Bài tập xác suất thống kê có đáp án

` TA ˆ P XAC ´ SUA ˆ´T BAI Cˆ au 1: C´ o lˆo sa’n phˆa’m, mˆo˜i lˆo c´o 10 sa’n phˆa’m Lˆo th´u i c´o i sa’n phˆa’m xˆa´u (i = 1,2,3) Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen o’ mˆo˜i lˆo mˆo.t sa’n phˆa’m T´ınh c´ac x´ac xuˆa´t sau: a) Ca’ sa’n phˆa’m d¯`ˆeu tˆo´t b) C´o d¯u´ng hai sa’n phˆa’m tˆo´t Gia’i: a) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ca’ sa’n phˆa’m l`a tˆo´t Ai biˆe´n cˆo´ sa’n phˆa’m thuˆo.c lˆo th´u i, (i = 1, 2, 3) l`a tˆo´t Khi d¯´o ta c´o: A = A1 A2 A3 , v`ı A1 , A2 , A3 d ¯ˆo.c lˆa.p d¯o´: P (A) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) Vˆa.y P (A) = 0, 9.0, 8.0, = 0, 504 b) Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u´ng sa’n phˆa’m tˆo´t Khi d¯o´ ta c´o: B = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 P (B) P (B) ´c xung kh˘ a = P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) d ¯ˆ o.c lˆ a.p = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) P (B) = 0, 398 Vˆa.y `om 1000 linh kiˆe.n A, 800 linh kiˆe.n B, 2000 linh kiˆe.n C Cˆ au 2: Mˆ o.t m´ay t´ınh gˆ ´ `an lu.o t l`a 0,001; 0,005 v`a 0,002 M´ay ’ ’ X´ac suˆat hong cua loa.i linh kiˆe.n d¯o´ lˆ `eu ho.n Gia’ su’ c´ac linh kiˆe.n t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ ng sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng nhiˆ ho’ng d¯ˆo.c lˆa.p a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o ho.n linh kiˆe.n loa.i A ho’ng b) T`ım x´ac xuˆa´t d¯ˆe’ m´ay t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ ng Gia’i: a) Go.i X1 , X2 , X3 l`a sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng tu.o.ng u´.ng cu’a c´ac loa.i A, B, C P (X1 > 1) = − P (X ≤ 1) = − [P (X1 = 0) + P (X1 = 1)] Trong tru.`o.ng ho p d˜ay ph´ep thu’ d¯ˆo.c lˆa.p c´o n l´o.n v`a p nho’ ta ´ap du.ng k d¯.inh l´y Poisson : Pn (k) ≈ e−λ λk! , d¯o´ λ = np Vˆa.y P (X1 > 1) = − [e−1 10! + e−1 11! ] = − 2e b) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ m´ay ngu.ng hoa.t d¯ˆo.ng Khi d¯´o P (A) = − P (A) P (A) = P [(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) ∪ (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0) ∪ (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0) ∪ (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1)] = P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 0) + P (X1 = 1)P (X2 = 0)P (X3 = 0) + P (X1 = 0)P (X2 = 1)P (X3 = 0) + P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 1) Vˆa.y P (A) = − P (A) = − 10 e9 Cˆ au 3: Mˆ o.t ngu `o i nuˆoi 100 g`a m´ai X´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t bˆa´t k`y d¯e’ tr´u.ng l`a 0,6 T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o: - u´ng 60 d¯e’ tr´u.ng ng`ay a) D b) Khˆong ´ıt ho.n 60 d¯e’ tr´u.ng ng`ay Gia’i: a) k − np ϕ( √ ) npq npq 60 − 100 × 0, √ ϕ( √ ) 100 × 0, × 0, 100 × 0, × 0, 1 = √ ϕ(0) = √ 0.399 = 0, 816 6 P100 (60) ≈ √ b) 100 − 100 × 0, 60 − 100 × 0, P100 (60; 100) ≈ Φ( √ ) − Φ( √ ) = Φ(8, 1) ≈ 0, 100 × 0, × 0, 100 × 0, × 0, `a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nh`a m´ay c´o chˆa´t Cˆ au 4: Qua thˆ o´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘ lu.o ng cao Tuy nhiˆen d¯o.n gia’n ho´a qu´a tr`ınh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o ng sa’n phˆa’m th`ı 2% sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o ng cao s˜e khˆong d¯u.o c cˆong nhˆa.n n˜u.a v`a 5% sa’n phˆ a’m khˆong c´o chˆa´t lu.o ng la.i d¯u.o c cˆong nhˆa.n l`a c´o chˆa´t lu.o ng cao H˜ay t`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sau kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o ng cao d¯u´ng l`a sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o ng cao Gia’i: A2 sa’n phˆ a’m lˆa´y khˆong c´o chˆa´t lu.o ng cao, B sa’n phˆa’m lˆa´y d¯u.o c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o ng cao ´ du.ng cˆong th´u.c Baye Ap ´s ta c´o: P (B|A1 )P (A1 ) P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) 0, 98 × 0, 96 = = 0, 998 0, 98 × 0, 96 + 0, 05 × 0, 04 P (A1 |B) = `om : 12 sa’n phˆa’m nh`a m´ay Cˆ au 5: Trong mˆ o.t hˆo.p d¯u ng 20 sa’n phˆa’m gˆ th´u nhˆa´t sa’n xuˆa´t v´o i tı’ lˆe phˆe´ phˆa’m 1% v`a sa’n phˆa’m nh`a m´ay th´u hai sa’n xuˆa´t v´o.i tı’ lˆe phˆe´ phˆa’m 1, 5% Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen sa’n phˆa’m t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’: a) Sa’n phˆa’m d¯o´ l`a phˆe´ phˆa’m b) Sa’n phˆa’m d¯´o thuˆo.c nh`a m´ay th´u nhˆa´t n´o l`a phˆe´ phˆa’m Gia’i: a) Go.i B sa’n phˆa’m l`a phˆe´ phˆa’m Ai sa’n phˆa’m thuˆo.c nh`a m´ay th´u i, (i = 1, 2) ´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ `an ta d¯u.o c: Ap P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) = 0, 012 ´ du.ng cˆong th´u.c Bays b) Ap P (A1 |B) = P (B|A1 )P (A1 ) = 0, P (B) Cˆ au 6: Mˆ o.t xa thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7 Anh ta c´o viˆen d¯a.n; b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i thˆoi a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o Gia’i: b) K`y vo.ng E(X) = xi pi = 1.0, + 2.0, 21 + 3.0, 063 + 4.0, 027 = 1, 417 i=1 Phu.o.ng sai (xi − a)2 pi = 0, 5295 D(X) = i=1 Cˆ au 7: Trong d ¯oˆ i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o sinh viˆen n˘am th´u 1; sinh viˆen n˘am th´u 2; sinh viˆen n˘am th´u X´ac suˆa´t tham gia d¯oˆ i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng u´.ng l`a 0,75 ; 0,7 v`a 0,8 G˘a.p mˆo.t sinh viˆen d¯oˆ i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng Ho’i `eu nhˆa´t? sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ Gia’i: Go.i H = { sinh viˆen thuˆo.c d¯oˆ i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng } Ai = { sinh viˆ en thuˆo.c n˘am th´u i } i=1,2,3 P (H) = P (A1 ) = 0, 75 + 0, + 0, = 0, 743 15 15 15 0, 25 0, 28 0, 213 P (A2 ) = P (A3 ) = 0, 743 0, 743 0, 743 `eu nhˆa´t Vˆa.y sinh viˆen c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am th´u nhiˆ Cˆ au 8: C´ o sinh viˆen nhu ng chı’ c´o v´e b´ong d¯´a Ho viˆe´t c´ai phiˆe´u trˆen d¯o´ ´ `an lu.o t r´ut mˆo.t phiˆe´u phiˆeu ghi “c´o” v`a phiˆe´u ghi “khˆong” Mˆo˜i ngu.