Phương Pháp Lưới Giải Bài Toán Song Điều Hòa Trong Miền Tròn Và Ứng Dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG HẢI PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HỊA TRONG MIỀN TRỊN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2016 i MỤC LỤC Trang Mục lục i Danh mục bảng ii Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Lý thuyết sai phân 1.2 Công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm 1.4 Phương trình song điều hịa 10 1.4.1 Dạng tổng quát 10 1.4.2 Phương pháp phân rã 11 1.5 Hệ tọa độ cực 12 1.5.1 Một số khái niệm 12 1.5.2 Biểu diễn toán biên chiều hệ tọa độ cực 13 1.6 Phương pháp truy đuổi đường chéo 14 1.6.1 Hệ truy đuổi đường chéo 14 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải 15 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái 16 Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hịa miền hình tròn 20 2.1 Đặt vấn đề 20 2.2 Giới thiệu phương pháp 22 2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt 23 2.2.2 Phương pháp sai phân 24 2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 27 2.4 Thuật toán 30 2.5 Một số kết thực nghiệm 31 Chương 3: Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền tròn 34 3.1 Dạng toán tổng quát 34 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian 36 3.3 Hệ sai phân theo không gian 37 3.4 Kết thực nghiệm 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Phần phụ lục 42 ii DANH MỤC CÁC BẢNG STT Tên bảng Trang Bảng 1: Kết kiểm tra RC0000.m Bảng 2: Kết kiểm tra RC0002.m Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r, )  (er  1)sin , N  64 30 Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  )  sinr sin , N  64 30 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  ) r cos , N  64 30 Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y 35 Mở đầu Một số tốn học mơi trường liên tục nghiên cứu đàn hồi qua mơ hình hóa đưa tốn biên cho phương trình song điều hịa phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với hệ điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên bình thường (đủ điều kiện biên với hàm đạo hàm cấp hai) đồng thời miền xét miền chữ nhật, sử dụng phương pháp phân rã phương trình cấp bốn phương trình cấp hai, người ta xác định nghiệm tốn thơng qua phương pháp sai phân truyền thống Trong trường hợp thiếu điều kiện biên với đạo hàm cấp hai, kết hợp với phương pháp toán tử biên miền, xây dựng phương pháp lặp để xác định nghiệm gần toán Tuy nhiên trường hợp miền xét toán miền tròn hệ điều kiện biên thiếu biểu thức đạo hàm cấp phương pháp không thực Trong tài liệu [8], tác giả Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu đưa phương pháp sai phân toán song điều hòa miền tròn cách sử dụng hệ tọa độ cực (r, ) để chuyển toán song điều hịa tốn cấp hai, từ xây dựng thuật tốn lưới tìm nghiệm xấp xỉ tốn gốc Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu mơ hình tốn học tốn song điều hòa, phương pháp phân rã đặc biệt nghiên cứu phương pháp sai phân toán miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng thuật tốn giải hệ phương trình sai phân thơng qua thuật tốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính, xây dựng chương trình thực nghiệm mơi trường Matlab Kiểm tra tính xác thuật tốn qua ví dụ thực tế Trong thời gian nghiên cứu thực luận văn tác giả nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ góp ý nhiều tập thể, cá nhân Trước hết tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Vũ Vinh Quang – Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tâm bảo, giúp đỡ tác giả q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành sâu sắc tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Tốn – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tận tình giảng dạy, dẫn cho tơi tri thức, kinh nghiệm, học quý báu Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn bè khóa chuyên ngành Toán ứng dụng chia sẻ tinh thần tình cảm cho tơi suốt khóa học Mặc dù cố gắng trình học tập, nghiên cứu đọc tài liệu để hoàn thành luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến dẫn quý thầy, cô, hội đồng chấm luận văn ý kiến đóng góp chân thành đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện với hiệu cao Thái Nguyên, ngày 30 tháng năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Quang Hải Chương Một số kiến thức Nội dung chương trình bày kiến thức phương pháp sai phân, kết xây dựng chương trình giải số tốn biên miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa phép biến đổi tọa độ cực áp dụng phương trình song điều hịa, thuật tốn truy đuổi đường chéo Đây kiến thức bản, làm tảng để nghiên cứu kết trình bày chương luận văn Các kiến thức trình bày tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 8, 9] 1.1 Lý thuyết sai phân Phương pháp lưới hay gọi phương pháp sai phân áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa tốn vi phân xét giải hệ phương trình sai phân (tức hệ thức hệ thức liên hệ giá trị hàm số thời điểm khác nhau) phương pháp đại số 1.2 Công thức Taylor A/ Trường hợp hàm biến số Giả sử u x  hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m1 khoảng  ,   chứa x x h , h đại lượng đủ nhỏ dương hay âm Khi giải tích tốn học, có công thức khai triển Taylor sau h  u ''    u x  h  u x   hu ' x  h   x   (1.1) m 1 m m! h  2! u m  x   m  1! u m 1 c Trong c điểm khoảng từ x đến x  h ; để diễn tả điều ta viết c  x   x với    Ta giả thiết thêm: u m 1 x   M  const, x  (,  ) Khi số hạng cuối (1.1) vô bé h  công thức Taylor (2.3) viết gọn hơn: h  u '' x  u x  h   u x   hu ' x    2! h  u   x o(h )   m! m m (1.2) m Nhận xét: Về mặt ý nghĩa tốn học tính tốn cơng thức Taylor, giá trị hàm số điểm x  h tính qua giá trị hàm đạo hàm cấp điểm x Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết tính tốn đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) B/ Trường hợp hàm biến số Giả sử u x , y  hàm số xác định có đạo hàm riêng theo biến đến cấp m1 miền   R chứa điểm (x , y ) (x  h, y  k ) , h , k đại lượng đủ nhỏ dương hay âm Khi tương tự hàm biến số, có công thức khai triển Taylor sau u u k  x y 2  2u  2u  u [h  hk  k ]   o(h m  k m ) 2 2! x x y y   u x  h, y  k  u x , y   h (1.3) Nhận xét: Về mặt ý nghĩa tốn học tính tốn cơng thức Taylor, giá trị hàm số điểm (x  h , y  k ) tính qua giá trị hàm đạo hàm riêng cấp điểm (x , y ) Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết tính tốn đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) Sau luận văn đưa số kết xây dựng phương pháp sai phân dựa công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm A/ Trường hợp chiều  Phát biểu toán Cho khoảng x , X  Tìm hàm u  u  x  xác định x , X  thỏa mãn: u '  f x, u  x0  x  X ux    (1.4) (1.5) Trong f x, u  