Bộ đề luyện học sinh giỏi toán lớp 8

Bộ đề ôn luyện HSG toán 8, Bộ đề toán đại số 8, Những đề HSG toán 8 hay nhất, Đề học tốt toán 8, Những đề HSG hay nhất, đề luyện HSG hay, 50 đề luyện HSG toán 8, chuyên đề hsg toán 8, giáo án bồi dưỡng hsg toán 8, tuyển chọn đề thi hsg toán 8

48 ĐỀ ƠN LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TỐN ĐỀ SỐ Câu 1: Cho x = b2 + c2 − a 2bc Câu 2: Giải phương trình: b, (b − c)(1 + a) x + a2 + a, ;y= a+b+ x (c − a )(1 + b)2 x + b2 + a − (b − c) (b + c ) − a = b + + (a − b)(1 + c) x + c2 (3x + 1) ( x + 1)3 Câu 3: Xác định số a, b biết: a = Tính giá trị P = x + y + xy x (x ẩn số); = 0; (a,b,c số đôi khác nhau) a ( x + 1)3 + b ( x + 1)2 Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun Câu 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C ĐỀ SỐ Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: a+b−c c = b+c−a a = c+a−b b b a c b Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 + a c ) Câu 2: Xác định a, b để đa thức f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680 b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + = Câu 4: Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số mà mẫu tổng chữ số Câu 5: Cho ∆ ABC cân A, AB lấy D, AC lấy E cho:AD = EC = DE = CB a, Nếu AB > 2BC Tính góc b, Nếu AB < BC Tính góc µ A µ A của VABC VHBC ĐỀ SỐ Câu 1:Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc; Câu 2: Cho A = x (1 − x ) + x2 : b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3  − x3  + x3 ( − x + x)( + x − x)    a, Rút gọn A b, Tìm A x= - c, Tìm x để 2A = Câu 3: a, Cho x+y+z = Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn P = x ( x + 10) Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: Câu 5: Cho VABC + b b+c + c c+a < 2; b, Cho x,y ≠ CMR: x2 y2 + x y2 x ≥ y + y x có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a a, Tính số đo góc b, CMR: AM 1< a a+b ⊥ VACM AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR VMNP ĐỀ SỐ b, a10 + a5 +1 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a + a +1; b + c2 − a2 Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị biểu thức: A = c + a − b2 + a + b2 − c2 + x−3 x + x − 15 b, Cho biểu thức: M = + Rút gọn M + Tìm x ∈ Z để M đạt giá trị nguyên Câu 3: a, Cho abc = a3 > 36, CMR: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca; b, CMR: a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ A = 2x + 2xy + y - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x ∈ Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = b, Tìm nghiệm nguyên PT: 6x + 15y + 10z = Câu 6: Cho VABC H trực tâm, đường thẳng vng góc với AB B, với AC C cắt D a, CMR: Tứ giác BDCH hình bình hành b, Nhận xét mối quan hệ góc µA µ D tứ giác ABDC ĐỀ SỐ Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 ; b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c ≠ Biết x,y,z thoả mãn: Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR: c−a a+d ≥ D = x2009 + y2010 + z2011 Tính giá trị a x2 + y + z a2 + b2 + c2 + = b ≥ a+b x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 ; b, Cho a,b,c,d > CMR: a−d d +b + d −b b+c + b−c c+a + x + xy + y x − xy + y Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x ( x + 2010) b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x,y > 0; với x > ∈ Câu 5: a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y; b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Câu 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ SỐ Câu 1: Cho a x+ y = 13 x+z 169 ( x + z)2 Tính giá trị biểu thức A = = −27 ( z − y )(2 x + y + z ) 2a − 12a + 17 a − a−2 Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ M = x(x+1)(x+2)(x+3) x y b, Cho x,y > x + y = 10, Tìm giá trị nhỏ N = + ≤ ≤ ≤ Câu 4: a, Cho a, b, c CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a b, Cho x+y = Tìm giá trị lớn P = (1 - x2 )(1 - y2 ) Câu 3: a, Cho a, b ,c độ dài cạnh tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca) ≤ ≤ ≤ b, Cho a, b , c CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca Câu 4: Câu 5: Câu 6: Tìm x, y, z biết: ∈ Cho n Z n ≥ x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz CMR: 13 + 23 +33 + +n3 = n + (n + 1) Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + Câu 7: Chia tập N thành nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng Tính tổng số nhóm 94 Câu 8: Cho hình vuông ABCD M, N trung điểm AB, BC, K giao điểm CM DN CMR: AK = BC ĐỀ SỐ Câu 1: Cho M = a b+c + b a+c + c a+b ;N= a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b a, CMR: Nếu M = N = b, Nếu N = có thiết M = khơng? Câu 2: Câu 3: a2 b+c b2 a+c c2 a+b ≥ Cho a, b, c > a+b+c = CMR: + + ≥ Cho x, y, z x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn M = x + y + z Câu 4: a, Tìm số nguyên x để x2 – 2x -14 số phương b, Tìm số Câu 5: ab ab a −b cho số nguyên tố Cho a, b, c, d sô nguyên dương CMR: A = Câu 6:Cho a a+b+c VABC + b a +b+ d + c b+c+d + d a+c+d số nguyên cân (AB=AC) AB lấy điểm M, phần kéo dài AC phía C lấy điểm N cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 + x2 + y2 ≠ = (x 0) ⊥ PC Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Q= Cho a, b, c > P = b3 a + ab + b a, CMR: P = Q ; + a3 a + ab + b c3 b + bc + c b, CMR: P + + b3 b + bc + c + a3 c + ac + a a+b+c ≥ Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) ≥ c3 c + ac + a Câu 3:CMR ∀ ∈ x, y Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương Câu 4: a, Tìm số tự nhiên m, n cho: m2 + n2 = m + n + b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = Câu 6: Cho x = b2 + c2 − a 2ab ;y= a − (b − c )2 (b + c) − a 4x + x2 + Tính giá trị: M = x+ y − xy 1− x < a − x Câu 7: Giải BPT: Câu 8: Cho VABC (x ẩn số) , BC lấy M, N cho BM = MN = NC Gọi D, E trung điểm AC, AB, P giao AM BD Gọi Q giao AN CE Tính PQ theo BC ĐỀ SỐ 11 Câu 1: Cho x = a −b a+b ;y= b−c b+c ;z= c−a c+a Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A = CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) x4 + ( x + 1) Câu 3: a, Cho a, b, c > a+b+c = CMR: b+c ≥ 16abc b, Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 8c(1-d) > 3b(1-c) > 32d(1-a) > Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m – Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương Câu 6: Tìm số có chữ số mà số bội số tích hai chữ số Câu 7: Cho hình thang ABCD (BC// AD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F trung điểm AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư f(x) chia cho x-4 dư f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương 3x dư Câu 2: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 a, Phân tích thành nhân tử: b, Cho: x − yz y − zx z − xy = = a b c Câu 4: CMR: Câu 5: + 25 + + (2n + 1)2 < a − bc b − ca c − ab = = x y z CMR: ∈ ≥ Với n N n Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = x + xy + y x2 + y (x≠0; y≠0) Câu 6: a, Tìm nghiệm nguyên PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b, CMR phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 + y2 + z2 = 1999 Câu 7: Cho hình vng ABCD Trên BD lấy M, từ M kẻ đường vuông góc AB, AD E, F a, CMR: CF = DE; CF ⊥ b, CMR: CM = EF; CM DE ⊥ EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui ĐỀ SỐ 13 Câu 1: a, Rút gọn: A = (1- 12 )(1- 32 ) (1- 1992 b, Cho a, b > 9b(b-a) = 4a2 Tính : Câu 2: a, Cho