Đang tải... (xem toàn văn)
Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự h[r]
(1)www.k2pi.net – TÀI LIỆU TOÁN THPT
Về dãy số xác định dãy phương trình
Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM
Trong viết nhỏ này, đề cập đến tình khác, khảo sát dãy số xác định dãy phương trình:
“Cho dãy hàm số fn(x) xác định công thức tường truy hồi thoả mãn điều kiện: phương trình fn(x) = có nghiệm xn D Cần khảo sát tính chất xn khảo sát hội tụ, tìm giới hạn …”
Chúng ta toán thi tuyển sinh vào khoa Toán trường Đại học Độc lập Matxcơva năm 2000
Bài toán Ký hiệu xn nghiệm phương trình:
1 1
1
x x xn thuộc khoảng (0,
1)
a) Chứng minh dãy {xn} hội tụ b) Hãy tìm giới hạn
Bình luận: xn xác định hàm số ( ) 1 1
n
f x
x x x n
liên tục đơn điệu (0, 1) Tuy nhiên, ta xác định giá trị cụ thể xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn, ta khơng cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tính bị chặn, thứ ổn < xn < Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mối liên hệ fn(x) fn+1(x):
1( ) ( )
1
n n
f x f x
x n
Đây chìa khố để chứng minh tính đơn điệu xn Lời giải: Rõ ràng xn xác định cách nhất, < xn < Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn -n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, fn+1(0
+) > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0, xn) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm xn+1 Như ta chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số {xn} giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn
Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n)
(Có thể chứng minh dễ dàng cách sử dụng đánh giá ln(1+1/n) < 1/n)
Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có xn a với n
Do + 1/2 + 1/3 + … + 1/n n nên tồn N cho với n N ta có + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a
Khi với n N ta có :
1 1 1 1 1
0
1
n n n n
x x x n x n a a
Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn =
Bài toán Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình
xn = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh xn dần n dần đến vơ tìm lim ( 1)
n
n n x
Lời giải:Rõ ràng xn > Đặt fn(x) = xn – x – Khi fn+1(1) = - < fn+1(xn) = x n
n+1 – xn – > xn
n
(2)hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn a với n ta tìm n đủ lớn cho: xnn an > xn + < 3, mâu thuẫn ví fn(xn) =
Để giải phần cuối toán, ta đặt xn = + yn với lim yn = Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta (1+yn)
n
= + yn Lấy logarith hai vế, ta nln(1+yn) = ln(2+yn)
Từ suy : lim nln(1+yn) = ln2
Nhưng lim ln(1+yn)/yn = nên từ ta suy lim nyn = ln2, tức : lim ( n 1) ln 2.
nn x
Bài toán (VMO 2007) Cho số thực a > fn(x) = a 10
xn+10 + xn + …+x +
a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a ln có nghiệm dương
b) Gọi nghiệm xn, chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn n dần đến vô
Lời giải Kết câu a) hiển nhiên hàm fn(x) tăng (0, +) Dễ dàng nhận thấy < xn < Ta chứng minh dãy xn tăng, tức xn+1 > xn Tương tự lời giải trên, ta xét
