Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp monte carlo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hoàng Oanh Hà Nội, 2014 LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy truyền đạt cho em kiến thức chuyên ngành cần thiết, bảo em nhiệt tình trình học tập môn học trình thực luận văn Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, thầy cô khoa Vật lý, thầy cô tổ Vật lý trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm luận văn nhƣ suốt trình học tập, rèn luyện trƣờng Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn đến anh chị nghiên cứu sinh, bạn học viên cao học khóa 2011-2013 học tập nghiên cứu môn Vật lý lý thuyết Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trƣờng ĐH KHTN - ĐHQGHN nhiệt tình giúp đỡ hƣớng dẫn em trình học tập Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè quan tâm động viên, giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng 01 năm 2015 Học viên Vũ Ngọc Hà MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG – HÌNH MỞ ĐẦU CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1 Vật lý thống kê 1.2 Các mô hình Vật lý thống kê CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁPError! Bookmark not defined MONTE CARLO Error! Bookmark not defined 2.1.Giới thiệu Error! Bookmark not defined 2.2 Tích phân Monte Carlo Error! Bookmark not defined 2.3 Ƣớc lƣợng sai số Error! Bookmark not defined 2.4 Số ngẫu nhiên Error! Bookmark not defined 2.4.1 Tạo số giả ngẫu nhiên Error! Bookmark not defined 2.4.2 Phân bố xác suất Error! Bookmark not defined 2.5 Lấy mẫu điển hình Error! Bookmark not defined 2.6 Chuỗi Markov Error! Bookmark not defined CHƢƠNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLOError! Bookmark not defined 3.1 Mô hình Ising Error! Bookmark not defined 3.1.1 Xây dựng thuật toán chƣơng trình Error! Bookmark not defined 3.1.2 Chạy chƣơng trình Error! Bookmark not defined 3.2 Mô hình XY 2D Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 11 PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 3.1 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ βError! Bookmark not defined Danh mục hình Hình 2.1 Minh họa thuật toán loại trừ Error! Bookmark not defined Hình 3.1 Quá trình tiến tới cân Error! Bookmark not defined Hình 3.2 Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với giá trị BetaError! Bookmark not Hình 3.3.a Tìm kiếm điểm chuyển pha Error! Bookmark not defined Hình 3.3.b Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn)Error! Bookmark not defined Hình 3.4 Mô điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[7]Error! Bookmark not defin Hình 3.5.a Sự tự tƣơng quan số liệu Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n)Error! Bookmark not de Hình 3.5.b Sự tự tƣơng quan số liệu Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n)Error! Bookmark not de Hình 3.5 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độError! Bookmark not defined Hình 3.6 Kết thực nghiệm cố hữu (persistence) mô hình Ising[8]Error! Bookmar Hình 3.7 Kết mô cố hữu (persistence) mô hình IsingError! Bookmark not d Hình 3.8 Sự phụ thuộc mật độ độ từ hóa theo bƣớc nâng cấp cấu hìnhError! Bookmar Hình 3.9 Sự phụ thuộc mật độ lƣợng theo bƣớc nâng cấp cấu hìnhError! Bookm Hình 3.10 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độError! Bookmark not defined Hình 3.11 Sự phụ thuộc mật độ lƣợng theo nhiệt độError! Bookmark not defined MỞ ĐẦU Ngày việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mô hình vật lý thống kê vô phổ biến, đặc biệt sử dụng phƣơng pháp Monte Carlo, phƣơng pháp giải toán máy tính cách sử dụng giả số ngẫu nhiên Phƣơng pháp có vị trí quan trọng vật lý tính toán, nhƣ việc tính toán sắc động lực học lƣợng tử, mô spin có tƣơng tác mạnh,…Chính vậy, luận văn nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê phƣơng pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mô hình Vật lý thống kê, cụ thể bƣớc trình sử dụng phƣơng pháp Monte Carlo, phƣơng pháp số quan trọng đƣợc sử dụng rộng rãi để nghiên cứu toán Vật lý thống kê Mục đich luận văn :  Xây dựng chƣơng trình mô mô hình Ising 2D Vật lý thống kê sử dụng thuật toán Heat bath Metropolis ngôn ngữ Scilab  