Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 7: Ước lượng tham số cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, phương pháp ước lượng điểm, phương pháp ước lượng khoảng, ước lượng tham số, ước lượng tham số ơ2, ước lượng tham số p. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Chương Chương ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ▪ Tham số tổng thể (cũng tham số biến ngẫu nhiên) chưa biết ▪ Có thơng tin mẫu, ước lượng tham số tổng thể phương pháp ▪ Ba tham số bản: • Trung bình tổng thể • Tỷ lệ tổng thể • Phương sai tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 168 Chương Ước lượng tham số NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG ▪ 7.1 Khái niệm ▪ 7.2 Phương pháp ước lượng điểm ▪ 7.3 Phương pháp ước lượng khoảng ▪ 7.4 Ước lượng tham số ▪ 7.5 Ước lượng tham số σ2 ▪ 7.6 Ước lượng tham số p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 169 Chương Ước lượng tham số 7.1 7.1 KHÁI NIỆM ▪ Trong tổng thể biến ngẫu nhiên X đặc trưng tham số ▪ Không biết đủ thông tin tổng thể, chưa biết, cần ước lượng tham số (parameter estimate) ▪ Sử dụng thông tin từ mẫu ▪ Mẫu ngẫu nhiên: xây dựng ước lượng ngẫu nhiên (estimator) ▪ Mẫu cụ thể: ước lượng cụ thể (estimate), hay giá trị quan sát (observed value) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 170 Chương Ước lượng tham số 7.2 7.2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ▪ Dùng giá trị 𝜃መ ước lượng cho tham số ▪ Sử dụng mẫu W = (X1, X2, …, Xn) ▪ Lập thống kê tương ứng với , hàm mẫu 𝜃መ = G(X1, X2, …, Xn) ▪ Gọi hàm ước lượng ▪ Có nhiều hàm ước lượng sử dụng, cần có tiêu chí lựa chọn “tốt nhất” LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 171 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng ▪ Tính khơng chệch (unbiased) መ = • 𝜃መ ước lượng khơng chệch E(𝜃) መ : ước lượng chệch • Nếu E(𝜃) ▪ Tính hiệu (efficient) • 𝜃መ1 , 𝜃መ2 ước lượng khơng chệch • 𝑉(𝜃መ1 ) < 𝑉(𝜃መ2 ) 𝜃መ1 ước lượng hiệu 𝜃መ2 • 𝑉(𝜃መ1 ) nhỏ 𝜃መ1 ước lượng hiệu ▪ Ước lượng không chệch hiệu nhất: tốt LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 172 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Bất đẳng thức Cramer-Rao ▪ Nếu BNN X có cơng thức tính xác suất hàm mật độ f(x, ) với 𝜃መ ước lượng không chệch , ln có: ˆ V (θ ) ln f ( x , θ ) nE θ ▪ Do 𝜃መ ∗ ước lượng khơng chệch có phương sai vế phải ước lượng hiệu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 173 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng ▪ Tính vững (consistent): kích thước mẫu tiến đến vơ ước lượng hội tụ đến tham số (theo nghĩa xác suất) ▪ Tính đủ (sufficient): ước lượng sử dụng tồn thơng tin mẫu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 174 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng điểm ▪ Khi X ~ N( , σ2) • 𝑋ത ước lượng không chệch, hiệu • S*2 ước lượng khơng chệch, hiệu σ2 • S2 ước lượng khơng chệch σ2 • MS ước lượng chệch σ2 ▪ Khi X ~ A(p) f ước lượng khơng chệch, hiệu p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 175 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Ví dụ 7.1 ▪ Trung bình tổng thể m, phương sai 2 ▪ Với mẫu kích thước n = 3, thống kê sau, đâu ước lượng không chệch, hiệu cho m: 1 G1 X X X 2 1 G3 X X X 4 ; ; 1 G2 X X X 3 1 G4 X X X 3 3 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 176 Chương Ước lượng