fn+1(xn) = a 10
xn n+11
+ xn n+1
+ xn n
+ … + x + = xnfn(xn) + = axn + Vì ta có fn+1(1) = a
10
+ n + > a nên ta cần chứng minh axn + < a suy xn < xn+1 < Như vậy, cần chứng minh xn < (a-1)/a Thật vậy, xn (a-1)/a
1
10
10 10
1
1 1
( ) ( 1) ( 1)
1
n
n n n
n n
a
a a a a
f x a a a a a
a
a a a
a
(do a – > 1) Vậy dãy số tăng {xn} tăng bị chặn nên hội tụ
Nhận xét: Một lần mối liên hệ fn+1(x) = xfn(x) + lại giúp tìm mối quan hệ xn xn+1 Từ lời giải trên, ta chứng minh
lim xn = (a-1)/a Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1, theo tính tốn fn(c) – fn(xn) = kc
n
(với k = (a-1)((a-1)9 – 1) > 0)
Theo định lý Lagrange : fn(c) – fn(xn) = f’()(c – xn) với thuộc (xn, c) Nhưng f’() = (n+10)a10n+9 + nn-1
+ …+ > nên từ suy ra: kcn > c - xn Từ ta có : c – kcn < xn < c Và có nghĩa làm lim xn = c
Bài toán (VMO 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình
2
1 1
1 1
x x n x có nghiệm xn > Chứng minh n dần
đến vô cùng, xn dần đến
Bình luận: Việc chứng minh phương trình có nghiệm xn > hiển nhiên Mối liên hệ fn+1(x) = fn(x) + 1/((n+1)
2
x-1) cho thấy xn dãy số tăng (ở
2
1 1
( )
1 1
n
f x
x x n x
(3)fn(4), với 2
1 1
( )
1 1
n
f x
x x n x
Rất may mắn, tính fn(4) liên quan đến dạng tổng quen thuộc
Lời giải: Đặt fn(x) gọi xn nghiệm > phương trình fn(x) = Ta có
2
1 1 1 1
(4)
4 16 4 1 1.3 3.5 (2 1)(2 1)
1 1 1 1 1
2 3 2 n
f
n n
n
n n n
Áp dụng định lý Lagrange, ta có : 1/4n = |fn(xn) – f(4)| = |f’(c)||xn-4| với c thuộc (xn, 4) Nhưng | '( ) | 2 2
9 ( 1) (4 1)
n f c
c c
Nên từ |xn – 4| < 9/4n, suy lim xn =
Trong ví dụ (và phần nhận xét toán 3) sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số xn giá trị giới hạn Ở ví dụ cuối viết này, ta tiếp tục ứng dụng dụng định lý tình phức tạp
Bài toán Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn
= x2 + x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Hãy tìm số thực a cho giới hạn
) (
lim n n1
a
n n x x tồn tại, hữu hạn khác
Bình luận Dễ thấy giá trị a, tồn tại, Tương tự tốn 2, chứng minh xn ~ + ln(3)/n Từ có dự đốn a = Định lý Lagrange giúp đánh giá hiệu xn – xn+1 chứng minh dự đoán
Lời giải Đặt Pn(x) = x n
– x2 – x – Ta có Pn+1(x) = x
n+1
– x2 – x – = xn+1 – xn + Pn(x) = x n
(x-1) + Pn(x) Từ Pn+1(xn) = xn
n
(xn-1) + Pn(xn) = (xn
+xn+1)(xn-1) = xn
– Áp dụng định lý Lagrange, ta có: (xn
2
+xn+1)(xn – 1) = Pn+1(xn) – Pn+1(xn+1) = (xn – xn+1)Pn+1’(c) với c thuộc (xn+1, xn), Pn+1’(x) = (n+1)x
n
– 2x – Từ
(n+1)(xn+1+1+1/xn+1) – 2xn+1 – = Pn+1’(xn+1) < Pn+1’(c) < Pn+1’(xn)= (n+1)(xn
+xn+1) – 2xn –
Từ đây, với lưu ý lim xn = 1, ta suy :
' 1( )
lim n 3
n
P c n
Tiếp tục sử dụng lim n(xn – 1) = 3,
ta suy ra:
'
1
' '
2
1
lim ( )( ) lim ( 1)( 1) 3ln(3)
( ) ( )
lim ( ) 3ln(3) lim ( ) lim 3ln(3)
n n n n n n
n n
n n
n n n n
n n n
nP c x x n x x x
P c P c
n x x n x x
n n 2 1
lim ( n n )3 3ln(3) lim ( n n ) ln(3)
nn x x nn x x
Vậy với c = giới hạn cho tồn tại, hữu hạn khác Dễ thấy với c > giới hạn cho vô nới c < giới hạn cho Vậy c = đáp số toán
(4)