Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp monte carlo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hoàng Oanh Hà Nội, 2014 LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy truyền đạt cho em kiến thức chuyên ngành cần thiết, bảo em nhiệt tình q trình học tập mơn học q trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, thầy cô khoa Vật lý, thầy cô tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm luận văn suốt trình học tập, rèn luyện trường Em xin gửi lời cảm ơn đến anh chị nghiên cứu sinh, bạn học viên cao học khóa 2011-2013 học tập nghiên cứu môn Vật lý lý thuyết Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN nhiệt tình giúp đỡ hướng dẫn em trình học tập Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè ln quan tâm động viên, giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng 01 năm 2015 Học viên Vũ Ngọc Hà MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG – HÌNH MỞ ĐẦU CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1 Vật lý thống kê 1.2 Các mơ hình Vật lý thống kê CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 2.1.Giới thiệu 2.2 Tích phân Monte Carlo 2.3 Ước lượng sai số 2.4 Số ngẫu nhiên 2.4.1 Tạo số giả ngẫu nhiên 2.4.2 Phân bố xác suất 11 2.5 Lấy mẫu điển hình 13 2.6 Chuỗi Markov 14 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 15 3.1 Mơ hình Ising 15 3.1.1 Xây dựng thuật toán chương trình 15 3.1.2 Chạy chương trình 17 3.2 Mô hình XY 2D 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 PHỤ LỤC 33 DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 3.1 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ β 24 Danh mục hình Hình 2.1 Minh họa thuật tốn loại trừ 12 Hình 3.1 Quá trình tiến tới cân 18 Hình 3.2 Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với giá trị Beta 19 Hình 3.3.a Tìm kiếm điểm chuyển pha 20 Hình 3.3.b Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) 21 [7] Hình 3.4 Mơ điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager 22 Hình 3.5.a Sự tự tương quan số liệu Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) 23 Hình 3.5.b Sự tự tương quan số liệu Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) 23 Hình 3.5 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ 25 [8] Hình 3.6 Kết thực nghiệm cố hữu (persistence) mơ hình Ising .26 Hình 3.7 Kết mơ cố hữu (persistence) mơ hình Ising 26 Hình 3.8 Sự phụ thuộc mật độ độ từ hóa theo bước nâng cấp cấu hình 27 Hình 3.9 Sự phụ thuộc mật độ lượng theo bước nâng cấp cấu hình 28 Hình 3.10 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ 29 Hình 3.11 Sự phụ thuộc mật độ lượng theo nhiệt độ 29 MỞ ĐẦU Ngày việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mơ hình vật lý thống kê vô phổ biến, đặc biệt sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp giải tốn máy tính cách sử dụng giả số ngẫu nhiên Phương pháp có vị trí quan trọng vật lý tính tốn, việc tính tốn sắc động lực học lượng tử, mơ spin có tương tác mạnh,…Chính vậy, luận văn nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê phương pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mơ hình Vật lý thống kê, cụ thể bước trình sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp số quan trọng sử dụng rộng rãi để