`o.i lˆ nˆe´u d¯u.o c phiˆe´u “c´o” th`ı d¯u.o c d¯i xem Ho’i c´ach r´ut phiˆe´u nhu vˆa.y c´o cˆong `a ng hay khˆong? b˘ Gia’i: Go.i A = { r´ut d¯u.o c phiˆe´u ghi ”c´o” } Sˆo´ kˆe´t qua’ thuˆa.n lo i cho biˆe´n cˆo´ A l`a m = × C53 ; sˆo´ kˆe´t qua’ d¯`ˆong kha’ n˘ang n = 5! Vˆa.y P (A) = 25 `om 10 cˆau ho’i Sˆo´ sinh viˆen l´o.p Cˆ au 9: Trong k` y thi triˆe´t d¯`ˆe cu.o.ng gˆ chuˆa’n bi b`ai theo tı’ lˆe sau : 50% ho.c ca’ 10 cˆau ; 30% ho.c cˆau v`a sˆo´ c`on la.i chı’ ho.c cˆau Trˆen mˆo˜i phiˆe´u ho’i thi c´o cˆau ho’i T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sinh viˆen tra’ l`o.i d¯u.o c ca’ cˆau ho’i Gia’i: Go.i Ak = { sv thuˆo.c nh´om th´u k } k = 1, 2, v`a H = { sv tra’ l`o.i ca’ cˆau ho’i } ´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ `an Ap P (H) = 1/2.1 + 3/10.7/15 + 1/5.2/9 = 0, 68 Cˆ au 10: Trong d ¯ˆo.i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o sinh viˆen n˘am th´u 1; sinh viˆen n˘am th´u 2; sinh viˆen n˘am th´u X´ac suˆa´t tham gia d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng u´.ng l`a 0,7 ; 0,9 v`a 0,8 G˘a.p mˆo.t sinh viˆen d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng `eu nhˆa´t? Ho’i sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ Gia’i: Go.i Ak = { sv thuˆo.c n˘am th´u k } v`a H = { sv thuˆo.c d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng } P (A1 |H) = 5.0, = 0, 29 5.0, + 6.0, + 4.0, P (A2 |H) = 6.0, = 0, 45 5.0, + 6.0, + 4.0, P (A3 |H) = 4.0, = 0, 26 5.0, + 6.0, + 4.0, `eu kha’ n˘ang thuˆo.c v`ao n˘am So s´anh kˆe´t qua’ ta thˆa´y sv n`ay c´o nhiˆ `au gˆ `om : cˆ `au d¯o’, cˆ `au xanh , 18 Cˆ au 11: Trong mˆ o.t hˆo.p d¯u ng 30 qua’ cˆ `au v`ang Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen qua’ cˆ `au t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ : cˆ a) C´o qua’ c`ung m`au b) C´o ´ıt nhˆa´t qua’ kh´ac m`au Gia’i: a) Go.i A = { biˆe´n cˆo´ qu’a c`ung m`au } X´ac suˆa´t 3cu’a3 A 3l`a P (A) = C7 +C5 +C18 C30 = 0, 212 b) P (A) = − P (A) = 0, 788 Cˆ au 12: Trong mˆ o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi C´o sinh viˆen chuˆa’n bi tˆo´t, sinh viˆen chuˆa’n bi kh´a, sinh viˆen chuˆa’n bi trung b`ınh v`a sinh viˆen chuˆa’n bi k´em Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i Sinh viˆen chuˆa’n bi tˆo´t c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi kh´a tra’ l`o.i d¯u.o c 15 cˆau, sinh viˆen trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o c cˆau Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o c cˆau ho’i tu`y ´y T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’: a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi tˆo´t b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi k´em Gia’i: Go.i Ak = { sinh viˆen chuˆa’n bi loa.i k } k=1,2,3,4; k´ı hiˆe.u 1:tˆo´t; 2:kh´a; 3:trung b`ınh; 4:k´em B = { sinh viˆ en tra’ l`o.i d¯u.o c ca’ cˆau ho’i } Ta c´o P (A1 ) = ; P (A2 ) = ; P (A3 ) = ; P (A4 ) = 15 15 15 15 P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) = 25 ; P (B|A3 ) = ; P (B|A4 ) = 57 19 114 ´ du.ng cˆong th´u.c Baye Ap ´s ta c´o: P (A1 |B) = 513 = 0, 585; 876 P (A4 |B) = = 0, 0011 876 Cˆ au 13: Ba hˆ o.p ke.o giˆo´ng Hˆo.p c´o 25 viˆen ke.o cam; hˆo.p c´o 15 viˆen ke.o chanh v`a 10 viˆen ke.o cam; hˆo.p c´o 20 viˆen ke.o chanh v`a viˆen cam Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t hˆo.p v`a t`u hˆo.p d¯o´ lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen viˆen ke.o T`ım x´ac d¯ˆe’ viˆen ke.o d¯´o l`a ke.o cam Gia’i: Go.i Ak = { viˆen ke.o lˆa´y thuˆo.c hˆo.p th´u k } k=1,2,3; k´ı hiˆe.u B = {viˆ en ke.o lˆa´y l`a ke.o cam } Ta c´o P (A1 ) = 1 ; P (A2 ) = ; P (A3 ) = 3 P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) = 10 ; P (B|A3 ) = 25 25 ´ du.ng cˆong th´u.c xa `an ta c´o: Ap ´ c suˆa´t toa`n phˆ P (B) = [1 + 0, + 0, 2] = 0, 533 Cˆ au 14: Ba xa thu’ b˘ a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ c lˆa.p X´ac suˆa´t `an lu.o t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u hai b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ 0,75, ngu.`o.i th´u ba 0,7 T`ım x´ac suˆa´t: - ˆe’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung a) D - ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung b) D Gia’i: a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı i = 1, 2, Va` A biˆe´n cˆo´ co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t ngu `o i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı Khi d¯´o A la` biˆe´n cˆo´ ´ khˆong co ´ ngu `o i na`o b˘an tru ´ ng d¯´ch ı Ta co ´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, = 0, 015 Vˆa.y P (A) = 0, 985 b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı Khi d¯´o P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 25.0, + 0, 2.0, 75.0, + 0, 2.0, 25.0, `au gˆ `om : cˆ `au d¯o’, 11 cˆ `au xanh, 12 Cˆ au 15: Trong mˆ o.t hˆo.p d¯u ng 30 qua’ cˆ `au va`ng Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen lˆ `an lu.o t qua’ cˆ `au tı´nh xa cˆ ´ c suˆa´t d¯ˆe’ co ´ qua’ cu`ng ma`u hai tru `o ng ho p sau: a) Cho.n khˆong hoa`n la.i; b) Cho.n hoa`n la.i Gia’i: `an lu.o t a) Trong tru.`o.ng ho p cho.n khˆong hoa`n la.i Ta go.i A-D, AV , AX , A lˆ la` ca ´ c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng ma`u Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o c P (A) = P (A-D) + P (AV ) + P (AX ) 3 C11 C12 C73 + + 3 C30 C30 C30 = 0, 1034 = `an lu.o t la` ca ´ c biˆe´n b) Trong tru.`o.ng ho p cho.n hoa`n la.i Ta go.i B-D, BV , BX , B lˆ cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng ma`u Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o c P (B) = P (B-D) + P (BV ) + P (BX ) 11 12 = ( )3 + ( )3 + ( )3 30 30 30 = 0, 126 Cˆ au 16: Ba xa thu’ b˘ a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ c lˆa.p X´ac suˆa´t `an lu.o t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u hai b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ 0,75, ngu.`o.i th´u ba 0,7 T`ım x´ac suˆa´t: - ˆe’ ca’ xa thu’ b˘a´n tr´ung a) D - ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung b) D Gia’i: a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı i = 1, 2, Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ ngu `o i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı Khi d¯´o Ta co ´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 75.0, Vˆa.y P (A) = 0, 985 b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı Khi d¯´o P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 25.0, + 0, 2.0, 75.0, + 0, 2.0, 25.0, `en c´u.ng ph˘a’ng Cˆ au 17: Tung x´ uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a x´uc x˘a´c l`a b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho Gia’i: a) Go.i Ak = { biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m l`a k } P (A8 ) = 36 b) Go.i C = { biˆe´n cˆo´ to’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho } P (C) = 18 = 0, 36 Cˆ au 18: Ba xa thu’ b˘ a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch cu’a ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u hai b˘`a ng 0,75; cu’a ngu.`o.i th´u ba b˘`a ng 0,7 T`ım x´ac suˆa´t: - ˆe’ ca’ xa thu’ b˘a´n tru.o t a) D - ˆe’ ´t b) D ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung Gia’i: a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru.o t i = 1, 2, Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ ngu.