Sử dụng chƣơng trình để mô hệ spin Ising 2D tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn nhiệt độ hệ spin tăng dần So sánh với kết tính toán giải tích Lars Onsager tài liệu trích dẫn  Mô tƣợng cố hữu (persistence) mô hình Ising 2D, so sánh với kết thực nghiệm B Yurke et al tài liệu trích dẫn  Dựa kết thu đƣợc, xây dựng chƣơng trình mô cho mô hình XY Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phụ lục, luận văn gồm chƣơng: Chương 1:Giới thiệu mô hình vật lý thống kê Chương 2:Giới thiệu phương pháp Monte Carlo Chương 3:Nghiên cứu số mô hình vật lý thống kê phương pháp Monte Carlo CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1 Vật lý thống kê Các toán Vật lý thống kê [1, 2] chủ yếu tính toán tính chất Vật lý hệ môi trƣờng đậm đặc Điểm khó khăn thực tính toán với hệ Vật lý chúng bao gồm nhiều phần hợp thành nhƣ phân tử nguyên tử Những hợp phần thƣờng giống khác chúng thƣờng tuân theo quy luật chuyển động đơn giản cho biểu hệ đƣợc biểu diễn theo quy luật toán học rõ ràng Tuy nhiên số lƣợng phƣơng trình cần phải giải, cỡ hợp phần hệ, lớn nên giải đƣợc chúng cách xác Ví dụ xét khối khí đƣợc chứa bình Một lít khí Oxy nhiệt độ áp suất chuẩn bao gồm 3x1022 phân tử Oxy Các phân tử liên tục di chuyển, va chạm với với thành bình chứa Đây ví dụ hệ nhiều vật hợp phần Ta chí xét ví dụ hệ có kích thƣớc lớn với bầu khí trái đât Một lít không khí điều kiện chứa số lƣợng phân tử nhƣng chúng hỗn hợp Oxy, Nitơ, CO2 số thứ khác Bầu khí Trái đất bao gồm 4x1021 lít không khí hay khoảng 1x1044 phân tử Tất phân tử liên tục chuyển động, va chạm với nhau, với mặt đất, cối, nhà cửa, ngƣời, v.v Rõ ràng không khả thi giải hệ phƣơng trình Hamilton cho phân tử có nhiều phƣơng trình cần phải giải Tuy nhiên nghiên cứu tính chất vĩ mô khối khí, chúng có biểu tiên đoán đƣợc Nhƣ nghiệm phƣơng trình riêng rẻ có tính chất đặc biệt trung bình chúng cho tiên đoán vận động hệ Ví dụ áp suất nhiệt độ khối khí tuân theo quy luật đơn giản chúng đại lƣợng đo đặc trung bình khối khí Vật lý thống kê không hƣớng tới việc giải phƣơng trình chuyển động riêng lẻ mà tập trung vào tính toán tính chất hệ thống kê cách sử dụng mô hình xác suất Thay tìm nghiệm xác, tìm xác suất để hệ thống kê nằm trạng thái có đại lƣợng Vật lý vĩ mô nhận giá trị tƣơng ứng với trạng thái Hình thức luận điển hình thƣờng đƣợc sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống kê hình thức luận Hamilton với hệ thống kê đƣợc chi phối Hamiltonian H cho ta tổng lƣợng hệ thống kê Khi hệ thống kê hữu hạn, làm việc với tập hợp trạng thái rời rạc với trạng thái có giá trị lƣợng có giá trị E0, E1, E2, với E0 trạng thái Tuy nhiên Vật lý thống kê nói chung phƣơng pháp Monte Carlo nói riêng có khả giải toán có phổ lƣợng liên tục Nếu xét đến đây, toán đơn giản lƣợng bảo toàn Hệ thống kê có giá trị lƣợng không đổi theo thời gian trạng thái chuyển đổi trạng thái tập hợp trạng thái suy biến có giá trị lƣợng mãi Tuy nhiên, thông thƣờng toán thực tế phải xét đến tƣơng tác với môi trƣờng bên Sự ảnh hƣởng môi trƣờng bên đóng vài trò nhƣ nguồn thu nhiệt làm thay đổi giá trị lƣợng hệ thống kê liên tục nhiệt độ hệ thống kê đƣợc xét dần tiến tới giá trị nhiệt độ môi trƣờng Khi ảnh hƣởng môi trƣờng nhỏ so với giá trị lƣợng hệ, coi nhƣ ảnh hƣởng nhiễu loạn bỏ qua tính toán giá trị lƣợng hệ thống kê Tuy nhiên, ảnh hƣởng có tác động để hệ luôn có xu hƣớng thay đổi trạng thái có giá trị lƣợng khác Chúng ta tính toán ảnh hƣởng môi trƣờng cách đƣa vào hệ thống kê động lực – quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian Bản chất động lực đƣợc thể qua dạng nhiễu loạn mà môi trƣờng gây Hamiltonian tổng cộng Giả sử hệ thống kê trạng thái u Chúng ta định nghĩa R(u  v)dt xác suất để hệ thống kê trạng thái v sau khoảng thời gian dt R(u  v)dt xác suất chuyển trạng thái từ u sang v Xác suất chuyển trạng thái thƣờng đƣợc coi không phụ thuộc vào thời gian Chúng ta xác định giá trị xác suất chuyển trạng thái với tất trạng thái v mà hệ thống kê chuyển đến Sau thời gian dt, hệ thống kê trạng thái với xác suất khác Chúng ta định nghĩa tập hợp trọng số wu(t) biểu diễn xác suất để hệ thống kê trạng thái u thời điểm t Vật lý thống kê tính toán giá trị trọng số chúng