nghiên cứu toán Vật lý thống kê Mục đich luận văn :  Xây dựng chương trình mơ mơ hình Ising 2D Vật lý thống kê sử dụng thuật tốn Heat bath Metropolis ngơn ngữ Scilab  Sử dụng chương trình để mơ hệ spin Ising 2D tính tốn điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn nhiệt độ hệ spin tăng dần So sánh với kết tính tốn giải tích Lars Onsager tài liệu trích dẫn  Mô tượng cố hữu (persistence) mơ hình Ising 2D, so sánh với kết thực nghiệm B Yurke et al tài liệu trích dẫn  Dựa kết thu được, xây dựng chương trình mơ cho mơ hình XY Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phụ lục, luận văn gồm chương: Chương 1:Giới thiệu mơ hình vật lý thống kê Chương 2:Giới thiệu phương pháp Monte Carlo Chương 3:Nghiên cứu số mơ hình vật lý thống kê phương pháp Monte Carlo CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1 Vật lý thống kê Các toán Vật lý thống kê [1, 2] chủ yếu tính tốn tính chất Vật lý hệ mơi trường đậm đặc Điểm khó khăn thực tính tốn với hệ Vật lý chúng bao gồm nhiều phần hợp thành phân tử nguyên tử Những hợp phần thường giống khác chúng thường tuân theo quy luật chuyển động đơn giản cho biểu hệ biểu diễn theo quy luật toán học rõ ràng Tuy nhiên số lượng phương trình cần phải giải, cỡ hợp phần hệ, lớn nên khơng thể giải chúng cách xác Ví dụ xét khối khí chứa bình Một lít khí Oxy nhiệt độ áp suất chuẩn bao gồm 3x10 22 phân tử Oxy Các phân tử liên tục di chuyển, va chạm với với thành bình chứa Đây ví dụ hệ nhiều vật hợp phần Ta chí xét ví dụ hệ có kích thước lớn với bầu khí trái đât Một lít khơng khí điều kiện chứa số lượng phân tử chúng hỗn hợp Oxy, Nitơ, CO số thứ khác Bầu khí Trái đất bao gồm 4x10 21 lít khơng khí hay khoảng 1x10 44 phân tử Tất phân tử liên tục chuyển động, va chạm với nhau, với mặt đất, cối, nhà cửa, người, v.v Rõ ràng không khả thi giải hệ phương trình Hamilton cho phân tử có q nhiều phương trình cần phải giải Tuy nhiên nghiên cứu tính chất vĩ mơ khối khí, chúng có biểu tiên đốn Như nghiệm phương trình riêng rẻ có tính chất đặc biệt trung bình chúng cho tiên đoán vận động hệ Ví dụ áp suất nhiệt độ khối khí tuân theo quy luật đơn giản chúng đại lượng đo đặc trung bình khối khí Vật lý thống kê khơng hướng tới việc giải phương trình chuyển động riêng lẻ mà tập trung vào tính tốn tính chất hệ thống kê cách sử dụng mơ hình xác suất Thay tìm nghiệm xác, tìm xác suất để hệ thống kê nằm trạng thái có đại lượng Vật lý vĩ mô nhận giá trị tương ứng với trạng thái Hình thức luận điển hình thường sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống kê hình thức luận Hamilton với hệ thống kê chi phối Hamiltonian H cho ta tổng lượng hệ thống kê Khi hệ thống kê hữu hạn, làm việc với tập hợp trạng thái rời rạc với trạng thái có giá trị lượng có giá trị E0, E1, E2, với E0 trạng thái Tuy nhiên Vật lý thống kê nói chung phương pháp Monte Carlo nói riêng có khả giải tốn có phổ lượng liên tục Nếu xét đến đây, toán đơn giản lượng bảo tồn Hệ thống kê có giá trị lượng khơng đổi theo thời gian trạng thái chuyển đổi trạng thái tập hợp trạng thái suy biến có giá trị lượng mãi Tuy nhiên, thơng thường tốn thực tế phải xét đến tương tác với mơi trường bên ngồi Sự ảnh hưởng mơi trường bên ngồi đóng vài trị nguồn thu nhiệt làm thay đổi giá trị lượng hệ thống