`o.i b˘a´n tru.o t Khi d¯´o Ta co ´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, Vˆa.y P (A) = 0, 015 b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch ı Khi d¯´o P (B) = − P (B) = − P (A) = − 0, 015 = 0, 985 Cˆ au 19: Trong viˆ e.c chˆe´ ta.o mˆo.t sa’n phˆa’m, viˆe.c chuˆa’n bi pha’i qua thao t´ac `a ng su thiˆe´u s´ot trˆen c´ac khˆau riˆeng biˆe.t l`a c´ac biˆe´n cˆo´ d¯oˆ c lˆa.p T`ım Gia’ su’ r˘ x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sa’n phˆa’m chˆe´ ta.o d¯u´ng qui c´ach nˆe´u x´ac suˆa´t pha.m thiˆe´u s´ot o’ thao t´ac th´u nhˆa´t l`a 0,02; o’ thao t´ac th´u hai l`a 0,01; o’ thao t´ac th´u ba l`a 0,02 v`a o’ thao t´ac th´u tu l`a 0,03 Gia’i: Go.i A ={ sa’n phˆa’m khˆong d¯u´ng qui c´ach} Khi d¯´o: A ={ sa’n phˆa’m d¯u´ng qui c´ach} P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) V´o.i P (A1 ) = − P (A1 ) = − 0, 02 = 0, 98 P (A2 ) = − P (A2 ) = − 0, 01 = 0, 99 P (A3 ) = − P (A3 ) = − 0, 02 = 0, 98 P (A4 ) = − P (A4 ) = − 0, 03 = 0, 97 Vˆa.y P (A) = 0, 92 `en c´u.ng ph˘a’ng Cˆ au 20: Tung x´ uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a x´uc x˘a´c l`a b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho Gia’i: a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a x´uc x˘a´c l`a b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho Cˆ au 21: Trong mˆ o.t l´o.p ho.c co ´ bo ´ ng d¯`en, mˆo˜i bo ´ ng co ´ xa ´ c suˆa´t cha ´ y la` L´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa ´ ng nˆe´u co ´ ´t ı nhˆa´t bo ´ ng d¯`en sa ´ ng Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa ´ ng Gia’i: Mˆo˜i bo ´ ng co ´ xa ´ c suˆa´t cha ´ y la` 14 Suy xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ bo ´ ng sa ´ ng la` 43 ´ ng Co ´ ´t ı nhˆa´t bo ´ ng sa ´ ng Go.i P la` xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa 3 P = C64 ( )4 ( )2 + C65 ( )5 + C66 ( )6 = 0, 8303 4 4 Vˆa.y xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa ´ ng la`: − P = 0, 1695 ´ ` Cˆ au 22: Mˆ o.t ba`i thi tr˘ac nghiˆe.m gˆom 12 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau ho’i cho cˆau tra’ l`o i, d¯´o chı’ co ´ mˆo.t cˆau d¯´ung Gia’ su’ mˆo.t cˆau tra’ l`o.i d¯´ung d¯u.o c d¯iˆe’m Mˆo.t ho.c sinh ke ´m la`m ba`i b˘`a ng ca ´ ch cho.n hu ´ hoa mˆo.t cˆau tra’ l`o.i Tı´nh xa ´c ’ ´ suˆa t d¯ˆe : a) Anh ta d¯u.o c 13 d¯iˆe’m b) Anh ta d¯u.o c d¯iˆe’m ˆam Gia’i: a)Anh ta d¯u.o c 13 d¯iˆe’m tru.`o.ng ho p tra’ l`o.i d¯´ung cˆau va` tra’ l`o.i sai cˆau Xa ´ c xuˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung cˆau ho’i 15 Xa ´ c xuˆa´t tra’ l`o.i sai cˆau ho’i 54 Vˆa.y xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯u.o c 13 d¯iˆe’m la`: C1 25 ( )5 ( )7 = 0, 053 5 ’ ’ b) Anh ta bi d¯iˆe m ˆam tra l`o i d¯´ung ´t ı ho.n cˆau.Go.i x la` sˆo´ cˆau d¯´ung, sˆo´ cˆau sai la` 12 − x Bˆa´t phu.o.ng trı`nh 4x < 12 − x xa’y x = 0, 1, Vˆa.y: P = C1 20 ( 54 )1 + C1 21 15 ( 45 )1 + C1 22 ( 15 )1 ( 45 )1 = 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 = 0, 5583 Cˆ au 23: Gieo d ¯`oˆng th`o.i ba xu ´ c s˘a´c Anh la` ngu.`o.i th˘a´ng cuˆo.c nˆe´u co ´ xuˆa´t hiˆe.n ´t ı nhˆa´t ”lu.c” Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ va ´ n cho.i anh th˘a´ng ´t ı ´ nhˆa t la` va ´ n Gia’i: Xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 16 Xa ´ c xuˆa´t khˆong pha’i la` quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 56 Xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng va ´ n la`: 16 C32 ( )2 + ( )3 = = 6 216 27 Vˆa.y xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng ´t ı nhˆa´t va ´ n la`: C53 ( 25 2 25 ) ( ) +C54 ( )4 +( )5 = 0, 00348+0, 00014+0, 00000223 = 0, 0036 27 27 27 27 27 Cˆ au 24: Mˆ o.t ngu.`o.i b˘a´n viˆen d¯a.n Xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ viˆen tru ´ ng vo`ng 10 la` ’ 0, 0008, xa ´ c suˆa´t d¯ˆe viˆen tru ´ ng vo`ng la` 0, 15, va` xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ viˆen tru ´ ng ’ ’ vo`ng du ´o i la` 0, Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe xa thu’ d¯a.t ´t ı nhˆa´t 28 d¯iˆe m Gia’i: `eu kiˆe.n ba`i toa T`u d¯iˆ ´ n suy xa ´ c xuˆa´t b˘a´n tru ´ ng vo`ng 10 la` 0,2; tru ´ ng vo`ng la` 0,25 Xa thu’ d¯a.t ´t ı nhˆa´t 28 d¯iˆe’m ca ´ c tru `o ng ho p sau: a) viˆen 10 va` viˆen 9.Xa ´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2).(0, 25)2 = 0, 0375 b) viˆen 10 va` viˆen 9.Xa ´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 (0, 25) = 0, 03 c) viˆen 10 va` viˆen 8.Xa ´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 (0, 15) = 0, 018 d) Ca’ viˆen 10.Xa ´ c xuˆa´t la` 0,008 Vˆa.y P la` xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯a.t ´t ı nhˆa´t 28 d¯iˆe’m: P = 0, 0375 + 0, 03 + 0, 018 + 0, 008 = 0, 0935 Cˆ au 25: Mˆ o.t ma ´ y bay co ´ d¯oˆ ng co., d¯´o co ´ d¯oˆ ng co o’ ca ´ nh pha’i va` d¯oˆ ng co o’ ca ´ nh tra ´ i Mˆo˜i d¯oˆ ng co o’ ca ´ nh pha’i co ´ xa ´ c suˆa´t bi ho’ng la` 0, 1, co`n mˆo˜i d¯ˆo.ng co o’ ca ´ nh tra ´ i co ´ xa ´ c suˆa´t bi ho’ng la` 0, 05 Ca ´ c d¯oˆ ng co hoa.t d¯ˆo.ng d¯oˆ c lˆa.p Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma ´ y bay thu c hiˆe.n chuyˆe´n bay an toa`n ca ´ c tru `o ng ho p sau: a) Ma ´ y bay chı’ bay d¯u.o c nˆe´u co ´ ´t ı nhˆa´t hai d¯oˆ ng co la`m viˆe.c b) Ma ´ y bay chı’ bay d¯u.o c trˆen mˆo˜i ca ´ nh cu’a no ´ co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co la`m viˆe.c Gia’i: ˜ ro.i tˆa´t ca’ ca ´ c d¯ˆo.ng co d¯`ˆeu ho’ng ho˘a.c chı’ co ´ d¯oˆ ng co a)Ma ´ y bay se la`m viˆe.c Go.i P la` xa ´ c suˆa´t tˆa´t ca’ ca ´ c d¯ˆo.ng co ho’ng :P = (0, 1)3 (0, 05)2 Q la` xa ´c ´ ’ suˆa t d¯oˆ ng co hong: Q = 2.(0, 1)3 (0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 (0, 9).(0, 05)2 A la` xa ´ c suˆa´t ma ´ y bay ro.i: A = (0, 1)3 (0, 05)2 + 2.(0, 1)3 (0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 (0, 9).(0, 05)2 = 0, 00016 B la` xa ´ c xuˆa´t d¯ˆe’ ma ´ y bay bay an toa`n = − 0, 00016 = 0, 99984 ’ b) P- Ca ´ nh phai co ´ ´t ı nhˆa´t d¯oˆ ng co la`m viˆe.c = − (0, 1)2 = 0, 99 Q-Ca ´ nh tra ´ i co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co la`m viˆe.c = (1 − (), 05)2 = 0, 9975 Vˆa.y A-Xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma ´ y bay bay an toa`n la` = (0, 99).(0, 9975) = (0, 9875) Cˆ au 26: Mˆ o.t ngu `o i say ru.o u bu.´o.c bu.´o.c Mˆo˜i bu.´o.c tiˆe´n lˆen phı´a ´t ho˘a.c lu`i la.i phı´a sau mˆo.t me ´t v´o.i xa ´ c suˆa´t nhu Tı´nh tru.´o.c mˆo.t me xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ sau bu.´o.c: a) Anh ta tro’ la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´ t b) Anh ta ca ´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´ t ho.n 4m Gia’i: a)Anh ta tro’ la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´ t tiˆe´n bu.´o.c va` lu`i bu.´o.c Vˆa.y 1 70 P = C84 ( )4 ( )4 = 2 256 b)Anh ta ca ´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´ t ho.n 4m nˆe´u sˆo´ bu.