Bài tập vật lý thống kê - có đáp án

Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị trung bình của năng lượng của nó... Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên t

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển Bài 1 Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của

phân bố Maxwell) :

Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :

( , v vx x dx ),( , v vy y dy ),( , v vz z dz )

Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng ( , v v dv )

Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng ( , d )

Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :

a) n 2 2kT n/2 (n23) ( 1 )

m

b) v 8kT m

c) ( )2 kT( 3 8)

m

v v

d)

2

1

2

3 2

e) Vận tốc có xác suất lớn nhất : 0 2kT

m v

Hướng dẫn

 Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :

mv

dW v e dv i x y z

2 2 2

 Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :

( )

mv

kT

2

2 2

4

 Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là :

( )

kT

kT 3

2

mv

kT

2

2 2

Đặt

n

1

n

1

3

2 0

Trong đó : ( )a x a 1e dx x

0

là hàm Gamma

b) Sử dụng kết quả câu a) khi n 1, ta có : kT / ( ) kT

v 2 2 1 2 2 8

c) Ta có (v v)2 v2 2v v ( )v 2 v2 ( )v 2 Theo câu b) ta đã có v 8kT m

d) Ta có v2 v2 2 v4 2v v2. 2 v2 2 v4 v2 2 Áp dụng kết quả câu a) với

v4 2 2 2 7 2

e) Từ biểu thức của xác suất ( )

mv

kT

2

3 2 2 2

4 , ta thấy để xác xuất dW v( )

cực đại thì hàm ( )

mv

kT

2

3 2 2 2

Ta có : ( )

m

f v 0 v 0 v 2 Lập bảng biến thiên của ( )f v :

v 0 kT

m

2

( )

f v 0 0 0

( )

f v 0 0 fmax

Từ đó ta thấy rằng ( )f v đạt cực đại khi kT

m

v 2 , nói cách khác vận tốc có xác suất lớn nhất là v 2kT m

Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm

Gamma : (a 1) a a( ) (a 1), (n 1) n! (n ) và ( )=1

2 Khi

đó ta có : ( ) ! , ( )5 (3 ) 3 ( )3 3 (1 ) 3 1 ( )1 3

( )7 (5 ) 5 ( )=5 15

2 2 1 2 2 4 Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ

sử dụng công thức sau : m ax ( )

m

m

x e dx

a 1

0

1

Bài 2 Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị

trung bình của năng lượng của nó

Hướng dẫn :

Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng

( , )

( , )

H p q kT

p q Ae Đối với dao động tử điều

hòa tuyến tính q x và ( , ) p m x

m

H x p 2 2 22 2 E là năng lượng của dao động tử , do

đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng : ( )

E kT

E Ae Từ điều

kiện chuẩn hóa ( )E dE

0

A e dE A kT e

0 0

.

A kT 1, hay A kT1 Do đó : ( )

E kT kT

E 1 e Năng lượng trung bình :

( )

E kT

kT

1

Lấy tích phân từng phần ta được :

kT

Bài 3 Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N

nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : cp

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

N i i

1 Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i

cp

i V

1

Mặt khác :

( )

i V

dr V là thể tích của hệ

i

i

e dp e p dp2

0

n

n

x e dx

a 1

0

ta tìm được :

i

cp

kT kT

e dp 8 3 Thay vào (1) ta được :

N N N

i

1

Trong đó :

N

c N

N

3 3

1

8

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT

Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng

nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích V

C , thế Gibbs , enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp C P Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức

liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính Chẳng hạn đối với

bài tập trên ta có :

ln

Hay S S0 Nk Vln 3Nk Tln với S0 3Nk Nkln

U

H

Bài 4 Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn

nguyên tử gồm N nguyên tử Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ với nhau bởi hệ thức : cp3 ( : c const )

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

N i i

H cp3

1 Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i

cp

i V

3

1

Mặt khác :

( )

i V

dr V là thể tích của hệ

|

i

i

2

0 0

4

3 3 Thay vào (1) ta được :

N

i

Trong đó :

N

c N

1

4

2 Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có :