tham số 7.2 Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Mẫu W = (X1, X2, …, Xn), giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn) ▪ Hàm hợp lý: L(x1, x2, …, xn, ) = f(x1, ) f(x2, )… f(xn, ) ▪ L gọi hàm hợp lý (likelihood function) ▪ Giá trị 𝜃መ làm L đạt max gọi ước lượng hợp lý tối đa (maximum likelihood estimator: MLE) ▪ Nếu hàm L không dễ tìm cực đại tính thơng qua hàm logarit L (maximum log-likelihood) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 177 Chương Ước lượng tham số 7.4 Ước lượng tham số µ Ước lượng biết σ ▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail) σ μ X uα n ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail) σ X uα μ n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng: two-tail) σ σ X uα /2 μ X uα /2 n n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 184 Chương Ước lượng tham số 7.4 Ước lượng tham số µ Ước lượng biết σ ▪ Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: 𝑋ത ± 𝜀 hay 𝑋ത ± 𝑀𝐸 ▪ 𝜀 sai số biên (ME: marginal error): 𝜀 = 𝑢𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Xác định kích thước mẫu có yêu cầu sai số độ dài khoảng tin cậy: σ 2uα2 / ε ε0 n0 ε02 I I0 4σ 2uα2 / n0 I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 185 Chương Ước lượng tham số 7.4 Ước lượng tham số µ Ước lượng σ ▪ Khoảng tin cậy tối đa μX t α(n1) S n ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu ( n1) S X tα μ n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng) X t α(n/21) S ( n1) S μ X t α /2 n n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 186 Chương Ước lượng tham số 7.4 Ước lượng tham số µ Ước lượng σ ▪ Khoảng tin cậy đối xứng: 𝑋ത ± 𝜀 hay : 𝑋ത ± 𝑀𝐸 ▪ Với 𝜀 = 𝑀𝐸 = (𝑛−1) 𝑡𝛼/2 𝑆/ 𝑛 ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = (𝑛−1) 2𝑡𝛼/2 𝑆/ 𝑛 ▪ Khi có yêu cầu sai số độ dài khoảng tin cậy ε ε0 S (t α(n/21) )2 n0 ε02 I I0 4S (t α(n/21) )2 n0 I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 187 Chương Ước lượng tham số 7.4 Ước lượng tham số µ Ví dụ 7.3 ▪ Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm khối lượng trung bình 25,32g phương sai 5,28g2 (từ ví dụ 6.1) Giả sử khối lượng phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95% ▪ (a) Ước lượng khối lượng trung bình tất sản phẩm khoảng tin cậy tối đa ▪ (b) Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho khối lượng trung bình ▪ (c) Muốn sai số câu (b) cịn khơng q 0,5g cần cân thử thêm sản phẩm? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 188 Chương Ước lượng tham số 7.5 7.5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ p ▪ Ước lượng tần suất tổng thể, ước lượng xác suất ▪ Tổng thể có dấu hiệu A (biến cố A), biến X = A xảy ra, X = A không xảy ra, hay X ~ A(p) ▪ Ước lượng p ước lượng xác suất A xảy ▪ Trong mẫu kích thước n p(1 p) p(1 p) P f uα2 p f uα1 α1 α2 n n ▪ n ≥ 100 đủ lớn thay p f LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 189 Chương Ước lượng tham số 7.5 Ước lượng tham số p Ước lượng tham số p ▪ Với độ tin cậy (1 – α), khoảng tin cậy tối đa p f uα ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu f (1 f ) n f (1 f ) f uα p n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng) f uα /2 f (1 f ) p f uα /2 n f (1 f ) n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 190 Chương Ước lượng tham số 7.5 Ước lượng tham số p Ước lượng