´o.c tiˆe´n la` 8,7,0,1 1 1 18 Vˆa.y: P = C88 ( )8 + C87 ( )7 + C80 ( )8 + C81 ( )8 = 2 2 256 Cˆ au 27: Gieo xu ´ c s˘a´c cˆan x´u.ng d¯oˆ c lˆa.p Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’: `a ng ´t a) Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n la` nˆe´u biˆe´t r˘ ı nhˆa´t co ´ mˆo.t nˆo´t `a ng sˆo´ nˆo´t trˆen la` kha b) Co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t lu.c nˆe´u biˆe´t r˘ ´c Gia’i: a)Go.i A la` biˆe´n cˆo´ :”Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t la` 8” va` B la` biˆe´n cˆo´:”Co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t nˆo´t 1” `a ng la`:(2,3,3);(2,2,4);(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4) va` Ca ´ c tru.`o.ng hˆo co ´ tˆo’ng b˘ ca ´ c hoa ´ n vi cu’a chu ´ ng ´ ´ thˆe’ la` + + + + + = 21 T`u d¯´o sˆo tru `o ng ho p co 21 Do d¯´o P (A) = 216 P (A/B) = P (AB) P (B) - ˆe’ tı´nh P (AB), ta thˆa´y ca `a ng ma` d¯´o co D ´ c tˆo’ ho p co ´ tˆo’ng b˘ ´ ”1” la` (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4) 15 3+6+6 = Vˆa.y P (AB) = 216 216 ˜ ´ Dˆe thˆa y 10 91 P (B) = − ( )3 = 216 15 Vˆa.y P (A/B) = 91 ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t lu.c” b)Go.i A: ”Co B : ”Sˆ o´ nˆo´t trˆen kha ´ c nhau” Ta co ´ P (A/B) = PP(AB) ; (B) 3.5.4 60 P (AB) = 216 = 216 ; P (B) = 6.5.4 216 Vˆa.y P (A/B) = 12 ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ hai d¯u´.a d¯`ˆeu la` Cˆ au 28: Mˆ o.t gia d¯`nh ı co ´ hai d¯u´.a Tı`m xa `a ng ´t trai nˆe´u biˆe´t r˘ ı nhˆa´t hai d¯u´.a co ´ mˆo.t d¯u´.a trai (gia’ thiˆe´t xa ´c ` ´ suˆa t sinh trai va` ga ´ i b˘a ng nhau) Gia’i: ´ d¯u´.a la` trai” Go.i A: ”Ca’ d¯u´.a la` trai” B : ”ı´t nhˆa´t co Ta co ´ P (AB) = 41 , P (B) = − 14 = 34 Vˆa.y P (A/B) = 13 Cˆ au 29: Mˆ o.t cuˆo.c thi co ´ vo`ng Vo`ng lˆa´y 90% thı´ sinh Vo`ng lˆa´y 80% ’ thı´ sinh cua vo`ng va` vo`ng lˆa´y 90% thı´ sinh cu’a vo`ng a) Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh lo.t qua vo`ng thi `a ng thı´ sinh b) Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh bi loa.i o’ vo`ng nˆe´u biˆe´t r˘ d¯´o bi loa.i Gia’i: a) Xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh lo.t qua vo`ng la`: p = (0, 9)(0, 8)(0, 9) = 0, 648 `a ng thı´ sinh d¯´o tru.o t la`: b) Xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh d¯´o tru.o t o’ vo`ng biˆe´t r˘ P ({tru.o t vo `ng 2}) 0, 18 = = 0, 511 P ({tru o t}) 0, 352 Cˆ au 30: Mˆ o.t c˘a.p tre’ sinh d¯oˆico ´ thˆe’ cu`ng mˆo.t tr´u.ng (sinh d¯ˆoi thˆa.t), hay hai tr´u.ng kha ´ c sinh 9sinh d¯oˆi gia’) Ca ´ c c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t luˆon co ´ - ˆo´i v´o i c˘a.p sinh d¯ˆoi gia’ thı` gi´o i tı´nh cu’a mˆo˜i d¯u´ a d¯oˆ c lˆa.p v´o.i cu`ng gi´o i tı´nh D va` co ´ xa ´ c suˆa´t 0, la` trai Thˆo´ng kˆe cho thˆa´y 34% c˘a.p sinh d¯oˆi d¯`ˆeu la` trai, 30% c˘a.p d¯`ˆeu la` ga ´ i, va` 36% c˘a.p sinh d¯ˆoi co ´ gi´o.i tı´nh kha ´ c a) Tı`m tı’ lˆe c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t c˘a.p sinh d¯ˆoi thı` d¯u.o c mˆo.t c˘a.p co ´ gi´o.i tı´nh Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ d¯´o la` c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t Gia’i: Go.i B1 : ”c˘a.p sinh d¯ˆoi la` thˆa.t”, B2 : ”c˘a.p sinh d¯oˆi la` gia’” A: ”C˘a.p sinh d¯ˆoi cu`ng gi´o.i” Theo gia’ thiˆe´t P (A) = 0, 34 + 0, = 0, 64 va` - ˘a.t P (B1 ) = x, P (B2 ) = − x D P (A/B1 ) = 1, P (A/B2 ) = Theo cˆong th´u.c xa ´ c xuˆa´t d¯`ˆay d¯u’ P (A) = P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 ) 1−x =⇒ 0, 64 = x + =⇒ x = 0, 28 11 b)P (B1 /A) = P (B1 )P (A/B1 ) 0, 28 = = 0, 4375 P (A) 0, 64 `ong tho’ Chuˆ `ong th´u nhˆa´t co Cˆ au 31: Co ´ hai chuˆ ´ tho’ d¯en va` 10 tho’ `ong th´u hai co `ong th´u tr˘a´ng chuˆ ´ tho’ tr˘a´ng va` tho’ d¯en T`u chuˆ `oi sau d¯´o la.i `ong th´u nhˆa´t, rˆ hai ta b˘a´t ngˆa˜u nghiˆen tho’ cho va`o chuˆ `ong th´u nhˆa´t ra, thı` d¯u o c mˆo.t tho’ tr˘a´ng b˘a´t ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t tho’ t`u chuˆ `ay la` cu’a chuˆ `ong th´u nhˆa´t Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ tho’ tr˘a´ng nˆ Gia’i: `ong b˘a´t d¯u.o c tho’ tr˘a´ng”, Go.i E1 : ”T`u chuˆ `ong b˘a´t d¯u.o c tho’ d¯en” E2 : ”T` u chuˆ `an b˘a´t sau” A: ”B˘a´t d¯u.o c tho’ tr˘a´ng o’ lˆ `ong o’ lˆ `an b˘a´t sau” B: ”B˘a´t d¯u o c tho’ tr˘a´ng cu’a chuˆ Ta co ´ P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) = 11 10 103 10 16 + 10 16 = 160 P (B) = P (E1 )P (B/E1 ) + P (E2 )P (B/E2 ) 10 10 16 + 10 16 = 100 = 10 160 P (AB) P (B) 100 Vˆa.y P (B/A) = = = P (A) P (A) 103 `ong ga` co `ong co Cˆ au 32: Mˆ o.t chuˆ ´ ma ´ i va` trˆo´ng Chuˆ ´ `ong ta b˘a´t ngˆa˜u nhiˆen la`m thi.t Ca ma ´ i va` trˆo´ng T`u mˆo˜i chuˆ ´c `on va`o chuˆ `ong th´u ba T`u chuˆ `ong nˆ `ay ta la.i b˘a´t ngˆa˜u ga` co`n la.i d¯u o c dˆ nhiˆen Tı´nh xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ b˘a´t d¯u o c ga` trˆo´ng Gia’i: Go.iE1 : ”B˘a´t d¯u.o c hai ga` trˆo´ng” E2 : ”B˘ a´t d¯u.o c hai ga` ma ´ i” ´ ´ i” E1 , E2 , E3 la` hˆe d¯`ˆay d¯u’ E3 : ”B˘ at d¯u o c mˆo.t ga` trˆo´ng va` mˆo.t ga` ma v´o i 5 = 10 60 9 P (E2 ) = 10 = 60 P (E3 ) = − 60 − 60 = P (E1 ) = 46 60 `ong th´u ba” Go.i A: ”B˘a´t d¯u.o c ga` trˆo´ng t`u chuˆ Khi d¯´o: P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) + P (E3 )P (A/E3 ) = 60 14 + 60 14 + 46 60 14 = 304 840 = 0, 3619 Cˆ au 33: Mˆ o.t chiˆe´c ma ´ y bay co ´ thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n o’ vi trı´ A v´o.i xa ´ c suˆa´t va` o’ vi trı´ B v´o i xa ´ c suˆa´t Co ´ ba phu o ng ´an bˆo´ trı´ khˆa’u pha ´ o b˘a´n ma ´ y bay nhu sau: a’u d¯˘a.t ta.i A, khˆa’u d¯˘a.t ta.i B Phu.o.ng ´a n 1: khˆ Phu.o.ng ´a n 2: khˆ a’u d¯˘a.t ta.i A, khˆa’u d¯˘a.t ta.i B Phu.o.ng ´a n 3: khˆ a’u d¯˘a.t ta.i A, khˆa’u d¯˘a.t ta.i B `a ng xa Biˆe´t r˘ ´ c suˆa´t b˘a´n tru ´ ng ma ´ y bay cu’a mˆo˜i khˆa’u pha ´ o la` 0, va` ca ´c ’ ˜ khˆa u pha ´ o hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p v´o i nhau, y cho.n phu o ng ´an tˆo´t nhˆa´t ’ Giai: ´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’ A thı` xa ´ c xuˆa´t b˘a´n la` Xe ´t phu.o.ng ´an Nˆe´u ma − (0, 3) = 0, 973 12 Nˆe´u ma ´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’ B thı` xa ´ c suˆa´t b˘a´n la` 0, Vˆa.y theo cˆong th´u c xa ´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’, xa ´ c suˆa´t b˘a´n ma ´ y bay theo phu o ng ´an la`: 0, (0, 973) + = 0, 882 3 Tu.o.ng tu xa ´ c suˆa´t b˘a´n ma ´ y bay nˆe´u theo phu.o.ng ´an la`: [1 − (0, 3)2 ] + [1 − (0, 3)2 ] = 0, 91 3 Xa ´ c suˆa´t ma ´ y bay theo phu.o.ng ´an la`: (0, 7) + (0, 973) = 0, 971 3 Vˆa.y theo phu.o.ng ´an la` tˆo´t nhˆa´t Cˆ au 34: Mˆ o.t nha` ma ´ y sa’n xuˆa´t bo ´ ng d¯`en co ´ tı’ lˆe bo ´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n la` 80% Tru ´ o c xuˆa´t xu o’ ng thi tru `o ng mˆo˜i bo ´ ng d¯`en d¯`ˆeu d¯u.o c qua kiˆe’m tra chˆa´t lu.o ng Vı` su kiˆe’m tra khˆong thˆe’ tuyˆe.t d¯ˆo´i hoa`n ha’o, nˆen mˆo.t bo ´ ng d¯`en tˆo´t co ´ xa ´ c suˆa´t 0, d¯u o c cˆong nhˆa.n la` tˆo´t, va` mˆo.t bo ´ ng d¯`en ho’ng co ´ ˜ y tı´nh tı’ lˆe bo xa ´ c suˆa´t 0, 95 bi loa.i bo’ Ha ´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n sau qua khˆau kiˆe’m tra chˆa´t lu o ng sa’n phˆa’m Gia’i: Go.i E1 : ”Bo ´ ng d¯`en tˆo´t”; E2 : ”Bo ´ ng d¯`en ho’ng”; A: ”Bo ´ ng d¯`en d¯u.o c d¯´anh dˆa´u d¯˜a kiˆe’m tra” Ta co ´ P (E1 ) = 0, ,P (E2 ) = 0, 2; P (A/E1 ) = 0, va` P (A/E2 ) = 0, 05 Suy ra: P (E1 )P (A/E1 ) P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) (0,8).