bài tập xác suất thống kê có đáp án

Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT 1.1 Một hộp có 100 thẻ ñược ghi số từ ñến 100, Rút ngẫu nhiên hai thẻ ñặt theo thứ tự từ trái qua phải Tính xác suất ñển a/ Rút ñược hai thẻ lập nên số có hai chữ số b/ Rút ñược hai thẻ lập nên số chia hết cho Giải a/ A :“Hai thẻ rút ñược lập nên số có hai chữ số” A92 9.8 P ( A) = = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b/ B : “Hai thẻ rút ñược lập nên số chia hết cho 5” Số chia hết cho tận phải Để có biến cố B thích hợp với ta rút thẻ thứ hai cách tùy ý 20 thẻ mang số 5;10;15;20;…;95;100, rút 99 thẻ lại ñặt vào vị trí ñâu Do ñó số trường hợp thuận lợi cho 99.20 P ( B) = 99.20 = 0, 20 A100 1.2 Một hộp có chứa cầu trắng cầu ñen kích thước Rút ngẫu nhiên lúc cầu Tính xác suất ñể cầu rút ñược có a/ Hai cầu ñen b/ Ít cầu ñen c/ Toàn cầu trắng Giải Rút ngẫu nhiên lúc 10 cầu nên số trường hợp ñồng khả C104 a/ A :”trong cầu rút có cầu ñen” P ( A) = C32 C72 = 0,30 C104 b/ B :”trong cầu ñược rút có cầu ñen” P ( B) = C32 C72 + C33 C71 = C104 c/ C :”trong cầu ñược chọn có toàn cầu trắng” Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân P (C ) = C74 = C104 1.3 Một hộp thuốc có ống thuốc tốt ống chất lượng Chọn ngẫu nhiên không trả lại ống Tính xác suất ñể: a/ Cả hai ống ñược chọn ñều tốt b/ Chỉ ống ñược chọn ñầu tiên tốt c/ hai ống có ống thuốc tốt Giải Chọn ngẫu nhiên không trả lại ống nên trường hợp ñồng khả A82 a/ A :” Cả hai ống ñược chọn ñều tốt” P ( A ) = A52 ≈ 0,357 A82 C31.C51 b/ B :” Chỉ ống ñược chọn ñầu tiên tốt” P ( B ) = ≈ 0, 268 A8 c/ C :” hai ống có ống thuốc tốt” P ( C ) = − A32 ≈ 0,893 A82 1.4 Một hộp ñựng 15 bóng bàn ñó có Lần ñầu người ta lấy ngẫu nhiên ñể thi ñấu, sau ñó lại trả vào hộp Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên Tính xác suất ñể lấy lần sau ñều Giải Đặt A :” lấy lần sau ñều mới” Bi :” Trong lấy ñể thi ñấu có i mới” i ∈ {0;1; 2;3} Ta thấy { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } lập thành nhóm ñầy ñủ biến cố, theo công thức xác suất toàn phần P (A) = P (B0 )P (A | B0 ) + P (B1 )P (A | B1 ) + P (B2 )P (A | B2 ) + P (B3 )P (A | B3 ) = (20.84 + 135.56 + 216.35 + 84.20) ≈ 0, 089 207025 1.5 Từ lớp có nữ sinh viên 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên sinh viên ñể lập Ban cán lớp (BCB) Tính xác suất ñể Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân a/ BCB gồm nữ nam, b/ BCB có nữ, c/ BCB có hai nam hai nữ Giải Đặt Ak : “BCB có k nam sinh viên” có: ( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ), 5− k P ( Ak ) = k C C12 C520 a/ BCB gồm nữ nam Xác suất phải tính: P( A2 ) = C C12 C 520 = 77 323 b/ Đặt N: “BCB có nữ”, N = A5 Do ñó, P( N ) = P( A5 ) = − P( A5 ) =− C C12 C 520 = − 33 = 613 646 646 c/ Đặt H: “BCB có hai nam hai nữ” Do ñó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) C2 C 12 77 = 616 = + 323 969 C 20 1.6 Từ hộp chứa viên bi ñỏ viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên lần, lần viên bi, không hoàn lại Tính xác suất ñể lấy ñược a/ viên bi ñỏ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi thứ hai bi trắng Giải Với i ∈ {1, 2} , ñăt: Ti : “viên bi lấy lần thứ i bi trắng”, Di : “viên bi lấy lần thứ i bi ñỏ” a/ Đặt A :“lấy ñược viên bi ñỏ”, có: P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) P ( D2 / D1 ) = = 14 13 12 39 b/ Đặt B : “lấy ñược hai viên bi khác màu”, có: Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = + = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác suất phải tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) P ( D2 / T1 ) suy P (T2 ) = + = 13 12 13 12 13 1.7 Một công ty cần tuyển nhân viên Có người, gồm nam nữ nạp ñơn xin dự tuyển, người ñều có hội ñược tuyển Tính xác suất ñể người ñược tuyển, a) có nam; b) có nữ Giải Đặt Ak : “Có k nam ñược tuyển nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} Gọi A : “có nam” P ( A) = P ( A1 ) = C 51.C 33 = C 84 70 a) Gọi B : “có nữ” P ( B ) = − P (A4 ) = − C 54 13 = C 84 14 1.8 Một công ty cần tuyển nhân viên Có người, gồm nam nữ nạp ñơn xin dự tuyển, người ñều có hội ñược tuyển Tính xác suất ñể người ñược tuyển, a/ có không hai nam; b/ có ba nữ, biết có nữ ñã ñược tuyển Giải Đặt Ak : “Có k nam ñược tuyển nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} a/ Gọi C : “có không nam” C 51.C 33 + C 52 C 32 P (C ) = P (A1 ) + P (A2 ) = = C 84 b/ Gọi D : “chọn nữ, biết có nữ ñược tuyển” Gọi B : “Có nữ ñược chọn” Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Ta có P ( B ) = − P (A4 ) = − C 54 13 = C 84 14 P ( D ) = P (A1 | B ) = P (A1 ) = P (B ) 13 1.9 Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số khách hàng ñến cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách 15% khách thực hai ñiều Gặp ngẫu nhiên khách nhà sách Tính xác suất ñể người a/ không thực hai ñiều trên; b/ không mua sách, biết người ñã hỏi nhân viên bán hàng Giải Đặt A : “khách hàng cần tư vấn” B : “khách hàng cần mua sách” Theo ñề ta có: P ( A) = 0,3; P (B ) = 0, 2; P (AB ) = 0,15 a/ Xác suất khách hàng không cần mua sách không cần tư vấn là: ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A + P B − P AB = −  15  13 + − − 1 − = 10 10  100  20 b/ không mua sách, biết người ñã hỏi nhân viên bán hàng ( ) P B /A = 15 ( ) = P (A) − P (AB ) = 10 − 100 = P AB P (A) 1.10 P ( A) 10 Một ñiều tra cho thấy, thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y số người dùng Y , có 36,5% dùng X Phỏng vấn ngẫu nhiên người dân thành phố ñó, tính xác suất ñể người a/ Dùng X Y ; b/ Không dùng X , không dùng Y Giải Đặt A : “ người dân thành phố dùng sản phẩm X ” B : “ người dân thành phố dùng sản phẩm Y ” Theo ñề ta có: P (A ) = 0, 207; P ( B ) = 0,5; P ( A | B ) = 0,365 a) Xác suất người dân ñó dùng X Y P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác suất người dân ñó không dùng X Y ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A + P B − P AB = 0, 4755 1.11 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Một ñiều tra cho thấy, thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y số người dùng Y , có 36,5% dùng X Phỏng vấn ngẫu nhiên người dân thành phố ñó, tính xác suất ñể người a/ Dùng X Y ; b/ Dùng Y , biết người không dùng X Giải Đặt A : “ người dân thành phố dùng sản phẩm X ” B : “ người dân thành phố dùng sản phẩm Y ” Theo ñề ta có: P ( A) = 0,207; P (B ) = 0,5; P (A / B ) = 0,365 a/ Xác suất người dân ñó dùng X Y P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b/ Xác suất người dân ñó dùng Y , biết không dùng X ( ) P B /A = ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0,5 − 0,1852 = 0, 404 − 0, 207 P (A) P ( A) P AB 1.12 Theo ñiều tra xác suất ñể hộ gia ñình có máy vi tính thu nhập hàng năm 20 triệu (VNĐ) 0,75 Trong số hộ ñược ñiều tra 60% có thu nhập 20 triệu 52% có máy vi tính Tính xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên a/ có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu; b/ có máy vi tính, thu nhập 20 triệu Giải Đặt A : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính” B : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm 20 triệu” Theo