tham số p ▪ Khoảng tin cậy đối xứng: f ME hay f 𝑀𝐸 = 𝜀 = 𝑢𝛼/2 𝑓(1 − 𝑓)/ 𝑛 ▪ Độ dài khoảng tin cậy: 𝐼 = 2𝑀𝐸 = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2 𝑓(1 − 𝑓)/ 𝑛 ▪ Suy ra: ε ε0 f (1 f )uα2 / n0 ε02 I I0 f (1 f )uα2 / n0 I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 191 Chương Ước lượng tham số 7.5 Ước lượng tham số p Ví dụ 7.4 ▪ Quan sát ngẫu nhiên 400 người vào cửa hàng có 144 người mua hàng Với độ tin cậy 95%: ▪ (a) Ước lượng tỉ lệ khách mua hàng khoảng tin cậy đối xứng ▪ (b) Muốn độ dài khoảng tin cậy câu giảm xuống cịn nửa cần quan sát tối thiểu người? ▪ (c) Nếu ngày có 5000 người vào cửa hàng có tối đa người mua hàng? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 192 Chương Ước lượng tham số 7.6 7.6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ σ2 ▪ Ước lượng phương sai tổng thể phân phối chuẩn ▪ X ~ N(, σ2) ▪ Sử dụng quy luật Khi bình phương 2(n1) (n 1) S 2( n1) P χ1α1 χ α2 1α σ (n 1) S ( n ) S P 2(n1) σ 1α ( n ) χα χ α LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 193 Chương Ước lượng tham số 7.6 Ước lượng tham số σ2 ▪ Khoảng tin cậy tối đa ( n ) S σ2 χ12(nα1) (n 1) S 2 ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu σ χ α2(n1) 2 ( n ) S ( n ) S ▪ Khoảng tin cậy hai phía σ 2( n1) χ α /2 χ12(nα/21) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 194 Chương Ước lượng tham số 7.6 Ví dụ 7.5 ▪ Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm khối lượng trung bình 25,32g phương sai 5,28g2 Giả sử khối lượng sản phẩm phân phối chuẩn ▪ Với độ tin cậy 95% ▪ (a) Độ dao động khối lượng đo phương sai tối đa bao nhiêu? ▪ (b) Tìm khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn khối lượng sản phẩm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 195 Chương Ước lượng tham số TÓM TẮT CHƯƠNG ▪ Ước lượng điểm khoảng ▪ Tiêu chí ước lượng điểm: khơng chệch, hiệu ▪ Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Ước lượng khoảng tin cậy cho ba tham số: trung bình, phương sai, tần suất ▪ Ba loại khoảng tin cậy: tối đa, tối thiểu, hai phía (đối xứng) ▪ Xác định kích thước mẫu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 196 Chương Ước lượng tham số Bài tập Giáo trình ▪ Trang 397: 7.4, 7.9, 7.10, 7.11 ▪ Trang 402: 7.12 ▪ Trang 417: 7.18, 7.20, 7.25, 7.27, ▪ Trang 437: 7.39, 7.44, 7.45 ▪ Trang 445: 7.52, 7.53, ▪ Trang 458: 7.71, 7.72, 7.73, 7.74, 7.77, 7.79, 7.80, 7.83, 7.91 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 197 Chương Ước lượng tham số Sử dụng Microsoft Excel ▪ Data > Data Analysis > Descriptive Statistics Mean Standard Error Standard Deviation Sample Variance Count Confidence Level (95.0%) 25.32 0.457238 2.28619 5.226667 25 0.943693 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 198 ... 7. 20, 7. 25, 7. 27, ▪ Trang 4 37: 7. 39, 7. 44, 7. 45 ▪ Trang 445: 7. 52, 7. 53, ▪ Trang 458: 7. 71, 7. 72, 7. 73, 7. 74, 7. 77, 7. 79, 7. 80, 7. 83, 7. 91 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ -. .. XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 196 Chương Ước lượng tham số Bài tập Giáo trình ▪ Trang 3 97: 7. 4, 7. 9, 7. 10, 7. 11 ▪ Trang 402: 7. 12 ▪ Trang 4 17: 7. 18, 7. 20,... (maximum log-likelihood) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 177 Chương Ước lượng tham số 7. 2 Phương pháp ước lượng điểm Ví dụ 7. 2 ▪ (a) Xác suất sinh