Giải vật lý thống kê với Phương pháp Monte Carlo Các phương pháp Monte Carlo lớp thuật toán để giải nhiều toán máy tính theo kiểu không tất định, thường cách sử dụng số ngẫu nhiên (thường số giả ngẫu nhiên), ngược lại với thuật toán tất định Một ứng dụng cổ điển phương pháp việc tính tích phân xác định, đặc biệt tích phân nhiều chiều với điều kiện biên phức tạp Phương pháp Monte Carlo có vị trí quan trọng vật lý tính toán nhiều ngành khác, có ứng dụng bao trùm nhiều lĩnh vực, từ tính toán sắc động lực học lượng tử, mô hệ spin có tương tác mạnh, đến thiết kế vỏ bọc nhiệt hay hình dáng khí động lực học Các phương pháp đặc biệt hiệu giải phương trình vi-tích phân; ví dụ mô tả trường xạ hay trường ánh sáng mô hình ảnh chiều máy tính, có ứng dụng trò chơi điện tử, kiến trúc, thiết kế, phim tạo từ máy tính, hiệu ứng đặc biệt điện ảnh, hay nghiên cứu khí quyển, ứng dụng nghiên cứu vật liệu laser Trong toán học, thuật toán Monte Carlo phương pháp tính số hiệu cho nhiều toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải phương pháp khác, chẳng hạn tính tích phân Hiệu phương pháp này, so với phương pháp khác, tăng lên số chiều toán tăng Monte-Carlo ứng dụng cho nhiều lớp toán tối ưu hóa, ngành tài Nhiều khi, phương pháp Monte Carlo thực hiệu với số giả ngẫu nhiên, thay cho số ngẫu nhiên thực thụ, vốn khó tạo máy tính Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, tạo từ chuỗi giả ngẫu nhiên có quy luật, sử dụng để chạy thử, chạy lại mô theo điều kiện trước Các số giả ngẫu nhiên mô cần tỏ "đủ mức ngẫu nhiên", nghĩa chúng theo phân bố hay theo phân bố định trước, số lượng chúng lớn Phương pháp Monte Carlo thường thực lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với nhau; phương pháp phù hợp cho máy tính Kết phương pháp xác (tiệm cận kết đúng) số lượng lặp bước tăng Các phương pháp kiểu Monte-Carlo Monte Carlo lượng tử Phương pháp mô Monte Carlo Phương pháp động học Monte Carlo Xích Markov Hoàng Trần Minh Tối ưu hóa Ống ngẫu nhiên (Stochastic tunneling) Mô luyện thép (Simulated annealing) Thuật toán di truyền Xáo trộn song song (Parallel tempering) Tích phân Tích phân Monte-Carlo Tích phân Monte Carlo phương pháp tìm giá trị số tích phân, đặc biệt tích phân đa chiều có dạng: miền không gian đa chiều V sử dụng số hữu hạn lần gọi hàm f Các phương pháp tích phân Monte-Carlo bao gồm phương pháp bản, phương pháp lấy mẫu có trọng tâm, Các phương pháp cho biết ước lượng sai số thống kê phép tính, ước lượng không xác việc khảo sát ngẫu nhiên hàm số miền không gian đa chiều không cho thấy hết biểu hàm Lấy mẫu có trọng tâm Lấy mẫu phân tầng Lấy mẫu phân tầng lặp Thuật toán VEGAS Bước ngẫu nhiên Monte Carlo Thuật toán Metropolis-Hastings Lấy mẫu Gibbs Ứng dụng Monte Carlo cho tài LURCH Monte Carlo cho quan hệ nhiều lớp Tích phân Monte Carlo Tích phân chiều Ở dạng nhất, giá trị tích phân chiều: dự đoán tổng: V thể tích mở rộng miền tích phân xi giá trị lấy ngẫu nhiên khoảng [a, b] N tổng số lần lấy mẫu xi Sai số dự đoán tính phương sai giá trị trung bình: Khi số lần lấy mẫu, N, tăng, phương sai giảm theo 1/N, tức sai số phép tính giảm theo Tích phân đa chiều Phương pháp mở rộng cho tích phân đa chiều: với:_{i=1}^N f^2(x_i) N Lấy mẫu có trọng tâm Tích phân chiều Nếu biết hàm cần tích phân f(x) cư xử nào, ta chọn hàm g(x) có giá trị biến đổi gần giống |f(x)| miền cần tích phân, ta biến đổi tích phân thành: với: g(x) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: Lúc lấy điểm xi ngẫu nhiên khoảng [a, b] theo phân bố xác suất g(x') để tìm giá trị tích phân: Hàm g(x) giống f(x) phương sai f(x)/g(x) nhỏ sai số phép tính nhỏ Một bất lợi phương pháp sai số lớn hàm g(x) chọn gần điểm mà f(x) khác Lúc đó, phương sai f(x)/g(x) lớn đến vô Lỗi khó phát miền giá trị g(x) nhỏ ... cận kết đúng) số lượng lặp bước tăng Các phương pháp kiểu Monte- Carlo Monte Carlo lượng tử Phương pháp mô Monte Carlo Phương pháp động học Monte Carlo Xích Markov Hoàng Trần Minh Tối... gọi hàm f Các phương pháp tích phân Monte- Carlo bao gồm phương pháp bản, phương pháp lấy mẫu có trọng tâm, Các phương pháp cho biết ước lượng sai số thống kê phép tính, ước lượng không xác việc... định trước, số lượng chúng lớn Phương pháp Monte Carlo thường thực lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với nhau; phương pháp phù hợp cho máy tính Kết phương pháp xác (tiệm cận kết đúng)