sau: z    Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  3x  y  z   x   2  x  y  3z   2c   x  y 1           e3   c   x  2z    y   1    x  y  z    z    2z   z   0    2z  2z           1 Chọn c  , ta có e3    1    Dễ thấy hệ véc tơ e1 , e2 , e3  độc lập tuyến tính Ví dụ 2: Cho ánh xạ f :    , xác định bởi: f ( x, y )  ( x  y, x  y , x  y , y ) 1) Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều Kerf , Im f Giải: 1) Xét hai véc tơ u  ( x, y )   , v  ( x ' , y ' )   ,  ,    , ta có: f ( u   v )  f ( x   x ' ,  y   y ' )  ( x   x '  2( y   y ' ), 2( x   x ' )   y   y ' ,  x   x '  ( y   y ' ),  y   y ' )  ( ( x  y )   ( x '  y ' ),  (2 x  y )   (2 x '  y ' ),  ( x  y )   ( x '  y ' ),  y   y ' )   ( x  y , x  y, x  y, y )   ( x '  y ' , x '  y ' , x '  y ' , y ' )   f (u )   f (v) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Gọi ( x, y)  Kerf , ta có f ( x, y)   ( x  y, x  y, x  y, y)  (0, 0, 0,  ( x, y )  (0, 0) Vậy Kerf  0 dim Kerf  Vì dim Kerf  nên dim Im f  Gọi {e1 (1, 0), e2 (0, 1)} sở tắc  , ta có Im f  [ f (e1 ), f (e2 )]  [(1, 2, 1, 0), ( 2, 1,  1, 1)] Ví dụ 3: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   , xác định bởi: f ( x, y, z )  ( y  z , z  x, x  y ) 1) Chứng minh f đẳng cấu 2) Xác định ảnh qua f không gian F G  xác định F  ( x, y, z ) | x  y  z  0 G  ( x, y , z ) | x  y  z Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính a) Ánh xạ f tuyến tính, với véc tơ u(x, y, z) u ( x, y, z )   , v( x ' , y ' , z ' )   ,  ,   , ta có: f ( u   v )  f (  x   x ' ,  y   y ' ,  z   z ' )  (( y   y ' )  ( z   z ' ), ( z   z ' )  ( x   x ' ), ( x   x ' )  ( y   y ' ))   ( y  z , z  x, x  y )   ( y '  z ' , z '  x ' , x '  y ' )   f ( x, y, z )   f ( x ' , y ' , z ' )   f (u )   f (v ) f đẳng cấu vì: +) f toàn ánh, (m, n, p)  3 cho f ( x, y, z )  (m, n, p), ta có: mn p  x  y  z  m  m  n p   z  x  n   y  x  y  p   m  n p  z   +) f đơn ánh từ f ( x, y, z )  ta có: ( y  z, z  x, x  y)  (0, 0, 0)  ( x, y, z )  (0, 0, 0) Tìm ảnh F G qua ánh xạ tuyến tính f +) Nếu ( x, y, z )  F , f ( x, y, z )  ( x ' , y ' , z ' ) x '  y '  z '  2( x  y  z )  Suy f(F) = F  x'  y  z  x  +) Nếu ( x, y, z ) G, f ( x, y, z )  ( x , y , z ) ta có:  y '  x  z  x z'  x  y  2x  ' ' ' từ suy ( x ' , y ' , z ' ) G, f(G) = G Ví dụ 4: Trong 3 , xét phép chiếu vuông góc f lên mặt phẳng (P): x + y + z = 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều không gian véc tơ f(E), với x 1 y  z    E  ( x , y , z )   |      Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1) Ta đồng véc tơ u(x, y, z)  với điểm M ( x, y, z ) Thật vậy, giả sử f  phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P), Vì f (0)  0, f (u )  f (OM )  f (M ), nên f(u) hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Gọi M’(x’, y’, z’) hình chiếu M lên (P), ta có MM '  t n , n véc tơ pháp tuyến (P), suy ra: x'  x  t   y'  y  t z'  z  t  Vì M’  (P) nên t   x y z Vậy ánh xạ f: R3  (P), xác định bởi: (x, y, z)  ( 2x  y  z  x  y  z  x  y  2z ; ; ) 3 Dễ dàng kiểm tra ánh xạ f ánh xạ tuyến tính 2) Tập E đường thẳng 3 , E không gian véc tơ 3 , nên f(E) không gian (P) hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng (P) Vậy f(E) đường thẳng 3 Dễ thấy u(1, 2, 3) véc tơ E, ta có f(u) = (-1, 0, 1) Cơ sở f(E) véc tơ (-1, 0, 1) dim f(E) = Ví dụ 5: Cho A, B  M n ( ) hai ma trận cấp n Xét ánh xạ f : M n ( )  M n ( ), xác định f ( X )  AX  XB 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở Kerf trường hợp sau:  1    1 a) A  B   0 0 b) A  B   0  1 0   Giải: 1) Với ma