hàm số cho trước  số cho trước Giả sử tốn (1.4), (1.5) có nghiệm u  u  x  đủ trơn, nghĩa có đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần  Lưới sai phân Ta chia đoạn x , X  thành N đoạn nhau, đoạn dài h  b  a  N điểm x i (i  N ), x i  x  ih Tập điểm xi gọi lưới sai phân x , X , ký hiệu h , điểm x i gọi nút lưới, h gọi bước lưới  Hàm lưới Đó hàm số xác định nút lưới h Một số hàm u x  xác định x  a, b tạo hàm lưới u có giá trị nút x i u i  u x i   Đạo hàm lưới Xuất phát từ công thức Taylor trường hợp biến số, có cơng thức tính xấp xỉ đạo hàm lưới với độ xác cấp sau: Công thức đạo hàm tiến: ux'  Công thức đạo hàm lùi ux'  i i Công thức đạo hàm cấp hai: ui  '' ui 1  ui h  o(h ) ui  ui 1  o(h ) h (ui 1  2ui  ui1 )  o(h ) h Ta thấy h bé đạo hàm lưới “xấp xỉ” đạo hàm thường B/ Trường hợp chiều  Lưới sai phân Xét toán u  f , x  ,    u  g, x    (1.6)   (x , y )  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn số nguyên N > M  , đặt h = (b - a)/N gọi bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi bước lưới theo y Đặt x i  a  ih, y j  c  jk , i  N , j  M Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi nút lưới ký hiệu nút (i, j ); tập tất nút ký hiệu hk ; nút biên  gọi nút biên; tập tất nút biên ký hiệu hk , tập hk = hk  hk gọi lưới sai phân   Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới, giá trị hàm lưới u(x,y) nút lưới (i, j ) viết tắt ui , j Mỗi hàm ui , j xác định ( x, y )   tạo hàm lưới u xác định ui , j  Bài tốn sai phân: Sử dụng cơng thức Taylor trường hợp biến số, thu công thức tính gần giá trị đạo hàm nút lưới (i, j ) sau u x  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) h i 1, j u y  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) k i, j 1  2u x  (i , j )  2u y  (i , j ) ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h2 ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 k  o(h )  o(k ) Đặt hk u  ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h  ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 k (1.7) Khi chứng tỏ:  kh u =  u  o (h  k ) 2 Số hạng o(h  k ) vơ bé bậc hai Ta nói tốn tử  kh xấp xỉ tốn tử  , điều cho phép thay phương trình vi phân phương trình sai phân: hk u  fij , fij  f ( xi ,y j ), ( xi ,y j ) hk tức là: 31 O  By    ; Bz   F  phương pháp xác định ma trận nghịch đảo B 1 sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo Bước Xác định nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính ban đầu T y công thức x  y  z Trong Bước 2, độ phức tạp tính tốn  T z O(MN) Từ xác định vectơ Ui  uk (ri ), i  1,2, , M  1, Vi  vk (ri ), i  1,2, , M  Bước Sử dụng khai triển Fourier (2.9),(2.10) ta thu nghiệm số toán lưới điểm (ri , j ), i  1,2, , M  1; j   N N , ,  2 Trong bước này, độ phức tạp tính tốn (M N LogN) Có thể thấy độ phức tạp tính tốn tồn thuật toán đánh giá O(M N LogN) với lưới M N điểm 2.5 Một số kết thực nghiệm Chúng sử dụng phương pháp phân rã đưa tốn song điều hịa miền trịn tốn cấp hai sau sử dụng phương pháp sai phân với lưới xuyên tâm đưa tốn cấp hai hệ phương trình đại số với vectơ nghiệm U, V dạng (2.19)-(2.20) sau sử dụng bước thuật toán để xác định nghiệm hệ phương trình sai phân từ xác định nghiệm xấp xỉ toán miền trịn Để kiểm tra độ xác thuật * tốn, chúng tơi cho trước nghiệm u (r, ) từ xác định giá trị vế 32 phải f (r, ) giá trị điều kiện biên g(), h() Sai