(0,9) = (0,8).(0,9)+(0,2).(0,05) = 0, 986 P (E1 /A) = Cˆ au 35: Co ´ bˆo´n nho ´ m xa thu’ tˆa.p b˘a´n Nho ´ m th´u nhˆa´t co ´ ngu.`o.i, nho ´m th´u hai co ´ ngu.`o.i, nho ´ m th´u ba co ´ ngu.`o.i va` nho ´ m th´u tu co ´ ngu.`o.i Xa ´c ´ ˜ ´ ´ ’ suˆa t b˘an tru ´ ng d¯´ch ı cua mˆoi ngu `o i ca ´ c nho ´ m th´u nhˆa t, th´u hai, th´u ba, th´u tu theo th´u tu la` 0, 8; 0, 7; 0, 6; 0, Cho.n ngˆa˜u nhiˆen xa thu’ va` xa thu’ ˜ y xa `ay b˘a´n tru.o t Ha `ay co nˆ ´ c d¯.inh xem xa thu’ nˆ ´ kha’ n˘ang o’ nho ´ m na`o nhˆa´t Gia’i: Go.i E1 : ”Xa thu’ thuˆo.c nho ´ m 1”; go.i E2 : ”Xa thu’ thuˆo.c nho ´ m 2”; E3 : ”Xa thu’ thuˆo.c nho ´ m 3”; E4 : ”Xa thu’ thuˆo.c nho ´ m 4”; A: ”Xa thu’ b˘a´n tru.o t” Theo d¯`ˆau ba`i ta co ´: ; P (E2 ) = ; P (E3 ) = ; P (E4 ) 18 18 18 = 18 ; P (A/E1 ) = 0, 2; P (A/E2 ) = 0, 3; P (A/E3 ) = 0, 4; P (A/E4 ) = 0, P (E1 ) = ´ap du.ng cˆong th´u.c Baye ´s, ta co ´: P (E1 /A) = 18 (0, 2) + 18 (0, 2) 18 (0, 3) + 18 (0, 4) + 18 (0, 5) ´ m hai nhˆa´t = 10 a.y xa thu’ co ´ kha’ n˘ang o’ nho 57 Vˆ `eu tri bˆe.nh A; 30% d¯iˆ `eu Cˆ au 36: Trong sˆ o´ bˆe.nh nhˆan o’ bˆe.nh viˆe.n co ´ 50% d¯iˆ `eu tri bˆe.nh C Xa tri bˆe.nh B; va` 20% d¯iˆ ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ch˜u a kho’i ca ´ c bˆe.nh A, B, C ˜ y tı´nh tı’ lˆe bˆe.nh nhˆan ch˜u.a `ay tu o ng u´ ng la` 0, 7; 0, 8; 0, Ha bˆe.nh viˆe.n nˆ kho’i bˆe.nh A tˆo’ng sˆo´ bˆe.nh nhˆan d¯˜a d¯u.o c ch˜u.a kho’i bˆe.nh 13 Gia’i: `eu tri bˆe.nh A”; B : ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ `eu tri bˆe.nh B”; Go.i A: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ `eu tri bˆe.nh C”; H : ”Bˆe.nh nhˆan d¯u o c ch˜u a kho’i bˆe.nh ” C : ”Bˆ e.nh nhˆan d¯iˆ Theo ba`i ta co ´: P (A) = 0, 5; P (B) = 0, 3; P (C) = 0, 2; P (H/A) = 0, 7; P (H/B) = 0, 8; P (H/C) = 0, Theo cˆong th´u.c Baye ´s: (0, 5)(0, 7) (), 5)(0, 7) + (0, 3)(0, 8) + (0.2)(0, 9) ≈ 0, 4545 P (A/H) = = 11 Cˆ au 37: Trong mˆ o.t kho ru.o u sˆo´ lu.o ng ru.o u loa.i A va` loa.i B la` b˘`a ng Ngu.`o.i ta cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t chai ru.o u kho va` d¯u.a cho ngu.`o.i sa`nh ru.o u nˆe´m thu’ d¯ˆe’ xa ´ c d¯.inh xem d¯ˆay la` loa.i ru.o u na`o Gia’ su’ mˆo˜i ngu.`o.i co ´ xa ´ c suˆa´t d¯oa ´ n d¯´ung la` 75% Co ´ ngu `o i kˆe´t luˆa.n chai ru o u loa.i A va` ngu `o.i kˆe´t luˆa.n chai ru.o u loa.i B Ho’i d¯´o xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ chai ru.o u d¯u.o c cho.n thuˆo.c loa.i A la` bao nhiˆeu? Gia’i: Go.i A la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o u thuˆo.c loa.i A”; B la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o u thuˆo.c loa.i B” va` H la` biˆe´n cˆo´: ”Co ´ ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o u loa.i A,1 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o u loa.i B” `an tı´nh P (A/H) ´ap du.ng cˆong th´u.c Baye Ta cˆ ´s P (A)P (H/A) , P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) P (A) = P (B) = 12 ; P (H/A) = C54 ( 43 )4 14 ; P (H/B) = C54 ( 14 )4 34 P (A/H) = Thay va`o ta thu d¯u.o c: P (A/H) = 27 ≈ 0, 9642 28 `a ng mˆo.t ngu.`o.i co Cˆ au 38: Biˆ e´t r˘ ´ nho ´ m ma ´ u AB co ´ thˆe’ nhˆa.n ma ´ u cu’a bˆa´t ky` ´ nho ´ m ma ´ u na`o Nˆe u ngu `o i d¯´o co ´ nho ´ m ma ´ u co`n la.i (A ho˘a.c B ho˘a.c C ) thı` co ´ thˆe’ nhˆa.n ma ´ u cu’a ngu.`o.i cu`ng nho ´ m v´o.i mı`nh ho˘a.c ngu.`o.i co ´ nho ´ m ma ´u O Cho biˆe´t tı’ lˆe ngu.`o.i co ´ nho ´ m ma ´ u O, A, B va` AB tu.o.ng u´.ng la` 33, 7%; 37, 5%; 7, 9% `an tiˆe´p ma a) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ ´ u va` mˆo.t ngu.`o.i cho ma ´ u Tı´nh `en ma ´ u d¯u o c thu c hiˆe.n xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ su truyˆ `an tiˆe´p ma b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ ´ u va` hai ngu.`o.i hiˆe´n ma ´ u Tı´nh `en ma ´ u d¯u o c thu c hiˆe.n xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ su truyˆ Gia’i: `an tiˆe´p ma a) Kı´ hiˆe.u O, A, B, AB tu.o.ng u´.ng la` ca ´ c biˆe´n cˆo´: ”Ngu.`o.i cˆ ´u co ´ nho ´ m ma ´ u la` O,A,B,AB” `en ma Go.i H la` biˆe´n cˆo´: ”Su truyˆ ´ u thu c hiˆe.n d¯u.o c” Theo cˆong th´u.c xa ´c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta co ´: P (H) = P (O) + P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) + P (AB)P (H/AB) Theo gia’ thiˆe´t: P (O) = 0, 337; P (A) = 0, 375; P (B) = 0, 209; P (O) = 0, 337; P (AB) = 0, 079; P (H/O) = 14 P (H/A) = P (O) + P (A) = 0, 712; P (H/B) = P (O) + P (B) = 0, 546; P (H/AB) = Thay va`o ta d¯u.o c: P (H) = 0, 5737 `en ma b) Go.i E la` biˆe´n cˆo´: ”Su truyˆ ´ u khˆong thu c hiˆe.n d¯u.o c” Ta co ´ : P (E/O) = [1 − P (O)]2 = 0, 6632 P (E/A) = [1 − P (O) − P (A)]2 = 0, 2882 P (E/B) = [1 − P (O) − P (B)]2 = 0, 4542 ´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta d¯u.o.c P (E) = 0, 2223 P (E/AB) = 0; ´a p du ng cˆong th´u c xa ’ ´ ` Vˆa.y xa ´ c suˆa t d¯ˆe truyˆen ma ´ u d¯u o c la`: − P (E) = 0, 7777 Cˆ au 39: Mˆ o.t bˆe.nh nhˆan bi nghi la` co ´ thˆe’ m˘a´c mˆo.t bˆe.nh A, B, C v´o.i ca ´ c xa ´ c suˆa´t tu.o.ng u´.ng la` 0, 3; 0, 4; 0, Ngu.`o.i d¯´o d¯ˆe´n kha ´ m bˆe.nh o’ ba ´ c sı˜ mˆo.t ca ´ ch d¯oˆ c lˆa.p Ba ´ c sı˜ th´u nhˆa´t chˆa’n d¯oa ´ n bˆe.nh A, Ba ´ c sı˜ th´u hai chˆa’n d¯oa ´ n bˆe.nh B , Ba ´ c sı˜ th´u ba chˆa’n d¯oa ´ n bˆe.nh C , Ba ´ c sı˜ th´u tu chˆa’n d¯oa ´n `an d¯´anh gia bˆe.nh A Ho’i sau kha ´ m bˆe.nh xong, ngu.`o.i bˆe.nh cˆ ´ la.i xa ´ c suˆa´t `a ng xa m˘a´c bˆe.nh A, B, C cu’a mı`nh la` bao nhiˆeu Biˆe´t r˘ ´ c suˆa´t chˆa’n d¯oa ´ n d¯´ung `am sang hai bˆe.nh co`n la.i la` 0, 2; 0, cu’a mˆo˜i ba ´ c sı˜ la` 0, 6; va` chˆa’n d¯oa ´ n nhˆ Gia’i: Kı´ hiˆe.u H la` biˆe´n cˆo´ d¯˜a xa’y Ta co ´: P (H/A) = (0, 6)(0, 2)(0, 2)(0, 6) = 0, 0144; 0, 0048 P (H/C) = (0, 2)(0, 2)(0, 6)(0, 2) = 0, 0048 P (H/B) = (0, 2)(0, 6)(0, 2)(0, 2) = Vˆa.y Xa ´ c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A la`: P (H/A) = P (A)P (H/A) P (H) (0,3)(0,0144) (0,3)(0,00144)+(0,4)(0,0048)+(0,3)(0,0048) = 432 768 = 0, 5625 Tu o ng tu : P (B/H) = 0, 25 P (C/H) = 0, 1875 Cˆ au 40: Mˆ o.t ngu.