Tài liệu cung cấp với hơn 30 bài tập có kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức môn Vật lý thống kê.
Cho hệ ba mức lượng = , =2 , = , có bậc suy biến = 1, = 2, = Những hạt không phân biệt phân bố ba mức lượng Hệ có lượng tồn phần = , có số hạt khơng xác định Gọi trạng thái vĩ mô trạng thái đặc trưng lượng = , số hạt mức lượng Hãy vẽ sơ đồ phân bố hạt mức lượng đếm số trạng thái vĩ mô số trạng thái vi mô tương ứng với số trạng thái vĩ mô Vi mô: Ω = =3 =2 = =3 =2 = =3 =2 = =3 =2 = =3 =2 = =3 =2 = Vĩ mô: Ω = =3 =2 = =3 =2 = =3 =2 = Một hệ gồm hai dao động tử điều hòa lượng tử độc lập, phân biệt có tần số Tìm số trạng thái vi mô hệ ứng với trạng thái vĩ mơ có lượng 10 Năng lượng dao động tử điều hòa ứng với tần số = là: + = Năng lượng toàn phần + = 10 : = + = + ⇒ ⇒ + +3 =8 ∨ =0 + = 10 =8 =2 =2 =5 ∨ =1 ⇒Ω=3 Xét tinh thể rắn gồm nút mạng Mỗi nút mạng xem gần gồm dao động tử điều hòa lượng tử chiều độc lập phân biệt được, dao động với tần số góc Năng lượng tổng cộng tinh thể =ℏ + ℏ = Trong đó, số lượng tử dao động tử điều hòa thứ Số lượng tử mạng tinh thể giữ = ∑ a Tính số trạng thái vi mô dứng với lượng b Hãy tìm hàm entropy theo nhiệt độ số nút mạng số lượng tử a Số trạng thái vi mô ứng với lượng số lượng tử giống cách xếp hạt vào hộp Ta biểu diễn hộp từ + vạch thẳng đứng, hạt biểu diễn (*), chẳng hạn như: │**│*│***│****││*│ Như vậy, ngồi ln vạch thẳng đứng, bên lại − vạch hạt Ta có số cách xếp khác số cách chọn phần tử − + phần tử bên trong: = (3 − + )! ! (3 − 1)! Số trạng thái vi mô ứng với lượng Ω= số lượng tử (3 − + )! ! (3 − 1)! là: Entropy vi tắc hệ có dạng: ∗ = ln Ω = ln (3 − + )! ! (3 − 1)! ≫ 1, áp dụng công thức Stirling, suy ra: Vì ∗ = = [(3 + (3 + )! = [ln(3 + ! (3 )! ln ) ln(3 + = [(3 + ) − (3 + )! − ln )− ) ln(3 + ln )− ! − ln !] + − ln + ] − ln ] ln Năng lượng tổng cộng hệ: = ∗ Thay vào ∗ = + ∗ Gọi + ℏ − ℏ ln + ℏ − = = ⇒ ⇒ ⇒ ∗ = ln + ℏ ln + ℏ ln ℏ ℏ ∗ ℏ + = − ℏ ℏ − − ℏ = ln + ∗ =1+ 3 ℏ ∗ ℏ − ℏ − nhiệt độ vi tắc, ta có hệ thức: ∗ = −1 − , ta được: ⇒ ⇒ ℏ − 3 + − ln − ln = ℏ ℏ − ln + 3 ℏ ∗ = − −1 ln ℏ − − ln ∗ Thay vào ∗( ∗ , )= , ta đáp số: 3 + ℏ ∗ ln + −1 ℏ ∗ − ℏ −1 ∗ ln −1 ℏ ∗ − ln −1 Một hạt có spin ½ đặt vào từ trường ⃗ hướng dọc theo từ trường ngược lại Năng lượng tương ứng + ℋ= ⃗⃗= − , , ↓ ↑ a Một hệ có ba hạt đặt vào từ trường ⃗ Các hạt phân biệt Các trạng thái vĩ mơ có tổng lượng xem trạng thái vĩ mơ Hãy tính số trạng thái vi mơ số trạng thái vĩ mô tương ứng b Xét hệ hạt phân biệt Hãy tính số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô xác định lượng a Số trạng thái vi mô: Ω = Số trạng thái vĩ mô: Ω = hạt mang giá trị spin (↓, ↑), hạt có