(Luận văn thạc sĩ) phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯƠNG MINH PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2016 Mục lục Mở đầu Các kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) 1.2 Không gian Holder Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) Định lý Leray-Shauder 1.3 1.4 Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng bị chặn 2.2 Tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ 2.3 Đánh giá bên miền gradient nghiệm suy rộng (ess max |∇u|) 11 2.4 2.5 2.6 24 27 Ω 12 18 21 2.7 Đánh giá toàn miền gradient nghiệm suy rộng Đạo hàm cấp hai nghiệm suy rộng Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp nghiệm suy rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ ) Độ lớn nghiệm suy rộng toàn miền 30 33 2.8 Tính giải tốn Dirichlet 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lí thuyết phương trình elliptic tuyến tính nhiều nhà khoa học nghiên cứu cụ thể, chi tiết đầy đủ Đã đưa vào định nghĩa lớp nghiệm suy rộng phương trình gồm hàm có đạo hàm cấp thoả mãn đẳng thức tích phân miền Các phương trình elliptic tuyến tính sau có lịch sử phát triển lâu dài, có khác biệt so với phương trình tuyến tính số hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm chí đạo hàm cấp ẩn hàm Vì khái niệm nghiệm suy rộng đưa vào có số cách khác biệt Luận văn nhằm mục đích trình bầy lý thuyết nghiệm suy rộng bị chặn phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Bố cục luận văn bao gồm phần Mở Đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Chuẩn bị kiến thức không gian Banach, cụ thể là, không gian Sobolev, không gian Holder, Định lý Leray-Schauder số kết cần thiết khác trình bày chương để làm sở cho việc phát triển chương Chương Giới thiệu lớp phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn nghiệm suy rộng chúng Tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ Tiếp theo nghiên cứu đánh giá bên miền toàn miền gradient ngiệm suy rộng bị chặn Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp đạo hàm cấp cao nghiệm suy rộng Độ lớn nghiệm suy rộng Cuối cùng, tính giải tốn Dirichlet nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày dựa theo " Linear and Quasilinear Elliptic equations" Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người giúp đỡ, đạo tận tình, chu đáo cho tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Phịng Sau đại học, thầy giáo tồn thể cán bộ, cơng nhân viên Khoa Tốn - Cơ - Tin học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình thầy cơ, bạn cho luận văn Chương Các kiến thức cần chuẩn bị Trong chương này, cung cấp số kiến thức để phục vụ cho việc xây dựng nội dung chương sau Dưới kí hiệu thường dùng luận văn • N = {1, 2, } tập hợp số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập hợp số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức • En : Không gian Euclid n−chiều, ≤ n ∈ N, x = (x1 , , xn ) kí hiệu điểm thuộc En • Ω : kí hiệu miền bị chặn En , cụ thể tập mở liên thơng tùy ý, chứa hình cầu có bán kính đủ lớn • S : kí hiệu biên Ω ¯ : kí hiệu bao đóng Ω, tức Ω ¯ = Ω ∪ S •Ω • Ω : kí hiệu miền thực nằm Ω, khoảng cách Ω S ln dương • Kρ : kí hiệu hình cầu bán kính ρ En ; χn = mesK1 • Ωρ = Kρ ∩ Ω n • x = (x1 , , xn ), chuẩn |x| = i=1 1/2 x2i Tất hàm ước lượng luận văn thực, trừ đề cập cụ thể Giả sử u(x) hàm x, 1/2 n ∇u(x) = ux (x) = (ux1 (x), , uxn (x)); |∇u| = (uxi ) i=1 ν, µ, ε, δ, δk , θ, γ kí hiệu cho số dương ν(t), µ(t) kí hiệu cho hàm liên tục không tăng, không giảm t ≥ Một hàm u(x) gọi có giá compact Ω triệt tiêu lân cận biên Ω Giá hàm đo u(x) định nghĩa suppu = {x ∈ Ω|∀ρ > m{y ∈ Kρ (x) ∩ Ω|u(y) = 0} > 0} Điều kiện (A) Chúng ta nói biên S miền Ω (hoặc phần S1 nó) thỏa Điều kiện (A) tồn hai số dương a0 θ0 cho, hình cầu tùy ý có tâm S (tương ứng, S1 ), bán kính ρ ≤ a0 với ˆ ρ Ωρ = Kρ ∩ Ω, bất đẳng thức sau xảy phần liên thơng Ω ˆ ρ ≤ (1 − θ0 )mesKρ mesΩ 1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) 1.1.1 Không gian Lm (Ω), ≤ m < ∞ Lm (Ω) kí hiệu khơng gian Banach gồm tất hàm u(x) đo xác định Ω m - khả tích Chuẩn không gian xác định sau 1/m u Lm (Ω) m |u| dx = Ω Khi m = ∞, ký hiệu L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess max |u(x)| < +∞} Ω đó, ess max |u(x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Ω||u(x)| > M } = 0} Ω Ở đây, tính đo tính khả tích hiểu theo nghĩa Lebesgue Các phần tử Lm (Ω) lớp hàm tương đương Ω 1.1.2 Không gian Wm (Ω); ≤ m < ∞, ∈ Z+ Không gian Sobolev Wm (Ω) không gian bao gồm hàm suy rộng u(x) ∈ Lm (Ω) mà đạo hàm suy rộng Dα u ∈ Lm (Ω), |α| ≤ Khí đó, chuẩn u(x) ∈ Wm (Ω) định nghĩa    u Wm (Ω) |u|m + = 1/m |D(α) u|m  dx |α|=1 (α) Ω đó, α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Z+n , |α| = α1 + α2 + + αn , α Dα u = Dα1 Dα2 Dαnn u, Dj j = ∂ αj α , ∂xj j j = 1, 2, ˚ (Ω); ≤ m < ∞, ∈ Z+ 1.1.3 Không gian W m ˚ (Ω) với ≤ m < +∞ bao đóng C ∞ (Ω) Không gian Sobolev W m chuẩn khơng gian Wm (Ω) Kí hiệu: ˚m (Ω) = C ∞ (Ω) W Khi ˚m (Ω) = {u(x) : u(x) ∈ Wm (Ω), Dα u|S = 0; |α| W 1.2 − 1} Không gian Holder Cho Ω miền bị chặn ( giới nội ) Rn Ta định nghĩa số không gian : • Không gian C (Ω), C k (Ω) C (Ω) = {u : Ω → C|u liên tục Ω} C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k} ¯ C k (Ω) ¯ • Khơng gian C (Ω), ¯ không gian hàm liên tục Ω ¯ với chuẩn C (Ω) |u|0,Ω = sup |u(x)| Ω ¯ = {u(x) ∈ C (Ω) ¯ : Dα u ∈ C (Ω), ¯ ∀|α| ≤ k} C k (Ω) với chuẩn |Dα u|0,Ω |u|k,Ω¯ = |α|≤k k ∈ Z+ ¯ • Khơng gian C 0,γ (Ω) |u(x) − u(y)| ¯ = {u(x) ∈ C (Ω); [u] C 0,γ (Ω) < +∞}, γ (γ),Ω = sup |x − y| x,y∈Ω x=y với < γ ≤ ¯ định nghĩa Chuẩn C 0,γ (Ω) |u|0,γ,Ω = |u|0,Ω + [u](γ),Ω ¯ • Không gian C k,γ (Ω) ¯ = {u(x) ∈ C k (Ω) : [Dα u](γ),Ω < +∞, ∀|α| = k}, C k,γ (Ω) ¯ định nghĩa Chuẩn C k,γ (Ω) [Dα u](γ),Ω |u|k,γ,Ω = |u|k,Ω + |α|=k ¯ ¯ O2 (Ω) • Lớp hàm O1 (Ω), ¯ ⊂ O1 (Ω) ¯ ⊂ C 0,1 (Ω) ¯ C 1,0 (Ω) ¯ gồm tất hàm u(x) thuộc C 0,1 (Ω) ¯ mà có vi phân cấp O1 (Ω) ¯ |u|1,0,Ω hữu hạn điểm Ω ¯ gồm tất hàm u(x) thuộc C 1,1 (Ω) ¯ mà đạo hàm cấp O2 (Ω) có vi phân cấp điểm Ω 1.3 Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) lớp tất hàm u(x) Wm (Ω) với ess max |u| ≤ Ω M cho, với u(x) −u(x), bất đẳng thức sau xảy hình cầu Kρ ⊂ Ω với σ ∈ (0, 1) : |∇u|m dx ≤ γ Ak,ρ−σρ m(1− nq ) σmρ m max(u(x) − k)m + mes1− q Ak,ρ Ak,ρ với k ≥ max u(x) − δ Kρ (1.1) Ak,ρ tập điểm x ∈ Kρ với u(x) > k Kρ−σρ hình cầu đồng tâm với Kρ Chúng ta giả sử bán kính hình cầu ρ (1.1), khơng vượt q số dương ρ0 Các tham số M, γ δ số dương tùy ý, < m ≤ n, q > n ≥ Ta có khẳng định sau : Nếu hình cầu Kρ , hàm u(x) thỏa mãn bất đẳng thức   m (u − k)m |∇ζ|m dx + (mesAk,ρ )1− q   |∇u|m ζ m dx ≤ γ  Ak,ρ (1.2) Ak,ρ với k ≥ max u − δ với hàm trơn không âm tùy ý ζ(x) triệt tiêu Kρ mặt Kρ , bất đẳng thức (1.1) xảy Kρ hình cầu đồng tâm tùy ý Kρ−σρ , σ ∈ (0, 1) Điều (1.1) theo sau (1.2) chọn ζ hàm đơn vị Kρ−σρ thỏa mãn bất đẳng thức |∇ζ| ≤ c/σρ 1.4 Định lý Leray-Shauder Mục giới thiệu Nguyên lý Leray-Schauder tồn điểm bất động họ ánh xạ phụ thuộc tham số, xem [2] ¯ bao đóng Định lý 1.4.1 Giả sử H không gian Banach M tập mở liên thông bị chặn M H Giả sử E tích Decartes H khoảng đóng [0 ≤ τ ≤ 1], phần tử E = H × [0, 1] cặp thứ tự (v, τ ), với v ∈ H, τ ∈ [0, 1] Đặt ¯1 = M ¯ × [0, 1] M Khi đó, phương trình u = Φ(u, τ ) (1.3) ... rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Nghiệm suy rộng bị chặn 2.2 Tính nghiệm toán Dirichlet... miền Các phương trình elliptic tuyến tính sau có lịch sử phát triển lâu dài, có khác biệt so với phương trình tuyến tính số hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm chí đạo hàm cấp ẩn hàm Vì khái niệm... phát triển chương Chương 2, trình bày kết tính giải (địa phương) phương trình elliptic tuyến tính dạng bảo tồn Các kết trình bầy mục 2.1 đến 2.7, với định lý tính nghiệm miền đủ nhỏ, đánh giá