ñề ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính thu nhập 20 triệu là: ( ) P AB = P ( A) − P ( AB ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07 1.13 Theo ñiều tra xác suất ñể hộ gia ñình có máy vi tính thu nhập hàng năm 20 triệu (VNĐ) 0,75 Trong số hộ ñược ñiều tra 60% có thu nhập 20 triệu 52% có máy vi tính Tính xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên a/ Có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu; b/ Có thu nhập hàng năm 20 triệu, biết hộ ñó máy vi tính Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải Đặt A : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính” B : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm 20 triệu” Theo ñề ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có thu nhập hàng năm 20 triệu máy vi tính là: ( ) P B /A = ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0, − 0, 45 = 0,3125 − 0,52 P (A ) P (A) P AB 1.14 Trong ñội tuyển có hai vận ñộng viên A B thi ñấu A thi ñấu trước có hy vọng 80% thắng trận Do ảnh hưởng tinh thần, A thắng trận có 60% khả B thắng trận, A thua khả B 30% Tính xác suất biến cố sau: a/ Đội tuyển thắng hai trận; b/ Đội tuyển thắng trận Giải Đặt M i : “vận ñộng viên i thắng” với i ∈ {A, B} ( ) Theo ñề ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, a/ Xác suất ñội tuyển thắng trận P ( M AM B ) = P ( M A ) P ( M B / M A ) = 0,8.0, = 0, 48 b/ Đội tuyển thắng trận nghĩa có hai vận ñộng viên A, B thắng Xác suất cần tính là: P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15 Trong ñội tuyển có hai vận ñộng viên A B thi ñấu A thi ñấu trước có hy vọng 80% thắng trận Do ảnh hưởng tinh thần, A thắng trận có 60% khả B thắng trận, A thua khả B 30% Tính xác suất biến cố sau: a/ B thắng trận; b/ Đội tuyển thắng có trận Giải Đặt M i : “vận ñộng viên i thắng” với i ∈ {A, B} ( ) Theo ñề ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, a/ Xác suất B thắng trận là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A ) + P M A P M B | M A = 0,54 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân b/ Đặt D : “ñội tuyển thắng trận” Xác suất ñội tuyển thắng trận là: ( ) ( ) P ( D ) = P M A M B + P M A M B = P ( M A ) − P ( M A M B ) + P ( M B ) − P ( M A M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 ` 1.16 Để thành lập ñội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh ñã qua vòng thứ vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai Để vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược vòng thi Tính xác suất ñể thí sinh a/ Được vào ñội tuyển; b/ Bị loại vòng thứ ba Giải Đặt Ai : “thí sinh ñược chọn vòng i ” với i ∈ {1, 2,3} Theo ñề ta có: P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA ) = 0, 45 a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển P ( AA 2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | AA ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Xác suất ñể thí sinh ñó bị loại vòng thứ III ( ) ( P A1A2 A3 = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P A3 / A1A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) (1 − P ( A3 | AA ) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1.17 Để thành lập ñội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh ñã qua vòng thứ vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai Để vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược vòng thi Tính xác suất ñể thí sinh a/ Được vào ñội tuyển; b/ Bị loại vòng thứ hai, biết thí sinh bị loại Giải Đặt Ai : “thí sinh ñược chọn vòng i ” với i ∈ {1, 2,3} Theo ñề ta có: P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA ) = 0, 45 a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển P ( AA 2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | AA ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Đặt K: “Thí sinh ñó bị loại” ( ) ( ) ( ) ( P ( K ) = P A1 + P A1 A2 + P AA A3 = − P ( A1 ) + P ( A1 ) − P ( AA ) + P AA A3 ) Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân ( ) = − P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) + P AA A3 = − 0,8.0, + 0,308 = 0, 748 Vậy, xác suất ñể thí sinh ñó bị loại vòng II, biết thí sinh ñó bị loại là: ( ) P A2 | K = ( P A2 K P (K ) ) = P (A A ) = P (A ) P (A 2 P (K ) P (K ) | A1 ) = 0,8 (1 − 0, ) = 0, 3209 0, 748 1.18 Một lô hàng có sản phẩm giống Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng Tính xác suất ñể sau lần kiểm tra, sản phẩm ñều ñược kiểm tra Giải Chia sản phẩm thành nhóm Gọi Ai : “Kiểm tra nhóm i ” i ∈ {1, 2,3} Đặt A :”Sau lần kiểm tra, sản phẩm ñều ñược kiểm tra” C 63 C 33 P (A1A2A3 ) = P (A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1A2 ) = = 1764 C9 C9 1.19 Một lớp học Trường Đại học AG có 2/3 nam sinh viên 1/3 nữ sinh viên Số sinh viên quê An Giang chiếm tỉ lệ 40% nữ sinh viên, chiếm tỉ lệ 60% nam sinh viên a) Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất ñể chọn ñược sinh viên quê An Giang Nếu biết sinh viên vừa chọn quê An Giang xác suất ñể sinh viên ñó nam bao nhiêu? b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên lớp Tính xác suất ñể có sinh viên quê An Giang, biết lớp học có 60 sinh viên Giải a) Đặt : B : “Chọn ñược sinh viên nữ” P ( B ) = C : “Chọn ñược sinh viên quê An Giang” A : “Chọn ñược sinh viên nam” P ( A) = P (C ) = P ( AC ) + P ( BC ) = P ( A) P (C | A) + P ( B ) P (C | B ) = Do ñó, P (A | C ) = 15 P (AC ) P (A)P (C | A) = = P (C ) P (C ) b) Lớp có 60 sinh viên suy có 40 sinh viên nam 20 sinh viên nữ Số sinh viên Nam quê An Giang: 24 Số sinh viên Nữ quê An Giang: Nên tổng số sinh viên quê An Giang 32 sinh viên F : “ít sinh viên quê An Giang” P (F ) = − P (F ) = − C 282 232 = C 602 295 1.20 10 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Có ba hộp A, B C ñựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng a/ Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc, tính xác suất ñể ñược lọ loại b/ Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp ñó lấy lọ thuốc ñược lọ tốt lọ hỏng Tính xác suất ñể hộp A ñã ñược chọn Giải a/ Ai :“lọ lấy từ hộp thứ i tốt” i ∈ {1, 2, 3} Nên, xác suất ñể ñược lọ loại P (A1.A2 A3 + A1.A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) 10 5 + = 15 10 10 15 10 10 15 b/ Đặt H i :“Lấy ñược hộp thứ i ” i ∈ {A, B,C } ; X :“Lấy ñược lọ hỏng lọ = tốt” P (X ) = P (H A ) P (X | H A ) + P (H B ) P (X | H B ) + P (HC ) P (X | HC ) = C 52C 101 C 42C 61 C 52C 51 5113 + + = 3 3 C 15 C 10 C 10 16380 Khi ñó xác suất ñể hộp A ñược chọn P (H A | X ) = P (XH A ) P (H A ) P (X | H A ) 1200 = = = 0, 2347 P (X ) P (X ) 5113 1.21 Có hai hộp B C ñựng lọ thuốc Hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, lấy ngẫu nhiên lọ thuốc từ hộp C ñược lọ hỏng Tính xác suất ñể a/ Lọ hỏng ñó hộp B bỏ sang; b/ Hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều lọ hỏng Giải Gọi C k : “Hai lọ thuốc lấy từ hộp B bỏ vào hộp C có k lọ hỏng” k ∈ {0,1, 2} ñặt D : “lọ thuốc lấy từ hộp C (sau ñã bỏ lọ từ B bỏ sang) bị hỏng” P (D ) = P (C ) P (D | C ) + P (C ) P (D | C ) + P (C ) P (D | C ) = a/ lọ hỏng ñó hộp B bỏ sang P (H | D ) = P (H 2D ) P (D ) = 29 60 P (C ) P (D | C ) + P (C ) P (D | C ) P (D ) C 1C 1 C 2  60 =  + 24  =  C 10 12 C 10 12  29 29 11 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân b/ hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều lọ hỏng P (C | D ) = P (C 2D ) P (D ) = P (C ) P (D | C ) P (D )  C C  60 42 =  24 17  = C 10 C 12  29 261 1.22 Trong ñội tuyển có vận ñộng viên A, B C thi ñấu với xác suất chiến thắng 0,6; 0,7 0,8 Giả sử người thi ñấu trận ñộc lập nhau.Tính xác suất ñể: a/ ñội tuyển thắng trận, b/ ñội tuyển thắng trận Giải Đặt : A : “vận ñộng viên A chiến thắng” P ( A) = 0, B : “vận ñộng viên B chiến thắng” P ( A) = 0, C : “vận ñộng viên C chiến thắng” P ( A) = 0,8 a/ Gọi K : “ ñội tuyển thắng trận” ( ) P (K ) = − P A.B.C = − P (A)P (B )P (C ) = 0, 976 b/ Gọi E : “ ñội tuyển thắng trận” ( ) ( ) ( ) P (E ) = P A.B.C + P A.B.C + P A.B.C = 0, 452 1.23 Trong ñội tuyển có vận ñộng viên A, B C thi ñấu với xác suất chiến thắng 0,6; 0,7 0,8 Giả sử người thi ñấu trận ñộc lập nhau.Tính xác suất ñể: a/ Đội tuyển thắng trận, b/ A thua trường hợp ñội tuyển thắng trận Giải Đặt : A : “vận ñộng viên A chiến thắng” P ( A) = 0, B : “vận ñộng viên B chiến thắng” P ( A) = 0, C : “vận ñộng viên C chiến thắng” P ( A) = 0,8 a/ Gọi K : “ ñội tuyển thắng trận” ( ) P (K ) = − P A.B.C = − P (A)P (B )P (C ) = 0, 976 b/ A thua trường hợp ñội tuyển thắng trận Gọi E : “ ñội tuyển thắng trận” ( ) ( ) ( ) P (E ) = P A.B.C + P A.B.C + P A.B.C = 0, 452 12 Bài tập Xác suất thống kê ( ) P A|E = Diệp Hoàng Ân P (A.E ) P ( ABC ) 56 = = ≈ 0, 4956 P (E ) P (E ) 113 1.24 Trong năm học vừa qua, trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán 34%, thi trượt môn Tâm lý 20,5%, số sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý Gặp ngẫu nhiên sinh viên trường XYZ a/ Tính xác suất ñể trượt hai môn Toán Tâm lý; ñậu hai môn Toán Tâm lý b/ Nếu biết sinh viên trượt môn Tâm lý xác suất ñể ñậu môn Toán bao nhiêu? Giải T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34 L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 ñó P (L | T ) = 0, a/ Xác suất sinh viên truợt môn môn Toán Tâm Lý P (T L) = P (T ) P (L | T ) = 0, 34.0, = 0,17 Xác suất sinh viên ñậu môn Toán Tâm Lý ( ) P T L = − P (T ∪ L) = − P (T ) − P (L ) + P (T L ) = 0, 625 b/ Xác suất sinh viên ñậu môn Toán, biết trượt môn Tâm Lý: ( ) P T |L = ( ) = P (L) − P (TL) = P TL P (L ) P (L ) 41 1.25 Trong năm học vừa qua, trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán 34%, thi trượt môn Tâm lý 20,5%, số sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên trường XYZ Nhiều khả có sinh viên thi trượt hai môn Toán Tâm lý Tính xác suất tương ứng Đáp số Gọi T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34 L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 ñó P (L | T ) = 0, Xác suất sinh viên truợt môn môn Toán Tâm Lý P (T L) = P (T ) P (L | T ) = 0, 34.0, = 0,17 Nên, Sinh viên trượt Toán Tâm lý với xác suất không ñổi p = 0,17 13 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Do ñó, chọn 12 sinh viên nghĩa thực 12 phép thử Bernoulli với xác suất thành công (trượt Toán Tâm lý) không ñổi p = 0,17 số sinh viên nhiều khả trượt hai môn (n + 1) p  = 13.0,17 =  Xác suất tương ứng P12 ( ) = C  12 ( 0,17 ) (1 10 − 0,17 ) = 0, 296 1.26 Trong năm học vừa qua, trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán 34%, thi trượt môn Tâm lý 20,5%, số sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý Phải chọn sinh viên trường XYZ cho, với xác suất không bé 99%, số ñó có sinh viên ñậu hai môn Toán Tâm lý Giải T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34 L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 ñó P (L | T ) = 0, Xác suất sinh viên ñậu môn Toán Tâm Lý ( ) P T L = − P (T ∪ L) = − P (T ) − P (L ) + P (T L ) = 0, 625 Gọi n số sinh viên cần chọn Xác suất ñể sinh viên ñậu hai môn Toán Tâm Lý không ñổi p = 0, 625 nên ta có trình Bernoulli B ( n, p ) Đặt E : “ sinh viên ñậu hai môn Toán Tâm Lý ” Theo yêu cầu toán ta ñược n P (E ) = − Pn (0) = − (1 − 0,625) ≥ 0, 99 n n ⇔ 0, 01 ≥ (0, 375) ⇔ ln 0, 01 ≥ ln (0, 375) ⇔ n ≥ 4, 69 Vậy, chọn sinh viên 1.27 Ba máy 1, xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% 10% tổng số sản phẩm xí nghiệp Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy trên, theo thứ tự, 2%, 3% 4% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng xí nghiệp, ñó ñể lẫn lộn sản phẩm máy sản xuất a/ Tính xác suất ñể sản phẩm lấy sản phẩm tốt Ý nghĩa xác suất ñó ñối với lô hàng gì? b/ Nếu sản phẩm lấy ñược phế phẩm, nhiều khả máy sản xuất? Giải Đặt M i : “sản phẩm lấy máy i sản xuất” với i ∈ {1, 2,3} P ( M1 ) = 0, 6; P ( M ) = 0,3; P ( M ) = 0,1 Và T :“sản phẩm lấy phế phẩm” P (T | M ) = 0, 98; P (T | M ) = 0, 97; P (T | M ) = 0, 96 14 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân a/ T :”sản phẩm lấy sản phẩm tốt” P (T ) = P (M ) P (T | M ) + P (M ) P (T | M ) + P (M ) P (T | M ) = 0, 975 Ý nghĩa, xác suất thể tỉ lệ sản phẩm tốt lô hàng b/ Xác suất lấy sản phẩm phế phẩm () P T = − P (T ) = 0, 025 Theo công thức Bayes ) = P (M )P (T | M ) = 0, 6.0, 02 = 0, 48 ( ) PT 0, 025 P (T ) () P (M T ) P (M ) P (T | M ) 0, 3.0, 03 P (M | T ) = = = = 0, 36 0, 025 P (T ) P (T ) P (M T ) P (M ) P (T | M ) 0,1.0, 04 P (M | T ) = = = = 0,16 0, 025 P (T ) P (T ) P M1 | T = ( P M 1.T 1 2 3 3 Do ñó, sản phẩm máy sản xuất phế phẩm nhiều 1.28 Chia ngẫu nhiên vé số, ñó có vé trúng thưởng, ñều cho người (mỗi người tấm) Tính xác suất ñể người ñều ñược trúng thưởng Giải Đặt Ai : “Người mua vé thứ i ñược vé trúng thưởng” với i ∈ {1, 2,3} P (A1A2A3 ) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (A3 | A1A2 ) = C 31C 62 C 21C 42 C 11C 22 = 28 C9 C6 C3 1.29 Trong số bệnh nhân ñang ñược ñiều trị bệnh viện, có 50% ñiều trị bệnh A, 30% ñiều trị bệnh B 20% ñiều trị bệnh C Tại bệnh viện này, xác suất ñể chữa khỏi bệnh A, B C, theo thứ tự, 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân ñã ñược chữa khỏi bệnh bệnh viện Giải Đặt Ti : “bệnh nhân ñiều trị bệnh i ” với i ∈ {A, B ,C } K : “bệnh nhân ñược khỏi bệnh” Theo ñề ta có: P (TA ) = 0,5; P (TB ) = 0,3; P (TC ) = 0, P (K / TA ) = 0, 7; P (K / TB ) = 0,8; P ( K / TC ) = 0,9 Xác suất ñể bệnh nhân khỏi bệnh 15 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân C P ( K ) = ∑ P (Ti ).P ( K / Ti ) = 0,5.0, + 0,3.0,8 + 0, 2.0,9 = 0, 77 i =A Xác suất ñể bệnh nhân trị khỏi bệnh A P (TA | K ) = P (TA ) P ( K | TA ) P (K ) = 0,5.0, = 45, 45% 0, 77 1.30 Có hai bình sau: Bình A chứa bi ñỏ, bi trắng bi xanh; bình B chứa bi ñỏ bi trắng Gieo xúc xắc vô tư: Nếu mặt mặt xuất chọn ngẫu nhiên bi từ bình B; trường hợp khác chọn ngẫu nhiên bi từ bình A Tính xác suất ñể chọn ñược viên bi ñỏ Nếu viên bi trắng ñược chọn, tính xác suất ñể mặt xúc xắc xuất Giải Đặt X : “Gieo xúc xắc ñược mặt hoăc mặt 5”, P (X ) = D : “Lấy từ bình bi bi ñỏ” Ta có 1 C3 C5 P (D ) = P (X )P (D | X ) + P (X )P (D | X ) = + = C8 C 16 Gọi T : “một viên bi ñược chọn bi trắng” 1 C5 C3 P (T ) = P (X )P (T | X ) + P (X )P (T | X ) = + = C8 C 16 Đặt E : “gieo xúc xắc ñược mặt 5” Xác suất mặt xuất hiện, biết bi ñược chọn bi trắng P (E | T ) = P (XT ) P (X )P (T | X ) 1 5 = = = P (T ) 2 16 P (T ) 1.31 Có hai bình sau: Bình A chứa bi ñỏ, bi trắng bi xanh; bình B chứa bi ñỏ bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ bình A bỏ vào bình B, từ bình B lấy ngẫu nhiên viên bi ñược bi ñỏ Theo ý bạn, viên bi ñó vốn thuộc bình nào? Giải Gọi Ak : “ có k bi ñỏ viên bi lấy từ bình A bỏ vào bình B” với k ∈ {0,1, 2,3} Đặt F : “Lấy bi từ bình B bi ñỏ” C 113 C 51C 112 P (F ) = ∑ P (Ak )P (F | Ak ) = + + C 16 11 C 163 11 k =0 C 2C C3 63 + 11 + 53 = C 16 11 C 16 11 176 Đặt G : “bi ñỏ sau lấy từ bình B” 16 Bài tập Xác suất thống kê P (G ) = C 31 C Do ñó P (G | F ) = 11 = Diệp Hoàng Ân 11 P (GF ) P (F ) = P (G ) P (F ) = 176 16 = > 11 63 21 Vậy, bi ñỏ sau nhiều khả bình B 1.32 Có hai chuồng nuôi thỏ Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ nâu; chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Từ chuồng bắt ngẫu nhiên ñể nghiên cứu Các thỏ lại ñược dồn vào chuồng thứ ba Từ chuồng thứ ba lại bắt ngẫu nhiên thỏ Tính xác suất ñể thỏ bắt sau thỏ nâu Giải B : “Thỏ bắt chuồng nghiên cứu thỏ nâu” P (B ) = 10 Gọi N : “Thỏ bắt chuồng nghiên cứu thỏ nâu ” Đặt A : “Thỏ bắt chuồng nghiên cứu thỏ nâu ” P (A) = ( ) ( ) ( ) = P (A.B ) P (N | A.B ) + P (A.B ) P (N | A.B ) + + P (A.B ) P (N | A.B ) + P (A.B ) P (N | A.B ) = P (A) P (B ) P (N | A.B ) + P (A) P (B ) P (N | A.B ) + + P (A) P (B ) P (N | A.B ) + P (A) P (B ) P (N | A.B ) P (N ) = P (A.B.N ) + P A.B.N + P A.B.N + P A.B.N = P (A) P (B ) 5 38 +P A P B + P A P (B ) + P (A) P B = 14 14 14 14 105 () ( ) () () 1.33 Ban giám ñốc công ty liên doanh với nước ñang xem xét khả ñình công công nhân ñể ñòi tăng lương hai nhà máy A B Kinh nghiệm cho họ biết ñình công nhà máy A B xảy với xác suất 0,75 0,65 Ngoài ra, họ biết công nhân nhà máy B ñình công có 90% khả ñể công nhân nhà máy A ñình công ủng hộ a/ Tính xác suất ñể công nhân hai nhà máy ñình công b/ Nếu công nhân nhà máy A ñình công xác suất ñể công nhân nhà máy B ñình công ñể ủng hộ bao nhiêu? Giải Đặt : A : “ Công nhân ñình công nhà máy A” P (A) = 0, 75 17 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân B : “Công nhân ñình công nhà máy B” P (B ) = 0, 69; P (A | B ) = 0, a/ Xác suất công nhân ñình công nhà máy P ( AB ) = P ( A) P ( A | B ) = 0, 65.0, = 0, 585 b/ Nếu công nhân nhà máy A ñình công xác suất ñể công nhân nhà máy B ñình công P ( B | A) = P ( AB ) P ( A) = 0, 585 = 0, 78 0, 75 1.34 Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% cân ñối thu chi chứa sai lầm Trong chứa sai lầm, 60% ñược xem giá trị bất thường so với số xuất phát từ gốc Trong tất cân ñối thu chi 20% giá trị bất thường Nếu số bảng cân ñối tỏ bất thường xác suất ñể số sai lầm bao nhiêu? Giải Đặt A : “bản cân ñối thu chi chứa sai lầm” P (A) = 0,15 B : “bản cân ñối thu chi chứa giá trị bất thường” P (B ) = 0, 2; P (B | A) = 0, Xác suất số bảng cân ñối tỏ bất thường sai lầm: P (A | B ) = P ( AB ) P (B ) = P ( A) P ( B | A) P (B ) = 0, 15.0, = 0, 45 0, 1.35 Một hãng sản xuất loại tủ lạnh X ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có ñọc quảng cáo tủ lạnh hãng sản xuất Trong số người ñọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không ñọc quảng cáo mua loại tủ lạnh X Tính xác suất ñể người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo Giải Đặt A : “người ñó ñọc quảng cáo” P (A) = 0, ( ) B : “người ñó mua tủ lạnh X” P ( B / A) = 0, 3; P B / A = 0, Trước tiên tính xác suất ñể người mua tủ lạnh X ( ) ( ) ( ) P ( B ) = P ( AB ) + P AB = P ( A ) P ( B / A ) + P A P B / A = 0, 26 Xác suất ñể người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo: P (A | B ) = P ( AB ) P (B ) = P ( A ) P ( B | A ) P (B ) = 0, 8.0, 12 = 0, 26 13 1.36 Trên bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập Hệ thống I gồm bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm bóng mắc song song Khả bị hỏng bóng 18 thắp sáng liên tục 0,1 Việc hỏng bóng hệ thống ñược xem ñộc lập Tính xác suất ñể a/ Hệ thống I bị hỏng; 18 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân b/ Hệ thống II không bị hỏng Giải a/ Đặt Ai :”bóng ñèn thứ i hệ thống I bi hỏng” i ∈ {1, 2, 3, 4} Xác suất hệ thống I bị hỏng P (A) = P (A1 + A2 + A3 + A4 ) = − P (A1.A2 A3 A4 ) = − 0, 94 = 0, 3439 b/ Đặt B j :”bóng ñèn thứ j hệ thống II bi hỏng” j ∈ {1,2, 3} Xác suất hệ thống II không bị hỏng P (B1 + B2 + B3 ) = − P (B1.B2 B3 ) = − 0,1.0,1.0,1 = 0, 999 1.37 Trên bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập Hệ thống I gồm bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm bóng mắc song song Khả bị hỏng bóng 18 thắp sáng liên tục 0,1 Việc hỏng bóng hệ thống ñược xem ñộc lập Tính xác suất ñể a/ Cả hai hệ thống bị hỏng; b/ Chỉ có hệ thống bị hỏng Giải a/ Đặt Ai : “bóng ñèn thứ i hệ thống I bi hỏng” i ∈ {1, 2, 3, 4} B j :”bóng ñèn thứ j hệ thống II bi hỏng” j ∈ {1,2, 3} Xác suất hệ thống I bị hỏng ( ) P (A) = P (A1 + A2 + A3 + A4 ) = − P A1.A2 A3 A4 = − 4.0, = 0, 3439 Xác suất hệ thống II bị hỏng là: P (B ) = P (B1.B2 B3 ) = 0, 001 Nên, xác suất hai hệ thống bị hỏng P (AB ) = P (A)P (B ) = 0, 3439.0, 001 = 0, 0003439 b/ Xác suất có hệ thống bị hỏng P (AB + AB ) = P (A)P (B ) + P (A)P (B ) = 0, 34212 1.38 Một lô hàng gồm nhiều bóng ñèn, ñó có 8% bóng ñèn xấu Một người ñến mua hàng với qui ñịnh: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng ñèn ñem kiểm tra có nhiều bóng ñèn xấu không nhận lô hàng Tính xác suất ñể lô hàng ñược chấp nhận Giải Việc kiểm tra 10 bóng ñèn, nghĩa thực 10 phép thử Bernoulli, với xác suất “thành công” gặp bóng xấu p = 0, 08 (không ñổi) Khi ñó P10 (k ; 0, 08 ) = C nk 0, 08k 0, 9210 −k , k = 0, 1, 2, , 10 ( k :số lần thành công 10 phép thử) Đặt A : “nhận lô hàng” 19 Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 10 P (A) = P10 (0; 0, 08) + P10 (1; 0, 08) = (0, 92) − C 101 0, 88 (0, 92) = 0, 812 1.39 Một nhóm nghiên cứu ñang nghiên cứu nguy cố nhà máy ñiện nguyên tử gây rò rỉ phóng xạ Nhóm nghiên cứu nhận thấy loại cố là: hoả hoạn, gãy ñổ vật liệu sai lầm người, hay nhiều cố không xảy Nếu có hỏa hoạn rò rỉ phóng xạ xảy khoảng 20% số lần Nếu có gãy ñổ vật liệu rò rỉ phóng xạ xảy khoảng 50% số lần, có sai lầm người rò rỉ xảy khoảng 10% số lần Nhóm nghiên cứu tìm ñược xác suất ñể: Hoả hoạn rò rỉ phóng xạ xảy 0,0010, gãy ñổ vật liệu rò rỉ phóng xạ xảy 0,0015, sai lầm người rò rỉ phóng xạ xảy 0,0012 Tìm xác suất ñể a/ có hoả hoạn; có gãy ñổ vật liệu có sai lầm người; b/ có rò rỉ phóng xạ; c/ rò rỉ phóng xạ ñược gây sai lầm người Giải Đặt A : “xảy hỏa hoạn” B : “xảy gãy ñổ” C : “xảy sai lầm người” D : “sự rò rỉ phóng xạ” Ta có P (D | A) = 0,2; P (D | B ) = 0, 5; P (D | C ) = 0,1 P (DA) = 0, 001; P (DB ) = 0, 0015; P (DC ) = 0, 0012 a/ Xác suất có hoả hoạn P ( A) = P ( AD ) P ( D | A) = 0, 005 Xác suất có gãy ñổ vật liệu P (B ) = P ( BD ) P (D | B ) = 0, 003 xác suất sai lầm người P (C ) = P (CD ) P (D |C ) = 0, 0012 b/ Xác suất có rò rỉ phóng xạ xảy ra: P ( D ) = P ( AD ) + P ( BD ) + P (CD ) = 0, 001 + 0, 0015 + 0, 0012 = 0, 0037 c/ Xác suất rò rỉ phóng xạ ñược gây sai lầm người P (C | D ) = P (CD ) P (D ) = 0, 0012 12 = 0, 0037 37 1.40 20