(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether

(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nghệ An - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Kiều Nga Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới giáo kính u - PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô tận tình dìu dắt tơi từ bước chập chững đường nghiên cứu khoa học Với tất niềm say mê khoa học tâm huyết người thầy, cô không dạy tri thức tốn học mà cịn dạy tơi phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề Hơn nữa, cịn ln quan tâm, động viên giúp đỡ tơi lúc tơi gặp khó khăn sống Tơi thấy thật may mắn làm khoa học hướng dẫn cô Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn thứ hai - TS Nguyễn Thị Hồng Loan Cô quan tâm, nhắc nhở tạo điều kiện thuận lợi trình tơi học tập, nghiên cứu Có lúc khó khăn sống làm tơi nản chí, lúc người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tơi vượt qua khó khăn Tơi xin trân trọng cám ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy người đưa đến với Đại số giao hốn tận tình dạy dỗ tơi từ tơi học viên cao học Như người cha, thầy quan tâm giúp đỡ học tập sống Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh tạo điều kiện cho học tập Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội cho hội học tập nghiên cứu Đặc biệt, xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy cô giáo đồng nghiệp Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi vơ biết ơn Tạ Thị Phương Hịa ln giành cho tơi tình cảm trìu mến Tơi xin cám ơn anh chị em nhóm xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên trao đổi khoa học chia sẻ sống Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu em Trần Ngun An dành cho tơi tình cảm q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình Những người ln động viên chia sẻ khó khăn ln mong mỏi thành công Tôi xin cám ơn Chồng hai Con trai yêu quí, người chấp nhận khó khăn, gánh vác tồn cơng việc cho tơi để tơi n tâm học tập Đó nguồn động viên lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi hồn thành luận án Nguyễn Thị Kiều Nga Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính catenary vành 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Biểu diễn thứ cấp môđun Artin 1.4 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng 21 21 24 27 29 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 2.1 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng tính khơng trộn lẫn 2.3 Chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 33 34 41 47 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng 3.1 Giá suy rộng 3.2 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng 54 55 60 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả CohenMacaulay suy rộng 4.2 Liên hệ với mơđun tắc 73 Kết luận kiến nghị 92 Các cơng trình liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 93 74 86 Mở đầu Lý chọn đề tài Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Ta ln có depth M dim M Nếu depth M = dim M ta nói M mơđun Cohen-Macaulay Lớp vành mơđun CohenMacaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hốn có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Tổ hợp Hình học đại số Nhiều mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay giới thiệu quan tâm nghiên cứu Hai mở rộng lớp vành (môđun) Buchsbaum lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng Với hệ tham số x M , đặt I(x; M ) = (M/xM ) − e(x; M ), e(x; M ) số bội M ứng với hệ tham số x Ta ln có I(x; M ) với hệ tham số x M M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x M Vì thế, năm 1965, D A Buchsbaum [7] đưa giả thuyết I(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Năm 1973, W Vogel v J Stă uckrad [54] ó xõy dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết D A Buchsbaum không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết D A