trận X , Y  M n (),  ,    ta có: f(  X +  Y) = A(  X +  Y) - (  X +  Y) B =  (AX – XB) +  (AY –YB) =  f(X) +  f(Y) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) f ( X )   AX  XB (1) Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  1  a b   , đặt X    ( a, b, c, d   ), ta có:  1 c d a) Nếu A  B    a b    a b  (1)    ,  c  d   c  d  điều với ma trận X  M (), suy Kerf  M () Vậy chọn sở Kerf hệ ma trận: 1 0 0 1 0 0 0 0 { ,  ,  ,  } 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 a   b) Nếu A  B   0  , đặt X   d 1 0 g    d AX  XB   g a  Vậy ma trận X có dạng: e h b b e h f  c   k  f c   k c  f  , đó: k  a d g b  e  h  a b c a b c     X   c a b  Kerf  { c a b  | a, b, c  } b c a b c a     a b c Với ma trận X   c a b   Kerf , ta viết: b c a   1 0 0 0 0 1       X  a  0  b  0 1  c  0, 0 1 1 0 0 0       suy hệ: 1 0 0 0 0 1       {  ,  0  ,  0 } hệ sinh Kerf dễ thấy hệ độc lập tuyến tính 0 1 1 0 0 0       nên lập thành sở Kerf Ví dụ 6: Gọi M ( ) không gian véc tơ ma trận vuông cấp với hệ số thực, a b M  {  | a, b, c  } không gian véc tơ M ( ) b c Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f : M  M () , xác định bởi: b a b a  c  f ( )    a bc b c  b a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f c) Tìm sở số chiều ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f Giải:  a' a b  M (  ), B   '  b c  c a) Với ma trận A = A   b'    M ( ) ,  ,   , ta có: d'  a b  a ' b ' f ( A   B )  f (   ) b c  b ' c '   a   a ' b  b '   f ( )  b   b '  c   c '  b  b '   (a  c)   (a ' c ')    b  b '  (a  b  c)   (a ' b ' c ')   b  b' a b  a ' c '     a  b  c a ' b ' c '   b  b'  a b  a ' b '   f (  )   f ( ) b c b' c '   f ( A)   f ( B ) Vậy f ánh xạ tuyến tính b) Không gian véc tơ M có sở gồm ma trận 1 0 0 E1    , E2   0 0 1 1 0 0 Ta có: f ( E1 )    , f ( E2 )   0 1 1 1  0  , E3    0 0 1 1 1 0  , f ( E3 )   , 1 0 1 Im f  [ f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )], hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )} phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính nên n     1  m Im f  [ f ( E1 ), f ( E2 )]  {m    n   | m, n  }    1  n m  n  b  a b  0 a c   0 Nếu f ( )    , ta có    suy b  a  c  a  b  c  0  b c   0  b Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com a Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  Vậy Kerf  {  | a  }  a  c) Theo câu (b), ta có { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính hệ sinh Im f nên sở Im f Vậy dim Im f  1  Kerf  [ ], từ suy  1  1    sở Kerf dim Kerf    1 Ví dụ 7: Cho Q   ( x), chứng minh tồn đa thức P cho: Q = P + P’ + P’’ (P’, P’’ đạo hàm cấp cuả đa thức P) Tìm P biết Q = + X + X2 + X3 Giải: Với đa thức P, ta có deg P  deg( P  P '  P" ), nên Q  P  P '  P" P   ( x) Vậy xét ánh xạ f :  ( x)   ( x) , xác định bởi: f ( P)  P  P '  P " Ta có f tự đẳng cấu C3 (x), thật vậy: Với P1 , P2   ( x ),  ,    f ( P1   P2 )  ( P1   P2 )  ( P1   P2 )'  ( P1   P2 )"   ( P1  P1'  P1' )   ( P2  P2'  P2' )   f ( P1 )   f ( P2 ) Vậy f tự đồng cấu  ( x) f đơn ánh, f ( P)   P  P '  P"   P  Vì dim  ( x )  4, nên f song ánh Vậy f đẳng cấu nên đa thức Q   ( x), tồn đa thức P   ( x) cho Q  P  P '  P" Nếu Q   x  x  x3 , đặt P  x3  ax  bx  c Từ Q  P  P '  P" suy a   a     2a  b    b  1 2 a  b  c  c    Vậy đa thức cần tìm P  x3  x  x  Ví dụ 8: Kí hiệu E   n ( x) tập đa thức với hệ số thực có bậc không vượt n (n  N) Xét ánh xạ f : E  E, xác định bởi: f ( P)  P( x  1)  P( x  1)  P( x), với P  E 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Xác định không gian Im