(Luận án tiến sĩ) ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biến đổi với phương trình và hệ phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội- 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số : 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội- 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy phản biện: GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Thầy Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG bỏ công sức đọc thảo cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa q báu để hồn thành tốt luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lịng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh hồn thành luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, thành viên Seminar Bộ mơn Giải tích Khoa Tốn- Cơ Tin học bạn đồng nghiệp mơn Tốn học trường Đại học Xây dựng Hà nội động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập cơng tác Cuối cùng, xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận án Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục kí hiệu, định nghĩa định lí sở Mở đầu BÀI TỐN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH 17 1.1 1.2 1.3 Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với tốn tử p-laplacian miền khơng bị chặn 18 Bài tốn Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn 33 Sự không tồn tồn đa nghiệm dương hệ (p, q)Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính phụ thuộc tham số 43 BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH KHƠNG ĐỀU, KHƠNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu toán 53 2.2 Sự tồn nghiệm yếu khơng âm tốn Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng 55 2.3 Sự tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng có tham số 68 Kết luận 81 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 82 Tài liệu tham khảo 83 DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ Các kí hiệu Ω ⊂ RN tập đo RN , Ω’ ⊂⊂ Ω tập compact chứa Ω u : Ω −→ R hàm đo Lebesgue Lp (Ω) = {u : Ω −→ R : |u|p dx < +∞}, ≤ p < +∞ với chuẩn Ω  p1  |u|p dx ||u||Lp =  Ω L∞ (Ω) = {u : Ω −→ R bị chặn Ω} với chuẩn ||u||L∞ = ess sup |u(x)| x∈Ω Lploc (Ω) = {u : Ω −→ R cho ∀Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp (Ω’ )} C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω H m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ m} với chuẩn ||Dα u||Lp ||u||H m,p = |α|≤m H0m,p (Ω) bao đóng khơng gian C0∞ (Ω) H m,p (Ω) Nếu Ω miền bị chặn trang bị chuẩn tương đương ||Dα u||Lp ||u||H0m,p = |α|=m H m,q (Ω) không gian đối ngẫu H m,p (Ω) với 1 + = Trong trường hợp p q p = q = 2, ta viết ngn gn l H m () ă Bt ng thức Holder Với u ∈ Lp (Ω) v ∈ Lq (Ω) với 1 + = 1, ta có p q u(x)v(x)dx ≤ ||u||Lp ||v||Lq Ω 3 Bất đẳng thức nội suy Giả sử Ω miền bị chặn RN , < p ≤ q ≤ r, δ 1−δ = + , δ ∈ [0, 1] q p