kê liên tục nhiệt độ hệ thống kê xét dần tiến tới giá trị nhiệt độ môi trường Khi ảnh hưởng môi trường nhỏ so với giá trị lượng hệ, coi ảnh hưởng nhiễu loạn bỏ qua tính tốn giá trị lượng hệ thống kê Tuy nhiên, ảnh hưởng có tác động để hệ ln ln có xu hướng thay đổi trạng thái có giá trị lượng khác Chúng ta tính tốn ảnh hưởng môi trường cách đưa vào hệ thống kê động lực – quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian Bản chất động lực thể qua dạng nhiễu loạn mà môi trường gây Hamiltonian tổng cộng Giả sử hệ thống kê trạng thái u Chúng ta định nghĩa R(u  v)dt xác suất để hệ thống kê trạng thái v sau khoảng thời gian dt R(u  v)dt xác suất chuyển trạng thái từ u sang v Xác suất chuyển trạng thái thường coi không phụ thuộc vào thời gian Chúng ta xác định giá trị xác suất chuyển trạng thái với tất trạng thái v mà hệ thống kê chuyển đến Sau thời gian dt, hệ thống kê trạng thái với xác suất khác Chúng ta định nghĩa tập hợp trọng số wu(t) biểu diễn xác suất để hệ thống kê trạng thái u thời điểm t Vật lý thống kê tính tốn giá trị trọng số chúng thể tồn biết trạng thái hệ thống kê Chúng ta viết phương trình việc tiến hóa wu(t) theo xác suất chuyển trạng thái R(u  v)dt: dwu wv t R v u w u t R u v dt v Số hạng vế phải phương trình biểu diễn xác suất để hệ thống kê chuyển đến trạng thái u số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển từ trạng thái u đến trạng thái khác Các xác suất wu(t) phải tuân theo quy luật: wu t u thời điểm t lúc hệ phải trạng thái Nghiệm phương trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho biến đổi wu theo thời gian Nếu nghiên cứu đại lượng Q có giá trị Qu trạng thái u, định nghĩa giá trị kỳ vọng Q thời điểm t với hệ thống kê xét QQu wu t u Đây ước lượng (gần đúng) giá trị vĩ mô Q mong đợi đo đạc thực nghiệm với hệ thống kê xét 1.2 Các mơ hình Vật lý thống kê Để nghiên cứu tốn Vật lý thống kê ta phải mơ hình hóa [3–6] chúng cách đơn giản hóa hệ Vật lý giữ đặc tính Vật lý đặc thù Ví dụ nghiên cứu hệ từ tính, chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh mơ tả mơ hình Ising với N spin Si tương tác với H J S S I sin g i j i,j với spin Si nút mạng i hướng lên xuống theo trục dễ định hướng chất sắt từ xét Năng lượng trao đổi J (1.4) giới hạn lân cận gần H từ trường (số hạng thứ 1.4 biểu diễn lượng Zeeman hệ) Các trường hợp khác chất sắt từ có tính bất đẳng hướng theo mặt phằng, spin bị giới hạn nằm mặt phẳng xy mơ hình hóa theo XY model: i,j Và spin đẳng hướng ta sử dụng mô hình Heisenberg: i,j Tất nhiên với đa dạng vật liệu thực tạo phòng thí nghiệm, phải chọn lựa biến thể mơ hình cho phù hợp Thay chọn lựa số trạng thái spin (1.4) vô (1.5) (1.6) ta chọn lựa giá trị xác định khác Thay chọn lựa tương tác gần nhất, mở rộng tương tác trao đổi lân cận gần thứ hai gần thứ ba, Thay chọn lựa hồn tồn đối xứng (1.6) ta bổ sung thêm số hạng đơn trục đơn diện Thay lượng trao đổi J nhận giá trị số nút mạng nhận giá trị ngẫu nhiên Jij Từ trường Hi nhận giá trị lượng ngẫu nhiên Như vật mơ hình (1.4) đến (1.6) mơ hình điển hình mà dựa có vơ số biến thể phù hợp với toán Vật lý ta quan tâm function XY2D() gstacksize("min") global alpha Beta NX=8 NY=8 N_MEASURE=10 printf(" Beta : "); Beta = mscanf("%lg"); printf(" Number of update sweeps : "); n_loops = mscanf("%d"); printf(" Random number seed : "); seed = mscanf("%ld"); if (seed == []) seed = getdate("s"); end grand("setsd",seed) printf(" Name output file : "); fname = mscanf("%s"); fd=mopen(fname,'w') grand(2013,2013,"def"); printf(" XY model, %d x %d lattice, Beta %g \n",NX,NY,Beta); printf(" Heat bath update, %d updates/measurement, %d updates\n", N_MEASURE, n_loops); printf(" Random seed %ld\n", seed ); for (i=1:NX) j = i-1; xup(i) = mod((j+1),NX) + 1; xdn(i) = mod((j-1+NX),NX) + 1; end 36 for (i=1:NY) j = i-1; yup(i) = mod((j+1),NY) + 1; ydn(i) = mod((j-1+NY),NY) + 1; end for (x=1:NX) for (y=1:NY) / alpha(x,y) = grand(1,1,"unf",-%pi,%pi); alpha(x,y) = %pi/2.0; end end measure(0) for (i=1:n_loops) update(); if (mod(i,N_MEASURE) == 0) measure(i); end end mclose(fd) endfunction function update() global alpha Beta TMP = []; for (x=1:NX) for (y=1:NY) NS = [alpha(xup(x),y), alpha(xdn(x),y), alpha(x,yup(y)), alpha(x,ydn(y))]; AS = atan( sum(sin(NS)), sum(cos(NS)) ); // Angle of the sum vector S = Beta*sqrt( sum(sin(NS))^2 + sum(cos(NS))^2 ); yr = grand(1,1,"def"); xr = log( exp(S) - yr*exp(S) + yr*exp(-S) )/S; 37 a = AS - acos(xr); alpha(x,y) = a*bool2s(a>=-%pi & a” bạn gõ câu lệnh nhấn Enter để yêu cầu phần mềm thực câu lệnh Bạn click vào dấu “ ? “ menu để vào Scilab Help Trong liệt kê chủ đề Scilab hướng dẫn chủ đề Bạn click vào biểu tượng hình kính lúp để tìm kiếm vấn đề cụ thể quan tâm (bằng tiếng Anh), ví dụ: matrix 39 1.3 Làm quen với scilab Không gian làm việc hữu dụng Scilab bao gồm cửa sổ sau: - Giao diện điều khiển để thực phép tính -Trình soạn thảo để lập trình -Các cửa sổ đồ họa để hiển thị -Trợ giúp tích hợp Mơi trường chung giao diện điều khiển Sau nhấp đúp chuột vào biểu tượng để khởi động Scilab, môi trường Scilab mặc định bao gồm cửa sổ kiểu dock sau – giao diện điều khiển, trình duyệt file biến số, lịch sử đặt lệnh II Sử dụng Scilab 2.1 Các vòng lặp đơn giản Gia lượng Toán tử “:” cho phép xác định vecto chữ số có tọa độ theo thứ tự số học Ta đưa ra: > Giá trị cuối “ending value” khơng đạt Nếu bước khơng đề cập, giá trị mặc định Ví dụ, để xác định vecto hàng số nguyên tăng theo cấp từ đến 10: >3:1 ans = 40 10 Hoặc tăng theo cấp từ đến 10: >1 :2:1 ans = 1.3.5.7.9 For Cấu trúc vòng lặp dễ chữ số lặp lặp lại cố định soạn for … end Ví dụ: Tính 20 số hạng chuỗi xác định phép truy toán Soạn thảo u(1 )=4; for n=1 :20 u(n+1 )= u(n)+2*n+3; disp([n,u(n)]) end Kết …… While Để dừng vòng lặp đạt mục tiêu để ra, ta sử dụng while … end Vào năm 2005 dự tính trồng thơng Noel cao ,20m Mỗi năm thông lại cao thêm 30cm Tôi định chặt cao 7m Vậy chặt vào năm nào? h=1 2; y=2005; while h7/3.5↵ (ghi số thập phân: 3.5 ) VD: Tính a = (4^5 – 1/6)( ) >a=(4^5-1/6)*(%e^(1/3)+%pi); ↵ Ghi chú: Nếu thêm dấu “ ; “ vào cuối câu lệnh khơng hiển thị kết hình VD: Tính >log(4)/log(3) (log = ln, ta dùng cơng thức đổi số) VD: Tính arcsin 1/2 >asin(1/2) o Ghi chú: đơn vị rad; cần phải tính sin(27 ) ta đổi độ sang radian VD: Cho f(x) = (sin(x) + x2)/(ex + 1), tính f(x ) >(sin(%pi/6)+(%pi/6)^2)/(exp(%pi/6)+1) Người dùng quay lại lúc phím mũi tên bàn phím ← ↑ → ↓ chuột Các phím trái phải sử dụng để thay đổi phần lệnh cịn phím lên xuống sử dụng để quay dòng lệnh thực trước Có thể