f Ker f 3) Cho đa thức Q  Im f, chứng minh tồn đa thức P  E cho f(P) = Q P(0) = P’(0) = Giải: 1) Với ( P, Q)  E   ,     , ta có: f(  P   Q)  (P  Q)( x  1)  (P  Q)( x  1)  2(P  Q)( x) =  ( P( x  1)  P( x  1)  P( x))   (Q( x  1)  Q( x  1)  2Q( x)) = f ( P)  f (Q) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Ta có f (1)  f ( x)  Với p  , ta có f ( x p )  ( x  1) p  ( x  1) p  x p p p   Ckp x k   (1)k Ckp x p  k  x p  2C2p x p   R ( x)  p ( p  1) x p   R ( x) với deg R( x)  p  Suy k 0 k 0 p deg f ( x )  p  Vậy Im f  span{ f ( x p )} với p  N p  Đặt f ( x p )  Q p  ( x ) (Đa thức có bậc p – 2) Ta chứng minh hệ Q0 , Q1 ,  , Qn  độc lập n tuyến tính Thật xét:  Q k k  , với k  , k  0, 1, , n  k 0 Giả sử q  [0, n  2] bậc lớn đa thức Qq ( x) cho q  , ta có: q 1  q Q q    k Qk (1) k 0 q 1 Vì q  nên deg qQq  deg Qq Mặt khác deg Qq  deg  k Qk k 0 Điều mâu thuẫn với (1) Vậy q  Từ suy dim Im f = n – Vì dim E  n  nên theo định lý suy dim Kerf  Dễ thấy f(1) = f(x) = 0, {1, x} hệ độc lập tuyến tính nên Kerf  [1, x] 3) Cho Q  Im f , tồn A  E cho f ( A)  Q Theo công thức khai triển Taylor, tồn đa thức B  ( x), deg B  n  cho A  A(0)  xA' (0)  x B Đặt P  x2 B deg P  n P (0)  P ' (0)  Vậy ta có: Q  f ( A)  A(0) f (1)  A' (0) f ( x)  f ( P)  f ( P) Ví dụ 9: Cho u, v tự đồng cấu K – không gian véc tơ E Chứng minh rằng: 1) Ker(vu) = Ker(u)  Im u  Ker(v)= {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Im(vu) = Im v  Im u + Ker(v) = E Giải: 1) Giả sử Ker (vu)  Ker (u ) x  Im u  Ker (v), tồn y  E cho x  u ( y ) v( x)  Ta có vu( y)   y  Ker (vu )  Ker u Vậy u(x) =  x = 0, tức là: Im u  Ker v = {0} Ngược lại Im u  Ker v = {0} x  Ker(vu) Ta có vu(x) =0, u(x)  Ker v u(x)  Im u nên u(x) =0 hay x  Ker u Suy Ker(vu)  Ker u Dễ thấy Ker u  Ker(vu), từ suy Ker(vu) =Ker u 2) Giả sử Im(vu) = Im v x  E Ta có v(x)  Im v = Im(vu), nên tồn y  E cho vu(y) = v(x)  v(x – u(y)) =0  x –u(y)  Ker v, từ suy x = u(y) + x – u(y)  Im u + Ker v Vậy E = Im u + Ker v Ngược lại E = Im u + Ker v x  Im v tồn y  E cho v(y) =x Vì y  E, nên tồn z  Im u, t  Ker v cho y = z + t, v(z + t) = x hay x =v(z)  Im vu, suy Im v  Im(vu) Dễ thấy Im(vu)  Im v, từ suy Im v = Im(vu) (■) Ví dụ 10: Cho E K – không gian véc tơ hữu hạn chiều, u  L(E) Chứng minh tính chất sau tương đương: 1) Ker u2 = Ker u 2) Im u2 = Im u 3) E = Ker u  Im u Giải: 1)  2) Ta có: Im u2  Im u (1) Theo định lý 1.16, ta có: dim Ker u2 + dim Im u2 = dim E dim Ker u + dim Im u = dimE Mặt khác theo (1) ta có dim Ker u2 = dim Ker u, vậy: dim Im u2 = dim Im u (2) Từ (1) (2) suy Im u2 = Im u 2)  3) Với x E  u(x) Im u = Im u2  y  E cho u(x) = u2(y)  u(x –u(y)) =0  x –u(y)  Ker u Vậy x =x- u(y) +u(y)  Ker u + Im u Từ suy ra: E = Ker u + Im u Mặt khác dim E = dim Im u + dim Ker u, nên dim (Ker u  Im u) = 0, suy Ker u  Im u ={0} Vậy E = Ker u  Im u Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3)  1) Ta có Ker u  Ker u2 Với x  Ker u2  u2(x) =0  u(x)  Ker u Vì u(x)  Imu, nên u(x)  Ker u  Im u, lại 3)  Ker u  Im u ={0}, u(x) = hay x  Ker u, tức Ker u2  Ker u Suy Ker u2 = Ker u III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Trong ánh xạ sau ánh xạ ánh xạ tuyến tính? 1) Phép vị tự tâm O, tỉ số k  2) Phép đối xứng mặt  3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  4) Phép quay với tâm quay gốc toạ độ O góc quay  2 5) Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng qua gốc toạ độ  6) f :    , xác định f ( x, y, z )  ( x  y, x  z ) 7) f :   , xác định f ( z )  Re z 8) f :   , xác định f(z) = |z| 9) f :    , xác định f ( x, y)  ( x, x, x  y) Bài tập 2: Cho E F  – không gian véc tơ, f ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính tìm sở Ker f trường hợp sau: 1) E  F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y)  ( y, x) 2) E   , F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (2 x  y  z, x  y  z ) 3) E  F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (5 x  z, x  y  z, 3x  z ) 4) E   , F   f :    xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x1  x2 , x2  x3 )   1    Bài tập 3: Cho ma trận A =   15  11 , xét ánh xạ f : M 31 ( )  M 31 (), xác định f(X)   14  11   =AX 1) Chứng minh f tự đồng cấu 2) Chứng minh V  { X  M 31 ( ) | f ( X )  X } không gian véc tơ không gian véc tơ M 31 ( ) 3) Gọi e1 sở V, tìm véc tơ e2 e3 cho f(e2) = e2 +e1 f(e3) = e3 + e2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh {e1, e2, e3} sở M 31 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f :  ( x)   ( x) , xác định bởi: P  P( x   )  P( x   ) Trong  ,  số phức khác 1) Chứng minh f tự đồng cấu  ( x) 2) Chứng minh f toàn ánh 3) Tìm hạt nhân tự đồng cấu f Bài tập 5: Với đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ 3, ta cho tương ứng đa thức Q ( x)  (2 x  1) P  ( x  1) P ' ( x ) 1) Chứng minh ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) ánh xạ tuyến tính từ  ( x ) vào  ( x ) 2) Chứng minh f đơn cấu Bài tập 6: Tìm sở số chiều hạt nhân tự đồng cấu xác định công thức toạ độ sau:  y1  x1  x2  x3  1)  y  x1  x2  x3  y  x  2x  2x   y1  x1  3x2  x3  2)  y  x1  x2  x3  y  3x  x  x   a ab ac    Bài tập 7: Cho ma trận A   ba b bc  với a, b, c  , xét ánh xạ  ca cb c    f : M 3,1 ()  M 3,1 (), xác định f ( X )  AX Chứng minh f ánh xạ tuyến tính xác định Im f Kerf Bài tập 8: Cho ánh xạ  :  n ( x )  , xác định  ( P)   P(t )dt 1) Chứng minh  dạng tuyến tính  2) Tìm số chiều Im Im  Ker 3) Tìm sở Ker Bài tập 9: Cho u , v ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P )  XP P  ( x),  v( P )  P ' 1) Chứng minh u v tự đồng cấu ( x) 2) Xác định v  u  u  v Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh v  u  u n  v  nu n 1 Bài tập 10: Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f g E 1) Chứng minh Im g  f  Im g Kerf  Kerf  g 2) Chứng minh g  f  Im f  Kerg Bài tập 11: Cho ánh xạ f :  n ( x )   n ( x) , xác định bởi: f ( P)  ( x  1) P"  (2 x  1) P ' 1) Tính f (1), f ( x ), f ( x k ) với k  [1, n] 2) Chứng minh f tự đồng cấu  n ( x) 3) Xác định ma trận A f sở tắc 1, x,  , x n   n ( x) Bài tập 12: Cho phép biến đổi tuyến tính f K – không gian véc tơ cho f   f , với    \ 0, 1 1) Chứng minh Im f  Im f Kerf  Kerf 2) Chứng minh Im f Kerf bù E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f :    , f(u) =  u với ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt  ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng R3 ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay  R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục [...]... định bởi f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không là ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục...  \ 0, 1 1) Chứng minh rằng Im f 2  Im f và Kerf 2  Kerf 2) Chứng minh rằng Im f và Kerf là bù nhau trong E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f :  3   3 , f(u) =  u với là ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt trong  3 không phải là ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng trong R3 không phải là ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay  trong R2 là ánh xạ tuyến tính f được... Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và xác định Im f và Kerf 1 Bài tập 8: Cho ánh xạ  :  n ( x )  , xác định bởi  ( P)   P(t )dt 0 1) Chứng minh rằng  là một dạng tuyến tính trên  2) Tìm số chiều của Im Im  và Ker 3) Tìm một cơ sở của Ker Bài tập 9: Cho u , v là những ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P )  XP P  ( x),  v( P )  P ' 1) Chứng minh rằng u và v là những tự... và f :  3   4 xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 3 x1  x2 , 2 x2  x3 )   2 1 2    Bài tập 3: Cho ma trận A =   15  6 11  , xét ánh xạ f : M 3 1 ( )  M 3 1 (), xác định bởi f(X)   14  6 11    =AX 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu 2) Chứng minh rằng V  { X  M 3 1 ( ) | f ( X )  X } là một không gian véc tơ con của không gian véc tơ M 3 1 ( ) 3) Gọi e1... đơn cấu Bài tập 6: Tìm cơ sở và số chiều hạt nhân của một tự đồng cấu xác định bởi các công thức toạ độ sau:  y1  x1  x2  x3  1)  y 2  2 x1  x2  x3  y  x  2x  2x 1 2 3  3  y1  x1  3x2  2 x3  2)  y 2  2 x1  x2  3 x3  y  3x  x  4 x 1 2 3  3  a 2 ab ac    Bài tập 7: Cho ma trận A   ba b 2 bc  với a, b, c  , xét ánh xạ  ca cb c 2    f : M 3 ,1 ()  M 3 ,1 (), xác... Kerg Bài tập 11 : Cho ánh xạ f :  n ( x )   n ( x) , xác định bởi: f ( P)  ( x 2  1) P"  (2 x  1) P ' 1) Tính f (1) , f ( x ), f ( x k ) với mọi k  [1, n] 2) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của  n ( x) 3) Xác định ma trận A của f trong cơ sở chính tắc 1, x,  , x n  của  n ( x) Bài tập 12 : Cho một phép biến đổi tuyến tính f của K – không gian véc tơ sao cho f 2   f , với    \ 0, 1 ... ) 3) Gọi e1 là cơ sở của V, hãy tìm véc tơ e2 và e3 sao cho f(e2) = e2 +e1 và f(e3) = e3 + e2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh rằng {e1, e2, e3} là cơ sở của M 3 1 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f :  2 ( x)... Trong đó  ,  là các hằng số phức khác nhau 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của  2 ( x) 2) Chứng minh rằng f là toàn ánh 3) Tìm hạt nhân của tự đồng cấu f Bài tập 5: Với mỗi đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ hơn 3, ta cho tương ứng một đa thức Q ( x)  (2 x  1) P  ( x 2  1) P ' ( x ) 1) Chứng minh rằng ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) là một ánh xạ tuyến tính từ  3 ( x ) vào  4 ( x )... bởi f ( x, y)  ( x, x, x  y) Bài tập 2: Cho E và F là những  – không gian véc tơ, f là ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm cơ sở của Ker f trong các trường hợp sau: 1) E  F   2 và f :  2   2 , xác đinh bởi: f ( x, y)  ( y, x) 2) E   3 , F   2 và f :  3   2 , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (2 x  y  z, x  y  z ) 3) E  F   3 và f :  3   2 , xác đinh bởi:... 2) Xác định v  u  u  v Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh rằng v  u  u n  v  nu n 1 Bài tập 10 : Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f và g của E 1) Chứng minh rằng Im g  f  Im g và Kerf  Kerf  g 2) Chứng ... R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến. .. A Tính chất 1. 11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1. 12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf  0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f  F Tính chất. .. cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F  E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1. 15: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G đẳng cấu tuyến tính hợp g  f f g đẳng cấu tuyến tính ( g  f ) 1  f 1  g 1 Định

Ngày đăng: 18/01/2017, 08:28

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w