Ω = = trạng thái vi mơ hạt có trạng thái vĩ mơ là: + hạt có spin chiều ⃗ (−3 ) + hạt có spin chiều ⃗ hạt có spin ngược chiều ⃗ (− ) + hạt có spin chiều ⃗ hạt có spin ngược chiều ⃗ (+ ) + hạt có spin ngược chiều ⃗ (+3 ) ⃗ ↑↑↑ ↑↑↓ ↓↓↑ ↓↓↓ b Ta có: − Năng lượng: = ≤ ≤+ với ∈ℤ ↑↓↑ ↓↑↑ ↓↑↓ ↑↓↓ ⟶ −3 ⟶− ⟶+ ⟶ +3 số hạt có spin hướng lên ↑ (cùng chiều ⃗ ) Gọi số hạt có spin hướng xuống ↓ (ngược chiều ⃗ ) Ta có: = − = + ⇒ − − = = Số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô xác định lượng E hạt vị trí cách xếp ! = + − ! ! Thành phần Hamiltonian theo spin hệ ion cho bởi: ℋ= Trong đó, có giá trị 0, ±1 Thành phần Hamiltonian mô tả hiệu ứng tĩnh điện lên ion spin a Hãy chứng tỏ rằng, số trạng thái vi mơ ứng với trạng thái vĩ mơ có lượng ! ( , )= − b Với , → ∞ / = ! ! ! − không đổi, chứng tỏ rằng: = 2− 1− 1− − Biểu thức entropy trung bình hạt hệ đơn vị số Boltzmann a Số trạng thái vi mô ứng với số ( Ω( , , )= = , ! !( − ) với , )! = + ( − !( − )! − − )! = là: ! ! ! ! Số trạng thái ứng với lượng số ion : Ω( , ) = , ! ! ! , ! Ta lại có: + + = + = Thay vào Ω( , ), ta được: ! Ω( , ) = − ! ! = ! − ! − ! ! − ! ! − b Ta xét gần : ! ! ! ! ! ≈ ! 2 ! = ! ! ! ! = ! ! Vì = ⇒ = Ta có : ln Ω = ln ! − ln ≈ ln − ln Ω = ln − ln − = ln − = ln − = ln − 1− ln ln ln − − ! − ln + − − ln − − ln + ln + ln − ln − − ln − 1− ln − ! − ln − ln + + + ln − ln − 1− ln Entropy : = ln Ω = ln − − ln − − − ln ln − Hãy vẽ quỹ đạo pha trường hợp sau: a b c d Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính Chất điểm khối lượng m rơi tự khơng vận tốc đầu nơi có gia tốc trọng trường g Dao động tử điều hòa chiều Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động điện trường điện tích điểm +e đứng yên Cho biết vị trí vận tốc lúc đầu M r0 v0 = a Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính = ⎧ ̇= + = = ⇒ ⎨ ̇=− ⎩ = + = =0 p O q b Chất điểm khối lượng m rơi tự khơng vận tốc đầu nơi có gia tốc trọng trường g = ⎧ ̇= ⎨ ̇=− ⎩ = = ⇒ =− ⇒ + =− =− = + − + = + = ⇒ = + − = − ⇒ = − + = ; = p O q c Dao động tử điều hòa chiều = ⎧ ̇= ⎨ ̇=− ⎩ = ⇒ =− ⇒ = = + = = ̇=− + ̇ ̇= ̈ =− ⇒ + ) ⇒ + ) cos( sin( + =1 p p0 O q0 q ̈ ⇒ ̇= ̈+ ̈ =0 d Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động điện trường điện tích điểm +e đứng yên Cho biết vị trí vận tốc lúc đầu M r0 v0 = = ⎧ ⎪ ̇= ⎨ ⎪ ̇=− ⎩ = = + − + ⇒ ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + =− ⇒ ⇒ =− =− =− ⇒ = =− 1+ =− p r0 O q Tính thể tích pha trường hợp sau: a b c d Dao động tử điều hòa Hạt chuyển động phi tương đối tính thể tích V Hạt chuyển động tương đối tính thể tích V Hạt chuyển động siêu tương đối tính thể tích V a Dao động tử điều hòa: Thể tích