Buchsbaum Các môđun gọi mơđun Buchsbaum Sau N T Cường, P Schenzel N V Trung [50] giới thiệu nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hốn Hai mở rộng dựa vào tính chất không trộn lẫn môđun Cohen-Macaulay Ta biết M mơđun Cohen-Macaulay dim R/p = d với p ∈ AssR M Khi nghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R P Stanley [47] giới thiệu khái niệm môđun CohenMacaulay dãy cho môđun phân bậc, sau P Schenzel [45], N T Cường L T Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh vành địa phương Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun trộn lẫn, N T Cường L T Nhàn [19] giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Hai mở rộng khác lớp vành môđun Cohen-Macaulay lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay lớp vành (môđun) giả CohenMacaulay suy rộng Cho x = (x1 , , xd ) hệ tham số M Đặt t+1 t t ((xt+1 , , xd )M :M x1 xd ) QM (x) = t>0 Khi QM (x) môđun M xM ⊆ QM (x) R Hartshorne [27] rằng, M môđun Cohen-Macaulay xM = QM (x) với (hoặc với mọi) hệ tham số x M , tức J(x; M ) = e(x; M ) − M/QM (x) = Hơn nữa, M Cohen-Macaulay suy rộng sup J(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M (xem [16]) Vì thế, năm 2003, N T Cường L T Nhàn [19] nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện J(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x M Họ gọi lớp môđun môđun giả Cohen-Macaulay Đồng thời N T Cường L T Nhàn [19] nghiên cứu lớp mơđun M với tính chất sup J(x; M ) < ∞ cận lấy theo tập tất hệ tham số x M họ gọi chúng môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng Tóm lại, với lớp mơđun Cohen-Macaulay, lớp môđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng trở thành lớp môđun quan tâm Đại số giao hoán cấu trúc chúng biết đến thông qua cơng trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47], [48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay hướng nghiên cứu thời cần quan tâm Đại số giao hốn Các nghiên cứu trước quỹ tích khơng Cohen-Macaulay tập trung chủ yếu tính chất đóng theo tơpơ Zariski (xem R Hartshorne [28], P Schenzel [53]) chiều quỹ tích (xem [10], [11]) vành sở R "tốt”, chẳng hạn R thương vành Gorenstein địa phương Trong luận án này, quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay với vành sở tùy ý, đồng thời nghiên cứu tính chất quỹ tích mối quan hệ với tính catenary, catenary phổ dụng, tính khơng trộn lẫn vành, điều kiện Serre mơđun tính Cohen-Macaulay thớ hình thức Chúng đặt vấn đề nghiên cứu số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Một số quỹ tích môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chứng minh số kết quỹ tích mối quan hệ với tính catenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay thớ hình thức, chiều mơđun đối đồng điều địa phương kiểu đa thức Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến tính Cohen-Macaulay Phạm vi nghiên cứu Lĩnh vực nghiên cứu luận án Đại số giao hoán Luận án tập trung nghiên cứu môđun hữu hạn sinh vành giao hoán địa phương Noether Phương pháp nghiên cứu Về mặt kỹ thuật, sử dụng tập giả giá giới thiệu M Brodmann R Y Sharp [5], đồng thời đưa khái niệm giá suy rộng để mơ tả quỹ tích Ngồi ra, chúng tơi sử dụng số lý thuyết quan trọng Đại số giao hoán để nghiên cứu lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, kiểu đa thức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án làm phong phú hướng nghiên cứu quỹ tích mơđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu 10 (ii) Chứng minh khẳng định qui nạp theo t Nếu t = Hm0 (M ) = M Do nPGCM(M ) = ∅, khẳng định Với t = dim R/p = d với p ∈ AssR M \ {m} Vì theo kết (i) khẳng định với t = Giả sử t > khẳng định với t − Lấy p ∈ nPGCM(M ) Giả sử (Mt−1 )p = Mp Lập luận tương tự chứng minh (i) ta có (Mt−1 )p mơđun lớn Mp có chiều nhỏ dim Mp Do p ∈ nGCM(M/Mt−1 ) theo Bổ đề 4.1.8(ii) p ∈ nGCM(Mi /Mi−1 ) i t Giả sử (Mt−1 )p = Mp Khi