đề tài vật lý thống kê cổ điểm các phương pháp giải

Vật lý thống kê nghiên cứu hệ nhiều hạt, áp dụng phương pháp thống kê để giải quyết các bài tập liên quan đến hệ chứa một số lớn các phân tử, có số bậc tự docao đến mức không thể giải ch

A LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Vật lý thống kê là một trong những môn học quan trọng trong phần vật lý lý

thuyết Vật lý thống kê nghiên cứu hệ nhiều hạt, áp dụng phương pháp thống kê để giải quyết các bài tập liên quan đến hệ chứa một số lớn các phân tử, có số bậc tự docao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phân tử mà phải giảthiết các phân tử có tính hỗn loạn và tuân theo các định luật thống kê Hiện nay cácphương pháp của vật lý thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý hiện đại đặc biệt là vật lý chất rắn, vật lý các hạt cơ bản, quang lượng tử Chỉ có vật lý thống kê là cho phép ta dự đoán được các thông số nhiệt động như nhiệt độ, entropy, năng lượng tự do Vì vậy, đểhiểu sâu và nắm chắc cơ

sở lý thuyết của vật lý thống kê cúng như ý nghĩa của từng đại lượng vật lý có nhiều phương pháp khác nhau nhưng một trong những phương pháp chung nhất là

từ cơ sơt lý thuyết ta vận dụng giải một số bài tập liên quan Tuy nhiên, số lượng bài tập vật lý thống kê là rất lớn và thuộc nhiều dạng khác nhau với những phương pháp giải khác nhau, điều nay gây khó khăn cho sinh viên trong quá trình học tập

và vận dụng giải bài tập Trước những vấn đề đó, cần phải phân loại và sắp xếp cácdạng bài tập một cách có hệ thống và có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để tiện cho việc học tập và nghiên cứu

Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tượng này hay hiệntượng khác mà người ta thường tách vật lý thống kê thành hai phần: Vật lý thống

kê theo quan điểm cổ điểm và vật lý thống kê theo quan điểm lượng tử

Xuất phát từ mong muốn tìm hiểu lý thuyết của vật lý thống kê cổ điển, từ đó đưa

ra phương pháp giải cho các dạng bài tập của chương trình và vận dụng giải các bàitập liên quan nhằm nâng cao khả năng giải bài tập của phần vật lý thống kê cổ

điển Chính những lý do trên nên tôi chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống và giải bài tập phần vật lý thống kê cổ điển” làm đề tài nghiên cứu của mình.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống được nội dung lý thuyết cơ bản của phần vật lý thống kê cổ điển

- Phân loại được các dạng bài tập và vận dụng giải một số bài tập trong phần vật lý thống kê cổ điển

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu được các kiến thức liên quan đến: không gian pha, hàm phân bốGippxơ, định lý Liuvin.

- Phân loại và đưa ra phương pháp giải chung cho một số bài tập về phần: khônggian pha, hàm phân bố Gippxơ, định lý Liuvin

- Đưa các bài tập vận dụng

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết và bài tập về không gian pha, hàm phân bố

Gippxo, định lý Liuvin

- Phạm vi nghiên cứu: Vật lý thống kê cổ điển

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp lý thuyết: Phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê đó là

phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất

- Tìm kiếm các tài liệu liên quan

B NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

I.1 Không gian pha

I.1.1) Khái niệm không gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt theo thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa

độ trong không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của

hệ Đối với tất cả các hệ vật lý thực, không gian pha là không gian nhiều chiều.Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: không gian µ vàkhông gian K Không gian µ là không gian của hệ 1 hạt chẳng hạn như một phân tửkhí Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt ví dụ như một chất khí xét toàn

bộ, không gian là 2fN chiều

I.1.2) Các yếu tố của không gian pha

a) Điểm pha là điểm biều diễn các tọa độ và xung lượng suy rộng của hạt cấu thành

hệ

b) Quỹ đạo pha

Khi trạng thái vi mô của hệ biến đổi theo thời gian điểm pha vạch nên đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha Mỗi điểm trên quỹ đạo pha tương ứng với một trạng thái vi mô tức thời của hệ

Các quỹ đạo pha không cắt nhau

c) Siêu diện năng lượng trong không gian pha

Siêu diện năng lượng là một phương trình của một mặt năng lượng nào đó có chiều Nếu xét hệ cô lập thì năng lượng của hệ được bảo toàn

Nói cách khác siêu diện năng lượng là phương trình liên hệ tất cả các thông sô trạng thái vi mô của hệ

2 Định lý Liuvin

(*) Đặt vấn đề

Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha chuyển từ mộtthể tích này sang thể tích khác, vì vậy có thể coi tương tự như chuyển động của chất lỏng

Xét khối chất lỏng hình hộp có thể tích dV

Tính lượng chất đi vào mặt ABCD và lượng chất đi ra mặt A’B’C’D’

Gọi là khối lượng riêng của chất lỏng.