r u ∈ Lr (Ω) Khi đó, ||u||Lq ≤ ||u||δLp ||v||1−δ Lr Hàm Carathéodory Ta nói f : Ω × RN −→ R hàm Carathéodory với x ∈ Ω cố định, hàm u → f (x, u) liên tục RN với u ∈ RN cố định, hàm x → f (x, u) đo Ω Đạo hàm Fréchet đạo hàm Gâteax Giả sử X, Y không gian Banach, U tập mở X, x ∈ U , f : U −→ Y hàm xác định U Ta nói f khả vi Fréchet điểm x tồn ánh xạ tuyến tính liên tục DF f (x) ∈ L(X, Y ) cho ||f (x + h) − f (x) − DF f (x)h||Y = o(||h||X ), ∀h ∈ X x + h ∈ U Nếu f khả vi Fréchet x ∈ U ta nói f khả vi Fréchet tập U Nếu f khả vi Fréchet x ∈ U ánh xạ x → DF f (x) từ U vào L(X, Y ) liên tục x ta nói f khả vi Fréchet liên tục x Nếu f khả vi Fréchet liên tục x ∈ U , ta nói f khả vi Fréchet liên tục U kí hiệu f ∈ C (X, Y ) Ta nói f khả vi Gâteaux điểm x theo hướng h tồn ánh xạ tuyến tính liên tục DG f (x) ∈ L(X, Y ) cho f (x + th) − f (x) = DG f (x)h, t→0 t lim h ∈ X Nếu f khả vi Gâteaux điểm x ∈ U ta nói f khả vi Gâteaux tập U Nếu f : U −→ Y khả vi Fréchet x f khả vi Gâteaux x Nếu f : U −→ R có đạo hàm Gâteaux DG f liên tục U f khả vi Fréchet f ∈ C (U, R) Định lí 0.0.1 (Định lí C1 [30])) Giả sử F = F (x, u, p) : Ω × Rn+1 → R đo với x ∈ Ω, khả vi liên tục với u ∈ R p ∈ Rn điều kiện sau thoả mãn: 1) |F (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s1 + |p|2 ), với s1 ≤ 2n n ≥ 3; n−2 2) |Fu (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s2 + |p|t2 ), với t2 ≤ n ≤ tương ứng với n+2 n+2 ∂F s2 ≤ , t2 ≤ n ≥ Fu = ; n−2 n ∂u 3) |Fp (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s3 + |p|) với s3 ≤ n ∂F n ≥ 3, Fp = n−2 ∂p Khi phiếm hàm F (x, u(x), ∇u(x))dx E(u) = Ω xác định phiếm hàm C H 1,2 (Ω) Hơn nữa, DE(u) cho bởi: (Fu (x, u, ∇u)v + Fp (x, u, ∇u)∇v)dx, v, DE(u) = Ω với DE(u) đạo hàm Fréchet E(u) u Định lí 0.0.2 (Định lí C2 [30]) Giả sử g : Ω × Rm −→ R hàm Carathéodory thoả mãn điều kiện 1) |g(x, u)| ≤ C(|1 + |u|s |) với s ≥ Khi tốn tử u → (g(., u(.))) liên tục từ Lsp (Ω) vào Lp (Ω) với p ∈ [1, +∞] Tính nửa liên tục tính nửa liên tục yếu Giả sử X không gian Banach, f : X → R phiếm hàm xác định X Phiếm hàm f gọi nửa liên tục X với dãy {um } hội tụ mạnh đến u X, ta có f (u) ≤ lim inf f (um ) m→∞ Phiếm hàm f gọi nửa liên tục yếu X với dãy {um } hội tụ yếu đến u X, ta có f (u) ≤ lim inf f (um ) m→∞ Như vậy, phiếm hàm nửa liên tục nửa liên tục yếu điều ngược lại không Định lí 0.0.3 (Định lí 1.6 tr.9 [30]) Cho Ω miền Rn giả sử F : Ω × Rn × Rn → R hàm Caratheodory thỏa mãn điều kiện sau: 1) F (x, u, p) ≥ ϕ(x) với h.k x, u, p, với ϕ ∈ L1 (Ω) 2) F (x, u, ) lồi p với h.k x, u 1,1 Khi đó, um , u ∈ Hloc (Ω) um → u L1 (Ω’ ), ∇um hội tụ yếu đến ∇u L1 (Ω’ ) với tập bị chặn Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có E(u) ≤ lim inf E(um ), m→∞ F (x, u, ∇u)dx với E(u) = Ω 1 a(x)|um − u|2 dx) ( +( Ω a(x)|v|2 dx) Ω Từ ta thu | DJ(um ) − DJ(u), v | ≤ 2||v||M ||um − u||M , ∀v ∈ M ||DJ(um ) − DJ(u)||M * ≤ 2||um − u||M Cho m −→ +∞, ta lim DJ(um ) = DJ(u) M * m→+∞ Vậy DJ liên tục M Do J ∈ C (M, R) Mệnh đề 2.3.1 chứng minh xong Nhận xét từ Mệnh đề 2.3.1, điểm tới hạn phiếm hàm Iλ nghiệm yếu toán (2.18) Mệnh đề sau chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2.2 Chương Mệnh đề 2.3.2 Phiếm hàm J cho (2.23) nửa liên tục yếu M Ta có mệnh đề sau liên quan đến tồn giá trị riêng thứ hàm riêng toán sau  −div(h(x)∇u) + a(x)u = λθ(x)u Ω (2.27) u = ∂Ω Mệnh đề 2.3.3 Lấy θ(x) ∈ L∞ (Ω) cho Ω+ = {x ∈ Ω : θ(x) > 0} tập mở RN Đặt (h(x)|∇u|2 + a(x)u2 )dx : λθ = inf{ Ω θ(x)u2 dx = 1} Ω Khi i) θ(x)u2 dx = 1} = ∅ S = {u ∈ M : Ω 72 ii) Tồn ϕ0 ∈ S cho (h(x)|∇ϕ0 |2 + a(x)|ϕ0 |2 )dx = λθ Ω ϕ0 (x) > Ω Mệnh đề 2.3.3 chứng minh tương tự Mệnh đề 2.2.3 Mệnh đề 2.3.4 Giả sử điều kiện I1) I3) thoả mãn Khi với λ > λ1 2β tồn số c1 = c1 (λ), d1 = d1 (λ) cho | < DIλ (u), u > −2Iλ (u)| ≥ c1 ||u||µLµ (Ω) − d1 , u ∈ H (2.28) Chứng minh Từ (2.22) (2.26) ta có (f (x, u)u − 2F (x, u))dx 2Iλ (u)− < DIλ (u), u >= λ Ω Theo I1) I3) f (x, t)t − 2F (x, t) ≥ b > 0, với h.k x ∈ Ω |t|µ |s|>0 |t|>|s| sup inf Do tồn s0 = cho f (x, t)t − 2F (x, t) ≥ b > với h.k x ∈ Ω |t|>|s0 | |t|µ inf Vì f (x, t)t − 2F (x, t) ≥ b|t|µ với |t| > |s0 | với h.k x ∈ Ω Mặt khác ánh xạ t −→ f (x, t)t − 2F (x, t) liên tục [−|s0 |, |s0 |], nên bị chặn [−|s0 |, |s0 |] với h.k x ∈ Ω Khi tồn số dương c1 , d1 cho λ(f (x, t)t − 2F (x, t)) ≥ c1 |t|µ − d1 , với t ∈ R, với h.k x ∈ Ω Vì với λ > λ1 tồn số c1 = c1 (λ), d1 = d1 (λ) cho 2β |u|µ dx − d1 ≥ c1 ||u||µLµ (Ω) − d1 | < DIλ (u), u > −2Iλ (u)| ≥ c1 Ω Vậy Mệnh đề 2.3.4 chứng minh xong 73 Mệnh đề 2.3.5 Giả sử điều kiện I1) I2) thoả mãn Khi tồn số c2 d2 cho |T (u)| ≤ c2 ||u||qLq (Ω) + d2 với u ∈ M (2.29) Chứng minh Điều kiện I2) kéo theo F (x, t) ≤ α với h.k x ∈ Ω |s|>0 |t|>|s| |t|q inf sup Từ tồn s0 = cho |F (x, t)| ≤α |t|q |t|≥|s0 | sup |F (x, t)| ≤ α|t|q với |t| ≥ |s0 |, với x ∈ Ω Hơn nữa, ánh xạ t → F (x, t) liên tục t ∈ [−|s0 |, |s0 |], nên bị chặn Vậy với d2 > 0, ta thu |F (x, t)| ≤ α|t|q + d2 , t ∈ R, với h.k.n x ∈ Ω Vì | Ω Do |T (u)| ≤ |u|q dx + d2 ≤ c2 ||u||qLq (Ω) + d2 F (x, u)dx| ≤ α Ω c2 ||u||qLq (Ω) + d2 , u ∈ M (2.29) chứng minh xong Kết phần thể định lí sau Định lí 2.3.1 Giả sử giả thiết I1)-I3) thoả mãn Khi tốn (2.18) có λ1 nghiệm yếu khơng tầm thường M với λ > với 2β (h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 )dx λ1 = inf Ω |u|2 dx 0=u∈M Ω ( Xem Mệnh đề 2.3.3 với θ = β > số I2) Chú ý 2.3.3 Nếu điều kiện (2.3) thoả mãn điều kiện I2) thoả mãn với β > 0, từ Định lí 2.3.1 ta kết luận tốn (2.18) có nghiệm yếu với λ > Định lí 2.3.1 chứng minh sử dụng định lí điểm tới hạn trường hợp mở rộng Định lí qua núi Định lí Rabinowitz với điều kiện Cerami compac sau 74 Định lí 2.3.2 (xem [4]) Cho E không gian Banach thực Giả sử