p ∈ nPGCM(Mt−1 ) Chú ý lọc chiều Mt−1 Hm0 (M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt−1 Áp dụng giả thiết qui nạp với mơđun Mt−1 ta có p ∈ nGCM(Mi /Mi−1 ) Do i t−1 nPGCM(M ) ⊆ nGCM(Mi /Mi−1 ) Vì Mi /Mi−1 đẳng chiều với i t i t nên theo Định lý 3.2.2 ta có nPGCM(M ) ⊆ LsupprR (Mi /Mi−1 ) nGCM(Mi /Mi−1 ) = i t i=1, ,t r=1, ,di −1 Định lý chứng minh Ví dụ sau nhìn chung pGCM(M ) khơng ổn định với phép tổng qt hóa Do trường hợp tổng quát pGCM(M ) không tập mở theo tơpơ Zariski Ví dụ 4.1.11 Cho d ≥ số nguyên Khi tồn vành địa phương Noether (R, m) R-môđun hữu hạn sinh M có chiều d cho pGCM(M ) khơng ổn định với phép tổng qt hóa Do pGCM(M ) không tập mở Spec(R) theo tôpô Zariski Chứng minh Cho d ≥ số nguyên Cho K trường Đặt R = K[[x1 , , xd+1 ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức với d + biến K Khi m = (x1 , , xd+1 )R iđêan cực đại 84 R Đặt M1 = R/xd+1 R M2 = (x1 , x2 )M3 , M3 = R/(x3 , x4 )R Đặt M = M1 ⊕M2 p = (x1 , , xd )R Khi dim M = d Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Ví dụ 4.1.5 ta có m ∈ pGCM(M ), H i (M2 )p = với i ≤ d − H d−3 (M2 )p ∼ = pRp pRp Hpd−4 Rp Rp /(x1 , , x4 )Rp Theo giả thiết d ≥ nên dim R/Ann(Hpd−3 Rp (M2 )p ) = d − ≥ Vì (Hpd−3 Rp (M2 )p ) = ∞ Do (M2 )p khơng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Đặt U(M2 )p (0) mơđun lớn (M2 )p có chiều bé dim(M2 )p Lập luận tương tự chứng minh Ví dụ 4.1.5 ta có U(M2 )p (0) = Vì (M2 )p khơng mơđun giả Cohen-Macaulay suy rộng theo Bổ đề 4.1.8(ii) Do p ∈ / pGCM(M ) Suy pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa Do đó, pGCM(M ) không tập mở theo tôpô Zariski Chú ý quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy miêu tả Chương thông qua giá suy rộng (xem Mệnh đề 3.2.12) Từ Định lý 4.1.10, nhận lại kết tương tự quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy Hệ 4.1.12 Cho Hm0 (M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M lọc chiều M Giả sử R thương vành Gorenstein địa phương Khi nSGCM(M ) = nPGCM(Mi ) = nGCM(Mi /Mi−1 ) i t 1≤i≤d ổn định với phép đặc biệt hóa Chứng minh Theo [19, Định lý 5.3(a)] ta có nSGCM(M ) = nPGCM(Mi ) i t 85 Theo Định lý 4.1.10 ta có nGCM(Mi ) ⊆ i t Ngược lại, lấy p ∈ nGCM(Mi /Mi−1 ) i t nGCM(Mi /Mi−1 ) Khi tồn i t i t cho p ∈ nGCM(Mi /Mi−1 ) Do (Mi )p = (Mi−1 )p Lập luận tương tự chứng minh Định lý 4.1.4(i), ta có (Mi−1 )p mơđun lớn (Mi )p có chiều nhỏ dim(Mi )p Vì (Mi )p /(Mi−1 )p không CohenMacaulay suy rộng nên theo Bổ đề 4.1.8(ii) ta có p ∈ nPGCM(Mi ) Do nGCM(Mi /Mi−1 ) ⊆ i t nPGCM(Mi ) i t Vì nPGCM(Mi ) = i t nGCM(Mi /Mi−1 ) i t Hệ chứng minh 4.2 Liên hệ với mơđun tắc Trong tồn tiết này, giả thiết R thương vành Gorenstein địa phương (R , m ) có chiều n Trong tiết đưa số kết quỹ tích khơng Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng mơđun tắc K(M ) M Trước hết, nhắc lại khái niệm mơđun tắc giới thiệu P Schenzel [46] Định nghĩa 4.2.1 (Xem [46, Định nghĩa 2.1]) Với số nguyên i ≥ 0, i ký hiệu K i (M ) R-môđun Extn−i R (M, R ) Môđun K (M ) gọi môđun khuyết thứ i M K(M ) := K d (M ) gọi mơđun tắc M 86 Chú ý M môđun Cohen-Macaulay (tương ứng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng) K(M ) mơđun Cohen-Macaulay (tương ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng) Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ quỹ tích khơng CohenMacaulay (tương ứng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng) K(M ) quỹ tích khơng Cohen-Macaulay (tương ứng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) M Mệnh đề 4.2.2 Các khẳng định sau (i) nCM(K(M )) ⊆ nCM(M ) (ii) nGCM(K(M )) ⊆ nGCM(M ) Chứng minh (i) Lấy p ∈ nCM(K(M )) Khi p ∈ SuppR (K(M )) Vì AssR K(M ) = {q ∈ AssR (M ) | dim(R/q) = d} nên tồn q ∈ AssR M thỏa mãn dim R/p = d q ⊆ p Theo giả thiết R thương vành Gorenstein địa phương nên R catenary Vì d = dim R/q = dim R/p + ht p/q dim R/p + dim Mp d Do dim R/p+dim