`o.i s˘an tho’ r`u.ng Kha’ n˘ang b˘a´n tru ´ ng tho’ = `an b˘a´n la` tı’ lˆe nghi.ch v´o.i khoa’ng ca `an d¯`au v´o.i mˆo˜i lˆ ´ ch b˘a´n Anh ta b˘a´n lˆ khoa’ng ca ´ ch 20 me ´t v´o.i xa ´ c suˆa´t tru ´ ng tho’ la` 0, Nˆe´u bi tru.o t b˘a´n viˆen th´u hai o’ khoa’ng ca ´ ch 30 me ´t Nˆe´u tru.o t n˜u.a, cˆo´ b˘a´n viˆen th´u ba o’ khoa’ng ca ´ ch 50 me ´t Tı`m xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ ngu.`o.i tho s˘an b˘a´n d¯u.o c tho’ `ay cuˆo.c d¯i s˘an nˆ Gia’i: Ba`i toa ´ n d¯˜a cho biˆe´n cˆo´: `an b˘a´n th´u i”, i = 1, 2, Ba biˆe´n cˆo´ nˆ `ay Ti : ”tho s˘ an b˘a´n tru ´ ng tho’ o’ lˆ k `a ng sˆo´ tı’ lˆe = 0, Suy h˘ khˆong d¯ˆo.c lˆa.p Theo gia’ thiˆe´t ta co ´ : P (T1 ) = 20 10 k la ` 10 Do d¯´o: P (T2 /T1 ) = ; P (T3 /T2 ) = 0, 20; P (T3 /T1 T2 ) = P (T3 /T2 ) = 0, 30 `ay” Go.i T : ”Tho s˘an b˘a´n tru ´ ng tho’ cuˆo.c d¯i s˘an nˆ Ta co ´ : P (T ) = P (T1 ).P (T2 /T1 ).P (T3 /T1 T2 ) = (1 − 0, 5).(1 − ).(1 − 0, 2) = 0, 267 Vˆa.y P (T ) = − P (T ) = 0, 733 Cˆ au 41: Co ´ mˆo.t bˆe.nh nhˆan ma` ba ´ c sı˜ chˆa’n d¯oa ´ n m˘a´c bˆe.nh A v´o.i xa ´ c suˆa´t ´ c suˆa´t 0, Dˆe’ co ´ thˆem thˆong tin chˆa’n d¯oa ´ n ba ´ c sı˜ d¯˜a 0, 7, m˘ a´c bˆe.nh B v´o i xa `an thu’ thˆa´y co `an du.o.ng tı´nh, biˆe´t r˘`a ng cho xe ´t nghiˆe.m sinh hoa ´ Sau lˆ ´ lˆ 15 `an xe kha’ n˘ang du.o.ng tı´nh cu’a mˆo˜i lˆ ´t nghiˆe.m d¯ˆo´i v´o.i bˆe.nh A va` B tu.o.ng u´.ng ˜ y cho biˆe´t nˆen chˆa’n d¯oa la` 10% va` 30% Ha ´ n bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh na`o? Gia’i: Go.i B la` biˆe´n cˆo´ Bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh B, B la` biˆe´n cˆo´ bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh A Ta tı´nh hai xa ´ c suˆa´t: P (B/A); P (B/A) Ta co ´ : P (B) = 0, 3; P (B) = 0, 7; P (A/B) = 3.0, 3.0, 7.0, = 0, 441 P (A/B) = 3.0, 1.0, 9.0, = 0, 243 Vˆa.y: P (A) = 0, 3.0, 441 + 0, 7.0, 243 = 0, 3024 Do d¯´o: P (B/A) = 0, 3.0, 441/0, 3024 = 0, 4375; P (B/A) = 0, 7.0, 243/0, 3024 = 0, 5625 Nˆen chˆa’n d¯oa ´ n m˘a´c bˆe.nh A thı` kha’ n˘ang d¯´ung cao ho.n `om 90% chı´nh phˆa’m Lˆo II co tı’ lˆe phˆe´ Cˆ au 42: Co ´ hai lˆo sa’n phˆa’m Lˆo I gˆ `oi t`u d¯´o lˆa´y sa’n phˆa’m phˆa’m / chı´nh phˆa’m la` lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆo, rˆ `ay ta la.i lˆa´y ´ t`u lˆo nˆ ta d¯u.o c chı´nh phˆa’m Tra’ sa’n phˆa’m na`y tro’ la.i lˆo cu’a no ’ ’ ’ sa’n phˆa m Tı`m xa ´ c suˆa´t d¯ˆe lˆa´y pha’i phˆe´ phˆa m ’ Giai: Go.i B : ”lˆa´y lˆo 1”, P (B) = 0, A: ”lˆ a´y d¯u.o c chı´nh phˆa’m” P (A/B) = 0, 9; P (A/B) = 0, =⇒ P (A) = 0.5.0.9 + 0.5.0, = 0, 85 P (B/A) = 0, 5.0, 9/0, 85 = 0, 5294; P (B/A) = 0, 5.0, 8/0, 85 = 0, 4706 `ay d¯u.o c `an lˆa´y th´u nhˆa´t ta d¯u.o c chı´nh phˆa’m thı` chı´nh phˆa’m nˆ Vˆa.y sau lˆ lˆa´y t`u lˆo v´o.i xa ´ c suˆa´t 0, 5294, co`n t`u lˆo v´o.i xa ´ c suˆa´t 0, 4706 Ma` P (A/B) = 0, 1; P (A/B) = 0, cho nˆen: P (A) = 0, 5294.0, + 0, 4706.0, = 0, 1471 Cˆ au 44: Tı’ lˆ e cha m˘a´t d¯en, m˘a´t d¯en la` 0, 782; cha m˘a´t d¯en m˘a´t xanh la` 0, 079; cha m˘a´t xanh, m˘a´t d¯en la` 0, 089; cha m˘a´t xanh, m˘a´t xanh la` 0, 005 `a ng cha m˘a´t d¯en a) Tı`m kha’ n˘ang m˘a´t d¯en biˆe´t r˘ `a ng cha m˘a´t xanh b) Tı`m kha’ n˘ang m˘a´t xanh biˆe´t r˘ Gia’i: `an tı`m d¯`ˆeu la` xa `eu kiˆe.n a) Ca ´ c xa ´ c suˆa´t cˆ ´ c suˆa´t co ´ d¯iˆ P (con m˘ a´t d¯en/ cha m˘a´t d¯en)= P (con m˘a´t d¯en va` cha m˘a´t d¯en)/P (cha m˘a´t d¯en)= 0, 072/(0, 782 + 0, 079) = 0, 9082 (vı` P (cha m˘a´t d¯en)= P (cha m˘a´t d¯en va` m˘a´t d¯en)+P (cha m˘a´t d¯en va` m˘a´t xanh)= 0, 782 + 0, 079 = 0, 861) Tu.o.ng tu P (con m˘a´t xanh/cha m˘a´t xanh)= P (con m˘a´t xanh va` cha m˘a´t xanh)/P (cha m˘a´t xanh)= 0, 05/(1 − 0, 861) = 0, 3597 `an Cˆ au 45: Ta xe ´t ca ´ c gia d¯`nh ı co ´ kha’ n˘ang sinh ga ´ i mˆo˜i lˆ ’ `an sinh la` d¯oˆ c lˆa.p Tı`m xa sinh la` 0, 51; ca ´ c lˆ ´ c suˆa´t d¯ˆe cho.n ngˆa˜u nhiˆen gia d¯`nh ı sˆo´ ca ´ c gia d¯`nh ı co ´ ta d¯u.o c: a) Gia d¯`nh ı co ´ ga ´ i d¯`ˆau, trai th´u hai `a ng d¯u´.a thu b) Gia d¯`nh ı co ´ th´u hai la` trai, biˆe´t r˘ ´ nhˆa´t la` ga ´ i ` c) Gia d¯`nh ı co ´ th´u hai la` trai, biˆe´t r˘a ng ho co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t ga ´ i Gia’i: Go.i Ti : ”d¯u´ a th´u i la` trai”, i = 1, A: ”con ga ´ i d¯`ˆau trai th´u hai”; B : ”co ´ ´t ı nhˆa´t mˆo.t ga ´ i” 16 a) A = T T2 =⇒ P (A) = 0, 51.0, 49 = 0, 2499 b) P (T2 /T ) = P (T T2 )/P (T ) = P (A)/P (T ) = 0, 2499/0, 51 = 0, 49 `an tı´nh P (T2 /B) c) Ta cˆ P (B) = − P (B) = − P (khˆ ong co ´ ga ´ i na`o) = ` = − P (ca’ hai d ¯ˆeu trai) = − 0, 49.0, 49 = 0, 7599 P (T2 /B) = P (T2 B)/P (B) = P (T2 T )/P (B) = P (A)/P (B)+ = 0, 2499/0, 7599 = 0, 3289 Cˆ au 46: Ba khˆ a’u su ´ ng cu`ng b˘a´n va`o mˆo.t mu.c tiˆeu Co ´ hai viˆen d¯a.n tru ´ ng d¯´ch ı Tı`m xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ cho viˆen d¯a.n ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘a´n la` tru ´ ng d¯´ch, ı `a ng xa biˆe´t r˘ ´ c suˆa´t tru ´ ng d¯´ch ı cu’a t`u ng ngu `o i tu o ng u´ ng la` 0, 6; 0, 8; 0, Gia’i: Go.i Ti : ”ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru ´ ng d¯´ch”, ı i = 1, 2, ´ ng d¯´ch” ı A: ”co ´ hai ngu `o i b˘a´n tru A = T1 T2 T ∪ T1 T T3 ∪ T T2 T3 P (A) = 0, 6.0, 8.0, + 0, 6.0, 2.0, + 0, 4.0, 8.0, = 0, 444 o.i th´u nhˆa´t b˘a´n tru ´ ng va` hai ngu.`o.i co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o t” AT1 : ”ngu.` AT1 = T1 (T T3 ∪ T2 T ) =⇒ P (AT1 ) = 0, 6.0, 2.0, + 0, 6.0, 8.0, = 0, 156 P (T1 /A) = 0, 156/0, 444 = 0, 3513 Cˆ au 47: Trong mˆ o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi C´o sinh viˆen chuˆa’n bi tˆo´t, sinh viˆen chuˆa’n bi kh´a, sinh viˆen chuˆa’n bi trung b`ınh v`a sinh viˆen chuˆa’n bi k´em Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i Sinh viˆen chuˆa’n bi tˆo´t c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi kh´a tra’ l`o.i d¯u.o c 15 cˆau, sinh viˆen trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o c cˆau Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o c cˆau ho’i tu`y ´y T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’: a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi tˆo´t b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi k´em Gia’i: Tru`ng v´o.i ba`i 12 Cˆ au 48: Mˆ o.t xa thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7 Anh ta c´o viˆen d¯a.n; b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i thˆoi a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o Gia’i: Tru`ng ba`i Cˆ au 49: Ba xa thu’ b˘ a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch cu’a ngu `o i th´u nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u hai b˘`a ng 0,75; cu’a ngu.