bài tập nhiễu loạn cơ lượng tử 2

MỤC LỤC Trang A LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình Schrodinger phương trình vi phân tuyến tính đạo hàm riêng với hệ số thay đổi Trong đa số toán, việc giải xác tốn khó khăn Giải phương trình Schrodinger ta tìm hàm đặc trưng cho hệ hàm Haminton H Việc tìm hàm Haminton đòi hỏi xác định hàm riêng trị riêng tốn tử Hamilton H Thực tốn tìm trị riêng hàm riêng tốn tử vơ phức tạp giải xác với số trường hợp đơn giản “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử Hidro” Nhưng bên cạnh đó, học lượng tử có nhiều hệ lượng tử phức tạp mà ta khơng thể giải xác cách hồn tồn Chính vậy, phương pháp gần quan trọng để giải phương trình Schrodinger phương pháp lí thuyết nhiễu loạn Tuy nhiên, trường hợp giải gần toán học lượng tử phương pháp nhiễu loạn khơng thuận lợi, nghĩa ta khơng có toán gần với toán cho, giải cách xác làm gần bậc khơng, người ta sử dụng phương pháp khác phương pháp biến phân Mặt khác, giải tập phần sinh viên thuồng gặp nhiều khó khăn việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn lý thuyết phương pháp biến phân Việc hệ thống cách cụ thể tập phương pháp giúp sinh viên dễ tiếp thu hiểu sâu sắc vấn đề từ dễ dàng áp dụng giải tập liên quan Chính lý nên chọn đề tài: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống lý thuyết phương pháp gần lad phương pháp nhiễu loạn phương pháp biến phân - Giải số tập sử dụng phương pháp nhiễu loạn phương pháp biến phân III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu đưa lý thuyết phương pháp giải gần đúng: phương pháp nhiễu loạn phương pháp biến phân - Đưa hệ thống dạng tập mẫu có giải chi tiết tập vận dụng phương pháp gần đúng: phương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến phân IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: + Lý thuyết phương pháp nhiễu loạn: Nhiễu loạn dừng không suy biến+ Lý thuyết phương pháp biến phân + Các tập vận dụng phương pháp biến phân phương pháp nhiễu loạn - Phạm vi nghiên cứu: + Các phương pháp giải gần đúng: phương pháp nhiễu loạn phương pháp biến phân học lượng tử V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Sưu tầm tài liệu liên quan đến vấn đề nghiên cứu - Hệ thống lý thuyết liên quan đưa phương pháp giải tổng quát cho tập liên quan đến vấn đề nghiên cứu B NỘI DUNG I LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN, PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Nhiễu loạn dừng không suy biến Giả sử hàm Hamiltonian hệ có dạng: (1) Trong đó, hàm Hamiltonian khơng nhiễu loạn có hàm riêng trị riêng xác định xác (2) Nhiệm vụ tốn phải tìm hàm riêng trị riêng gần phương trình Schrodinger đầy đủ (3) Xét trường hợp phổ gián đoạn dựa vào tính đủ hệ nghiệm riêng ta có: (4) Thay (4) vào (3) nhân hai vế với lấy tích phân theo x: ⇔ (5) Do nhỏ nên hay (5) ⇔ ⇔ (6) Giả sử Ek Cm khai triển thành chuỗi lũy thừa λ (7) Thay (7) vào (6) ta được: ⇔ ⇔ (8) (*) Trong gần bậc (8) ⇒ ⇔ (*) Trong gần bậc ( thay giá trị gần bậc vào (8) đồng thời bỏ số hạng chứa từ λ2) ⇔ TH1: m = k ta có TH2: ta có Vậy gần bậc 1: Phương pháp biến phân Trong trường hợp giải gần toán học lượng tử phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi tức khơng có tốn gần với tốn cho người ta sử dụng phương pháp khác phương pháp biến phân Phương pháp biến phân dựa nhận định lượng trung bình hệ lớn lượng hệ trạng thái cân Việc tính lượng mức đưa đến chọn hàm thử chứa thông số chưa biết Cực