pha = diện tích elip Γ( ) = = = √2 =− = + b Hạt chuyển động phi tương đối tính thể tích V: = ⇒ = √2 Thể tích pha: Γ( ) = ⃗ ⃗= = ⃗ = ⃗= = = √2 c Hạt chuyển động tương đối tính thể tích V: = + ⇒ = − √ Thể tích pha: Γ( ) = = √ − d Hạt chuyển động siêu tương đối tính thể tích V: = ⇒ = Thể tích pha: Γ( ) = = Trong thể tích V có N hạt khí lí tưởng tuân theo phân bố vi tắc với lượng E Tính thể tích pha, entropy S nhiệt độ T hệ cho, tìm phương trình trạng thái = ⇒ = √2 Thể tích pha: Ω( ) = (2 ) Số cặp hạt : = ( − 1) ≈ 2 ! = 2! ( − 2)! Một hạt chịu tương tác ( − 1) hạt lại với hiệu dụng Cả hệ hiệu dụng Gọi tương tác trung bình cặp hạt, tồn hệ ( /2) Ta có : = ⇒ = = = 2 ( ) ( ) = ( ) ∫ − = = ( )4 −2 = Với : =− Thể tích cấm hệ khí : = ⇒ = 3 = Với : = Vậy : = (2 ) ! (2 ℏ) Phương trình trạng thái : ( − ) = (2 ) ! (2 ℏ) ( − ) =− = ln = ln (2 ) ! (2 ℏ) ⇒ + ln( − ( − + )− = − − )= Hãy vẽ đồ thị ( , ) khí thực ứng với giá trị khác nhiệt độ Từ phương trình Van der Waals khí thực, chứng minh đẳng thức sau cho giá trị tới hạn : = 27 , =3 + ( − , Phương trình Van der Waals : )= Suy : = Ta có đồ thị : − − = 27 Xác định điểm tới hạn: Ta có: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = − ⎧ ⎪ ⎪ − ⇒ =0 =0 ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨( ⎪ ⎪ ⎩( = − − − ) ) 3 = ⇒ ) ⎨2 ( − ⎪ ⎪ = ) ⎩ ( − ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎩(3 ⎧ ⎪ ⇒ = ⎨ ⎪ ⎩ − = + − − =3 =0⇒ =0 ⎧ ⎪ ⎪ − − ⎧ ⎪ ⎪ − − ⇒ ⎧ ⎪ ⇒ (3 ) ) 27 − (3 − =3 = 27 ) − = ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ) = = = ) = − − ⇒ =3 −3 ⎨ ⎪ = ) ⎩ ( − − =3 ) = ⎧ ⎪ − = − − ⎨ ( − ⎪ ⎪ ⎩ ( − − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ( − − = = = ⎧ ⎪ − ⇒ 27 − 27 =3 = 27 = = ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = − =3 = 27 27 =3 = 27 − Xét khối khí tn theo phương trình trạng thái Dietrici: ( − Trong đó, , số, , , , số tới hạn , , )= áp suất, thể tích, nhiệt độ số mol Hãy tìm thơng Ta có: = − Xác định điểm tới hạn: ⎧ ⎪ = ⎧ ⎪ ⎪ − ⇒ − ⎨ ( − ⎪ ⎪ ⎩ =0 ⎨ ⎪ ⎩ = =0 + ) = ) − (3 − ( − ) ) ⎧ ⎪ ⎪ ⇒ ⇒ ⇒ = = − − ⎧ ⎪ ⎧ ⎪ = = − −2 − ⇒ ⎨ (2 ⎪ ⎩ =2 =0 ) − − ( − − ) = + − ) =0 − ⎧ ⎪ − ⇒ = =2 − ⎧ ⎪ = ⇒ = ( − − (3 − − = ⎨ ⎪ ⎩ ⎨ ⎪ ⎩ − + = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ − ⎧ ⎪ − − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩( − =0 − =0 ⎧ ⎪ ⎪ ⇒ − ⎨ ⎪ ⎩ = = = ⎨ ⎪ ⎩ =2 4 =2 − ⇒ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ = 4 =2 ) =0 Động trung bình nguyên tử Hidro khí ngơi (giả thiết trạng thái cân nhiệt) 1.0 eV Nhiệt độ khí tính độ Kelvin bao nhiêu? Tỉ lệ số nguyên tử trạng thái kích thích thứ hai (n = 3) số nguyên tử trạng thái bao nhiêu? Năng lượng hạt: = ⇒ = ⇒ = Xác