a, b, c > o CMR: b, Cho ab ≥ a2 b+c + a +1 Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 M= b2 c+a + a −b a+b c2 a+b+c a+b ≥ 2 b + ≥ ab + 2 CMR: ) + x −1 = y−2 = Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M = z −3 2x +1 x2 + ; b, Tìm giá trị nhỏ A = 6x − − 9x2 Câu 5: Giải BPT: mx2 – > 4x + m2 – 4m Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: b, Tìm nghiệm nguyên PT: Câu 7: x(x+1) = k(k+2) (k số ngun dương cho trước) 2x-5y-6z =4 Cho hình vng ABCD, Về phía ngồi hình vng cạnh BC vẽ hình vng cạnh AB vẽ VABE CMR: D, E, F thẳng hàng VBCF đều, phía ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho A = ( x x−y y2 x − ) : ( + ): 2 y + xy x + xy x − xy x+ y y a, Tìm ĐKXĐ A b, Tìm x, y để A > y < Câu 2: a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - = b, Giải BPT: – mx < 2(x-m) – (m+1)2 Câu 3: Cho a, b, c > CMR: ∈ CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 khơng số phương với n N n >1 Câu 4: Câu 5: a b c + + ≥ b+c a+c a +b Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn f ( x) ≤ ; x ≤ Xác định f(x) x y + 2 x +y x + y4 Câu 6: Cho x, y > thoả mãn xy= Tìm giá trị lớn : Câu 7: A= Cho hình thang ABCD (AD//BC) M, N trung điểm AD, BC Từ O MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD E F CMR: OE = OF ĐỀ SỐ 15 Câu 1: Cho xyz = x+y+z = Câu 2: Cho a ≠ ; ± x1 = 1 + + x y z = a −1 x −1 x −1 ; x2 = ; x3 = a+2 x1 + x2 + Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm : ∈ Câu 4: Với n N n >1 CMR: Tính giá trị M = x6 + y6 + z x3 + y + z Tìm a x1997 = m( x + 2) − 3(m − 1) =1 x +1 1 1 < + + + Tìm giá trị lớn A = 1 + x y Câu 5: a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 khơng có nghiệm ngun b, Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Câu 6: ∈ Cho n N n >1 CMR: + 1 + + + < 2 n Câu 7: Cho VABC phía ngồi CMR: Trung tuyến AI Câu 8: CMR: 21n + 14n + VABC vẽ tam giác vuông cân ABE CAF đỉnh A VABC vng góc với EF AI = EF ∈ phân số tối giản (với n N) ĐỀ SỐ 17 Câu 1:Phân tích thừa số: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + Câu 2: Cho x > x2 + x2 = Tính giá trị M = x5 + x5 Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2 Câu 4: a, Cho a, b, c > a+b+c ≤ 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab CMR: b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = CMR: ≤ a, b, c ≤ Câu 5: S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x≠1) Tính tổng Câu 6: Tìm nghiệm nguyên PT: Câu 7: Cho VABC xy xz yz + + z y x =3 biết đường cao AH trung tuyến AM chia góc Xác định góc · BAC thành phần VABC ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Câu 2: Rút gọn: M = a − bc b − ac c − ab + + ( a + b)( a + c) (b + a )(b + c) ( a + c)(a + b) b2 + c − a (a + b − c)( a + c − b) ;y= 2bc ( a + b + c)(b + c − a ) Cho: x = Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3 Câu 3: Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 3b(1-c) > 8c(1-d) > 32d(1-a) > Câu 4: Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n Câu 5: ∈ N P.Q số chẵn a, CMR PT: 2x – 4y = 10 nghiệm ngun b, Tìm số tự nhiên nhỏ n > cho: A = 12 + 22 + +n2 số phương Câu 6: Cho VABC vuông cân A, qua A vẽ đường thẳng d cho B, C thuộc nửa mặt phẳng có bờ d, vẽ BH, CK vng góc với d (H, K chân đường vng góc) a, CMR: AH = CK b, Gọi M trung điểm BC Xác định dạng VMHK ĐỀ SỐ 19 Câu 1: Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 CMR: S = a2 b2 c2 + + =1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab bc ca ab + + =1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab M= · MAB = · MBA = 150 CMR: VMCA ĐỀ SỐ 23 ab + bc + ca 2 Câu 1: a, Cho a + b + c = CMR: a = b = c a b = x y