số tính tốn xác định   u * (ri , j )  u(ri , j )  toàn lưới điểm M N Các chương trình lập trình ngơn ngữ Matlab thực máy tính PC, phần chương trình chi tiết trình bày đầy đủ phần phụ lục luận văn Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r, )  (er  1)sin , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.001 128 6.0686e-6 16 3.6757e-4 256 1.5231e-6 32 9.4797e-5 512 3.8153e-7 64 2.4085e-5 1024 1.0234e-7 Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  )  sinr sin , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 4.5189e-4 128 1.9748e-6 16 1.1982e-5 256 4.9563e-7 32 3.0876e-5 512 1.2415e-7 64 7.1385e-6 1024 7.2341e-8 33 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  ) r cos , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.0121 128 5.3257e-5 16 0.0032 256 1.3367e-5 32 8.3231e-4 512 3.3348e-6 64 2.1137e-4 1024 1.2345e-6 Nhận xét + Qua kết thực nghiệm máy tính điện tử chứng tỏ thuật tốn giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền trịn đảm bảo tìm 2 nghiệm xấp xỉ tốn với độ xác cấp hai O(h  k ) Tốc độ tính tốn nhanh + Thuật toán áp dụng toán song điều hòa miền tròn với hàm vế phải điều kiện biên tùy ý Kết luận Nội dung chương trình bày thuật tốn giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền trịn kết kiểm tra độ xác thuật tốn máy tính điện tử Các kết ứng dụng chương luận văn 34 Chương Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền trịn Nội dung chương đưa số kết nghiên cứu phương pháp giải trực tiếp nhanh áp dụng cho phương trình Navier-Stokes mơi trường dịng chảy khơng nén, kết tham khảo tài liệu [5, 8] 3.1 Dạng toán tổng qt Các phương trình Navier-Stokes dịng chảy khơng nén có dạng tổng quát u  u.u  p  u, t Re (3.1) u  (3.2) kí hiệu u(x,t) đặc trưng cho vận tốc dịng xốy, p(x, t ) đặc trưng cho áp suất Re số Reynolds Phương trình thứ (3.1) mơ tả định luật bảo tồn động lượng phương trình thứ hai (3.2) mơ tả định luật bảo tồn khối lượng Trong khơng gian chiều, thấy phương trình Navier-Stokes (3.1)-(3.2) thường gọi hệ phương trình xác định hàm tính vận tốc dịng chảy mơi trường chất lỏng khơng nén Lấy tích phân phương trình (3.2) để loại trừ số hạng građient áp suất, thu   J ,    t Re ( 3.3)  thành phần xốy khác khơng theo thành phần z,  kí hiệu   hàm dịng định nghĩa u = u  ez   , J ,  kí hiệu định 35 thức Jacobian phép biến đổi Chú ý hàm xoáy u tự động thỏa mãn ràng buộc không nén (3.2) Sử dụng định nghĩa hệ  , ta có mối quan   cho    (3.4) Như phương trình Navier-Stokes không gian chiều ban đầu (3.1)-(3.2) với ba biến số thỏa mãn phương trình (3.3)-(3.4) với hai biến số chưa biết Chúng ta tập trung nghiêm cứu tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (3.3)-(3.4) miền trịn   0  r  1,0    2  ; Sử dụng phương pháp biến đổi hệ tọa độ cực, định thức Jacobian phép biến đổi xác định dạng:        J ,     r  r   r  (3.5) Và toán tử Laplace  biểu diễn dạng: 2  2    r r r  r (3.6) Vận tốc xuyên tâm vận tốc góc phương vị xác định từ hàm dịng cơng thức: ur     , u  r  r (3.7) Hàm xốy viết lại sau  u  r  u r  u  r  (3.8) Chúng ta hạn chế xét dòng chảy bên miền tròn đơn vị với vận tốc riêng đặc trưng biên thỏa mãn ur  u  h () r  (Điều kiện tương ứng với điều kiện biên ứng với điều kiện dịng chuẩn) Khi hệ điều kiện biên toán trở thành 36  1,    0,  1,   h   r (3.9) Như thu hệ phương trình (3.6)-(3.7) điều