Từ (1) và (2) ta có ngay : U PV

Các đại lượng nhiệt động khác :

ln

Hay S S0 Nk Vln Nk Tln với S0 Nk Nkln

U

T P

Bài 5 Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức cp4

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

N i i

H cp4

1 Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i

cp

i V

4

1

Mặt khác :

( )

i V

dr V là thể tích của hệ

i

i

e dp e p dp

2 0

4 Đặt :x cp kT4 p kT c 1 4/ x1 4/ p dp2 1 kT c 3 4/ x 1 4/ dx

i

cp

x

kT

4

4 0

.Thay vào (1) ta được :

i

1

N

c N

N

3 4 3

4 3

1

4

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT

Các đại lượng nhiệt động khác :

4

ln

Hay S S0 Nk Vln Nk Tln với S 3Nk Nkln

U

4

H U PV 3NkT NkT 7NkT

T P

4

Bài 6 Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : ap ( , a 0 )

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

N i i

1 Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i

ap

i V

1

Mặt khác :

( )

i V

dr V là thể tích của hệ

i

i

e dp e p dp2

0

3 1

Do đó : / / ( )

i

ap

x

kT

3 1

0

.Thay vào (1) ta được :

i

4

1

N

a N

N

3

3

1

Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có :

Các đại lượng nhiệt động khác :

ln

Hay : S S0 Nk Vln Nk Tln với S 3Nk Nkln

U

H U PV 3NkT NkT 3 1 NkT ; P H

T P

Bài 7 Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều

cao h, diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ T,biết rằng số hạt khí là N

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i

N p

i m

i

2 1

Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i V

2 2

1

Mặt khác :

kT

h

V

0

/

i

i

0

kT N

i

kT

mg N

3 2 3

1

1

2

N

kT

mg N

3

1

2

N N

N

k

mk mg

N

3 2 3

1

2

mgh kT

Nội năng : ln [ ln ln( ) ln ]=

mgh

mgh kT

kT

2

 Nhiệt dung :

mgh mgh kT kT

e Nmgh

U

2

Hay :

V

sh

2 2 2

Bài 8 Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ T

Bình khí được đặt trong trọng trường Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i

N p

i m

i

2 1

Tích phân trạng thái của hệ :

( )

i V

2 2

1

Mặt khác :

( )

kT

L

V

e dr dx dy e dz L2 e 0 L2 e

/

i

i

0

kT N

i

kT

mg N

3 1

1

2

N

kT

mg N

3

1

2

mg

N

3 2 3

1

2

2 Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình

là : lnV Z lnL Z dV dL

L

3

mgL mg

kT

kT

e

e

2

1 [ + mgL ]= [ + ( mgL/ ) ]

mgL kT mg

L

2

3 3 3

(với V L3)

Bài 9 Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm N hạt khối lượng 1 m và 1 N hạt khối lượng 2 m chứa 2

trong một bình hình trụ có chiều cao h và điện tích đáy Bình khí được đặt trong trọng trường với gia tốc g Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm

Hướng dẫn : Gọi Z là tích phân trạng thái của hạt loại ( j j j 1 2 , ta có : , )

( )

i

j

p

m kT

i V

2 2

1

Mặt khác :

kT

h

h

V

0

/

i

0

/

j j

j j

m gh N

i j

N

3 2 3

1

1

2

j

j j

N

m g N

j

N

5 2

3 2 3

1

2

j j

j

m k N

3 2 3

1

2

2 .Tích phân trạng thái của hệ là :

j

j

2

1

Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là :

Vì thể tích của hình trụ là : V h nên dh

dV

1 Từ đó ta tìm được :

m gh j j

kT

j j

m gh j kT

m gh

N m g

5 2

1

j kT

N m g

P

2

1

j

2

1

m gh j j

kT j

m gh j kT

m gh

m gh e kT

1

m gh j kT

N m gh j

2 5 2

Gọi E dlà động năng trung bình của hệ, theo định lý

j

2

1 2

1

Từ đó suy ra thế

m gh j kT

N m gh

2

(2)