b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 CMR: 16 với x, y ≠ c, Rút gọn: A = (x -x+1)(x -x +1)(x -x +1)(x -x +1)(x32-x16+1) Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1 b, Tìm số a, b, c cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 chia cho x2-1 thi dư x+5 c, Nếu n tổng số phương n2 tổng số phương Câu 3: a, Cho A = 11 (n chữ số 1), b = 100 05 (n-1 chữ số 0) CMR: ab + số phương b, Tìm nghiệm tự nhiên PT: x+y+1 = xyz ∈ Câu 4: a, Cho x, y N Tìm giá trị lớn A = x y + x + y − (x + y) b, Cho x, y, z > x+y+z = Tìm giá trị nhỏ B = Câu 5: a, MCR: 1 1 < − + − + + − < 12 99 100 1+ b, MCR: Câu 6: Cho x+ y xyz 1 1 n + − + + n > ( n ∈ N ; n > 0) −1 VABC vuông A, cạnh huyền BC = 2AB, D điểm AC cho góc E điểm AB cho góc ·ACE = ·ACB ·ABD = ĐỀ SỐ 24 M= x − 25 y−2 ( ):( ) x − 10 x + 25 y − y−2 b, Cho a, b thoả mãn: x−3 Tính giá trị M biết: 2a b + =2 a +b a −b Tìm giá trị Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n +4 số nguyên tố b, Tìm số nguyên tố p cho 2p+1 lập phương số tự nhiên a < 1; a − c < 1999; b − < 1999 a, Cho x +9y -4xy = 2xy- Câu 4: (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6 Câu 2: a, Cho a+b = ab Tính , F giao điểm BD CE, K H điểm đối xứng F qua BC, CA CMR: H, D, K thẳng hàng Câu 1: Cho ·ABC ab − c < 3998 CMR: N= 3a − b a + 5b b, Chứng tỏ có bất đẳng thức sau sai: a(a+b) < 0; 2a > b 2+1 c, Chứng tỏ có BĐT sau ≤ ≤ ≤ a3b5(c-a)7(c-b)9 0; bc5(c-b)9(a-c)13 0; c9a7(b-c)5(b-a)3 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5)4 + (x+1)4 Câu 6: Cho VABC có góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D,E,F trung điểm BC, CA, AB, Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC a, CM: PQRE, PEDQ hình chữ nhật b, CM: PD, QE, RF cắt trung điểm đoạn thẳng c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cách điểm ĐỀ SỐ 25 2 Câu 1: Cho A = 4x +8x+3; B = 6x +3x a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B b, Tìm giá trị x để A B lấy giá trị số đối Câu 2: Cho số x, y, z thoả mãn đồng thời x2+2y = -1 y2+2z = -1 z2+2x = -1 Tính giá trị A = x2001 + y2002 + z2003 Câu 3: CMR PT: 2x2-4y2 = 10 khơng có nghiệm ngun Câu 4: Cho đường thẳng ox oy vuông góc với cắt O, Trên ox lấy hai phía O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M điểm nằm đường trung trực đoạn AB MA, MB cắt với oy C D Gọi E trung điểm AC, F trung điểm BD a, CMR: MF + ME = (AC+BD) b, Đường thẳng CF cắt ox P Chứng minh P điểm cố định M di chuyển đường trung trực AB Câu 5: Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số, Mẫu số tổng chữ số tử số ĐỀ SỐ 26 Câu 1: Cho x, y > cho: 9y(y-x) = 4x2 Tính: Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = x− y x+ y a b c a2 c2 b2 + + = + + b2 c a c b a CMR: Có phân số bình phương số cịn lại Câu 3: Tìm nghiệm nguyên thoả mãn BPT: 16 + 5x > 3+ 11 Câu 4: Cho A = 7x x + < +6 2 ( x − a)2 ( x − b)2 ( x − c)2 + + (a − b)(a − c ) (b − a )(b − c ) (c − a )(c − b) a, A thay đổi ta hoán vị số a, b, c b, Tìm A x=a c, Tìm A b = a a ;c = d, Nếu a-b = b-c > Tìm x phân thức thứ phân thức thứ Tìm giá trị phân thức thứ phân thức thứ Câu 5: Cho a≥b≥c > CMR: a − b2 c − b2 a − c + + ≥ 3a − 4b + c c a b Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, tia CP lấy M cho PM = CP, Kẻ ME ⊥ AD; MF ⊥ AB a, CMR: AM // BD; EF // AC b, CMR: E,F,P thẳng hàng Câu 7: Cho hình vng ABCD có cạnh 1, AB, AD lấy M,N cho · VAMN MCN = 450 Tính chu vi ĐỀ SỐ 27 Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2 a, Rút gọn A = M N b, CMR: Nếu x chẵn ⇒ Câu 2: Tìm số có chữ số abcd thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d) ≥ (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 