I ∈ C (E, R) thoả mãn điều kiện Cerami compac (C)c với c ∈ R với ρ > 0, u1 ∈ E với ||u1 ||E > ρ, max{I(0), I(u1 )} ≤ α ˆ < βˆ ≤ inf I(u) ||u||=ρ Khi I có giá trị tới hạn cˆ ≥ βˆ sau cˆ = inf max I(γ(t)) γ∈Γ 0≤t≤1 với Γ = {γ(t) ∈ C([0, 1], E) : γ(0) = 0, γ(1) = u1 } Để áp dụng Định lí 2.3.2, chúng tơi đưa vào số mệnh đề có liên quan đến điều kiện Cerami điều kiện hình học phiếm hàm Iλ Mệnh đề 2.3.6 Phiếm hàm Iλ : M −→ R cho (2.22) thoả mãn điều kiện Cerami (C)c với c ∈ R Chứng minh Ta có Iλ (u) = J(u) − λT (u), ∀u ∈ M với J(u) T (u) cho (2.23) Lấy dãy {um } M cho Iλ (um ) −→ c, (1 + ||um ||)||DIλ (um )||M * −→ m −→ +∞ (2.30) Từ (2.28), với u = um , ta thu c1 ||um ||µLµ (Ω) ≤ | DIλ (um ), um −2Iλ (um )| + d1 ≤ d1 + ||DIλ (um )||M * ||um ||M + 2|Iλ (um )|, với m = 1, Theo (2.30) ta suy {||um ||Lµ (Ω) } bị chặn, nghĩa tồn M1 cho ||um ||Lµ (Ω) ≤ M1 m = 1, (2.31) Mặt khác theo (2.22) (2.29) ta có J(um ) = ||um ||2M = Iλ (um ) + λT (um ) ≤ |Iλ (um )| + λ|T (um )| (2.32) ≤ λc2 ||um ||qLq (Ω) + d0 , d0 > Nhắc lại µ < q < 2* , 1−δ δ = + * , < δ < 1, áp dụng Bất đẳng thức q µ Hăolder ta thu c ||um ||Lq () ||um ||1−δ Lµ (Ω) ||um ||L2* (Ω) 75 Từ (2.31), (2.32) ta suy q(1−δ) ||um ||2M ≤ λc2 ||um ||Lµ (Ω) ||um ||qδ2* + d0 L (Ω) q(1−δ) ≤ λc2 M1 ||um ||qδ2* L (Ω) + d0 ∗ Nhờ phép nhúng liên tục từ M vào L2 (Ω), tồn M2 > cho ||um ||2M ≤ M2 ||um ||qδ M + d0 , m = 1, (2.33) Từ (2.33), qδ < 2( xem Chú ý 2.3.1) ta khẳng định dãy {um } bị chặn M Tiếp theo ta chứng minh dãy {um } có dãy hội tụ mạnh M Thật vậy, {um } bị chặn M nên tồn dãy {umk } hội tụ yếu đến u M Theo Mệnh đề 2.3.2, J nửa liên tục yếu nên ta có J(u) ≤ lim inf J(umk ) k−→+∞ (2.34) Hơn nữa, nhờ phép nhúng compac từ M vào L2 (Ω) nên {umk } hội tụ mạnh tới u L2 (Ω), nghĩa lim ||um − u||L2 (Ω) = (2.35) k−→+∞ Mặt khác, nhờ điều kiện I1) ý pj + * + = 1, j = 1, r, pj0 2 ta thu |f (x, umk )||umk − u|dx | DT (umk ), umk − u | ≤ (2.36) Ω r τj |umk |pj |umk − u|dx ≤ j=1 Ω r pj ≤ ||τj ||Lpj0 (Ω) ||umk || L2* (Ω) ||umk − u||L2 (Ω) j=1 * Chú ý phép nhúng M vào L2 (Ω) liên tục nên dãy {umk } hội tụ yếu * * L2 (Ω) bị chặn L2 (Ω) Vì từ (2.35), (2.36) ta khẳng định lim DT (umk ), umk − u = (2.37) k−→+∞ Từ (2.30) từ {umk − u} hội tụ yếu M , kéo theo lim k−→+∞ DIλ (umk ), umk − u = 76 (2.38) Kết hợp (2.37), (2.38), ta lim k−→+∞ = lim k−→+∞ DJ(umk ), umk − u DIλ (umk ), umk − u + lim k−→+∞ DT (umk ), umk − u = Hơn J hàm lồi nên ta có bất đẳng thức sau J(u) − J(umk ) ≥ DJ(umk ), u − umk Cho k −→ +∞ ta thu J(u) − lim J(umk ) = lim (J(u) − J(umk )) ≥ lim k−→+∞ k−→+∞ k−→+∞ DJ(umk ), u − umk = (2.39) Vì J(u) ≥ lim J(umk ) k−→+∞ Từ (2.34),(2.39) ta thu J(u) = lim J(umk ) k−→+∞ Cuối cùng, ta chứng minh dãy {umk } hội tụ mạnh tới u M , nghĩa lim ||umk − u||M = k−→+∞ Thật vậy, ta giả sử phản chứng dãy {umk } không hội tụ mạnh tới u M Khi tồn số > dãy {umkj } cho ||umkj − u||M ≥ > 0, j = 1, α+β α−β Nhắc lại đẳng thức | | +| | = (α2 + β ), α, β ∈ R, ta suy với 2 j = 1, umkj + u 1 J(umkj ) + J(u) − J( ) (2.40) 2 1 = ||umkj − u||2H ≥ 20 4 umkj + u Ta ý dãy { } hội tụ yếu đến u M , sử dụng Mệnh đề 2.3.2 ta có umkj + u J(u) ≤ lim inf J( ) j−→+∞ Hơn nữa, từ (2.40) cho j −→ +∞ ta thu J(u) − lim inf J( j−→+∞ umkj + u )≥ Điều vơ lí Vậy dãy {umk } hội tụ mạnh tới u M Điều suy phiếm hàm Iλ thoả mãn điều kiện compac Cerami (C)c M Mệnh đề 2.3.6 chứng minh xong Vì ≥ 77 Mệnh đề 2.3.7 Giả sử giả thiết I1), I2) thoả mãn Khi i) Tồn ν, ρ > cho Iλ (u) ≥ ν với u ∈ M, ||u||M = ρ ii) Tồn u1 ∈ M cho ||u1 ||M > ρ Iλ (u1 ) < Chứng minh i) Điều kiện I1) kéo theo với S > r |s|pj +1 , |F (x, s)| ≤ S ∀s ∈ R, với h.k.x ∈ Ω j=1 Chú ý < pj + < 2* , j = 1, r, ta thu F (x, s) |F (x, s)| = = 0, lim |s|−→0 |s|−→+∞ |s| |s|2* lim Vì với > 0, tồn δ1 > 0, δ2 > 0(δ1 < δ2 ) cho |F (x, s)| ≤ |s|2 ∀s ∈ R : |s| < δ1 , với h.k x ∈ Ω * |F (x, s)| ≤ |s|2 ∀s ∈ R : |s| > δ2 , với h.k.x ∈ Ω tồn số C > cho |F (x, s)| ≤ C ∀s ∈ R : δ1 ≤ |s| ≤ δ2 , với h.k.n x ∈ Ω Vì với > tồn C > cho * |F (x, s)| ≤ |s|2 + C |s|2 , ∀s ∈ R, với h.k.n x ∈ Ω * ta suy từ (2.41) phép nhúng liên tục từ M vào L2 (Ω) Iλ (u) = (h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 )dx − λ Ω F (x, u)dx Ω ≥ ||u||2M − λ |F (x, u)|dx Ω ≥ ||u||2M − λ * |u|2 dx − λC Ω |u|2 dx Ω λ * ≥ ||u||2M − ||u||2M − C ||u||2M λ1 với C > 0, λ1 Định lí 2.3.1 78 (2.41) Vì ta thu λ * − C ||u||2M−2 )||u||2M Iλ (u) ≥ ( − λ1 Khi cho ∈ (0, λ1 ) ρ > đủ bé cho 2λ λ * − − C ρ2 −2 > λ1 Từ ta khẳng định với u ∈ M với ||u||M = ρ λ * Iλ (u) ≥ ( − − C ρ2 −2 )ρ2 = ν > λ1 F (x, t) ≥ β > với h.k x ∈ Ω |t|2 s=0 |t|>|s0 | Vì tồn s0 = cho ii) Từ giả thiết I2) ta có sup inf F (x, t) ≥β>0 |t|>|s0 | |t|2 inf F (x, t) ≥ β|t|2 với t, |t| > |s0 |, với h.k.x ∈ Ω Hơn nữa, từ ánh xạ t → F (x, t) liên tục t ∈ [−|s0 |, |s0 |], tồn số B > cho F (x, t) ≥ β|t|2 − B với t ∈ R với h.k.x ∈ Ω (2.42) Từ (2.42) ta thu Iλ (u) = ||u||2M − λ F (x, u)dx Ω ≤ ||u||2M − λβ |u|2 dx + B|Ω| với u ∈ M Ω Lấy u = ϕ1 (x) hàm riêng toán ứng với giá trị riêng λ1 (xem Mệnh đề 2.3.3)  −div(h(x)∇u) + a(x)u = λu Ω (2.43) u = ∂Ω Vậy ϕ1 (x) > x ∈ Ω |ϕ1 (x)|2 dx = Ω 79 ||ϕ1 ||2M , λ1 ta thu λβ Iλ (tϕ1 ) ≤ t2 ||ϕ1 ||2M − t ||ϕ1 ||2M + B|Ω| λ1 λβ ≤( − )t ||ϕ1 ||2M + B|Ω| λ1 λβ λ1 − < 0, hay Iλ (tϕ1 ) → −∞ t → +∞ Vì λ > 2β λ1 Chọn t1 đủ lớn cho t1 ||ϕ1 ||M > ρ Iλ (t1 ϕ1 ) < Đặt u1 = t1 ϕ1 ta có Iλ (u1 ) < Mệnh đề 2.3.7 chứng minh xong Chứng minh Định lí 2.3.1 Ta có Iλ (0) = Theo Mệnh đề 2.3.7, tồn u1 ∈ M, ||u1 || > ρ, Iλ (u1 ) < tập Γ = {γ ∈ C([0, 1], M ) : γ(0) = 0, γ(1) = u1 } không rỗng ( rõ ràng γ(t) = tu1 ∈ Γ) Hơn từ Iλ (u) ≥ ν > ||u||M = ρ, nên max{Iλ (0), Iλ (u1 )} = = α ˆ< inf ||u||M =ρ Iλ (u) = βˆ ≥ ν > Phiếm hàm Iλ thoả mãn tất giả thiết Định lí 2.3.2 , phiếm hàm Iλ có giá trị tới hạn cˆ ≥ βˆ > ν > 0, nên tốn (2.18) có nghiệm yếu khơng tầm thường u ∈ M Định lí 2.3.1 chứng minh xong Tóm tắt kết chương Trong chương ta nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng thông qua việc chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với tốn Lập luận dựa vào Định lí qua núi trường hợp phần phi tuyến phương trình không thoả mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz 80 KẾT LUẬN Các kết luận án: Sử dụng phương pháp biến phân định lí qua núi, luận án chứng minh được: 1) Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với tốn tử pLaplacian miền khơng bị chặn có nghiệm yếu khơng tầm thường không gian H xây dựng thích hợp khơng gian W 1,p (Ω), sử dụng phương pháp biến phân định lí qua núi [16] 2) Sự tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn với cách xây dựng không gian nghiệm G không gian khơng gian H (Ω) × H (Ω), mở rộng kết 3) Bài tốn biên hệ phương trình tựa tuyến tính tốn tử p-Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính, mà xem cách suy rộng điều kiện biên Neumann có bội nghiệm dương khơng có nghiệm dương điều kiện thích hợp tham số λ 4) Sự tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic khơng miền bị chặn mà không thoả mãn điều kiện (A-R) Các kết phương pháp nghiên cứu luận án mở rộng cho lớp phương trình có số mũ biến thiên loại p(x)− Laplacian, phương trình có hệ số kì dị miền bị chặn khơng bị chặn Đó hướng nghiên cứu sau luận án 81 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2009), " Non-existence and multiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in bounded domain", Acta Mathematica Vietnamica, 34(2), pp 173-182 [2 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011), " On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving p-Laplacian in an unbounded domain", Bull Korean Math Soc , 48(6), pp.1169-1182 (Tạp chí ISI) [3 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), " On existence of weak solution of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equations in an unbounded domain",Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp 137147 [4 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), ” Existence of weak nonnegative solutions for a class of nonuniformly boundary value problem”, Bull Korean Math Soc., 49 (4), pp 737-748 (Tạp chí ISI) [5 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2014), ” On some semilinear nonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without the Ambrosetti and Rabinowitz condition”, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1), pp 1-15 82 Tài liệu tham khảo [1] Adams R.A.(1975), Sobolev Spaces, Academic Press London [2] Alif M., Omari P.(2002), ”On a p-Laplace Neumann problem with asymptotically asymetric perturbations ”, Nonlinear Analysis, 51, pp 369-389 [3] Anello G.