Vy là vận tốc chất lỏng theo phương Oy

Lượng chất lỏng đi vào mặt ABCD là:

Lượng chất lỏng đi ra mặt A’B’C’D’ là:

Lượng chất lỏng dư ra là:

Các phương của x, y, z tương đương nhau Nên độ biến thiên chất lỏng dư ra trong

dV là:

Ta có phương trình liên tục đối với chất lỏng:

Xét trong không gian pha, giả sử tại thời điểm t trong thể tích pha dX1 có chứa dn

hệ có điểm biểu diễn pha Theo thời gian tại thời điểm t’ dịch chuyển qua thể tích pha dX2

⇒ Dựa vào phương trình liên tục ta đưa ra khái niệm vận tốc pha là một vecto có các thành phần và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha

Vì trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác, vì vậy có thể coi tương tự như chuyển động của chất lỏng Nên ta có phương trình liên tục trong không gian pha là:

Định lý Liuvin: khi các hệ chuyển động trong không gian pha thì thể tích nguyên tố không thay đổi về độ lớn chỉ thay đổi về hình dạng.

(*) Phương trình Liuvin

Ta có:

Phương trình trên gọi là phương trình Liuvin

Ý nghĩa của phương trình Liuvin: dọc theo quỹ đạo pha thì phân bố của hệ không thay đổi theo thời gian.

3 Hàm phân bố Gippxo

3.1) Hàm phân bố vi chính tắc

Áp dụng đối với hệ cô lập đoạn nhiệt Khi hệ cô lập ở trạng thái cân bằng, năng lượng coi như không đổi ( không trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài) mọi trạng thái vi mô khả dĩ của hệ có xác suất như nhau

Hệ cô lập đoạn nhiệt thì năng lượng được bảo toàn E = const Mọi năng lượng của

hệ ở lân cận năng lượng trung bình Tức là: Những giá trị thuộc khoảng ∆E chứa E trung bình còn các giá trị khác tuy là khả dĩ những xác suất rất nhỏ, năng lượng trung bình có xác suất lớn nhất

Mật độ xác suất: Trong trường hợp khi năng lượng có giá trị bằng năng lượng trung bình

Còn ngoài miền đó xác suất bằng 0 Như vậy hệ cô lập đoạn nhiệt có hàm phân bố tương tự như hàm đenta δ

Trong đó hàm phân bố phải thỏa mạn điều kiện chuẩn hóa:

Phương pháp: Dựa vào phân bố vi chính tắc ta xây dựng phân bố chính tắc cho hệ

đẳng nhiệt

Cho hai hệ đẳng nhiệt tiếp xúc với nhau Hệ C1 và hệ C2 có số hạt lần lượt là N1 và

N2

Hệ cần khảo sát là hệ C1 và hệ C2 là môi trường ngoài Số hạt của N2 rất lớn so với

N1 Có thể coi hệ chung (C1, C2) là hệ đoạn nhiệt

Gọi các biến số chính tắc của hệ là X1, X2

X là hệ số chính tắc của hệ chính ( C1, C2)

H1(x1), H2(x2) là hàm năng lượng

Ta có:

Trong đó U12 là thế năng tương tác giữa hệ C1, C2

Ta có thể tìm hàm phân bố của hệ C1 là dựa trên 3 giả thiết:

+ U12(X1,X2) = 0

+ E2 >> E1 và N1 + N2 = N >> ∞ Tồn tại giới hạn

+ Năng lượng của hệ H(X1) << E ( E là năng lượng chung của hệ C1, C2)

Dựa vào 3 giả thiết ta đưa ra được hàm phân bố Gippxo:

3.3) Ý nghĩa của các thông số trong hàm phân bố chính tắc Gippxo

a) Nhiệt độ thống kê

Trong đó: + K là hằng số Bonzoman

+ T là nhiệt độ tuyệt đối

θ có các tính chất tương tự như nhiệt độ tuyệt đối.