Câu 3: CMR: Câu 4: A tối giản Cho số phương M gồm chữ số Nếu ta thêm vào số M đơn vị số N số phương Tìm hai số M, N Câu 5: So sánh A, B biết: A = 20+21+ +2100+9010 ; B = 2101+1020 Câu 6: Cho VABC , đường cao AF, BK, CL cắt H Từ A kẻ Ax giao Ax Cy Lấy O, D, E trung điểm BP, BC, CA a, CMR: VODE đồng dạng với b, Gọi G trọng tâm VHAB VABC CMR: O, G, H thẳng hàng ĐỀ SỐ 28 ⊥ AB, từ C kẻ Cy ⊥ BC Gọi P Câu 1: Rút gọn: A = Câu 2: a, CMR: M = x2 + y2 + z ( x − z ) + ( z − x )2 + ( x − y ) n7 + n + n8 + n + không tối giản b, CMR: Nếu chữ số a, b, c Câu 3: a, Rút gọn: P = b, Cho Q = ≠ , với x+y+z = ∀n ∈ Z + thoả mãn: ab bc abbb bbbc : = a:c Thì: : = a:c (14 + 4)(54 + 4)(94 + 4)(134 + 4) + + (214 + 4) (34 + 4)(7 + 4) + + (234 + 4) 1, 00 (mẫu có 99 chữ số 0) Tìm giá trị Q với 200 chữ số thập phân ≥ ≥ Câu 4: a, Cho a, b, c CMR: a4+b4+c4 abc(a+b+c) b, CMR: Nếu a, b, c số đo cạnh tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc) Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x2+y2 = 4+xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A = x2+y2 Câu 6: Cho hình vng ABCD có cạnh Trên AB, AD lấy P, Q cho VAPQ cân có chu vi a, CMR: PQ + QD = PQ b, CMR: · PCQ = 450 ĐỀ SỐ 29 Câu 1:Cho A = 4bc − a 4ca − b 4ab − c ; B = ; C = bc + 2a ca + 2b ab + 2c CMR: Nếu a+b+c = thì: a, ABC = b, A + B + C = 1+ ∈ Câu 2: Cho n N, n > CMR: Câu 3: + + + < 1, 65 2 n Cho a, b, c, d số nguyên dương a, CMR: A = a b c d + + + a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d không số nguyên b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương số lại Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn xyz = 1; Câu 5: Cho VABC a, CMR: 1 + + < x+ y+z x y z CMR: Có số x, y, z lớn , đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM E, F, N AB AC AM + = AE AF MN b, Giả sử d // BC Trên tia đối tia FB lấy K, KN cắt AB P, KM cắt AC Q CMR: PQ // BC Câu 6: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo 3,5 Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm đáy Tìm diện tích hình thang? ĐỀ SỐ 30 Câu 1: Câu 2: CMR: ∀n ∈ N ; n ≥ 1 1 + + + + < 13 25 n (n + 1) 20 Cho: (x-y) +(y-z) +(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 CMR: x = y = z Câu 3: a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x M ∈ b, CMR: A 210 với x N Câu 4: Cho: Câu 5: Cho ≤ a, b, c ≤ VABC Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: P = a+b+c-ab-bc-ca vuông B, tia đối tia BA lấy D cho: AD = 3AB Đường thẳng vng góc với CD D cắt đường thẳng vng góc với AC E CMR: VBDE cân ĐỀ SỐ 31 ( Câu 1: Cho a+b+c = Câu 2: Tìm x, y, z biết: Câu 3: CMR: a −b b−c c −a c a b + + )( + + )=9 c a b a −b b −c c −a x2 + y2 + z ≤ xy+3y+2z -4 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a −b b −c c −a + + a+b+c = 27 Tìm a, b, c cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương số cịn lại Câu 5: Tìm nghiệm nguyên dương PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2 Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, đường thẳng AB, EF cắt P, EF CD cắt Q, CD AB cắt R Các đường thẳng BC DE; DE FA; FA BC cắt S,T,U CMR: Nếu AB CD EF = = PR QR QP BC DE FA = = US TT TU ĐỀ SỐ 32 Câu 1: a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho với K ∈ N; n > b, CMR: Số a = 11 + 44 + bình phương số tự nhiên (Trong có 2k chữ số k chữ số 4) Câu 2: a, Tìm số dư phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1 b, Tìm số nguyên dương x, y cho : 3(x3-y3) = 2001 Câu 3: 1 + + ≥ a + b b + c c + a 2(a + b + c ) a, Cho a, b, c > o CMR: − b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x3-6x2+21x+18 Với Câu 4: VABC Cho (AB = AC) Biết · BAC ≤ x ≤1 = 200, AB = AC = b; BC = a CMR:a3 + b3 = 3ab2 ĐỀ SỐ 33 Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = ab+bc+ca = Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 Câu 2: Cho x, y, z số nguyên khác CMR: Nếu : x2 – yz = a y2 – zx = b z2 – xy = c Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c Câu 3: ∈ a, Cho n N, CMR: A = 10n + 18n – chia hết cho 27 b, CMR: n5m – nm5 chia hết cho 30 với m,n ∈ Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn M = b, Tìm giá trị lớn của: N = Câu 5: 4x + x2 + x + xy x2 + y Cho a, b, c số đo cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để: A= Câu 6: Z a b c + + b+c−a a +c−b a+b−c đạt giá trị nhỏ Cho hình vng ABCD Tứ giác MNPQ có đỉnh thuộc cạnh hình vng ∈ ∈ ∈ ∈ (M AB; N BC; P CD; Q DA) S ABCD ≤ a, CMR: AC ( MN + MP + PQ + QM ) b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ c, Xác định M, N, P, Q để S MNPQ đạt giá trị nhỏ ĐỀ SỐ 34 Câu 1: Phân tích số 1328 thành tổng số nguyên x, y cho: x chia hết cho 23, y chia hết cho 29 Tính x, y x-y = 52 Câu 2: x5 x3 x − + 30 15 Cho f(x) = ; a, Phân tích f(x) thành tích b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với x Câu 3: Có số Câu 4: Cho CMR: VABC VABC abc với ≤ a ≤ 6;1 ≤ b ≤ 6;1 ≤ c ≤ ∈ Z thoả mãn abc số chẵn , trung tuyến AM Gọi E, F điểm thuộc AB, AC cho ME = MF tam giác cân đỉnh A trường hợp: a, ME, MF phân giác b, ME, MF trung tuyến VAMB;VAMC VAMB;VAMC ĐỀ SỐ 35 Câu 1: a, Cho số a, b, c số khác CMR: b−a c−a a −b 2 + + = + + (a − b)(a − c ) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a b, Tìm x, y, z biết: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 2: Giải PT: x +1 x + x + x + + = + 58 57 56 55 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + Câu 3: Tìm giá trị lớn A = (x, y, z > 0; xyz = 1) Câu 4: Tìm nghiệm nguyên PT: x(x2+x+1) = 4y(y+1) Câu 5: Cho hình vng ABCD cạnh a Lấy M ∈ AC, kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ BC Tìm vị trí M để S DEF nhỏ Câu 6: Cho VABC có µA = 50 ; µ B = 20 Trên phân giác BE trung điểm AF, nối EI cắt AB K CK cắt EB M CMR: ĐỀ SỐ 36 ·ABC lấy F cho · FAB = 200 Gọi I AI2 + EI2 = EA + (MF + EK ) Câu 1: a, Cho a+b+c = a2 + b2 + c2 = 14 Tìm giá trị B = a4+b4+c4 b, Cho x > x2+ x2 x5 + = CMR: Câu 2: Cho a, b, c > CMR: x5 số nguyên a b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a Câu 3: Cho a, b, c > a+b+c = Tìm giá trị nhỏ nhất: A = 1 (a + ) + (b + ) + (c + ) a b c Câu 4: Xác định a, b cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2 Câu 5: Tìm nghiệm nguyên PT: 1 + + =1 x y z Câu 6: CHo VABC , trung tuyến AM Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC E, F a, CMR: Khi D di động BC DE + DF có giá trị khơng đổi b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K CMR: K trung tuyến EF ĐỀ SỐ 37 Câu 1: Cho S = (n+1)(n+2) (n+n) CMR: Với n ∈ N S chia hết cho 2n Câu 2: f ( x) ≤ Cho f(x) = x +nx+b thoả mãn: Câu 3: Cho: ≤ a, b, c, d ≤ , CMR: x ≤1 Xác định f(x) a (c − d ) + 3d ≤ ≤ b(d − c) + 3c Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD CMR: AD.BC + DC.AB ≥ AC.BD Câu 5: Cho VABC , O điểm nằm tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt cạnh A1, B1, C1 Tìm vị trí O để: P = OA OB OC + + OA1 OB1 OC1 đạt giá trị nhỏ ĐỀ SỐ 38 VABC Câu 1: a, Giải PT: a+b− x a+c− x b+c− x 4x + + + =1 c b a a+b+c b, Tìm số a, b, c, d, e biết: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) Câu 2: Tìm nghiệm nguyên PT: 1+x+x2+x3 = y3 Câu 3: a, Với điều kiện x A tối giản, khơng tối giản A= x3 + x − x − ( x − 2) − ( x − 4) 2 b, CMR: Nếu a -bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z; Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z Câu 