dùng phím tab →│ bàn phím để hồn tất tên hàm hay biến số cách nhập số chữ Ví dụ, sau nhập vào giao diện điều khiển lệnh: >fact 42 Và nhấn phím tab, cửa sổ hiển thị tất tên hàm biến số bắt đầu fact, chẳnghạn factorial factor Chỉ cần nhấp đúp chuột vào hàm cần dùng chọnhàm chuột phím ↑ ↓ nhấn Enter (Windows Linux) Return (Mac OS X) để chèn hàm vào dòng lệnh Hàm disp để hiển thị chuỗi (thường mệnh đề), đặt chuỗi dấu ngoặc: Disp (2) 2.3 Ma trận định thức Khai báo biến ma trận VD: Khai báo ma trận cỡ 1x3 (vec tơ dòng): >a=[1,2,4]↵ VD: Khai báo ma trận cỡ 3x3: >b=[11,4,3;4,9,6;20,8,9]; ↵ Ghi chú: Mỗi dòng ma trận cách dấu ”;” phần tử dòng cách dấu “,” Các phép toán ma trận Phần mềm nhớ biến a b khai báo câu lệnh trên, ta khai báo thêm biến c: >c=[0,-2,3.5;4,5,8;17,8,-9.2] ↵ Ta thực phép tốn cộng (+), trừ (-), nhân (*), lũy thừa (^) VD: Cộng >b+c ↵ >d=b+c ↵ (ở ta tạo thêm biến d = b+c ) VD: >b*c; >b^2; >5*b Ma trận chuyển vị VD: >b’↵ (thêm dấu “ ‘ “ cuối ma trận) Tìm hạng ma trận VD: >rank(b) 43 Tìm ma trận nghịch đảo VD: >inv(b) ↵ Tính định thức (của ma trận vng) VD: >det(b) ↵ 2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính Scilab giải hệ phương trình tuyến tính dạng: A*x+b=0 (nên ta phải biến đổi hệ dạng này) 2.5 Vẽ đồ thị 2.5.1 Hàm biến (2D) VD: Vẽ đồ thị hàm số: y = x^2 + đoạn [-10; 10] Cách Thực sau: >x=[-10:10] ↵ >plot(x^2+1) ↵ >plot2d(x^2+1) ↵ Phần mềm xuất đồ thị (trên cửa sổ khác – Graphic window) hình (bạn vào File -> Copy to clipboard paste vào word) Ghi chú: Số 0.1 bước nhảy biến x, bạn thử vẽ cho trường hợp x=[-1:1] x=[-1:0.1:1] để hiểu ý nghĩa tham số (trường hợp khơng có bước nhảy, bước nhảy ngầm định 1) Cách Có thể thực sau: 44 >deff('[y]=ham(x)',['y=x^2+1']); >x=(-10:0.1:10); >fplot2d(x,ham) Ghi chú: Các câu lệnh cách phức tạp cách cho phép vẽ dạng hàm kiểu: x^x (Tham khảo 2.2 cần vẽ hàm phức tạp) 2.5.2 Hàm biến (3D) VD: Vẽ đồ thị hàm z=sin(x)*y với x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 5] >x=[0:%pi/16:2*%pi]'↵ (có dấu “ ‘ “ để chuyển vị x thành cột) >y=[0:0.5:5]; ↵ >z=sin(x)*y;↵ >plot3d(x, y, z) ↵ Ghi chú: Trong cửa sổ Graphic, bạn vào Edit -> Axes properties để ghi cho hình 2.5.3 Biểu đồ dạng cột Hàm bar(x,n,color) vẽ biểu đồ dạng cột: 45 x=[1 :1 0]; n=[8,6,1, 3,1,0,6,4,1 6]; clf; bar(x,n) Đồ thị có dạng 2.6 Tích phân 2.6.1 Tích phân hàm biến (1 lớp) VD: Tính tích phân lớp y=x.e x >function y=f(x),y=x*(%e^x),endfunction↵ >I=intg(9,10,f) ↵ (dòng khai báo hàm số f(x), dòng tính tích phân với cận từ -> 10) Ghi chú: Tham khảo Chủ đề phải làm việc với hàm phức tạp 2.6.2 Tích phân mặt (2 lớp) VD: Tính tích phân lớp hàm z = cos(x+y) miền [0 1]x[0 1] >X=[0,0;1,1;1,0]; >Y=[0,0;0,1;1,1]; >deff('z=f(x,y)','z=cos(x+y)') >[I,err]=int2d(X,Y,f) err = 3.569D-11 46 I= 0.4967514 Ghi chú: Miền lấy tích phân chia thành tam giác Biến X lưu hoành độ đỉnh tam giác (tam giác thứ là: 0; ; – tô đậm) ; biến Y lưu tung độ tam giác Như vậy, để tính tích phân mặt, bạn phải chia miền lấy tích phân thành tam giác err sai số: err = 3.569D-11 ~ 3.569*10-11~ 2.7 Đạo hàm 2.7.1 Đạo hàm hàm (giá trị thực) biến số VD: Tính đạo hàm hàm số y = x^3 + x = Ta thực sau: >function y=F(x) > y=x^3 + 1; >endfunction >x=[2]; >derivative(F,x) ans = 12 Ghi chú: Tham khảo 2.2 phải làm