`o.i th´u ba b˘`a ng 0,7 T`ım x´ac suˆa´t: - ˆe’ ca’ xa thu’ b˘a´n tru.o t a) D - ˆe’ ´t b) D ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung Gia’i: Tru`ng ba`i 18 Cˆ au 50: Hai bı`nh d ¯u ng bi giˆo´ng nhau, mˆo˜i bı`nh d¯u ng bi tr˘a´ng va` bi d¯o’ `oi t`u hai bi nˆ `ay cho.n mˆo.t bi Tı´nh xa Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo˜i bı`nh mˆo.t bi, rˆ ´ c suˆa´t d¯ˆe’ bi cho.n sau cu`ng la` bi tr˘a´ng Gia’i: Go.i Ti : ”Bi lˆa´y t`u bı`nh th´u i la` tr˘a´ng”, i = 1, 2, Ai : ” hai bi lˆ a´y co ´ d¯´ung i bi tr˘a´ng” 17 F : ”bi lˆ a´y sau cu`ng la` tr˘a´ng” {Ti , T i }; {Ao , A1 , A2 } la ` nh˜u.ng hˆe d¯`ˆay d¯u’, {T1 , T2 } d¯oˆ c lˆa.p 7 49 Ao = T T =⇒ P (Ao ) = = 12 12 144 7 70 A1 = T1 T + T T2 =⇒ P (A1 ) = = 12 12 12 12 144 ´ ´ o i th´u nhˆa t b˘an tru ´ ng va` hai ngu `o.i co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o t” AT1 : ”ngu ` 5 25 A2 = T1 T2 =⇒ P (A2 ) = = 12 12 144 Vˆa.y P (F ) = P (Ao )P (F/Ao ) + P (A1 )P (F/A1 ) + P (A2 )P (F/A2 ) = 12 ` TA ˆ P D ˆ˜ U NHIEN ˆ -A BAI I LU O NG NGA Cˆ au 1: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co ´ ba’ng phˆan phˆo´i xa ´ c suˆa´t sau: X -1 P 0,2 0,2 0,3 0,3 a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X Cˆ au 2: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu sau: p(x) = a lnx x2 nˆe´u x nˆe´u x > a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i b) T`ım k` y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X Cˆ au 3: Cho d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t sau: X P 0,1 0,4 0,3 0,2 a) T`ım h`am phˆan phˆo´i cu’a X b) T`ım k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X Cˆ au 4: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu sau: p(x) = e−x nˆe´u x nˆe´u x < a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X b) Tı`m ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X - u.`o.ng k´ınh cu’a mˆo.t loa.i tru.c m´ay m´ay tiˆe.n l`a mˆo.t d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen Cˆ au 5: D c´ o phˆan phˆo´i chuˆ a’n v´o.i trung b`ınh l`a 25mm v`a phu.o.ng sai l`a 1, 44mm2 Tru.c n`ay d¯u.o c go.i l`a d¯a.t tiˆeu chuˆ a’n k˜ y thuˆ a.t nˆe´u d¯u.`o.ng k´ınh n˘`a m khoa’ng t` u 23,44mm d¯ˆe´n 26,56mm a) T´ınh sˆo´ tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆ a’n sa’n xuˆa´t 200 tru.c ´ ´ ’ ’ b) Phai san xuˆa t ´ıt nhˆa t bao nhiˆeu tru.c d¯ˆe’ x´ac suˆa´t c´o ´ıt nhˆa´t tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆ a’n k˜ y thuˆ a.t khˆong du.´ o.i 99, 73% `am l`a 99, 9% Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 10000 ha.t d¯em Cˆ au 6: Mˆo.t kho ha.t giˆo´ng c´o tı’ lˆe nˆa’y mˆ `am gieo T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ d¯´ o c´o d¯u ´ng 100 ha.t khˆong nˆa’y mˆ `an lu o t b˘a´n v`ao c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ Cˆ au 7: Hai xa thu’ lˆ ung d¯´ıch tu.o.ng u ´.ng l`a 0,6 o i d¯`ˆeu c´o viˆen d¯a.n Nˆe´u c`on d¯a.n v`a bia chu a bi b˘a´n tr´ ung th`ı ho c` on v` a 0,4 Mˆo˜i ngu ` b˘ a´n a) T`ım luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n ngu.`o.i d¯˜a b˘a´n b) T´ınh k` y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o `an mˆo.t d¯`ˆ `en Sˆo´ lˆ `an l´o.n nhˆa´t c´o thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n m˘a.t ng˜ Cˆ au 8: Gieo 200 lˆ ong tiˆ u.a l`a bao `an d¯u nhiˆeu? H˜ay t´ınh gˆ ´ng x´ac suˆa´t d¯´o Cˆ au 9: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X c´o mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t nhu sau : p(x) = axe−kx nˆe´u x d¯´o k > nˆe´u x < a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am F (x) b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < k1 ) c) T`ım k` y vo.ng cu’a X `an mˆo.t d¯`ˆ Cˆ au 10: Gieo 400 lˆ ong xu T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ m˘a.t sˆa´p xuˆa´t hiˆe.n : `an a) 260 lˆ `an v`a khˆong nhiˆ `eu ho.n 204 lˆ `an b) Khˆong ´ıt ho.n 196 lˆ Cˆ au 11: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu sau: p(x) = 3e−3x nˆe´u x ≥ nˆe´u x < a) T´ınh k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X b) T´ınh P (1 < X < 3) `an mˆo.t x´ Cˆ au 12: Gieo 800 lˆ uc x˘a´c X´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o sˆo´ m˘a.t ng˜ u.a lˆen trˆen c´o sˆo´ `an v`a khˆong nhiˆ `eu ho.n 294 lˆ `an chˆ a´m l`a bˆo.i cu’a xuˆa´t hiˆe.n khˆong ´ıt ho.n 280 lˆ Cˆ au 13: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t nhu sau: p(x) = ax2 nˆe´u x nˆe´u x ∈ / [0; 2] a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x) b) T´ınh k` y vo.ng v`a P (−2 X 1) Cˆ au 14: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cho bo’.i: p(x) = nˆe´u −1 x nˆe´u x < −1 ho˘a.c x > a) T`ım k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1) ´ y co ´ chˆa´t lu.o ng Cˆ au 15: Qua thˆo´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nha` ma cao Tuy nhiˆen d¯o.n gia’n hoa ´ qua ´ trı`nh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o ng sa’n phˆa’m thı` 2% sa’n ˜ khˆ phˆ a’m co ´ chˆ a´t lu o ng cao se ong d¯u.o c cˆong nhˆa.n n˜ u.a va` 5% sa’n phˆa’m khˆong co ´ chˆ a´t ’ ’ ˜ lu o ng cao la.i d¯u o c cˆong nhˆa.n sa’n phˆa m co ´ chˆa´t lu o ng cao Ha y tı`m xa ´ c suˆa´t d¯ˆe sau kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o c cˆong nhˆa.n co ´ chˆa´t lu.o ng cao d¯´ung la` sa’n phˆa’m co ´ chˆ a´t lu o ng cao Cˆ au 16: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co ´ ha`m mˆa.t d¯ˆo p(x) = a lnx x2 nˆe´u x ≤ ho˘a.c x > e nˆe´u < x ≤ e a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i b) T`ım k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen X Cˆ au 17: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t nhu sau: p(x) = ax2 nˆe´u x nˆe´u x ∈ / [0; 2] a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x) b) T´ınh k` y vo.ng v`a P (−2 X 1) Cˆ au 18: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu sau: 3e−3x p(x) = nˆe´u x ≥ nˆe´u x < a) T´ınh k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X b) T´ınh P (1 < X < 3) Cˆ au 19: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cho bo’.i:   √ a nˆe´u −1 < x < 1 − x2 p(x) =  nˆe´u x ≤ −1 ho˘a.c x ≥ a) Xa ´ c d¯.inh h˘a` ng sˆo´ a T`ım h`am phˆan phˆo´i F (x) b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1) va` ky` vo.ng E(X) Cˆ au 20: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co ´ ba’ng phˆan phˆo´i xa ´ c suˆa´t sau: X -1 P 0,2 0,2 0,3 0,3 a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X ´ ba cˆo’ ma ´ y hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p Xa ´ c suˆa´t d¯ˆe’ Cˆ au 21: Trong mˆo.t phˆan xu.o’.ng co ca ´ c ma ´ y bi ho’ng mˆo.t ca sa’n xuˆa´t tu o ng u ´ ng la` 0, 1; 0, 2; 0, Xa ´ c d¯.inh qui luˆa.t phˆ an bˆo´ xa ´ c suˆa´t cu’a sˆo´ ma ´ y ho’ng mˆo.t ca sa’n xuˆa´t Ho’i trung bı`nh mˆo.t ca co ´ bao nhiˆeu ma ´ y tˆo´t Cˆ au 22: Trong mˆo.t cuˆo.c thi, co ´ hai hı`nh th´ u.c thi nhu sau; hı`nh th´ u.c I: mˆo˜i ngu.