2 Nghiệm suy rộng của phương trình ellipti cá tuyến tính cấp ha
2.6Đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm các cấp của nghiệm suy
nghiệm suy rộng ( |u|`,α,Ω, ` ≥1 )
Giả sử rằng nghiệm u(x) của (2.1) thuộc lớp W22(Ω)với đạo hàm cấp một bị chặn. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đạo hàm liên tục theo nghĩa Holder khi phương trình (2.1) là elliptic tại u(x), tức là nếu bất đẳng thức sau được thỏa mãn
∂ai(x, u(x), ux(x)) ∂uxj ξiξj ≥ ν n X i=1 ξi2, ν >0. (2.29)
Nó là đủ để giả sử rằng các hàm ai(x, u, p) là khả vi tương ứng với các argument x, u, p, rằng hàm a(x, u, p) là đo được, và rằng
max x∈Ω ∂ai(x, u(x), ux(x)) ∂uxj ,∂ai(x, u(x), ux(x)) ∂u , ∂ai ∂xj , a ≤µ1 <∞, (2.30) với i, j = 1, ..., n.
Chúng ta thu được định lí sau đây với β = min{α, q−qn}.
Định lý 2.6.1. Giả sử nghiệmu(x) của(2.1) với thuộc lớp W22(Ω), tức là nó có các đạo hàm cấp 1 bị chặn trong Ω¯. Giả sử rằng các điều kiện (2.29) và (2.30)
được thỏa cho ai và a. Khi đó, các đạo hàm uxi, i = 1, ..., n, thuộc lớp C0,α(Ω)
với mũ α > 0 chỉ phụ thuộc vào max
Ω |∇u| và các hằng số ν, µ1 trong các điều kiện (2.29) và (2.30). Chuẩn|u|1,α,Ω0 bị chặn trong miền tùy ý Ω0 ⊂⊂Ω theo các đại lượng này và khoảng cách từ Ω0 tới S.
Thêm vào đó, nếu u(x) thỏa điều kiện biên (2.12) với ϕ(x) ∈ Wq2(Ω), q > n,
và nếu S ∈ O2, thì các đạo hàm uxi, i = 1, ..., n, là liên tục theo nghĩa Holder trong miền đóng Ω¯ với mũ β > 0. Ở đây, β và kuk1,β,Ω chỉ phụ thuộc vào
M1, ν, µ1, q,kϕkW2
q(Ω), và biên S.
Chú ý: Chúng ta thấy rằng, có thể giảm điều kiện (2.30) đối với ai và a. Đặc biệt, chúng ta có thể giả sử rằng ∂ai(x, u(x), ux(x)) ∂u , ∂ai ∂xj, a Lq(Ω) ≤ µ1 <∞, (2.31) với q > n và i, j = 1, ..., n. Từ các Định lí 2.6.1 và 2.5.1 chúng ta có
Định lý 2.6.2. Giả sử nghiệm suy rộng bị chặn u(x) của (2.1) có các đạo hàm bị chặn. Với x∈ Ω¯,|u| ≤ M = max
Ω |u(x)| và |p| ≤ M1 = max
ai(x, u, p) và a(x, u, p) là khả vi tương ứng với x, u, p, rằng các hàm này và các đạo hàm cấp một của chúng bị chặn bởi một hằng số µ1, và rằng ai(x, u, p) thỏa điều kiện về tính elliptic
∂ai(x, u, p) ∂pj ξiξj ≥ν n X i=1 ξ2i, ν >0.
Khi đó, u(x) thuộc lớp C1,α(Ω0)∩W22(Ω0) với miền tùy ý Ω0 ⊂ Ω và các chuẩn trong cả C1,α(Ω0) và W22(Ω0) đều bị chặn theo M, M1, ν, µ1 và khoảng cách từ Ω0
tới S.
Định lý 2.6.3. Giả sử u(x) là nghiệm của (2.1) trong lớp C0,1( ¯Ω)∩W22(Ω). Giả sử (2.1) tại u(x) là elliptic (tức là (2.29) được thỏa). Giả sử rằng
ai(x, u, p)∈ C`−1,β(M) và a(x, u, p) ∈C`−2,β(M),
ở đây ` ≥2 và M= {x∈ Ω¯,|u| ≤ M,|p| ≤ M1} với M, M1 như ở trong Định lý
2.6.2.
Khi đó u(x) thuộc lớp C`,β(Ω), và với miền tùy ý Ω0 ⊂⊂ Ω, chuẩn |u|`,β,Ω0
bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc theo M, M1,|ai|`−1,β,M,|a|`−2,β,M, ν và khoảng cách từ Ω0 tới S. Thêm nữa, nếu
S ∈ C`,β và u|S ∈ C`,β(S),
thì chuẩn |u|`,β,Ω bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hằng số M, M1,
|ai|`−1,β,M,|a|`−2,β,M, ν, chuẩn |u|`,β,S và biên S.
Như vậy là, từ phần 2.1 đến 2.6, chúng ta đã trình bày một số kết quả cho các nghiệm suy rộng bị chặn của Phương trình (2.1).
Trong phần 2.1, chúng ta đã chứng tỏ rằng nghiệm suy rộng bị chặn u(x)
trong lớp Wm1(Ω) liên tục theo nghĩa Holder. Chúng ta cũng đã đưa ra các bao chặn cho các chuẩn Holder củau(x) đối với các miền trongΩ0 ⊂⊂ Ωvà cho toàn miền.
Trong phần 2.3, chúng ta đã chứng tỏ rằng, đối với các nghiệm có các tích phân (2.20) hữu hạn trên miền Ω0 ⊂⊂Ω, đại lượng max|∇u| bị chặn trong một miền tùy ý Ω00 nằm trong Ω0. Từ đây dẫn tới, trong trường hợp đặc biệt, ta có u(x) thuộc W22(Ω00). Thêm nữa, Định lý 2.6.1 chỉ ra rằng các nghiệm thuộc W22(Ω00) trên miền tùy ý Ω00 ⊂⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω và có các đạo hàm cấp một bị chặn sẽ thuộc lớp C1,β(Ω00) nếu các điều kiện (2.29) và (2.30) được thỏa. Cuối cùng, Định lý 2.6.3 đã chứng tỏ rằng các nghiệm này là trơn hơn, và trên thực tế, thuộc lớp C`,α(Ω00) với ` ≥ 2, nếu các hàm ai(x, u, p) và a(x, u, p) có tính trơn phù hợp.
Trong phần 2.5, chúng ta đã chứng minh các điều kiện để cho một nghiệm suy rộng bị chặn có các đạo hàm cấp hai suy rộng và các tích phân (2.20) trên miền tùy ý Ω0 ⊂⊂ Ω (hoặc là trên toàn miền) là bị chặn đối với các đạo hàm này.