+ Tính chất 1: Khi cho 2 hệ tiếp xúc nhiệt có mođun giống nhau và trước đó hệ đã

ở trạng thái cân bằng nhieeth thì sau tiếp xúc trạng thái cân bằng nhiệt vẫn được duy trì

+ Tính chất 2: Khi cho tiếp xúc nhiệt các hệ có Mođun khác nhau ở trạng thái cân bằng thì bắt đầu có sự chuyển năng lượng từ hệ này sang hệ khác tạo thành hệ mới không ở trạng hái cân bằng

+ Tính chất 3: Môđun θ luôn dương

a) Phương pháp giải chung

Để xác định được quỹ đạo pha và vẽ quỹ đạo pha đó ta cần thực hiện lầnlượt các bước sau đây:

- Không gian pha luôn có một số chẵn chiều, ta tính số chiều theo công thức:2

k = fN

(k là số chiều, f là số bậc tự do, N là số hạt trong hệ)

Trong đó một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suy rộng p

- Muốn vẽ quỹ đạo pha, tức là tìm F p q( , ) 0=

, ta lập hàm Hamilton H p q( , )

d

H E= +U

2

d

p E

m

=

và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng, tùy vào từng bài toán cụ thể ta sẽ

xác định thế năng U khác nhau

- Giải phương trình chính tắc Hamilton để tìm q p k, k

phụ thuộc theo thời gian

Hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây:

k k

k

k

H q

p H p

Đối với hạt chuyển động theo quán tính thì chỉ có một bậc tự do Hệ có 2fN chiều

tức 2.1.1 = 2 chiều Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp 2 chiều, trong

đó một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suy rộng p Trong

trường hợp này thế năng của hạt bằng 0 ta có hàm Haminton:

Ta lại có: và

⇒

Ta có phương trình:

qo q

po

p

Quỹ đạo của hạt là đường thẳng song song với trục Oq

Bài 2: Khảo sát dao động tử điều hòa một chiều, xác định quỹ đạo pha của nó?

Bài giảiDao động tử điều hòa là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi dọc theo một đường thẳng nào đó

Bởi vì chất điểm đó chỉ có một bậc tự do nên để lấy tạo độ suy rộng q ta lấy khoảng cách từ chất điểm đến vị trí cân bằng dọc theo đường thẳng nào đó

Bài 3: Vẽ quỹ đạo pha của hạt chuyển động với vận tốc không đổi giữa hai vách của một ngăn Kích thước của ngăn dọc theo hướng chuyển động là 2a.

Bài giải:

Ở bên trong vách ngăn, hạt chuyển động theo quán tính và phàn quỹ đạo pha tươngứng là đường thẳng tương tự như trường hợp hạt khối lượng m chuyển động theo quán tính với vận tốc v

Bài 4: Xác định quỹ đạo pha của một hạt khối lượng m và có điện tích -e chuyển động dưới tác dụng của lực hút từ một hạt có định có điện tích +e 1 , vị trí ban

đầu r o , vận tốc ban đầu bằng 0.

Bài giải

Để đơn giản, ta chọn gốc tọa độ ở vị trí đặt điện tích cố định e1 Gọi r là khoảng cách từ điện tích -e đến điện tích e1 Theo định luật Culong ta có:

(1)Thay vào phương trình (1) sau đó lấy tích phân 2 vế

⇔

Trong đó m là khối lượng của điện tích e, p là xung lượng của điện tích e

Trong hình trên, nhánh trên ứng với chuyển động của hạt từ ro đến gốc tọa độ Nhánh dưới ứng với chuyển động của hạt từ e1 đến ro

2 Phương pháp giải và hệ thống bài tập về định lý Liuvin: nghiệm lại định lý, tính thể tích pha

2.1 Nghiệm lại định lý Liuvin

a) Phương pháp chung

Bước 1: Phương pháp chung để nghiệm lại định lý Liuvin là tìm quỹ đạo pha trong

một thể tích pha giới hạn bởi các điểm pha Cho các điểm pha di chuyển ta được các điểm pha mới các điểm pha này giới hạn một thể tích pha mới

Bước 2: Sử dụng định luật bảo toàn thể tích cũng chính là bảo toàn diện tích các

điểm pha Nếu diện tích các điểm pha cũ bằng diện tích các điểm pha mới thì định

lý Liuvin được nghiệm đúng

Chú ý: Cần chọn điểm pha sao cho việc tính diện tích pha là dễ dàng nhất.

b) Bài tập

Bài 1: Hãy kiểm nghiệm lại định lí Liuvin đối với các chất điểm chuyển động theo quán tính.

Bài giải

Đối với chất điểm chuyển động theo quán tính, quỹ đạo pha là những đường thẳng

song song với trục q (Lấy hai đường p1=mv1

và p2=mv2

(v2 >v1)

Trên đó chọn 4điểm A, B, C, D tạo thành hình chữ nhật ABCD

Đối với điểm pha A’: q A' =v t q A' + 0 'A =v t q2 + A

Đối với điểm pha C’: qC' =v t qC' + 0 'C = +v t q1 C

Đối với điểm pha D’: qD' =v t qD' + 0 'D = +v t q1 D

Vì vậy qC'−qD' =q C−q D

nghĩa là C’D’=CDNhư vậy, thể tích pha tại thời điểm sau là hình bình hành A’B’C’D’ có cùng chiều

dài cạnh đáy bằng a và có cùng chiều cao q2−q1

như hình chữ nhật ABCD nên códiện tích bằng nhau Vậy thể tích pha không thay đổi

Bài 2: Nghiệm lại định lí Liuvin của 3 hạt chuyển động trong trường trọng lực không đổi Trạng thái ban đầu của chúng được cho bởi các điểm pha

đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suy rộng p Động

năng của hạt chuyển động rơi tự do được biểu thị qua xung lượng suy rộng p mv=

p m H

Theo giả thiết của bài toán các điểm pha ban đầu là các điểm A, B, C và thểtích pha ban đầu là diện tích tam giác ABC Dựa vào kết quả quỹ đạo pha của hạtchuyển động trong trường không đổi, ta đã có:

A B C

S = uuuuuur uuuuuurA B A C×

201

21

a

b t b m

Tính số chiều theo công thức k = 2fN

Dựa vào công thức tính tích của các vi phân tọa độ pha

Để xác định thể tích không gian pha đối với xung lượng ta dùng hệ tọa độ cầu

trong không gian xung lượng Do đó nguyên tố thể tích p

dΓ

có thể xét một cáchđơn giản như là thể tích của tầng cấu tạo thành bởi hai thành cầu có bán kính từ p

Γ =

Ta thấy thể tích pha tăng lên khi năng lượng của phân tử khí lí tưởng tăng

lên theo quy luật

3 2

E

của khí lí tưởng đơn nguyên tử gồm N hạt chứa trong thể tích V bằng:

3 3

2 2(2 ) N N

1 !2

n n

n n

và do đó

3 2

32

N N

b) Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V có năng lượng liên hệ với xung lượng bằng hệ thức

2 2 2

E c p= +m c

Bài giải

a) Dao động tử điều hòa một chiều chỉ có một bậc tự do, do đó: k =2fN =2.1.1 2=chiều.

Ta đã biết quỹ đạo pha của hạt thực hiện dao động tử điều hòa là một elip cóphương trình:

Thể tích pha bằng diện tích giới hạn

bằng quỹ đạo pha elip và bằng elip 0 0

.Biễu diễn các bán trục qua năng lượng, ta có

2

2 0

0 22

b) Không gian pha của hạt chuyển động tương đối tính là không gian 6 chiều trong

đó 3 chiều tọa độ suy rộng trùng với 3 tọa độ thông thường x, y, z, còn 3 chiềuxung lượng suy rộng trùng với 3 xung lượng thông thường px, py, pz Thể tích

nguyên tố không gian đó là x y z p x p y p z

dΓ =d d d d d d

Tích các vi phân thành phần tọa độ là vi phân thể tích:

q

dΓ =dxdydz dV=

Trong đó dV là yếu tố thể tích thực chiếm chất khí

V

V =∫dxdydz

Để xác định thể tích không gian pha đối với xung lượng ta dùng hệ tọa độ cầu

trong không gian xung lượng Do đó nguyên tố thể tích dΓp

có thể xét một cáchđơn giản như là thể tích của tầng cấu tạo thành bởi hai thành cầu có bán kính từ p

- Ta cần tính được tích phân trạng thái theo công thức

( )

1

N H

Cũng như những dạng bài tập khác thì tùy thuộc vào điều kiện của bài toán mà ta

có thể xác định được hàm Hamilton của hệ các hạt, hay nói cách khác là ta có thể

xác định động năng và thế năng của hệ Cần lưu ý là thế năng U của khí lí tưởng làbằng 0 (U =0

) Trong quá trình giải ta có thể chọn các hệ tọa độ khác nhau (tọa độ

Đề các, tọa độ cầu, tọa độ trụ, ) sao cho phù hợp và hiệu quả nhất

- Khi đã tính được tích phân trạng thái ta dựa vào các hàm nhiệt động như đãchứng minh được ở phần lí thuyết để tính toán theo yêu cầu của bài toán

Dưới đây là một số hàm nhiệt động thường gặp

+ Năng lượng tự do: ψ = −k zln

z =∫e− dX

Ta đã biết thể tích pha của dao động tử điều hòa được xác định theo công thức:

2( )ε πε

z z N

i p

4

i

cp kT p

z = π∞ −∫e p dp

Áp dụng tích phân Poisson

1 0

!

x n

z z N

z =∫e− =∫e dxdydz=∫dV V=

i p

4

i

cp kT p

z = π∞ −∫e p dp

Áp dụng tích phân Gama

1 0

1

l

k ax

k l

k l

N

N i

341

Hay pV RT=

Bài 4: Tính năng lượng tự do và nội năng của hệ N hạt khí lí tưởng đồng nhất ở trong bình kín có chiều cao h và diện tích đáy s, ở trong gia tốc trọng trường g, nhiệt độ T khối lượng m.