`o.i pha’i tra’ l`o i cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau tra’ l`o i d¯´ung thı` d¯u o c d¯iˆe’m hı`nh th´ u.c II: tra’ l` o.i d¯´ung cˆau th´ u nhˆ a´t m´o.i d¯u.o c tra’ l` o.i cˆau th´ u hai; cˆau th´ u nhˆa´t d¯´ung d¯iˆe’m; cˆau th´ u hai d¯´ung d¯u o c 10 d¯iˆe’m Trong ca’ hai hı`nh th´ u c, ca ´ c cˆau tra’ l`o i sai d¯`ˆeu khˆong d¯u o c d¯iˆe’m Gia’ su’ xa ´ c suˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau d¯`ˆeu la` 0, 75 va` viˆe.c tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau la` u.c na`o d¯ˆe’ sˆo´ d¯iˆe’m trung bı`nh d¯a.t d¯u.o c d¯ˆ o.c lˆa.p v´o i Theo ba.n, nˆen cho.n hı`nh th´ `eu ho.n nhiˆ Cˆ au 23: Mˆo.t ˆo tˆo kha ´ ch kho’.i ha`nh t` u A d¯i d¯ˆe´n B va` khoa’ng ca ´ ch t` u A d¯ˆe´n B la` L ˜ d` `au Trˆen d¯u ` o ng ˆo tˆo se u ng bˆa´t ky` chˆo˜ na`o kha ´ ch yˆeu cˆ ` ` Gia’ thiˆe´t r˘a ng, vi trı´ (d¯o b˘a ng km, tı´nh t` u A) cu’a mˆo.t ngu.`o.i kha ´ ch lˆen xe, sau ˜ ng d¯u ` d¯´o xuˆo´ng xe trˆen qua o ng trˆen la` biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X va` Y nˆe´u cho r˘`a ng ha`m mˆ a.t d¯ˆ o phˆan bˆo´ xa ´ c suˆa´t cu’a X ty’ lˆe v´o.i gia ´ tri.: x.(L − x)2 , (0 ≤ x ≤ L) va` cu’a Y ty’ ˜ y tı`m xa lˆe v´o.i gia ´ tri (y − x)h , (h ≥ 0) thı` ´ c suˆa´t: a) Co ´ mˆo.t kha ´ ch lˆen xe tru ´ o c d¯iˆe’m l(0 ≤ l ≤ L) ’ ˜ b) Kha ´ ch lˆen xe o’ d¯iˆe m x se xuˆo´ng xe sau d¯iˆe’m l -D - LNN liˆen tu.c X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.: Cˆ au 24: Cho D f (x) = a) T`ım h˘`a ng sˆo´ c cx2 (1 − x) v´o.i x ∈ [0, 1] / [0, 1] v´o.i x ∈ b) T´ınh P (0, < X < 0, 6) -D - LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [1, 2] T`ım P (2 < X < 5) Cˆ au 25: Cho D -D - LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [−1, 3] T`ım P (X < 2) Cˆ au 26: Cho D -D - LNN X c´ Cˆ au 27: Cho D o h`am mˆa.t d¯ˆo f (x) = kx2 ;0 ≤ x ≤ ;x < ∨ x > a) T´ınh k b) T´ınh P (X > 2) c) X´ac d¯.inh a d¯ˆe’ P (X < a) = 34 -D - LNN X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.: Cˆ au 28: Cho D 34x(2 − x) v´o.i ≤ x ≤ f (x) = v´o.i < x ∨ x > a) V˜e d¯`ˆ o thi f (x) b) T´ınh P (X > 1, 5); P (0, < X < 1, 1) -D - LNN X (t´ınh b˘ `a ng th´ang) Cˆ au 29: Tuˆ o’i tho cu’a mˆo.t loa.i cˆon tr` ung n`ao d¯´o l`a mˆo.t D v´ o i h`am mˆa.t d¯ˆ o.: kx2 (4 − x) v´o.i ≤ x ≤ f (x) = nˆe´u tr´ai la.i a) X´ac d¯.inh k, v˜e d¯`ˆ o thi cu’a f (x) b) T´ınh k` y vo.ng, phu.o.ng sai cu’a X c) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ cˆ on tr` ung chˆe´t tru.´o.c n´o d¯u.o c th´ang tuˆo’i Cˆ au 30: Hai xa thu’ A v`a B tˆ a.p b˘a´n, mˆo˜i ngu.`o.i b˘a´n ph´at X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ ung d¯´ıch cu’a A mˆo˜i ph´at l`a 0, v`a cu’a B l`a 0, a) Go.i X l`a sˆo´ ph´ at tr´ ung cu’a A tr` u sˆo´ ph´at tr´ ung cu’a B T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X b) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y = |X| Cˆ au 31: Ta.i mˆo.t tra.m kiˆe’m so´at giao thˆong, trung b`ınh mˆo.t ph´ ut c´o hai xe ˆotˆo d¯i qua ’ a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe c´o d¯u ´ng xe d¯i qua v`ong ph´ ut b) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ khoa’ng th`o.i gian t ph´ ut c´o ´ıt nhˆa´t xe ˆotˆo d¯i qua X´ac d¯.inh t d¯ˆe’ x´ ac suˆa´t n`ay b˘`a ng 0, 99 Cˆ au 32: Mˆo.t tra.m cho thuˆe xˆe taxi c´o chiˆe´c xe H`ang ng`ay tra.m pha’i nˆo.p thuˆe´ USD cho chiˆe´c xe (d` u xe d¯´ o c´o d¯u.o c thuˆe hay khˆong) Mˆo˜i chiˆe´c xe d¯u.o c cho thuˆe v´ o.i gi´a 20USD -D - LNN X c´o phˆan phˆo´i Poisson v´o.i `au cu’a tra.m ng`ay l`a D Gia’ su’ sˆo´ yˆeu cˆ tham sˆo´ λ = 2, `en thu d¯u.o c ng`ay cu’a tra.m (nˆe´u khˆong c´o thuˆe th`ı sˆo´ a) Go.i Y l`a sˆo´ tiˆ `en thu d¯u.o c l`a −24USD) tiˆ `en trung b`ınh thu d¯u.o c cu’a tra.m T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y T` u d¯´o t´ınh sˆo´ tiˆ ng`ay b) Gia’i b`ai to´an trˆen tru.`o.ng ho p tra.m c´o xe c) Tra.m nˆen c´o hay xe? -D - LNN X (kg) c´o h`am mˆa.t Cˆ au 33: Tro.ng lu.o ng cu’a mˆo.t g`a th´ang tuˆo’i l`a mˆo.t D d¯ˆ o.: k(x2 − 1) v´o.i ≤ x ≤ f (x) = nˆe´u tr´ai la.i T`ım tro.ng lu.o ng trung b`ınh cu’a g`a th´ang tuˆo’i v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n Cˆ au 34: Mˆo.t d¯oa.n thˆa’ng AB d`ai 10 cm bi g˜ay ngˆa˜u nhiˆen o’ mˆo.t d¯iˆe’m P Hai d¯oa.n g˜ ay AP v`a BP d¯u.o c su’ du.ng d¯ˆe’ l`am hai ca.nh cu’a mˆo.t h`ınh ch˜ u nhˆa.t T`ım k` y vo.ng v`a ’ d¯ˆ o lˆe.ch tiˆeu chuˆ a n cu’a diˆe.n t´ıch h`ınh ch˜ u nhˆa.t - LNN phˆan bˆo´ chuˆa’n v´o.i k` Cˆ au 35: Tro.ng lu.o ng cu’a mˆo.t b`o l`a mˆo.t D y vo.ng l`a 250 ’ kg v`a d¯ˆ o lˆe.ch tiˆeu chuˆ a n 40 kg T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t b`o c´o tro.ng lu.o ng: a) N˘a.ng ho.n 300 kg b) Nhe ho.n 175 kg c) Trong khoa’ng 260 kg d¯ˆe´n 270 kg -D - LNN X c´o phˆan Cˆ au 36: Th`o.i gian d¯i t` u nh` a d¯ˆe´n tru.`o.ng cu’a sinh viˆen A l`a mˆo.t D phˆo´i chuˆ a’n Biˆe´t r˘`a ng 65% sˆo´ ng`ay A d¯ˆe´n tru `o ng mˆa´t ho n 20 ph´ ut c`on 8% sˆo´ ng` ay ´ mˆ a t ho n 30 ph´ ut a) T`ım th`o.i gian trung b`ınh v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a th`o.i gian d¯ˆe´n tru.`o.ng b) Nˆe´u A xuˆa´t ph´at t` u nh` a tru.´o.c gi`o v`ao ho.c 25 ph´ ut th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe´ A muˆo.n ho.c l` a bao nhiˆeu ? `an pha’i xuˆa´t ph´at tru.´o.c gi`o v`ao ho.c bao nhiˆeu ph´ c) A cˆ ut d¯ˆe’ kha’ n˘ang muˆo.n ho.c l` a b´e ho n 0, 02 -D - LNN c´o phˆan bˆo´ chuˆa’n Trong mˆo.t `eu d`ai cu’a mˆo.t loa.i cˆay l`a mˆo.t D Cˆ au 37: Chiˆ ˜ ` ´ mˆ a u gˆom 640 cˆay c´o 25 cˆay thˆa p ho n 18m v`a 110 cˆay cao ho.n 24m `eu cao cˆay a) T`ım k` y vong v`a d¯ˆ o lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a chiˆ ´ ay c´o d¯ˆ o cao khoa’ng t` u 16m d¯ˆe´n 20m mˆa˜u trˆen b) U ´o c lu o ng sˆo cˆ -D - LNN c´o phˆan bˆo´ m˜ Cˆ au 38: Cho X l`a D u v´o.i λ = T`ım k` y vo.ng v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu −X ’ chuˆ a n cu’a e -D - LNN c´o phˆan bˆo´ m˜ Cˆ au 39: Cho X l`a D u v´o.i λ = v`a Y = 2X T´ınh: a) P (2 < Y < 18) b) P (Y < 4) -D - LNN hai chiˆ `eu (X, R) c´o ba’ng phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t: Cˆ au 40: Cho D X \Y −1 0, 01 0, 06 0, 05 0, 04 0, 04 0, 24 0, 15 0, 07 0, 05 0, 10 0, 10 0, 09 a) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X v`a Y b) T´ınh k` y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X v`a Y c) T´ınh hˆe sˆ o´ tu.o.ng quan cu’a X v`a Y -D - LNN c´o phˆan phˆo´i d¯`ˆeu trˆen khoa’ng (−1, 1) v`a (0, 2) Cˆ au 41: Gia’ su’ X, Y l`a hai D -D - LNN ´ ng T`ım h`am mˆa.t d¯oˆ d¯`ˆ ong th`o.i v`a h`am phˆan phˆo´i d¯`ˆong th`o.i cu’a hai D tu o ng u X, Y