 Nếu gọi z là tọa độ của khối tâm, ta có : c E t Mgz c (3) , với M N m1 1 N m2 2

là khối lượng của hệ Từ (2) và (3) ta tìm được :

j j

m gh j kT

N m gh

2

1

Bài 10 Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối

tâm của chúng bằng :

sin

q 1I p2 22

2 ở đây I là moment quán tính đối với khối

tâm phân tử còn p p , là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu , Hãy tính : tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử

Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là :

q

kT q

d d d dp dp 0 0 2 p p Từ đó ta có :

sin

p p

q

2 2

2

2

Sử dụng tích phân Poisson :

ax

e dx

a

2

, ta được :

p IkT

2

p

I kT

2

2

2

 Entropy của hệ :

ln

q

Z

V T

Bài 11 Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h Biết rằng hình trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc

a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình

b)Tìm nội năng của khí

Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình

trụ sẽ quay theo với vận tốc góc Gọi r là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực

ly tâm tác dụng lên hạt là : f lt m r2 Lực này liên kết với thế năng ly tâm u r lt( ) theo

du

dr

2 2 2

2 Từ đó suy

lt i

 Tích phân trạng thái của hệ :

!( ) !( )

i V

1

 Sử dụng hệ tọa độ trụ ( , , )r z , ta có :

R hkT kT

V

2

2

0

i

0

 Thay vào biểu thức của Z ta nhận được :

i

2

2

1

!( )N [ ( ) ]

N 1 3 2m 2 mk 3 2

a) Áp suất tác dụng lên thành bình : lnV Z lnR Z dV dR

Vì V R h2 nên dV hRdR dV dR 1hR

2

kT

kT

m R

Z

e

2 2 2

2 2

2

2 2 2

1

1

kT

m R kT NkT

V

e

2

2 1

kT

kT

m R e kT T

e

NkT

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

1

kT

Nm R e

U NkT 2 2 22

2

2 5

2

1

Bài 12 Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia

tốc trọng trường là g, khối lượng một phân tử là m và nhiệt độ là T

Hướng dẫn Gọi N là số hạt của hệ , thế năng của hệ là :

N

i

1

Từ đó suy ra

N

i

1

(1) Nếu gọi z c là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có : E t Mgz c(2),

trong đó M Nm là khối lượng của hệ Từ (1) và (2) ta được :

N

i

Nmg 1

1

(3)

Để tính z i ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực Biểu thức của hàm phân

bố Boltzmann có dạng : ( )

mgz kT

z Be Từ điều kiện chuẩn hóa: ( )z dz

0

1, ta có :

( ) |

mg

0

Do đó : ( )

mgz

mg kT kT

z e Từ đó ta tìm được :

mgz

mg e 0 mg Thay giá trị này vào (3) ta có : c kT

z

mg

Bài 13 Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng m và tần số Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và nhiệt dung của hệ

N i

p m x H

m

1 2 2 Tích phân trạng thái :

!( )N

N

i

2

1

Sử dụng tích phân Poisson :

ax

e dx

a

2

, ta được :

m x

e dx

m

2 2 2

2

2

và

p mkT

2

Từ đó suy ra :

N

i

1

2

Với

!( )N

N

N

2 1

2

 Nhiệt dung : U

Bài 17 Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới

dạng:

H H

i q i q

q p , tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính

Hướng dẫn Hàm Hamilton của dao động tử là : p m x

m

lượng trung bình của dao động tử là : p m x

m

E H 22 22 2 (1) Theo định lý phân bố đều động năng ta có : p H kT

m2 1p p

x

2 2

lim

x H Do đó theo định lý virial, ta có : H kT

x x

1

2 2 Từ biểu thức của H , ta

lại có : 1x H x m x2 2 1x H x m x2 2 kT

2 2 2 2 2 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :

kT kT

Bài 18 Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng

( )

u x kx4

Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử : H 2p m2 kx4 E Do đó, năng lượng trung bình là : E p m2 kx4

2 (1) Theo định lý phân bố đều động năng ta có :

m2 1p p

x H Do đó theo định lý virial, ta có : 1x H x kT

2 2 Từ biểu thức của H , ta lại có : H .