4: Cho góc vng xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vng EFGH Ex cắt FG, GH M, N; Ey cắt FG, GH P, Q a, CMR: VNEP,VMMQ vuông cân b, Gọi R giao PN, QM Gọi I, K trung điểm NP QM Tứ giác EKRI hình gì? c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng Câu 5: Cho VABC Tìm tỷ số có diện tích S Trên AB lấy BB1 = AB Trên BC lấy CC1 = BC, AC lấy AA1 = AC SVA1B1C1 SVABC theo S ĐỀ SỐ 39 Câu 1: a, Tìm số a, b, c, d biết: a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ b, CMR: Với n ∈ = N; n > : A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + không số phương Câu 2: Tìm nghiệm ngun PT: x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992 Câu 3: Cho x, y, z, t > Tìm giá trị nhỏ của: A= Câu 4: x y z t y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y+ z + + + + + + + y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y + z x y z t a, Cho a, b, c đôi khác CMR: Trong BĐT sau có BĐT sai ≤ ≤ ≤ (a+b+c)2 9ab; (a+b+c)2 9bc; (a+b+c)2 9ac b, Cho n ∈ N; n > CMR: 1 1 1 (1 + + + ) ≥ ( + + + ) n +1 2n − n 2n Câu 5: Cho VABC , từ D AB kẻ Dx//BC cắt AC E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx F AC cắt BF I a, Chứng tỏ ta chọn vị trí D để BF phân giác góc µ B b, CMR: Nếu D trung điểm AB CI = 2IE c, Với D điểm AB CMR: IC2 = IE.IA ĐỀ SỐ 40 77 uuuuuuux Câu 1: Tìm tổng Sn = + 77 + + (n chữ số) ∈ Câu 2: CMR: S = 1+2+3+ +n (n N) có tận 0, 1, 3, 5, n(n + 1)(2n + 1) Câu 3: a, CMR: 12 + 22 + + n2 = ∈ b, CMR: Với n Câu 4: CMR: Nếu n ∈ N thì: Z thì: Câu 5: Cho a, b, c > CMR: Câu 6: Cho VABC n( n + 1)(2 n + 1) n5 n3 7n + + 15 số nguyên số nguyên tố a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + 2 2 2 b +c c +a a +b b+c c+a a +b vuông cân A, M trung điểm BC Từ M vẽ góc 450, hai cạnh góc cắt AB, AC E, F a, Xác định vị trí E, F để b, SVMEF SVMEF đạt giá trị lớn lớn bao nhiêu? ĐỀ SỐ 41 ( Câu 1: a, Cho a+b+c = CMR: b, CMR với x, y ∈ a −b b−c c −a c a b + + )( + + )=0 c a b a −b b −c c −a Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương Câu 2: Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 4x + x2 + Câu 4: x, y Câu 5: ∈ Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2 A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n CMR: Câu 6: Cho VABC ∈ N) , BC, CA, AB lấy M, N, P cho: BM CN AP = = = k ;(0 < k ≠ 1) MC NA PM kẻ đoạn AM, BN, CP Tìm diện tích tam giác tạo đoạn AM, BN, CP Biết SVABC = S x +3 y =5 Câu 7: Tìm số nguyên x, y : ĐỀ SỐ 42 Câu 1: Cho số x, y, z: xyz = 1; 1 + + < x+ y+ z x y z CMR: Có số lớn Câu 2: Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời: ≥ x+y 25 ≤ y 2x+18 ≥ y x2+4x Câu 3: x −3 + x − =1 Giải PT: Câu 4: Cho số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2) Chứng minh rằng: Tồn tam giác mà có độ dài cạnh a, b, c Câu 5: Cho đường thẳng ox, oy vng góc với nhau, cắt O Trên Ox lấy phía điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M điểm nằm đường trung trực AB MA, MB cắt Oy C, D Gọi E trung điểm CA; F trung điểm DB a, CMR: VMA,VBFO,VOEA đồng dạng tìm tỷ số đồng dạng b, CMR: OEFM hình bình hành c, Đường thẳng EF cắt Ox P CMR: P điểm cố định M di chuyển đường thẳng trung trực AB d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME hình gì? ĐỀ SỐ 43 Câu 1: Cho a, b, c ba số phân biệt thoả mãn: CMR: Câu 2: Cho a, b, c a b c + + =0 2 (b − c) (c − a ) (a − b) a+b+c = x+ y+ z = ≠ a b c + + =0 b+c c +a a +b x y z + + =0 a b c Câu 3: Giải PT: a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680; Câu 4: Cho a, b, c thoả mãn: b, 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c CMR: xa2 + yb2 + zc2 = x2 + 2x + = x2 + x + x2 + 2x + ≤ CMR: abc Câu 