Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
296,29 KB
Nội dung
http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài giảng số 01 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT Cho E, F G không gian véc tơ trường ( ) Định nghĩa 1.1: Một ánh xạ f : E F ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu) thoả mãn hai điều kiện sau: i) f (u v) f (u) f (v) với u, v E ; ii) f (u ) f (u) với u E , Khi F , ánh xạ tuyến tính f gọi dạng tuyến tính không gian véc tơ E Định nghĩa 1.2: Một ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào gọi tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính E Định nghĩa 1.3: Ánh xạ tuyến tính f : E F gọi đơn cấu f tuyến tính đơn ánh, f gọi toàn cấu f tuyến tính toàn ánh f gọi đẳng cấu f tuyến tính song ánh Tính chất 1.4: Một ánh xạ f :E F ánh xạ tuyến tính f (u v) f (u) f (v) với u , v E , , Tính chất 1.5: Cho ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F, ta có: i) f (0) ii) f (u ) f (u ) với u E iii) f (u v) f (u) f (v) với u , v E Tính chất 1.6: Nếu hai ánh xạ f : E F g : F G ánh xạ tuyến tính hợp g f ánh xạ tuyến tính Định lý 1.7: Cho E F hai - không gian véc tơ hữu hạn chiều {e1 , e2 , , en } sở E , { f1 , f , , f n } hệ véc tơ F Khi tồn ánh xạ tuyến tính từ E vào F cho (ei ) fi với i 1, 2, , n Hệ 1.8: Cho E F hai không gian véc tơ có số chiều, tồn đẳng cấu f từ không gian véc tơ E lên không gian véc tơ F Từ suy không gian véc tơ n chiều đẳng cấu với n Định nghĩa 1.9: i) Ảnh không gian véc tơ E qua ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Im f tập hợp xác định bởi: Im f f ( x ) F | x E Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính ii) Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Kerf tập hợp xác định bởi: Kerf x E | f ( x ) 0 Tính chất 1.10: Cho ánh xạ tuyến tính f : E F Nếu A không gian véc tơ E f ( A) không gian véc tơ F dim f ( A) dim A Tính chất 1.11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1.12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf 0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f F Tính chất 1.13: Cho ánh xạ tuyến tính f : E F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều có sở hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } Im f span{ f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} Tính chất 1.14: Nếu ánh xạ f : E F đẳng cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1.15: Nếu hai ánh xạ f : E F g : F G đẳng cấu tuyến tính hợp g f f g đẳng cấu tuyến tính ( g f )1 f 1 g 1 Định lý 1.16: Cho ánh xạ tuyến tính f : E F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều ta có: dim Im f dim ker f dim E II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho ánh xạ f : M 3,1 () M 3,1 ( ) , ( M 3,1 () không gian véc tơ ma trận cấp ) xác định bởi: x 3x y z f y x 2z z z 1) Chứng minh f tự đồng cấu tuyến tính M 3,1 () )Chứng minh E1 u M 3,1 ( R) / f (u ) u E u M 3,1 ( R) / f (u ) 2u không gian véc tơ M 3,1 () 3) Tìm sở E1 , E2 Gọi véc tơ e2 sở E2 Xác định véc tơ e3 thoả mãn f (e3 ) 2e3 e2 Hệ véc tơ e1 , e2 , e3 phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính? Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính x1 x2 1) Gọi u y1 v y hai véc tơ thuộc M 3,1 (), với , , ta có: z z 1 2 x1 x 3(x1 x ) 2(y1 y ) 3(z1 z ) f (u v) f y1 y x1 x 2( z1 z ) z z 2(z1 z ) (3 x1 y1 3z1 ) (3 x2 y2 3z ) ( x1 z1 ) ( x2 z ) z z x1 y1 z1 x2 y z x1 z1 x2 z2 z z f (u ) f (v ) 2) Với véc tơ u, v E1 , , , ta có: f (u v) f (u) f (v) u v u v E1 Vậy E1 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () Tương tự, ta có E2 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () x 3) Giả sử u y E1 , ta có f (u ) u , tức z 3x y z x x 2z y, z 2z 1 1 suy véc tơ u có dạng c1 , với c Vậy sở E1 véc tơ e1 1 0 0 x 3x y z x Tương tự v y E , ta có f (v) 2v , tức x z y , suy véc tơ v có dạng z z 2z 2 2 m1 , với m Vậy sở E2 véc tơ e2 0 0 x Gọi e3 y , đẳng thức f (e3 ) 2e3 e2 tương đương với hệ sau: z Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3x y z x 2 x y 3z 2c x y 1 e3 c x 2z y 1 x y z z 2z z 0 2z 2z 1 Chọn c , ta có e3 1 Dễ thấy hệ véc tơ e1 , e2 , e3 độc lập tuyến tính Ví dụ 2: Cho ánh xạ f : , xác định bởi: f ( x, y ) ( x y, x y , x y , y ) 1) Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều Kerf , Im f Giải: 1) Xét hai véc tơ u ( x, y ) , v ( x ' , y ' ) , , , ta có: f ( u v ) f ( x x ' , y y ' ) ( x x ' 2( y y ' ), 2( x x ' ) y y ' , x x ' ( y y ' ), y y ' ) ( ( x y ) ( x ' y ' ), (2 x y ) (2 x ' y ' ), ( x y ) ( x ' y ' ), y y ' ) ( x y , x y, x y, y ) ( x ' y ' , x ' y ' , x ' y ' , y ' ) f (u ) f (v) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Gọi ( x, y) Kerf , ta có f ( x, y) ( x y, x y, x y, y) (0, 0, 0, ( x, y ) (0, 0) Vậy Kerf 0 dim Kerf Vì dim Kerf nên dim Im f Gọi {e1 (1, 0), e2 (0, 1)} sở tắc , ta có Im f [ f (e1 ), f (e2 )] [(1, 2, 1, 0), ( 2, 1, 1, 1)] Ví dụ 3: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 , xác định bởi: f ( x, y, z ) ( y z , z x, x y ) 1) Chứng minh f đẳng cấu 2) Xác định ảnh qua f không gian F G xác định F ( x, y, z ) | x y z 0 G ( x, y , z ) | x y z Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính a) Ánh xạ f tuyến tính, với véc tơ u(x, y, z) u ( x, y, z ) , v( x ' , y ' , z ' ) , , , ta có: f ( u v ) f ( x x ' , y y ' , z z ' ) (( y y ' ) ( z z ' ), ( z z ' ) ( x x ' ), ( x x ' ) ( y y ' )) ( y z , z x, x y ) ( y ' z ' , z ' x ' , x ' y ' ) f ( x, y, z ) f ( x ' , y ' , z ' ) f (u ) f (v ) f đẳng cấu vì: +) f toàn ánh, (m, n, p) 3 cho f ( x, y, z ) (m, n, p), ta có: mn p x y z m m n p z x n y x y p m n p z +) f đơn ánh từ f ( x, y, z ) ta có: ( y z, z x, x y) (0, 0, 0) ( x, y, z ) (0, 0, 0) Tìm ảnh F G qua ánh xạ tuyến tính f +) Nếu ( x, y, z ) F , f ( x, y, z ) ( x ' , y ' , z ' ) x ' y ' z ' 2( x y z ) Suy f(F) = F x' y z x +) Nếu ( x, y, z ) G, f ( x, y, z ) ( x , y , z ) ta có: y ' x z x z' x y 2x ' ' ' từ suy ( x ' , y ' , z ' ) G, f(G) = G Ví dụ 4: Trong 3 , xét phép chiếu vuông góc f lên mặt phẳng (P): x + y + z = 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều không gian véc tơ f(E), với x 1 y z E ( x , y , z ) | Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1) Ta đồng véc tơ u(x, y, z) với điểm M ( x, y, z ) Thật vậy, giả sử f phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P), Vì f (0) 0, f (u ) f (OM ) f (M ), nên f(u) hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Gọi M’(x’, y’, z’) hình chiếu M lên (P), ta có MM ' t n , n véc tơ pháp tuyến (P), suy ra: x' x t y' y t z' z t Vì M’ (P) nên t x y z Vậy ánh xạ f: R3 (P), xác định bởi: (x, y, z) ( 2x y z x y z x y 2z ; ; ) 3 Dễ dàng kiểm tra ánh xạ f ánh xạ tuyến tính 2) Tập E đường thẳng 3 , E không gian véc tơ 3 , nên f(E) không gian (P) hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng (P) Vậy f(E) đường thẳng 3 Dễ thấy u(1, 2, 3) véc tơ E, ta có f(u) = (-1, 0, 1) Cơ sở f(E) véc tơ (-1, 0, 1) dim f(E) = Ví dụ 5: Cho A, B M n ( ) hai ma trận cấp n Xét ánh xạ f : M n ( ) M n ( ), xác định f ( X ) AX XB 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở Kerf trường hợp sau: 1 1 a) A B 0 0 b) A B 0 1 0 Giải: 1) Với ma trận X , Y M n (), , ta có: f( X + Y) = A( X + Y) - ( X + Y) B = (AX – XB) + (AY –YB) = f(X) + f(Y) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) f ( X ) AX XB (1) Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1 a b , đặt X ( a, b, c, d ), ta có: 1 c d a) Nếu A B a b a b (1) , c d c d điều với ma trận X M (), suy Kerf M () Vậy chọn sở Kerf hệ ma trận: 1 0 0 1 0 0 0 0 { , , , } 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 a b) Nếu A B 0 , đặt X d 1 0 g d AX XB g a Vậy ma trận X có dạng: e h b b e h f c k f c k c f , đó: k a d g b e h a b c a b c X c a b Kerf { c a b | a, b, c } b c a b c a a b c Với ma trận X c a b Kerf , ta viết: b c a 1 0 0 0 0 1 X a 0 b 0 1 c 0, 0 1 1 0 0 0 suy hệ: 1 0 0 0 0 1 { , 0 , 0 } hệ sinh Kerf dễ thấy hệ độc lập tuyến tính 0 1 1 0 0 0 nên lập thành sở Kerf Ví dụ 6: Gọi M ( ) không gian véc tơ ma trận vuông cấp với hệ số thực, a b M { | a, b, c } không gian véc tơ M ( ) b c Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f : M M () , xác định bởi: b a b a c f ( ) a bc b c b a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f c) Tìm sở số chiều ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f Giải: a' a b M ( ), B ' b c c a) Với ma trận A = A b' M ( ) , , , ta có: d' a b a ' b ' f ( A B ) f ( ) b c b ' c ' a a ' b b ' f ( ) b b ' c c ' b b ' (a c) (a ' c ') b b ' (a b c) (a ' b ' c ') b b' a b a ' c ' a b c a ' b ' c ' b b' a b a ' b ' f ( ) f ( ) b c b' c ' f ( A) f ( B ) Vậy f ánh xạ tuyến tính b) Không gian véc tơ M có sở gồm ma trận 1 0 0 E1 , E2 0 0 1 1 0 0 Ta có: f ( E1 ) , f ( E2 ) 0 1 1 1 0 , E3 0 0 1 1 1 0 , f ( E3 ) , 1 0 1 Im f [ f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )], hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )} phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính nên n 1 m Im f [ f ( E1 ), f ( E2 )] {m n | m, n } 1 n m n b a b 0 a c 0 Nếu f ( ) , ta có suy b a c a b c 0 b c 0 b Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com a Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Vậy Kerf { | a } a c) Theo câu (b), ta có { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính hệ sinh Im f nên sở Im f Vậy dim Im f 1 Kerf [ ], từ suy 1 1 sở Kerf dim Kerf 1 Ví dụ 7: Cho Q ( x), chứng minh tồn đa thức P cho: Q = P + P’ + P’’ (P’, P’’ đạo hàm cấp cuả đa thức P) Tìm P biết Q = + X + X2 + X3 Giải: Với đa thức P, ta có deg P deg( P P ' P" ), nên Q P P ' P" P ( x) Vậy xét ánh xạ f : ( x) ( x) , xác định bởi: f ( P) P P ' P " Ta có f tự đẳng cấu C3 (x), thật vậy: Với P1 , P2 ( x ), , f ( P1 P2 ) ( P1 P2 ) ( P1 P2 )' ( P1 P2 )" ( P1 P1' P1' ) ( P2 P2' P2' ) f ( P1 ) f ( P2 ) Vậy f tự đồng cấu ( x) f đơn ánh, f ( P) P P ' P" P Vì dim ( x ) 4, nên f song ánh Vậy f đẳng cấu nên đa thức Q ( x), tồn đa thức P ( x) cho Q P P ' P" Nếu Q x x x3 , đặt P x3 ax bx c Từ Q P P ' P" suy a a 2a b b 1 2 a b c c Vậy đa thức cần tìm P x3 x x Ví dụ 8: Kí hiệu E n ( x) tập đa thức với hệ số thực có bậc không vượt n (n N) Xét ánh xạ f : E E, xác định bởi: f ( P) P( x 1) P( x 1) P( x), với P E 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Xác định không gian Im f Ker f 3) Cho đa thức Q Im f, chứng minh tồn đa thức P E cho f(P) = Q P(0) = P’(0) = Giải: 1) Với ( P, Q) E , , ta có: f( P Q) (P Q)( x 1) (P Q)( x 1) 2(P Q)( x) = ( P( x 1) P( x 1) P( x)) (Q( x 1) Q( x 1) 2Q( x)) = f ( P) f (Q) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Ta có f (1) f ( x) Với p , ta có f ( x p ) ( x 1) p ( x 1) p x p p p Ckp x k (1)k Ckp x p k x p 2C2p x p R ( x) p ( p 1) x p R ( x) với deg R( x) p Suy k 0 k 0 p deg f ( x ) p Vậy Im f span{ f ( x p )} với p N p Đặt f ( x p ) Q p ( x ) (Đa thức có bậc p – 2) Ta chứng minh hệ Q0 , Q1 , , Qn độc lập n tuyến tính Thật xét: Q k k , với k , k 0, 1, , n k 0 Giả sử q [0, n 2] bậc lớn đa thức Qq ( x) cho q , ta có: q 1 q Q q k Qk (1) k 0 q 1 Vì q nên deg qQq deg Qq Mặt khác deg Qq deg k Qk k 0 Điều mâu thuẫn với (1) Vậy q Từ suy dim Im f = n – Vì dim E n nên theo định lý suy dim Kerf Dễ thấy f(1) = f(x) = 0, {1, x} hệ độc lập tuyến tính nên Kerf [1, x] 3) Cho Q Im f , tồn A E cho f ( A) Q Theo công thức khai triển Taylor, tồn đa thức B ( x), deg B n cho A A(0) xA' (0) x B Đặt P x2 B deg P n P (0) P ' (0) Vậy ta có: Q f ( A) A(0) f (1) A' (0) f ( x) f ( P) f ( P) Ví dụ 9: Cho u, v tự đồng cấu K – không gian véc tơ E Chứng minh rằng: 1) Ker(vu) = Ker(u) Im u Ker(v)= {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Im(vu) = Im v Im u + Ker(v) = E Giải: 1) Giả sử Ker (vu) Ker (u ) x Im u Ker (v), tồn y E cho x u ( y ) v( x) Ta có vu( y) y Ker (vu ) Ker u Vậy u(x) = x = 0, tức là: Im u Ker v = {0} Ngược lại Im u Ker v = {0} x Ker(vu) Ta có vu(x) =0, u(x) Ker v u(x) Im u nên u(x) =0 hay x Ker u Suy Ker(vu) Ker u Dễ thấy Ker u Ker(vu), từ suy Ker(vu) =Ker u 2) Giả sử Im(vu) = Im v x E Ta có v(x) Im v = Im(vu), nên tồn y E cho vu(y) = v(x) v(x – u(y)) =0 x –u(y) Ker v, từ suy x = u(y) + x – u(y) Im u + Ker v Vậy E = Im u + Ker v Ngược lại E = Im u + Ker v x Im v tồn y E cho v(y) =x Vì y E, nên tồn z Im u, t Ker v cho y = z + t, v(z + t) = x hay x =v(z) Im vu, suy Im v Im(vu) Dễ thấy Im(vu) Im v, từ suy Im v = Im(vu) (■) Ví dụ 10: Cho E K – không gian véc tơ hữu hạn chiều, u L(E) Chứng minh tính chất sau tương đương: 1) Ker u2 = Ker u 2) Im u2 = Im u 3) E = Ker u Im u Giải: 1) 2) Ta có: Im u2 Im u (1) Theo định lý 1.16, ta có: dim Ker u2 + dim Im u2 = dim E dim Ker u + dim Im u = dimE Mặt khác theo (1) ta có dim Ker u2 = dim Ker u, vậy: dim Im u2 = dim Im u (2) Từ (1) (2) suy Im u2 = Im u 2) 3) Với x E u(x) Im u = Im u2 y E cho u(x) = u2(y) u(x –u(y)) =0 x –u(y) Ker u Vậy x =x- u(y) +u(y) Ker u + Im u Từ suy ra: E = Ker u + Im u Mặt khác dim E = dim Im u + dim Ker u, nên dim (Ker u Im u) = 0, suy Ker u Im u ={0} Vậy E = Ker u Im u Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) 1) Ta có Ker u Ker u2 Với x Ker u2 u2(x) =0 u(x) Ker u Vì u(x) Imu, nên u(x) Ker u Im u, lại 3) Ker u Im u ={0}, u(x) = hay x Ker u, tức Ker u2 Ker u Suy Ker u2 = Ker u III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Trong ánh xạ sau ánh xạ ánh xạ tuyến tính? 1) Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2) Phép đối xứng mặt 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng 4) Phép quay với tâm quay gốc toạ độ O góc quay 2 5) Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng qua gốc toạ độ 6) f : , xác định f ( x, y, z ) ( x y, x z ) 7) f : , xác định f ( z ) Re z 8) f : , xác định f(z) = |z| 9) f : , xác định f ( x, y) ( x, x, x y) Bài tập 2: Cho E F – không gian véc tơ, f ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính tìm sở Ker f trường hợp sau: 1) E F f : , xác đinh bởi: f ( x, y) ( y, x) 2) E , F f : , xác đinh bởi: f ( x, y, z ) (2 x y z, x y z ) 3) E F f : , xác đinh bởi: f ( x, y, z ) (5 x z, x y z, 3x z ) 4) E , F f : xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 , x2 x3 ) 1 Bài tập 3: Cho ma trận A = 15 11 , xét ánh xạ f : M 31 ( ) M 31 (), xác định f(X) 14 11 =AX 1) Chứng minh f tự đồng cấu 2) Chứng minh V { X M 31 ( ) | f ( X ) X } không gian véc tơ không gian véc tơ M 31 ( ) 3) Gọi e1 sở V, tìm véc tơ e2 e3 cho f(e2) = e2 +e1 f(e3) = e3 + e2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh {e1, e2, e3} sở M 31 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f : ( x) ( x) , xác định bởi: P P( x ) P( x ) Trong , số phức khác 1) Chứng minh f tự đồng cấu ( x) 2) Chứng minh f toàn ánh 3) Tìm hạt nhân tự đồng cấu f Bài tập 5: Với đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ 3, ta cho tương ứng đa thức Q ( x) (2 x 1) P ( x 1) P ' ( x ) 1) Chứng minh ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) ánh xạ tuyến tính từ ( x ) vào ( x ) 2) Chứng minh f đơn cấu Bài tập 6: Tìm sở số chiều hạt nhân tự đồng cấu xác định công thức toạ độ sau: y1 x1 x2 x3 1) y x1 x2 x3 y x 2x 2x y1 x1 3x2 x3 2) y x1 x2 x3 y 3x x x a ab ac Bài tập 7: Cho ma trận A ba b bc với a, b, c , xét ánh xạ ca cb c f : M 3,1 () M 3,1 (), xác định f ( X ) AX Chứng minh f ánh xạ tuyến tính xác định Im f Kerf Bài tập 8: Cho ánh xạ : n ( x ) , xác định ( P) P(t )dt 1) Chứng minh dạng tuyến tính 2) Tìm số chiều Im Im Ker 3) Tìm sở Ker Bài tập 9: Cho u , v ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P ) XP P ( x), v( P ) P ' 1) Chứng minh u v tự đồng cấu ( x) 2) Xác định v u u v Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh v u u n v nu n 1 Bài tập 10: Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f g E 1) Chứng minh Im g f Im g Kerf Kerf g 2) Chứng minh g f Im f Kerg Bài tập 11: Cho ánh xạ f : n ( x ) n ( x) , xác định bởi: f ( P) ( x 1) P" (2 x 1) P ' 1) Tính f (1), f ( x ), f ( x k ) với k [1, n] 2) Chứng minh f tự đồng cấu n ( x) 3) Xác định ma trận A f sở tắc 1, x, , x n n ( x) Bài tập 12: Cho phép biến đổi tuyến tính f K – không gian véc tơ cho f f , với \ 0, 1 1) Chứng minh Im f Im f Kerf Kerf 2) Chứng minh Im f Kerf bù E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f : , f(u) = u với ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng R3 ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos - ysin , xsin +ycos ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục [...]... định bởi f(x, y) = (xcos - ysin , xsin +ycos ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không là ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục... \ 0, 1 1) Chứng minh rằng Im f 2 Im f và Kerf 2 Kerf 2) Chứng minh rằng Im f và Kerf là bù nhau trong E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f : 3 3 , f(u) = u với là ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt trong 3 không phải là ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng trong R3 không phải là ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay trong R2 là ánh xạ tuyến tính f được... Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và xác định Im f và Kerf 1 Bài tập 8: Cho ánh xạ : n ( x ) , xác định bởi ( P) P(t )dt 0 1) Chứng minh rằng là một dạng tuyến tính trên 2) Tìm số chiều của Im Im và Ker 3) Tìm một cơ sở của Ker Bài tập 9: Cho u , v là những ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P ) XP P ( x), v( P ) P ' 1) Chứng minh rằng u và v là những tự... và f : 3 4 xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , 3 x1 x2 , 2 x2 x3 ) 2 1 2 Bài tập 3: Cho ma trận A = 15 6 11 , xét ánh xạ f : M 3 1 ( ) M 3 1 (), xác định bởi f(X) 14 6 11 =AX 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu 2) Chứng minh rằng V { X M 3 1 ( ) | f ( X ) X } là một không gian véc tơ con của không gian véc tơ M 3 1 ( ) 3) Gọi e1... đơn cấu Bài tập 6: Tìm cơ sở và số chiều hạt nhân của một tự đồng cấu xác định bởi các công thức toạ độ sau: y1 x1 x2 x3 1) y 2 2 x1 x2 x3 y x 2x 2x 1 2 3 3 y1 x1 3x2 2 x3 2) y 2 2 x1 x2 3 x3 y 3x x 4 x 1 2 3 3 a 2 ab ac Bài tập 7: Cho ma trận A ba b 2 bc với a, b, c , xét ánh xạ ca cb c 2 f : M 3 ,1 () M 3 ,1 (), xác... Kerg Bài tập 11 : Cho ánh xạ f : n ( x ) n ( x) , xác định bởi: f ( P) ( x 2 1) P" (2 x 1) P ' 1) Tính f (1) , f ( x ), f ( x k ) với mọi k [1, n] 2) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của n ( x) 3) Xác định ma trận A của f trong cơ sở chính tắc 1, x, , x n của n ( x) Bài tập 12 : Cho một phép biến đổi tuyến tính f của K – không gian véc tơ sao cho f 2 f , với \ 0, 1 ... ) 3) Gọi e1 là cơ sở của V, hãy tìm véc tơ e2 và e3 sao cho f(e2) = e2 +e1 và f(e3) = e3 + e2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh rằng {e1, e2, e3} là cơ sở của M 3 1 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f : 2 ( x)... Trong đó , là các hằng số phức khác nhau 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của 2 ( x) 2) Chứng minh rằng f là toàn ánh 3) Tìm hạt nhân của tự đồng cấu f Bài tập 5: Với mỗi đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ hơn 3, ta cho tương ứng một đa thức Q ( x) (2 x 1) P ( x 2 1) P ' ( x ) 1) Chứng minh rằng ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) là một ánh xạ tuyến tính từ 3 ( x ) vào 4 ( x )... bởi f ( x, y) ( x, x, x y) Bài tập 2: Cho E và F là những – không gian véc tơ, f là ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm cơ sở của Ker f trong các trường hợp sau: 1) E F 2 và f : 2 2 , xác đinh bởi: f ( x, y) ( y, x) 2) E 3 , F 2 và f : 3 2 , xác đinh bởi: f ( x, y, z ) (2 x y z, x y z ) 3) E F 3 và f : 3 2 , xác đinh bởi:... 2) Xác định v u u v Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh rằng v u u n v nu n 1 Bài tập 10 : Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f và g của E 1) Chứng minh rằng Im g f Im g và Kerf Kerf g 2) Chứng ... R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos - ysin , xsin +ycos ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến. .. A Tính chất 1. 11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1. 12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf 0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f F Tính chất. .. cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1. 15: Nếu hai ánh xạ f : E F g : F G đẳng cấu tuyến tính hợp g f f g đẳng cấu tuyến tính ( g f ) 1 f 1 g 1 Định