2 Nghiệm suy rộng của phương trình ellipti cá tuyến tính cấp ha
2.7 lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền
Chúng ta đã chứng tỏ rằng các nghiệm suy rộng bị chặn của phương trình (2.1) có các tính chất cơ bản của các nghiệm cổ điển của phương trình elliptic, đặc biệt, chúng duy nhất trong khoảng nhỏ, và các tính chất khả vi để làm tăng tính trơn của các hàm ai(x, u, p) và a(x, u, p), nó là cần và đủ để đặt ra các hạn chế kiểu (2.2),(2.3) về bậc tăng trưởng của ai(x, u, p) và a(x, u, p), tương ứng
với |p| và |p| → ∞.
Nếu chúng ta xét các lớp nghiệm rộng hơn, chẳng hạn, các nghiệm trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω), với q ≥ nmn−m, m ≤ n, khi đó điều kiện nghiệm duy nhất trong khoảng nhỏ đòi hỏi phải có thêm các hạn chế chặt chẽ về bậc tăng trưởng củaai và a theo |p|. Với các nghiệm u(x) trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω), các hạn chế này như sau.
Giả sử rằng ai và a thỏa các bất đẳng thức
ai(x, u, p)pi ≥ ν1(|u|)|p|m−(1 +|u|)α1)ϕ1(x), (2.32)
sign(u)·a(x, u, p)≤ (1 +|u|)α2)ϕ2(x) + (1 +|u|)α3)ϕ3(x)|p|m−ε. (2.33) Đơn giản hóa, chúng ta có thể giả sử rằng ν1 là một hằng số dương. Khi đó, các đại lượng α1, ϕi và ε phải thỏa mãn các điều kiện
• (1) nn+q ≤ε ≤m; • (2) ϕi ∈ Lri(Ω), i = 1,2,3, r1, r2 > mn;r3 > n ε với ε≥ 1, nq qε+n(ε−1) với ε <1; • (3) 0≤α1 < mn+nq − rq 1, 0≤ α2 < mn+nq −1− rq 2, 0≤ α1 < εn+nq −1− rq 3.
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các giả thuyết này là đủ để các nghiệm suy rộng trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω) là bị chặn và do đó để tất cả các định lý trong các phần
2.1-2.6 có thể áp dụng được cho các nghiệm như thế. Chứng minh của định lí sau đây cơ bản dựa trên Định lý 2.5.1.
Định lý 2.7.1. Giả sử u(x) là các nghiệm suy rộng trong
Wm1(Ω)∩Lq(Ω), n ≥m >1, q ≥q∗ = nm
n−m,
của phương trình (2.1) và giả sử rằng
ess.max
S |u|= M0 <∞.
Giả sử các điều kiện (2.32),(2.33) được thỏa cho các ai(x, u, p) và a(x, u, p), và rằng trong các bất đẳng thức đó, các tham số ε và αi(i = 1,2,3) và các hàm
ϕi(i = 1,2,3) thỏa các điều kiện (1)-(3). Khi đó, ess.maxΩ|u| bị chặn bởi một biểu thức theo kukLq(Ω), M0, ν1, ε, αi,kϕkL
ri(Ω), i = 1,2,3, mesΩ.
Như đã đề cập, Định lý 2.7.1 cho phép chúng ta áp dụng tất cả các định lý trong các phần 2.1-2.6 cho một nghiệm suy rộng tùy ý trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω). Đặc biệt, nếu các giả thiết của Định lý 2.7.1 được thỏa mãn và nếu ai và a thỏa mãn các bất đẳng thức (2.13) và (2.14), khi đó định lý về tính duy nhất trong khoảng nhỏ cũng đúng cho các nghiệm của phương trình (2.1) trong lớp Wm1(Ω)∩Lq(Ω). Chúng ta đi tới kết quả sau:
Định lý 2.7.2. Giả sử các hàm u(x), ai và a thỏa mãn các điều kiện trong Định lí 2.7.1, khi đó u(x) liên tục theo nghĩa Holder với mũ α > 0 trong miền Ω, số mũ này được xác định theo các đại lượng giống như ess.max
Ω |u| trong Định lý
2.7.1.
Với miền túy ý Ω0 ⊂⊂ Ω chuẩn |u|α,Ω0 bị chặn theo các đại lượng tương tự và khoảng cách từ Ω0 đến S. Nếu thêm vào đó, S thỏa mãn điều kiện (A) và u|S
thuộc lớp Cβ, thì |u|α,Ω, với α ≤ β, là bị chặn theo các hằng số trong các điều kiện của Định lý 2.7.1, các hằng số a0 và θ0 , β,mesΩ và các chuẩn |u|β,S và
kukLq(Ω).
Giá trị của khẳng định này được trực tiếp suy ra từ các Định lý 2.7.1và 2.1.1
trong trường hợp các hàm ϕi, i = 1,2,3, (trong các điều kiện của Định lý 2.7.1)
là bị chặn. Trong trường hợp tổng quát, chúng ra mới chỉ chứng minh rằngu có ess.maxΩ|u| bị chặn. Tuy nhiên, bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.1.1, chúng ta có thể dễ dàng chứng tỏ rằng u thuộc lớp
Bm(Ω, M, γ, δ,q1 1) với
q1 = min{mr1, mr2, εr3}> n.
Trên cơ sở của các Định lý 2.6.1 và 2.7.1, điều này chứng minh giá trị của các khẳng định trong Định lý 2.7.2.