thể toàn biết trạng thái hệ thống kê Chúng ta viết phương trình việc tiến hóa wu(t) theo xác suất chuyển trạng thái R(u  v)dt: dwu   wv t Rv  u   wu t Ru  v  dt v (1.1) Số hạng vế phải phƣơng trình biểu diễn xác suất để hệ thống kê chuyển đến trạng thái u số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển từ trạng thái u đến trạng thái khác Các xác suất wu(t) phải tuân theo quy luật:  w t   u (1.2) u thời điểm t lúc hệ phải trạng thái Nghiệm phƣơng trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho biến đổi wu theo thời gian Nếu nghiên cứu đại lƣợng Q có giá trị Qu trạng thái u, định nghĩa giá trị kỳ vọng Q thời điểm t với hệ thống kê xét Q   Qu wu t  (1.3) u Đây ƣớc lƣợng (gần đúng) giá trị vĩ mô Q mong đợi đo đạc đƣợc thực nghiệm với hệ thống kê xét 1.2 Các mô hình Vật lý thống kê Để nghiên cứu toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3–6] chúng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhƣng giữ đƣợc đặc tính Vật lý đặc thù Ví dụ nghiên cứu hệ từ tính, chất sắt từ có tính bất đẳng hƣớng đơn trục mạnh mô tả mô hình Ising với N spin Si tƣơng tác với N H I sin g   J  S i S j  H  S i , i , j  i 1 S i  1 (1.4) với spin Si nút mạng i hƣớng lên xuống dƣới theo trục dễ định hướng chất sắt từ xét Năng lƣợng trao đổi J (1.4) đƣợc giới hạn lân cận gần H từ trƣờng (số hạng thứ 1.4 biểu diễn lƣợng Zeeman hệ) Các trƣờng hợp khác chất sắt từ có tính bất đẳng hƣớng theo mặt phằng, spin bị giới hạn nằm mặt phẳng xy mô hình hóa theo XY model:   N H XY   J  S ix S jx  S iy S jy  H x  S ix , i , j  S   S  x i i 1 y i  (1.5) Và spin đẳng hƣớng ta sử dụng mô hình Heisenberg: N H Heisenberg   J  S  S   H z  S iz , i , j  i 1 S   S   S  x i y i z i  (1.6) Tất nhiên với đa dạng vật liệu thực đƣợc tạo phòng thí nghiệm, phải chọn lựa biến thể mô hình cho phù hợp Thay chọn lựa số trạng thái spin nhƣ (1.4) vô nhƣ (1.5) (1.6) ta chọn lựa giá trị xác định khác Thay chọn lựa tƣơng tác gần nhất, mở rộng tƣơng tác trao đổi lân cận gần thứ hai gần thứ ba, Thay chọn lựa hoàn toàn đối xứng nhƣ (1.6) ta bổ sung thêm số hạng đơn trục đơn diện Thay lƣợng trao đổi J nhận giá trị số nút mạng nhận giá trị ngẫu nhiên Jij Từ trƣờng Hi nhận giá trị lƣợng ngẫu nhiên Nhƣ vật mô hình (1.4) đến (1.6) mô hình điển hình mà dựa có đƣợc vô số biến thể phù hợp với toán Vật lý ta quan tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng, (2004), Vật lý thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn, (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng anh B Yurke et al, Experimental measurement of the persistence exponent of the planar Ising model, Physical Eeview E 56(1) R40 –R42, 1997 Barry M McCoy and Tai Tsun Wu, The Two-Dimensional Ising Model, Harvard University Press 1973 Kerson_Huang, Statistical_Mechanics (2nd Edition ), John Wiley & Sons 1987 Kurt Binder, Dieter W Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction (Fifth Edition), Springer 2010 Lars Onsager, Crystal Statistics I A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition, Phys Rev 65, 117 (1944) Newman, Barkema, Monte Carlo methods in Statistical Physics, Oxford University Press 1999 10 Peter Olsson, Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model II Comparison with the Kosterlitz renormalization-group equations, Phys Rev B 52, 4526 - 4535 (1995) 11 R J Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press 1982 [...]...TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt 1 Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng, (2004), Vật lý thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội 2 Nguyễn Xuân Hãn, (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội 3 Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng anh 4 B Yurke et al, Experimental measurement of the persistence... 1987 7 Kurt Binder, Dieter W Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction (Fifth Edition), Springer 2010 8 Lars Onsager, Crystal Statistics I A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition, Phys Rev 65, 117 (1944) 9 Newman, Barkema, Monte Carlo methods in Statistical Physics, Oxford University Press 1999 10 Peter Olsson, Monte Carlo analysis of the two-dimensional