suất để hạt mức lượng = ⎧ ⇒ ⎨ ⎩ 2.1.1,6 10 = 3.1,38 10 = 3864,73 : = = ⇒ ( = ) ( = ) , = , = 1,33 10 = Một hình trụ bán kính a chiều dài L chứa khí lý tưởng đơn ngun tử Hình trụ quay với vận tốc góc quanh trục đối xứng Khối khí bên cân nhiệt độ T hệ tọa độ quay với hình trụ Giả thiết nguyên tử chất khí có khối lượng m khơng phân biệt Tìm biểu thức lượng hệ Tìm hàm tổng thống kê hệ Năng lượng hạt: = + − Với năng: = ∞ ; ; ℎì ℎ ℎì ℎ ụ ụ Năng lượng hệ: = Hàm tổng thống kê hạt: = (2 ℏ) Với: ⃗ = (2 = ) ⃗= = = =2 2 = −1 Vậy: = − (2 ) (2 ℏ) Một dao động tử điều hóa lượng tử chiều trạng thái cân nhiệt với bình điều nhiệt nhiệt độ T Xác định giá trị trung bình dao động tử, , xem hàm T Xác định giá trị ∆ , tức độ thăng giáng lượng Xác định giá trị ∆ giới hạn ≪ ℏ ≫ℏ Hàm tổng thống kê hạt: = = ℏ = ℏ ℏ = ℏ 1− ℏ = ℏ − ℏ Năng lượng trung bình hạt: = = ∑ ∑ =− ℏ =2 ℏ ℏ =2 + 2ℏ ℏ ℏ − ℏ −1+2 ℏ ln( ) == − =− = ℏ = −1 2ℏ ℏ ℏ ℏ + ℏ ln − ln ℏ + ℏ − ℏ =2 ℏ ℏ ℏ −1 Ta có: − ∆ = Trong đó: = ⇒∆ = − = ℏ = ∑ − = = = ℏ ℏ = −1 (ℏ ) ℏ ℏ = ℏ ( | ℏ − 1| − 1) ≪ℏ : = ∆ = Khi = − − ℏ + = Khi ∑ ∑ = ∑ ℏ + ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ = −1 = −1 ℏ ℏ ℏ =0 ≫ℏ : = ℏ + ℏ ℏ = −1 ℏ ℏ + ℏ = ℏ + = − ℏ ℏ +1 −1 ∆ = ℏ ℏ = ℏ ℏ ℏ ℏ −1 ℏ = = Xét hệ gồm có N dao động tử điều hòa lượng tử khơng tương tác trạng thái cân nhiệt độ T Các mức lượng dao động tử riêng lẻ là: = Với + = 0,1,2, … Trong đó, số thể tích chiều Tìm nội (năng lượng trung bình) nhiệt dung đẳng tích nhiệt độ Vẽ đồ thị ( ) ( ) Xác định phương trình trạng thái hệ hệ dạng hàm Hàm tổng thống kê hạt: = = = = = 1− − Năng lượng trung bình hạt: = = ∑ ∑ =− =2 + =− = ln − ln =2 + − =2 ln( ) == − +1 −1 − −1+2 −1 = + −1 Năng lượng hệ: = = + = − − coth Nhiệt dung riêng đẳng tích: = = coth = csch 2 = coth = csch 2 2 Các đồ thị: Ta có: =− =− (− = ln ) = ln + = ln − ln + = − − − = coth Phương trình trạng thái: = coth 2 Xét hệ gồm N dao động tử điều hòa cổ điển có tọa độ xung lượng { , } Biểu thức lượng hệ có dạng: = + Viết biểu thức entropy dạng hàm lượng tổng cộng Từ kết trên, tìm lượng hệ dạng hàm nhiệt độ Tìm hàm tổng thống kê cho dao động tử, từ tìm lượng trung bình dao động tử Entropy: = ln Ω Với Ω= (2 ℏ) = ∫ ⃗… ⃗ (2 ℏ) ⃗… ⃗ Năng lượng hệ: = + 2 Sử dụng phép biến đổi tắc: =√ = ⇒ = + ⇒ √ = ( = + ) + (Phương trình mặt cầu 2N chiều, bán kính / ) ⇒ = = Γ 2+1 = Γ( + 1) N! Vậy: = ln Ω = N! ln (2 ℏ) = − ln = ln + + ! = ℏ ln − ln ! + = ℏ ln Ta có: = = ⇒ Xác suất để hạt trạng thái lượng ( , )= : Ω , Ω , Trong đó: Ω , = N! = (2 ℏ) ℏ + ln ln ℏ ℏ = ln ℏ Ω ( , ( − ( − 1)! (2 ℏ) )= N! (2 ℏ) = ≈ 2 ) ( − ( − 1)! = (2 ℏ) , ) = ℏ 1− ≈ = ℏ ( − ) ℏ 1− ≈ = 1− 2 Hàm tổng thống