tiểu hóa lượng trung bình để tìm thơng sơ chưa biết Từ ta tính lượng trạng thái a) Cơ sở lý thuyết Giá trị trung bình lượng: ( hàm sóng chuẩn hóa) (1) Khai triển hàm sóng theo tốn tử khơng nhiễu loạn Ta có Với (2) Thay (2) (1) ta được: Vậy Nhận xét: Việc tính lượng trạng thái biểu thức (5) dẫn đến việc chọn “hàm thử” chứa số thừa số chưa biết đó: α, β : Tính Tìm cực trị đồng nghĩa với việc giải phương trình: Nếu chọn tốt hàm thử ta có giá trị lượng gần với giá trị thật E o lúc hệ số trạng thái hệ gần với hàm Phương pháp tính lượng nói gọi phương pháp Ritz Ngoài ra, người ta tính lượng trạng thái kích thích thứ E1 trạng thái E2 với ; với ; ; Cứ tiếp tục ta tính lượng mức kích thích cao II BÀI TẬP Bài tập nhiễu loạn dừng không suy biến a) Phương pháp giải Bước 1: Viết biểu thức trị riêng hàm riêng hàm Hamiltonian khơng nhiễu loan Bước 2: Tìm tốn tử nhiễu loạn Bước 3: Tìm lượng gần bậc theo công thức: với b) Bài tập Bài 1: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vô hạn bề rộng a có dạng: V(x) Vo a x Bài giải: Đối với giếng sâu vô hạn bề rộng a ta có: (+) Tìm dạng nhiễu loạn Dựa vào hình vẽ, giả sử Tại x = ta có V = Vo ⇒ n = Vo (1) Tại x = a ta có = m.a + Vo ⇒ (2) Từ (1) (2) ta có Năng lượng đến gần bậc nhất: với (3) Ta có: Đặt ⇒ (*) Ta có: (**) Thay (*) (**) vào (3) ta được: Vậy: Bài 2: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vơ hạn bề rộng a có dạng: Vx Vo V1 O V2 a Bài giải: x Đối với giếng sâu vô hạn bề rộng a ta có: (+) Tìm dạng nhiễu loạn Dựa vào hình vẽ, giả sử Tại x = ta có V1 = ⇒ n = (1) Tại ta có ⇒ (2) Từ (1) (2) ta có Giả sử Tại ta có ⇒ (3) Tại ta có ⇒ (4) Từ (1) (2) ta có Do đó: Năng lượng đến gần bậc nhất: (+) (5) Ta có: (+) Đặt ⇒ (*) Ta có: (+) Đặt ⇒ (**) Ta có: (***) Thay (*) (**) (***) vào phương trình (5) ta được: Vậy Bài 3: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vơ hạn bề rộng 2a có dạng hình vẽ, tính mức lượng thứ 4, thứ V Vo O a 10 2a x Bài giải: Đối với hố sâu vô hạn bề rộng 2a ta có: (+) Tìm dạng nhiễu loạn Dựa vào hình vẽ, giả sử Tại x = ta có V = ⇒ n = (1) Tại x = 2a ta có Vo = 2m.a ⇒ (2) Từ (1) (2) ta có Năng lượng đến gần bậc nhất: với (3) (+) Đặt ⇒ Ta có: Vậy: Mức lượng thứ 4: Mức lượng thứ 5: Bài 4: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vô hạn bề rộng a có V dạng: Vo 11 O b a-b a x Bài giải: Đối với giếng sâu vô hạn bề rộng a ta có: Với ta có lượng tính đến bổ bậc nhất: với Vậy: Bài 5: Thế dao động tử điều hòa phi tuyến tính chiều có dạng: , m, ω, , số Trong gần lý thuyết nhiễu xạ, xác định mức lượng dao động tử phi tuyến tính Bài giải: Toán tử Haminton dao động tử phi điều hòa có dạng: Trong đó: tốn tử Haminton dao động tử phi điều hòa nhiễu loạn Trong gần bậc khơng ta có: Ở đây: ; ; (n = 1,2, ) 12 Năng lượng dao động tử phi điều hòa gần bậc lý thuyết nhiễu loạn xác định bằng: Trong đó: (*) Mặt khác ta có: Thay n n + k với ta Từ ta thấy: Đặt biểu thức vào tích phân (*) áp dụng điều kiện trực chuẩn hàm sóng Ta tìm được: Vậy: Bài tập phương pháp biến phân a) Phương pháp giải Bước 1: Chọn hàm thử chứa thông số chưa biết ψ (x,α,β ) Bước 2: Lập hàm Tìm cực trị đồng nghĩa với việc giải phương trình: Viết lại ψ (x,αo,βo ) 13 Bước 3: Suy b) Bài tập Bài 1: Dùng phương pháp biến phân tìm lượng trạng thái hạt chuyển động trường a) b) (Uo = const) với hàm thử chọn với với hàm thử chọn Bài giải a) Chuẩn hóa hàm sóng Áp dụng tích phân ta có: ⇒ Lập hàm (+) Đặt ⇒ (+) Đặt Vậy Ta có: ⇒ 14 