Mp = d Điều dẫn đến (K(M ))p ∼ = K(Mp ) (theo [46, Mệnh đề 2.2]) Vì K(Mp ) khơng mơđun Cohen-Macaulay Do Mp không môđun Cohen-Macaulay Vậy, p ∈ nCM(M ) (ii) Lấy p ∈ nGCM(K(M )) Khi p ∈ SuppR (K(M )) Lập luận tương tự chứng minh (i) ta có (K(M ))p ∼ = K(Mp ) Vì p ∈ nGCM(K(M )) nên K(Mp ) không môđun Cohen-Macaulay suy rộng Do Mp khơng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Vì p ∈ nGCM(M ) Hệ sau cho ta mối quan hệ kiểu đa thức mơđun tắc K(M ) kiểu đa thức M 87 Hệ 4.2.3 p(K(M )) p(M ) Chứng minh Vì R thương vành Gorenstein địa phương nên R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Do theo Định lý 2.3.4 ta có p(M ) = max{dim nCM(M ), dim U0 (M )} Do K(M ) đẳng chiều nên p(K(M )) = dim nCM(K(M )) Vì thế, theo Mệnh đề 4.2.2(i) ta có p(K(M )) p(M ) Ví dụ sau chứng tỏ nhìn chung chiều ngược lại Mệnh đề 4.2.2 khơng Ví dụ 4.2.4 Cho d số nguyên K trường Đặt R = K[[x1 , , xd ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức d biến K Khi R vành Cohen-Macaulay m = (x1 , , xd )R iđêan cực đại R Đặt M = (x2 , , xd )R Ta có dim R = dim M = d, dim(R/M ) = Vì d ≥ nên từ dãy khớp → M → R → R/M → có Hm2 (M ) ∼ = Hmd (R) Hmi (M ) = với i = 2, d = Hm1 (R/M ), Hmd (M ) ∼ Hơn nữa, từ dim(R/M ) = có R (Hm (M )) = ∞ Do M khơng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Vì m ∈ nGCM(M ) m ∈ nCM(M ) Mặt khác, H d (M ) ∼ = H d (R) R Cohenm m Macaulay nên K(M ) Cohen-Macaulay Do nCM K(M ) = ∅ nGCM K(M ) = ∅ Phần cuối tiết dành để miêu tả quỹ tích khơng CohenMacaulay suy rộng tắc Nhắc lại khái niệm mơđun CohenMacaulay suy rộng tắc giới thiệu N T H Loan L T Nhàn [30] mở rộng khái niệm mơđun tắc giới thiệu P Schenzel [46] M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc mơđun K(M ) Cohen-Macaulay suy rộng Chú ý M 88 mơđun có dim M M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Hơn nữa, M/UM (0) mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Đặc biệt, mơđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Định nghĩa 4.2.5 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng tắc M , ký hiệu nGCMC(M ), tập hợp tất iđêan nguyên tố p cho Mp không mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Mệnh đề 4.2.6 (i) Nếu dim(R/q) = d dim(R/q) với q ∈ AssR M LsuppiR (K(M )) nGCMC(M ) = nGCM(K(M )) = i khẳng định với t − Lấy p ∈ nGCMC(M ) Nếu p ∈ Supp (K(M )) K(Mp ) ∼ = (K(M ))p R Do p ∈ nGCM(K(M )) Nếu p ∈ / SuppR (K(M )) q p với q ∈ AssR M thỏa mãn dim(R/q) = d Vì AssR (M/Mt−1 ) = {q ∈ AssR M | dim(R/q) = d} nên p ∈ / SuppR (M/Mt−1 ) Do đó, từ dãy khớp → (Mt−1 )p → Mp → (M/Mt−1 )p → ta có Mp ∼ = (Mt−1 )p Vì p ∈ nGCMC(Mt−1 ) Chú ý lọc chiều Mt−1 Hm0 (M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt−1 Áp dụng giả thiết qui nạp cho Mt−1 , ta có p ∈ nGCM(K(Mk )) k=1, ,t−1 Vì K(Mk ) đẳng chiều với k = 1, t − nên theo Định lý 3.2.2 ta có LsuppiR (K(Mk )) nGCM(K(Mk )) = k=1, ,t k=1, ,t i=1, ,dk −1 Mệnh đề chứng minh 90 Kết luận chương Trong chương thu kết sau - Mơ tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng tắc - Đưa số kết quỹ tích khơng Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng mơđun tắc K(M ) M - Đưa số ví dụ để làm sáng tỏ kết toàn chương 91 Kết luận kiến nghị Kết luận Trong luận án thu kết sau - Mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay thơng qua tập giả giá đưa mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay với tính catenary phổ dụng tính khơng trộn lẫn vành - Mở rộng số kết chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay - Mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng thơng qua giá suy rộng đặc trưng tính đóng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng - Mơ tả số quĩ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng tắc Đồng thời đưa số kết quỹ tích khơng Cohen-Macaulay khơng Cohen-Macaulay suy rộng mơđun tắc K(M ) M Kiến