5: Cho hình vng OCID có cạnh a AB đường thẳng qua I cắt tia OC, OD A, B a, CMR: CA.DB có giá trị khơng đổi (theo a) b, CA OA2 = DB OB c, Xác định vị trí A, B cho DB = 4CA SVAOB = d, Cho 8a Tính CA + DB theo a ĐỀ SỐ 44 Câu 1: Cho a > b > So sánh A, B: A = + a + a + + a n −1 + b + b + + b n −1 ; B = + a + a + + a n + b + b + + b n Câu 2: a, Cho x+y+z = 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) CMR: b, Cho a, b, c ≠ M = x2003+y2003+z2003 Tính giá trị x2 + y + z x2 y z = + + a + b2 + c a b2 c Biết z, y, z: Câu 3: a, Cho a, y, z ≥0 CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≥0 b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; abc > CMR: Cả số dương Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10 2x − a +1 = x + Câu 5: Với giá trị A PT: có nghiệm Câu 6: Cho VABC đường thẳng d//BC cắt AB, AC D, E a, CMR: Với điểm F BC ln có b, Xác định vị trí D, E để SVDEF SVDEF khơng lớn SVABC lớn ĐỀ SỐ 45 Câu 1: a, Cho b, Cho M= Câu 2: 1 1 + + = a b c abc 1 1 + n+ n = n n a b c a + bn + cn CMR: (với n số nguyên dương lẻ; a, b, c ≠ 0) abcd = Tính giá trị: 1 1 + + + abc + ab + a + bcd + bc + b + acb + cd + c + abd + ad + d + Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ nhất: P= ab a + b2 + a + b2 ab Câu 3: a, Cho a, b ∈ Q a, b không đồng thời không CMR: − b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = CMR: a2 b2 c2 + + >1 a + b2 + c2 + 1 ≤ ab + bc + ca ≤ Câu 4: Tìm nghiệm nguyên PT: a, xy – = x + y b, 3xy + x – y = Câu 5: Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = Câu 6:Cho VABC có đường cao AA1, BB1, CC1, hình chiếu A1 lên AB, AC BB1, CC1 H, I, K, P CMR: H, I, K, P thẳng hàng ĐỀ SỐ 46 Câu 1: Cho a, b, c ≠0 ; a3+b3+c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: P = Câu 2: a, Tìm giá trị lớn M = a b c (1 + )(1 + )(1 + ) b c a x + x + 10 x2 + 2x + b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 ≤ Câu 3: Cho a+b+c+d = CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd b, Cho số dương a, b, c nhỏ CMR: có mệnh đề sau sai: a(1-b) > ; b(1-c) > ; c(1-a) > Câu 4: a, Tìm x, y ∈Z :x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4 b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) ∈ CMR: 4N+1 số phương với n Z+ c, Tìm nghiệm nguyên dương PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2 Câu 5: Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3 VABC Câu 6: Cho O trực tâm (có góc nhọn) Trên OB, OC lấy B1, C1 cho: ·AB C ·AC B = 900 1 = CMR: AB1 = AC1 ĐỀ SỐ 47 Câu 1: (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2 x = y = z a, CMR: Nếu b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c P = x3(z-y2) + y3(x-z2) + z3(y-x2) + xyz(xyz-1) Tính Câu 2: Tìm x để: P = x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 x2 + x + 1 1 + + + + >1 n n +1 n −1 n Câu 3: CMR: đạt giá trị nhỏ với n ∈N ; n > Câu 4: Tìm nghiệm nguyên dương PT: 2(x+y+z) + y = 3xyz Câu 5: Cho VABC N CMR: Câu 6: , trung tuyến AD Gọi G trọng tâm VABC , cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC M, AB AC + =3 AM CM Cho VABC ∈ Tìm tập hợp tâm O hình chữ nhật MNPQ ĐỀ SỐ 48 Câu 1: a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c CMR: a3-3ab+2c = b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau với x x + 2x a b cx + d = + + x −1 x + x −1 x +1 Câu 2: Cho a, b, c ∈ ∈ ∈ , hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho: M AB; N AC; P BC, Q BC ≠0 Giải PT: x − a x −b x −c 1 + + = 2( + + ) bc ac ab a b c Câu 3: a, Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: b, Cho a, b, c số tự nhiên không nhỏ CMR: Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn: a b c + +