(2004), ”Existence of infinitely many weak solutions for a Neumann problem,” Nonlinear Analysis, 57, pp 199-209 [4] Ambrosetti A., P.H.Rabinowitz(1973), ”Dual variational methods in critical point theory and application ,” J.Functional Analysis, 14(4,) pp 349381 [5] Babuska I., Osborn J.(1991), Egenvalue Problems, Handbook of Numer Anal., Vol North-Holland [6] Binding P.A , Drábek P , Huang Y.X.(2000), ”Existence of multiple solutions of critical quasilinear elliptic Neumann problems,” Nonlinear Anal., 42, pp 613-629 [7] Bonanno G., Candito P.(2003), ”Three solutions to a Neumann problem for the elliptic equations involving the p-Laplacian,” Arch.Math., 80, pp 424-429 [8] Brezis H.(1992), Analyse fonctionelle: théorie et applicaions, Paris Massion, [9] Costa D.G., Magalhães C.A.(2004), ”Variational elliptic problems which are nonquadratic at infinity,” Nonlinear Anal., 23, pp 1401-1412 [10] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”Existence result for nonuniformly degenerate semilinear elliptic systems in RN ”, Glassgow.Math.J., 51, pp 561-570 [11] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”On a class of degenerate and singular elliptic systems in bounded domains”, J.Math.Anal.Appl.,360, pp.422-431 83 [12] Chung N.T.(2008), ”Existence of weak solutions for a nonuniformly elliptic nonlinear systems in RN ”, Electron.J.Diff.Equ.,2008(119), pp 1-10 [13] Chung N.T.(2010),’ ’On the existence of weak solutions for a degenerate and singular elliptic systems in RN , ” Acta Appl.Math.,110(1,) pp 47-56 [14] Dautray R., Lions J.L.(1985), Mathematical analysis and numerical methods for science and technology I: Physical origins and classical methods, Springer- Verlag, Berlin [15] De Nápoli P.,Mariani M.C.(2003), ”Mountain pass solutions to equations of p-Laplacian type," Nonlinear Analysis,54, pp 1205-1219 [16] Duc D.M (1989), ”Nonlinear singular elliptic equations, ” J Lond Math.Soc., 40(2,) pp 420-440 [17] Duc D.M., Vu N.T.(2005), ”Nonuniformly elliptic equations of p-Laplacian type ”, Nonlinear Analysis, 61, pp 1483-1495 [18] Di Benedetto E.(1983), ”C 1+α local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations,” Nonlinear Analysis, T.M.A., (8), pp 827- 850 [19] Fernandez B.J.(2004), ”Multiple positive solutions for quasilinear elliptic problems with Sign-Changing nonlinearities”, Asbtract and Applied Analysis, 2004(2), pp.1047-1056 [20] Giusti E.(2003), ”Direct methods in the Calculus of variation World scientific,” New Jersey [21] Gilbarg D., Trudinger N.(1998), ” Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ” Springer Verlag, Berlin [22] Jean J.L.