nghị Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau - Nghiên cứu số quỹ tích quỹ tích khơng Cohen-Macaulay, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun phân bậc vành phân bậc - Nghiên cứu quỹ tích khơng Cohen-Macaulay có chiều lớn s - Dựa vào kết biết quỹ tích để nghiên cứu cấu trúc vành mơđun - Nghiên cứu tính chất ổn định quỹ tích liên quan đến đối đồng điều địa phương phân bậc 92 Các cơng trình liên quan đến luận án N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), "On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules", J Algebra, 323, 3029-3038 L T Nhan, N T K Nga, P H Khanh (2013), "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, To appear, DOI:10.1080/00927872.2013.811675 N T K Nga (2013), "Some loci related to Cohen-Macaulayness", Journal of Algebra and Its Applications, To appear, DOI:10.1142/S0219498814500212 Các kết luận án báo cáo thảo luận - Xêmina Đại số hàng tuần - Đại học Thái Nguyên - Xêmina Tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ, Thái Ngun, 11/2011 - Hội nghị Tốn học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 8/2012 - Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 8/2013 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] T N An (2013), "On the attached primes and shifted localization principle for local cohomology modules" , Algebra Colloquium, (4)20, 671-680 [2] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading Mass: Addison-Wesley [3] M Brodmann and C Rotthaus (1983), "A peculiar unmixed domain", Proc AMS., (4)87, 596-600 [4] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [5] M Brodmann and R Y Sharp (2002), "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167, 217-233 [6] W Bruns and J Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press (Revised edition) [7] D A Buchsbaum (1965), Complexes in local ring theory, In: Some aspects of ring theory, C I M.E., Rome [8] I S Cohen (1946), "On the structure and ideal theory of complete local rings", Trans Amer Math Soc., 59, 54-106 [9] I S Cohen (1954), "Length of prime ideal chains", Amer J Math., 76, 654-668 [10] N T Cuong (1991), "On the dimension of the non Cohen-Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes", Math Proc Camb Phil Soc., 109, 479-488 [11] N T Cuong (1992), "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings", Nagoya Math J., 125, 105114 [12] N T Cuong and D T Cuong (2007), "On sequentially CohenMacaulay modules", Kodai Math J., 30, 409-428 [13] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2010), "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, 9, 959-976 [14] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Comm Algebra, (5)35, 1691-1701 [15] N.T Cuong, V T Khoi (1999), "Modules whose local cohomology modules have Cohen-Macaulay Matlis duals", In: Proc of Hanoi Conference on Algebra Geometry, Commutative Algebra and Computation Methods, D Eisenbud (Ed.), Springer-Verlag, 223-231 [16] N T Cuong and N D Minh (2000), "Lengths of generalized fractions of modules having small polynomial type", Math Proc Camb Phil Soc., (2)128, 269-282 [17] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), "On the length of generalized fractions", J Algebra, 265, 100-113 [18] N T Cuong and L T Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., (2)30, 121-130 [19] N T Cuong and L T Nhan (2003), "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules", J Algebra, 267, 156-177 95 [20] N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), "On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules", J Algebra, 323, 3029-3038 [21] M T Dibaei and R Jafari (2011), "Cohen-Macaulay loci of modules", Comm Algebra, 39, 3681-3697 [22] D Ferrand and M Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian", Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3, 295-311 [23] J-L Garcia Roig and D Kirby (1986), "On the Koszul homology modules for the powers of a multiplicity systems", Mathematika, 33, 96-101 [24] S Goto (1980), "On Buchsbaum rings", J Algebra, 67, 272-279 [25] S Goto (1983), "On the associated graded rings of parameters ideal in Buchsbaum rings", J Algebra, 85, 490-534 [26] A Grothendieck (1967), Local homology, Lect Notes in Math., 20, Springer-Verlag Berlin- Heidelberg- New York [27] R Hartshorne (1966), "Property of A-sequence", Bull Soc Mat France, 4, 61-66 [28] R Hartshorne (1966), Residues and duality, Lect Notes in Math., 20, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verllog [29] M Hochster (1973), "Contracted ideals from integral extensions of regular rings", Nagoya Math J, 51, 25-43 [30] N T H Loan and L T Nhan (2013), "On generalized CohenMacaulay canonical modules", Comm Algebra, (12)41, 4453-4462 [31] I G Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring ", Symposia Mathematica, 11, 23-43 [32] H Matsumura (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, New York 96 [33] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [34] I G Macdonald and R Y Sharp (1972), "An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules", Quart J Math Oxford, (2)23, 197-204 [35] S McAdam and L J Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ Math J., 26, 73-79 [36] M Nagata (1962), Local rings, Interscience, New York [37] M Nagata (1980), "On the chain problem of prime ideals", Nagoya Math J., 80, 107-116 [38] L T Nhan and T N An (2009), "On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules", J Algebra, 321, 303-311 [39] L T Nhan, N T K Nga, P H Khanh (2013), "Non CohenMacaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, To appear, DOI:10.1080/00927872.2013.811675 [40] N T K Nga (2013), "Some loci related to CohenMacaulayness", Journal of Algebra and Its Applications, To appear, DOI:10.1142/S0219498814500212 [41] L J Ratliff (1971) , "Characterizations of catenary rings", Amer J Math., 93, 1070-1108 [42] L J Ratliff (1972), "Catenary rings and the altitude formula", Amer J Math., 94, 458-466 [43] R Y Sharp (1975), "Some results on the vanishing of local cohomology modules", Proc London Math Soc., 30, 177-195 [44] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), " Lengths of certain generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 38, 323-336 97 [45] P Schenzel (1998), "On the dimension filtration and CohenMacaulay filtered modules", In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, 245-264 [46] P Schenzel (2004), "On birational Macaulayfications and CohenMacaulay canonical modules", J Algebra, 275, 751-770 [47] R P Stanley (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhăauser Boston-Basel-Berlin [48] J Stă uckrad and W Vogel (1986), Buchsbaum rings and applications, Spinger-Verlag [49] N V Trung (1986), "Toward a theory of generalized CohenMacaulay modules", Nagoya Math J., 102, 1-49 Tiếng Đức [50] N T Cuong, P Schenzel, N V Trung (1978), "Verallgeminerte Cohen-Macaulay moduln", Math-Nachr., 85, 156-177 [51] W Krull (1937), "Zum Dimensionsbegriff der idealtheiorie", Math Z., 42, 745-766 [52] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe, Lecture Notes in Math., 907, BerlinHeidelberg- New York, Springer- Verlag [53] P Schenzel (1975), "Einige Anwendungen der lokalen dualitat und verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr., 69, 227242 [54] J Stă uckrad and W Vogel (1973), "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J Math Kyoto Univ., 13, 513-528 98 ... HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Một số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay số quỹ tích. .. nghiên cứu luận án số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến tính Cohen-Macaulay Phạm vi nghiên cứu Lĩnh vực nghiên cứu luận án Đại số giao hốn Luận án tập trung