x

Từ đó suy ra :1x H x kx4 kT kx4 kT

2 2 2 4 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :

kT kT kT

Bài 19 Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong

trường lực có thế năng U q ( ) q2n ( n : số tự nhiên, : hằng số dương)

Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt : H 2p m2 q2n E Do đó, năng lượng trung bình là : E 2p m2 q2n (1) Theo định lý phân bố đều động năng ta có :

m2 1p p

x H Do đó theo định lý virial, ta có : 1q H q kT

q

q q n q2 1 n q2

1

kT kT kT

Bài 20 Chứng minh các hệ thức sau :

a)

H F

q q

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :

s

j j

j

1

i

H kT

1

1

(1) Lấy tích phân từng phần ta có :

q

Vì lim

i

i

H kT

i

H q kT q

kT F e 0 Do đó :

i i

F e dq kT e dq (2) Thay (2) vào (1) ta được :

( )

1

b)

H F

p p

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :

s

j j

j

1

i

H kT

1

1

(1) Lấy tích phân từng phần ta có :

p

Vì lim

i

i

H kT

i

H p kT p

kT F e 0 Do đó :

F e dp kT e dp (2) Thay (2) vào (1) ta được :

( )

1

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử Bài 1 Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập

a) Tính năng lượng tự do và entropy của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập

b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập

Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z Z1N, trong đó kT n

n

Z1 e

0

là tổng thống kê của một dao động tử Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính là : n (n 1) (n , , , )

2 0 1 2 nên, ta có :

( )

sh( )

kT

2

Từ đó ta nhận được :

sh( )

kT

2 2

a) Năng lượng tự do của dao động tử là : F kTlnZ NkTln[ sh(2 2kT)]

Entropy của dao động tử :

ch( ) sh( )

kT

F

2 2

hay : S Nkln sh( )kT Nk kT coth( kT)

2

b) Năng lượng trung bình : = N coth

kT

E F TS

Nhiệt dung

2

Bài 2 Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao động tử điều hoà hai chiều độc lập có các mức năng lượng n ( n 1 ) suy biến bội g ( )n n 1

Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z Z1N, trong đó

( ) kT n

n n

Z1 g e

0

là tổng thống kê của một dao động tử Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là : n (n 1) (n 0 1, ) có bội suy biến g( )n n 1

sh( )

kT

n n

2

0

sh( )

kT

N Z

2

2 1

 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( ) ln

sh( )

kT

Z

2 2

Hay : E N coth 2kT

 Nhiệt dung :

coth

E

2

Bài 3 Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức

năng lượng n n 32 suy biến bội g ( )n (n 1)(2n 2)

Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z Z1N, với ( ) kT n

n n

Z1 g e

0

là tổng thống kê của một dao động tử Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là: n (n 3) (n , )

2 0 1 có bội suy biến g( )n (n 1)(n 2)

2 nên, ta có :

( ) ( )( )

sh( )

n

2

Từ đó ta tìm được :

sh( )

kT

N Z

2

3 1

 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( ) ln

sh( )

kT

Z

2 2

kT

E 3

 Nhiệt dung :

coth

2

Bài 4 Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến :

( : const ; , , , n )

Hướng dẫn Tổng thống kê của hạt

n kT

kT

e

e

1 1

n

n

n

n

Bài 5 Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường H thì các mức năng lượng của nó tách làm

2 : H và H tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ

trường H Giả sử hệ gồm N hạt như thế được đặt trong từ trường H ở nhiệt độ T Sử

dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ

Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z Z1N, trong đó kT n

n

Z1 e

là tổng thống kê của một hạt Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là 1 H, 2 H

H

kT

Z1 e e 2 Do đó tổng thống kê của hệ là Z [2ch(kT H )]N

 Năng lượng của hệ :

sh ln

ch

H kT H kT

Z

 Nhiệt dung của hệ :

E

 Moment từ trung bình của hệ : N z, trong đó zlà moment từ trung bình cho một

hạt Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng ilà ( ) i

H kT i

Z1

1

Do đó momen từ trung bình của một hạt là : z i ( )i

i

W Vì moment từ của một hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên :

sh( ) ch( ) ch( )

H

2

Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là : .th( H )

kT

N