(1999), ”On the existence of bounded Palais-Smale sequence and application to a Landesman-lezer type problem set on RN , ” Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A., 129 pp 787-809 [23] Mihăilescu M (2006), ”Existence and multiplicity of weak solution for a class of degenerate nonlinear elliptic equations,”Boundary Value Problems Article ID 41295, pp 1-17 [24] Miyagaki O.H., Souto M.A.S (2008), ”Superlinear problems without Ambrosetti and Rabinowitz growth condition, ” J Differential Equations 245, pp 3628-3638 84 [25] Perera K.(2003), ”Multiple positive solutions for a class of quasilinear elliptic boundary value problems”, Electron J Differential Equation, 2003(7), pp 1-5 [26] Rabinowitz P.H.(1986), ”Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations”, CBMS Reg.Conf.Series Math., 65 Amer Math.Soc Provindence [27] Rădulescu(Dinu) T.L.(2005), ”Subcritical perturbations of resonant linear problem with sign-changing potential”, Electronic Journal of Differential Equations,2005(117), pp.1-15 [28] Ricceri B (2001), ”Infinitely many solutions of the Neumann problem for elliptic equations involving the p-Laplacian ,” Bull.London Math Soc., 33, pp 331-340 [29] Schechter M., Zou W.(2004), ”Superlinear problems, ” Pacific J.Math 214, pp.145-160 [30] Struwe M.(2000), Variational Methods, Second Edition, Springer- Verlag [31] Szulkin A., Zou W (2001), ”Homoclinic orbits for asymptotically linear Hamintonian systems ”, J.Func.Anal., 187, pp.25-41 [32] Tang C.L.(2001), ”Solvability of Neumann problem for elliptic equations at resonnance ”, Nonlinear Analysis., 44, pp 325-335 [33] Tang C.L.(2002), ”Some existence theorems for the sublinear Neumann boundary value problem”, Nonlinear Analysis 48, pp.1003-1011 [34] Toan H.Q., Anh N.Q.(2009), ”Multiplicity of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equation of p-Laplacian type,”Nonlinear Analysis 70, pp.1536-1546 [35] Toan H.Q., Chung N.T (2009), ”Existence of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equations in unbounded domains, ” Nonlinear Analysis, 70, pp.3987-3996 [36] Trudinger N.(1967), ”On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm Pure Appl Math., 20, pp.721747 85 [37] Wu X ,Tan K.K.(2006), ”On existence and multiplicity of solutions of Neumann boundary value problems for quasi-linear elliptic equations,” Nonlinear Analysis, 65, pp.1334-1347 [38] Zhou H.S.(1998), ”Positive solutions for a semilinear elliptic equation which is almost linear at infinity,” Z.Angew.Math.Phys 49, pp.896-906 86 ... Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã... Hướng nghiên cứu luận án sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên phương trình hệ phương trình elliptic khơng tuyến tính So với nhiều phương pháp giải tích phi tuyến áp dụng. .. BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chúng tơi dành chương để trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Neumann cho lớp phương trình hệ phương