b) Chuẩn hóa hàm sóng Áp dụng tích phân ta có: ⇒ Lập hàm (1) (+) Đặt ⇒ (*) (+) (**) Thay (*) (**) vào (1) ta được: Ta có: Vậy Bài 2: Sử dụng phương pháp biến phân tìm lượng trạng thái nguyên tử Hidro với hàm thử Với Bài giải: Chuẩn hóa hàm sóng: Ta có: Đặt 15 Vậy Lập hàm Tính Ta có: Ta có: ⇒ Vậy: : Bài 3: Dùng phương pháp biến phân tính gần lượng trạng thái hạt hố sâu vô cùng, bề rộng a () Chọn hàm thử: Bài giải Đối với giếng sâu vơ hạn bề rộng a ta có: Năng lượng trung bình tính theo cơng thức: ( Vì tính chất giếng sâu vơ hạn) Chuẩn hóa hàm sóng: 16 ⇒ Vậy lượng trung bình là: Bài 4: Áp dụng phương pháp biến phân tính lượng trạng thái dao động tử điều hòa với với hàm thử chọn Bài giải Trong Tích phân mẫu xuất hàm sóng chưa chuẩn hóa Chuẩn hóa hàm sóng: Ta có: Ta tính cần lưu ý: Vậy: Với Ta biết Do đó: Vậy: Từ điều kiện cực tiểu cùa hàm Vậy lượng trạng thái là: 17 Bài 5: Gọi Eo lượng trạng thái hệ lượng tử, toán tử Haminton hệ Chứng minh rằng: Trong hàm tùy ý thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: 18 Bài giải Gọi hàm riêng tương ứng với trị riêng En Ta có: Ta khai triển hàm ψ(ξ) theo hệ hàm Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: từ suy Dễ dàng thấy rằng: Hay: Để tìm Eo ta cần tìm giá trị cực tiểu I Thường chọn hàm ψ (ξ, α, β ) phụ thuộc vào thông số α, β Khi I(α, β ) hàm α, β Từ điều kiện ta tìm α = αo, β = βo, ứng với giá trị cực tiểu I ta xác định Eo 19 III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vơ hạn bề rộng 2a có dạng: Vx Vo V1 O V2 x 2a a Bài 2: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vơ hạn bề rộng a có dạng hình vẽ, tính mức lượng thứ 5, thứ 6, thứ V Vo O a/2 a x Bài 3: Một hạt khối lượng m chuyển động chiều năng: Trong F số thực dương Dùng phương pháp biến phân để đánh giá lượng trạng thái hạt Chọn hàm thử 20 Bài 4: Bằng phương pháp biến phân, đánh giá Năng lượng trạng thái dao động tử điều hoà chiều với hàm thử: ( β thông số biến phân) Cho 21 C KẾT LUẬN Phần phương pháp giải gần đúng: phương pháp nhiễu loạn khơng có suy biến phương pháp biến phân phần quan trọng lượng tử Xây dựng hệ thống dạng tập phần giúp cho sinh viên nắm vững kiến thức nắm phương pháp giải số tập Bên cạnh đề tài có số tập vận dụng giúp cho sinh viên tham khảo vận dụng kiến thức để giải từ củng cố thêm kiến thức cho bạn Trong trình nghiên cứu cảm ơn hướng dẫn nhiệt tình giáo Nguyễn Thị Thảo giúp em hoàn thành đề tài Hi vọng tài liệu bổ ích cho bạn sinh viên tham khảo 22 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Cơ Học Lượng Tử Vũ Văn Hùng Nhà xuất Đại học sư phạm Bài tập Cơ Học Lượng Tử Vũ Văn Hùng Nhà xuất Đại học sư phạm Bài tập Cơ Học Lượng Tử (2002) Hoàng Dũng Nhà xuất Đại học Quốc gia Bài tập vật lý lý thuyết tập Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội - 1998 23 ... tham khảo 22 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Cơ Học Lượng Tử Vũ Văn Hùng Nhà xuất Đại học sư phạm Bài tập Cơ Học Lượng Tử Vũ Văn Hùng Nhà xuất Đại học sư phạm Bài tập Cơ Học Lượng Tử (20 02) Hoàng... xác định Eo 19 III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần đến bổ bậc hạt chuyển động giếng sâu vô hạn bề rộng 2a có dạng: Vx Vo V1 O V2 x 2a a Bài 2: Áp dụng lý thuyết... Tại x = 2a ta có Vo = 2m.a ⇒ (2) Từ (1) (2) ta có Năng lượng đến gần bậc nhất: với (3) (+) Đặt ⇒ Ta có: Vậy: Mức lượng thứ 4: Mức lượng thứ 5: Bài 4: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn tính lượng gần