kê: = = Năng lượng trung bình dao động tử điều hòa: =− (ln ) = − ln =− ln = = Xét hệ gồm N dao động tử điều hòa lượng tử có biểu thức lượng: = Với + ℏ = 0,1,2, … số lượng tử dao động tử thứ Viết biểu thức entropy dạng hàm lượng tổng cộng Từ kết trên, tìm lượng hệ dạng hàm nhiệt độ Tìm hàm tổng thống kê cho dao động tử, từ tìm lượng trung bình dao động tử Nhận xét kết dao động tử điều hòa cổ điển lượng tử Tìm lại cơng thức nhiệt dung chất rắn Einstein: ℏ = ( ℏ ) ℏ ( − 1) Năng lượng dao động tử điều hòa: = + ⇒ ⇒ Yêu cầu tìm số số ( , ,…, = ℏ − ℏ ℏ = − 2 ℏ +ℏ = = ) thỏa phương trình Số trạng thái: Ω= = ( + − 1)! ! ( − 1)! Entropy: = Ta có: ln Ω = ln ( + − 1)! = ! ( − 1)! ln ℏ ℏ −2+ −1 ! − ! ( − 1)! = = ln + ℏ = − = ℏ + ℏ − ℏ 1+ = −1 ℏ ℏ ! + −1 − − ℏ + ln ℏ ℏ = + ≈ ℏ − − ℏ 2= ℏ −1 ℏ 2+ ℏ + ℏ ln = ⇒2 + ℏ = ℏ − ℏ + ℏ − ℏ ℏ ℏ − ln ln ln ℏ ⇒ ⇒ + ℏ − − ! − ln ln ℏ ℏ ln + −1 −2 ℏ − ℏ ℏ + ℏ − ℏ ℏ =2 −1 −1 = + ℏ −1 Xác suất để dao động tử điều hòa hệ mức lượng Ω = = ( ( , Ω = = , ( ( ℏ − ℏ ℏ −1 : − + − 2)! ! ( − 1)! − )! ( − 2)! ( + − 1)! − + − 2)! ! ( − 1)! ! ( − 1)! ( + − − 2)! = − )! ( − 2)! ( + − 1)! ( − )! ( − 2)! ( + − 1)! [ − ( − 1)][ − ( − 2)] … ( − 2) = ≈ [ + − ( + 1)][ + − ] … ( + − 1) ( + ) Mặt khác: = ( = + ) + + = 1− + + Ta có: ℏ + 2+ = ℏ ℏ −1 + = 1+ ℏ ℏ =1− −1 Vậy: = + 1− = = 1− + ℏ − ℏ ℏ ℏ ℏ = ℏ − ( ℏ ) Xác suất có dạng: = ℏ Đồng đa thức: ℏ = Trong lượng tử: ℏ =− ⟶∞ ⇒ ℏ =− ≫ℏ Trong cổ điển: ℏ =0 1+ ℏ ℏ ℏ 1+ ≈ −1 + ℏ ℏ ℏ = ℏ + +ℏ = 2 ≪ℏ = + ℏ ℏ ≈ −1 ℏ Nhiệt dung riêng chất rắn: = = ℏ + ℏ ℏ (ℏ ) = ℏ −1 ℏ = ( ℏ ) −1 ( ℏ − 1) Một chất khí đơn nguyên tử gồm nguyên tử với nội gồm mức: trạng thái có độ suy biến trạng thái kích thích nằm thấp có độ suy biến , hiệu lượng mức lượng Tìm hàm tổng thống kê hệ Tìm nhiệt dung riêng chất khí Hàm tổng thống kê hạt: = + = ( + Hàm tổng thống kê hệ: = Ta có: = + ) = + =− ln = =− = − ln + ln + = + = − ln = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ + − + Nhiệt dung riêng: = = − = + − + + = + + 1− + − ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ... hệ vật lý dao động tử điều hòa tuyến tính: ( = + ) Trị trung bình theo thời gian đại lượng vật lý theo công thức: = dao động tử tính ( ) Với chu kỳ dao động tử a Hãy tính b Xét tập hợp thống kê. .. thái vĩ mơ là: + hạt có spin chi u ⃗ (−3 ) + hạt có spin chi u ⃗ hạt có spin ngược chi u ⃗ (− ) + hạt có spin chi u ⃗ hạt có spin ngược chi u ⃗ (+ ) + hạt có spin ngược chi u ⃗ (+3 ) ⃗ ↑↑↑ ↑↑↓ ↓↓↑... = 6,92 10 ℎạ / 2 Một khí lý tưởng giếng điều hòa Hệ N hạt khí lý tưởng khơng phân biệt được, khối lượng hạt m1 chuyển động giếng thế: ( )= a Xác định hàm tổng thống kê b Viết phương trình trạng