việc với hàm phức tạp 2.7.2 Đạo hàm hàm (giá trị thực) nhiều biến số VD: Tính đạo hàm riêng cấp (ma trận J) đạo hàm riêng cấp (ma trận H) hàm số: y= điểm (1; 2) Ta thực sau: >function y=F(x) > y=[x(1)^2 + x(2)^2]; >endfunction >x=[1;2]; >[J,H]=derivative(F,x,H_form='hypermat') 47 H= 2 J= Phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp Xét PTVP: dy/dx = f(x,y) VD1: Vẽ đồ thị nghiệm riêng phương trình vi phân dy/dx = với điều kiện ban đầu y(0) = miền [0, 10] Ta thực sau: >function ydot=f(x,y),ydot=x^2,endfunction >y0=5;x0=0;x=0:0.1:10; >y=ode(y0,x0,x,f) >plot(x,y) Trong cửa sổ Graphic, bạn vào Edit -> Axes properties để ghi cho hình III Chế độ lập trình 3.1.Lập trình scilab Bước để lập trình ta phải vào SciNotes tạo file liệu (trong SciNotes ta dễ dàng sửa chữa câu lệnh) 48 Sau tạo file xong ta lưu file với sce Để lập trình Scilab ta vào “file -> open a file” chọn file cần sử dụng Để chạy file ta ấn F5, sau thực lập trình 3.2.Một số hàm cần nhớ để thực toán cách đơn giản Phân tích sqrt(x) cho bậc hai x với x số dương không, nghiệm phức phần tử dương trường hợp ngược lại log(x) cho đối số tự nhiên x với x số thực số phức exp(x) cho cấp số nhân x với x số thực số phức abs(x) cho giá trị tuyệt đối x thực (hoặc mô-đun x số phức) int(x) bỏ số hạng x thực (số dương trước số thập phân) floor(x) cho phần tử dương x thực (số dương n với n ≤ x < n + ) ceil(x) x thực cho số nguyên n for với n − < x ≤ n factorial(n) cho giai thừa n với n số nguyên dương số không grand(1,p, “uin” ,m,n) cho vecto chuỗi số nguyên ngẫu nhiên p lấy khoảng m n với p số nguyên dương, m n số nguyên m ≤ n grand(1,p, “unf” ,a,b) cho vecto chuỗi số thực ngẫu nhiên p lấy khoảng a b với p số nguyên dương, a b số thực a≤ b sum(n) cho tổng giá trị vecto n (dùng để tính tổng ) cumsum(n) cho vecto bao gồm giá trị tích luỹ tăng dần vecto n (dùng để tính số tích luỹ tăng dần) length(v) cho số tọa độ vecto v gsort(v) cho vecto bao gồm số chuỗi v phân loại theo thứ tự giảm dần gsort(v, “g” , “i” ) cho vecto bao gồm số chuỗi v phân loại theo 49 thứ tự tăng dần mean(v) cho giá trị trung bình vecto bao gồm số v stdev(v) cho độ lệch chuẩn vecto số v bar(v,n,couleur) vẽ biểu đồ dạng cột với v tọa độ trục X, n tọa độ trục Y, vecto độ lớn Theo mặc định, bar(n) vẽ biểu đồ dạng cột n màu xanh dương với 1,2,3… tọa độ trục X bar(v,[n1’ ,n2’ ]) vẽ biểu đồ cột kép với v tọa độ trục X, n1 Y; tọa độ màu xanh dương n2 tọa độ trục Y màu xanh cây, với , n1 n2 vecto có độ lớn rand(n,p) với n p số nguyên dương, cho ma trận n×p bao gồm số ngẫu nhiên lấy khoảng rand() cho số thực lấy ngẫu nhiên sử dụng thuật tốn tuyến tính đồng dư floor(x) cho phần tử số nguyên số thực Cụ thể, số thực 1, floor(rand()+p) với xác suất p với – xác suất p 50 ... mơ hình vật lý thống kê Chương 2:Giới thiệu phương pháp Monte Carlo Chương 3 :Nghiên cứu số mơ hình vật lý thống kê phương pháp Monte Carlo CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1 Vật. .. nghiên cứu : Một số mơ hình vật lý thống kê phương pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mơ hình Vật lý thống kê, cụ thể bước trình sử dụng phương pháp Monte Carlo, ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE- CARLO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA