Lên đại học bạn không chỉ đối mặt với nhiều bỡ ngỡ về một môi trường hoàn toàn mới, bạn bè cũng mới tuốt, style đi học cũng khác, giờ giấc nội quy cũng vậy. Thế rồi bạn bắt gặp bộ môn mang tên Toán cao cấp, bạn mừng rơn (hoặc có thế không) khi có cái gì đó thân quen với 12 năm đi học đã khắc sâu trong tâm trí. Nhưng không, cơn ác mộng khác ập đến khi bạn nhận ra ngoài vài thứ quen thuộc ra thì cái gì cũng mới cả, cảm giác như sau kỳ thi Đại học, đầu óc như bị tẩy não vậy
Bài Tập chương I 1.1 Tuổi thọ PC tính từ lúc bắt đầu hoạt động đến hỏng a) Xác định thí nghiệm ngẫu nhiên gắn với tuổi thọ PC b) Không gian mẫu gì? c) Xác định biến cố xung khắc d) Xác định biến cố có giao khác trống Ans S � (0; �); (0;1000) and (�2000); (0; 1000) and (900; 2000) 1.2.* Các khách hàng lui tới máy rút tiền tự động Họ muốn rút lượng tiền ngẫu nhiên 50 ngàn đồng Hãy rõ không gian mẫu Đây phải không gian mẫu rời rạc? Chỉ biến cố quan tâm Ans S {50,100, ,104}; yes, and finite; (�103); (103; 5.103); (5.103 �104) (to me!) 1.3.** Xét thí nghiệm ngẫu nhiên tung xúc xắc đơn lần đếm số dấu chấm mặt Giả sử P({6}) 0,3 tất mặt khác đồng khả Tìm xác suất biến cố A {2, 4, 6}, B {1, 5}, C {1, 2, 3, 4}, and D A �(B �C) Ans 0.58; 0.28; 0.56; 0.44 Solve Ta có P(6)=0.3 suy năm mặt còn lại cổng xs 0.7 Do đó: P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=0.14 P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=0.14+0.14+0.3=0.58 P(B)=P(1)+P(5)=0.14+0.14=0.28 P(C)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=4*0.14=0.56 P(D)=P{1,2,4,6}=0.14+0.14+0.14+0.3=0.72 01.4 Let P(A) =0.9; P(B) =0.8 1.5.* Cho (c) P A �B Chứng tỏ P A dzB P(A) =0.9, P(B) =0.8; P A �B 0.75, tìm 0.7 (a) P A �B ; (b) P A B ; Ans 0.95; 0.15; 0.05 Solve Do A,B biến ngẫu nhiên tùy ý nên xs cần tính là: P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.75=0.95 Xác suất b là: P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.9-0.75=0.15 Xác suất c là: P(c)=1-P(AB)=1-(P(A)+P(B)-P(A+B))=1-(0.9+0.8-0.95)=0.25 1.6 Chứng minh bất đẳng thức Boole �n � n P� A � A U i� � � � i i 1 � � i 1 1.7.** Xét mạch điện hình vẽ Các cơng tắc đóng mở với khả Tìm xác suất để có đường dẫn đầu nối A B S (i,j,k,l); i,j,k,l 0,1 Hint Then S contains 24 16 points They are equally likely (prob 1/16) A Solve Ans 0.688 B Có tất 24=16 cách mắc thành mạch điện Và có 11 cách mắc thành mạch kín nối A B Suy có: P= 11 =0.6875 16 1.8 Chúng ta đặt ngẫu nhiên n hạt (phân tử) vào m > n hộp Tìm xác suất P để hạt tìm thấy n hộp chọn trước (mỗi hạt hộp) Xét trường hợp sau: (a) M–B (Maxwell-Boltzmann) – hạt coi khác nhau; tất khả được, (b) B–E (Bose-Einstein) – Khơng thể phân biệt hạt, tất khả được, (c) F–D (Fermi-Dirac) – Khơng thể phân biệt hạt, hộp chứa nhiều hạt Ans n! m n ! m! n! mn n! m 1 ! ; m n 1 ! ; 1.9* Một thí nghiệm ngẫu nhiên có khơng gian mẫu S a, b,c Giả sử P a,c 0.75 P b,c 0.6 Tím xác suất biến cố sơ cấp ĐS P a 0.4, P b 0.25, P c 0.35 Solve Có P(a)+P(b)+P(c)=1 P(a)+P(c)=0.75 P(b)+P(c)=0.6 Suy ra: P(a)=0.4;P(b)=0.25;P(c)=0.35; 1.10* Giả sử có m sinh viên sinh năm 1990 tham dự giảng Tìm xác suất có sinh viên trùng ngày sinh chứng tỏ p 1/ m 23 ĐS 1 (365)!/{(365 m)!365m} Solve Gọi A biến cố có hai sinh viên trùng ngày sinh Ᾱ biến cố sinh viên sinh cùng ngày Suy P(A)=1-P(Ᾱ) Mỗi sinh viên có ngày sinh khơng trùng Do có: m C365 cách chọn Mà có tất 365m khả xảy 365! Do vậy:P(A)=1- (365 m)!365m Chứng tỏ P>1/2 m=23 1.11 Khi chơi xì, bạn chia ngẫu nhiên quân Với quy ước quân át coi cao thấp, rằng: P 1pair ; 0,423; P pair ; 0,0475; P of kind ; 0,021; P of kind ; 0,00024; P straight ; 0,0039; P full house ; 0,0014 Hint 3 2 1 2 C1 13 C4 C12 (C4) ; C13 (C4) C11 C4; C13 C4 C12 (C4) 1 C1 13 C4 C12 (C4) ; 10(C4) 10C4; C4C13 1.12** (Một) Tàu hỏa xe bus tới ga thời điểm ngẫu nhiên từ đến 10 Tàu dừng 10 phút còn xe bus dừng a phút Tìm a để xác suất xe khách tàu hỏa gặp 0,5 Hint Let s and t be the moment that the train and the bus arrive, respectively They meet iff (if and only if) [s;s 10] �[t; t a] �� Ans 60 1100 Min Solve 1.13 Có đồng tiền, cân đối, có mặt sấp Rút ngẫu nhiên đồng tiền, tung lần mặt sấp Tím xác suất đồng tiền rút đồng tiền cân đối Ans 1/5 1.14 Chứng tỏ là: a) P A B �0 ; P A B theo (1.2.1) thỏa mãn tiên đề xác suất, b) P S B ; c) P A1 �A B P A1 B P A B 1.15* Chứng minh 1.16 Chứng minh if A1 �A � P A B P A P A P B P B A P B P A B P B A Hướng dẫn: Dùng ĐN xác suất điều kiện 1.17** Xét thí nghiệm tung xúc xắc cân đối Biết tổng không vượt a) Tìm xác suất biến cố mặt giống thông tin nêu b) Tìm xác suất biến cố với thơng tin cho Ans 1/ 6; 1/ solve a) gọi A biến cố có hai mặt giống số khả xảy với A là: tổng số khả xảy với hai xx là:36 suy P(A)= ; 36 b) số khả xảy với hai xx với điều kiện ban đầu, là: 1.18** Hai nhà máy sản xuất linh kiện giống Nhà máy sản xuất 1000 linh kiện, 100 hỏng Nhà máy sản xuất 2000 linh kiện, có 150 hỏng Chọn ngẫu nhiên linh kiện thấy bị hỏng Tìm xác suất nhà máy sản xuất ĐS 0,4 Slove Gọi Ai linh kiện máy i sản xuất (i=1,2) B biến cố chọn linh kiện hỏng Theo định lý đầy đủ ta có: 100 *0.5 P ( B | A1 ).P ( A1 ) 1000 0.57 P(A1|B)= P( B | A ).P( A ) P( B | A ).P( A ) = 100 150 1 2 *0.5 *0.5 1000 2000 1.19 Lô hàng 100 chip bán dẫn có chứa 20 chíp bị hỏng Chọn ngẫu nhiên không lặp lại a) Xác suất thứ bị hỏng bao nhiêu? b) Xác suất thứ bị hỏng biết thứ bị hỏng? c) Xác suất để bị hỏng? 0.192; 0.0384 Ans 0.2; 1.20* Hộp gồm 1000 bóng đèn 10%bị hỏng Hộp gồm 2000 bóng 5% bị hỏng Hai bóng rút từ hộp chọn ngẫu nhiên a) Tìm xác suất hai bóng bị hỏng b) Giả sử bóng bị hỏng, tìm xác suất để chúng rút từ hộp 1; tìm xác suất để bóng rút từ hộp chọn bóng hỏng Hint A {two picked bulbs are from the box 1}, Ci {the ith bulb is defective} Ans 0.005; 0.661; 0.081 Slove Gọi B biến cố lấy hai bóng hỏng Ai biến cố rút từ hộp thứ I (i=1,2) Theo giả thiết hai hộp có 100 bóng hỏng a) xác suất cần tính P là: P=P(B)=P(B|A1).P(A1)+P(B|A2).P(A2)= 2 C100 C100 0,5.+ 0,5=0,0062 2 C1000 C2000 b)hai bóng hỏng rút từ hộp có xác suất P1 là: C100 0,5 P1=P(A1|B)= P( B | A1 ).P( A1 ) C1000 =0,799 P( B) 0, 0062 1.21** Giả sử xét nghiệm để phát loại bệnh người ta thu kết sau Đặt A = biến cố người kiểm tra có bệnh B = biến cố kết kiểm tra dương tính Biết P B A 0.99; P B A 0.005 0.1 % dân số bị bệnh Tính xác suất người bị bệnh biết kết kiểm tra dương tính Ans 0.165 1.22* Xét kênh thông tin nhị phân Đầu vào X kênh xem trạng thái Do có nhiễu kênh truyền, đầu có thê rứng với đầu vào ngược lại Kênh đặc trương xác suất truyền kênh p0 ,q , p1, q1, xác định theo p0 P y1 x ,p1 P y0 x1 ,q P y0 x and q1 P y1 x1 , x0 x1 ký hiệu biến cố (X = 0) (X = 1), tương ứng; y y1 ký hiệu biến cố (Y 0) (Y 1) tương ứng Chú ý p0 + q0 = = p1 + q1 Đặt P(x0) = 0.5, p0 = 0.1, p1 = 0.2 q0 X Y a) Tìm P(y0) P(y1) b) Nếu thấy đầu ra, xác suất để (đã) trạng thái đầu vào? c) Nếu thấy đầu ra, xác suất để (đã) trạng thái đầu vào? d) Tính xác suất sai lầm 0.15 Pe Ans 0.55, 0.45; 0.818; 0.889; 1.23* Bao nhiêu phương trình bạn cần để thiết lập tính độc lập biến cố? Ans 65 1.24 Giả sử S [0; 1] �[0; 1] Cho P(A) diện tích A Tìm biến cố độc lập A, B mà khơng có dạng chữ nhật 1.25** Một hệ thống thành phần riêng rẽ xem hệ song song hoạt động thành phần hoạt động Giả sử thành phần hỏng hóc cách độc lập xác suất hỏng thành phần thứ i pi , i 1,2, ,n Tìm xác suất để hệ hoạt động c1Ans A c2 n 1 �pi i 1 B � cn 1.26** Giả sử S không gian mẫu thí nghiệm S A, B,C , P A p, P B q, P C r , với p,q,r Lặp lại thí nghiệm vơ hạn lần giả sử thí nghiệm thành cơng độc lập Tìm xác suất để biến cố A xảy lần sau thí nghiệm thứ n sau tìm xác suất biến cố A xảy trước biến cố B Ans 1, P(A) / P(A) P(B) Bài tập chương II 2.1** Một nguồn thông tin sinh ký hiệu gồm chữ a, b, c, d cách ngẫu nhiên với xác suất P(a) 1/2, P(b) 1/ 4, P(c) P(d) lược đồ mã mã hóa ký hiệu thành mã nhị phân sau: a: b : 10 c : 110 1/ Một d : 111 Gọi X BNN ký hiệu độ dài mã, số ký hiệu nhị thức (số bit) Tập giá trị X gì? Giả sử việc sinh ký hiệu độc lập, tính xác suất P(X 3) P(X 1), P(X 2), P(X 3), Ans 1, 2, 3 ; 1 ; ; ; 4 Solve Theo giả thiết ta có: a có kí tự, b có hai kí tự, c có ba kí tự, d có ba kí tự Do tập giá trị X là: {1,2,3} Tính xác suất: P(X=1)=P(a)=1/2; P(X=2)=P(b)=1/4; P(X=3)=P(c)+P(d)=1/8+1/8=1/4; P(X>3)=0; 2.2* Xét thí nghiệm ném phi tiêu vào đĩa hình tròn bán kính đơn vị Gọi X biến ngẫu nhiên khoảng cách từ điểm phi tiêu chạm vào đĩa tới tâm đĩa Giả sử phi tiêu rơi vào đĩa chạm vào điểm đĩa với khả Tìm P(X a) v�P(a X b), (a b �1) Ans a2; b2 a2 Solve Theo cơng thức xác suất hình học ta có: S( r a ) P(X