kiện biên (3.9) Nhận xét: Có thể thấy có hai điều kiện biên cho hàm dịng  khơng có điều kiện biên cho hàm xốy  Điều hoàn toàn tương tự với trường hợp giải hệ phương trình phân rã phương trình song điều hịa (2.2)(2.3) 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian Chúng ta sử dụng sơ đồ sai phân đạo hàm với độ xác cấp hai, ta có kết quả: 3 n 1  4 n   n 1   2J  n , n  J ( n 1, n 1    n 1 (3.10)   R 2t e    n 1   n 1  n 1 n 1 1,    0, r 1,    h   (3.11) (3.12) t kí hiệu bước lưới thời gian Nhận xét + Có thể nhận thấy sơ đồ sai phân theo thời gian có sai số cấp hai O(t ) + Ta thấy rằng, bước thời gian, cần giải hệ phân rã tốn Poisson phương trình (2.2) – (2.3) Do phương pháp giải trực tiếp tốn song điều hịa đưa phần trước áp dụng mà khơng cần có nhiều phép biến đổi 37 3.3 Hệ sai phân theo không gian Để sai phân theo không gian, cần phải tính đạo hàm   Sử dụng công thức sai phân trung tâm bậc hai Chúng ta sử dụng lưới M N tương tự tốn song điều hịa    ri , j   (i  2)r, j, r  (3.13) 2 ;   2M  N Giả sử giá trị rời rạc hàm vơ hướng  kí hiệu i, j   ri , j  ,các đạo hàm cấp theo r  tính cơng thức xấp xỉ với độ xác cấp hai       r    i 1, j  i 1, j (3.14) 2r i, j           i , j 1  i , j 1 (3.15) 2 i, j Sự rời rạc không gian tương tự áp dụng vào tính hàm xốy Ta cần xác định giá trị biên: + Giá trị  0, j xác định công thức gần  0, j   1, j  N + Tại rM 1  ta có  n 1 M 2 j  2r  n 1 M 2 j n 1 Mj  hj (3.16) giá trị chưa biết nằm bên ngồi miền tính tốn Do vậy, xác định gần theo công thức 38  Thế giá trị  n 1 M 2 j n1 = M 2 j  n 1 Mj  2rh j sử dụng điều kiện  n 1 M 1 j (3.17)  với j, tính giá trị xốy biên công thức:  n 1 M 1, j   n 1 M 1, j  2 n 1 M 1, j  2rhj (r )2  hj (3.18) 3.4 Kết thực nghiệm Trong phần này, luận văn đưa kết kiểm tra tính xác sơ đồ tính tốn việc giải lược đồ sai phân cho phương trình Navier-Stokes miền hình trịn Để kiểm tra, cho trước nghiệm thỏa mãn phương trình Navier-Stokes, sau sử dụng thuật toán phân rã giải hệ phương trình sai phân chương 2, từ so sánh sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ lưới điểm xuyên tâm Trong bảng kết quả, kí hiệu 1 ()   * (ri , j )  (ri , j ) *  , 2 ()   * (ri , j )  (ri , j )  , *  (r, ),  (r, ) nghiệm tương ứng với hàm dịng hàm xốy (r, ), (r, ) nghiệm xấp xỉ xác định từ thuật toán, kết tính tốn thực với lưới chia M N tùy chọn M lưới điểm theo tia cịn N lưới điểm theo góc, số Reynolds chọn Re  20, bước thời gian chọn t = 0,01 Các kết tính tốn tham khảo tài liệu [8] 39 Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y MxN Sai số 1 ( ) Sai số 2 () 16 x 32 1.6555e-03 3.2481e-04 32 x 64 6.0361e-04 8.3609e-05 64 x 128 1.7393e-04 2.1269e-05 128 x 256 4.1738e-05 5.3372e-06 Nhận xét: + Các kết ln ln đảm bảo với độ xác cấp 2, phù hợp với lược đồ sai phân cấp hai sử dụng + Lược đồ sai phân đảm bảo tìm nghiệm gần phương trình Navier-Stokes miền tròn với hệ điều kiện biên tùy ý 40 KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến phương pháp giải trực tiếp nhanh dạng phương trình song điều hịa miền hình trịn ứng dụng phương trình Navier-Stokes Các kết luận văn gồm có: Trình bày kiến thức liên quan đến phương pháp sai phân, phương trình song điều hịa, thuật toán truy đuổi đường chéo, thư viện số giải tốn song điều hịa miền hình chữ nhật Trên sở tài liệu [5, 6, 8], luận văn đưa sở lý thuyết xây dựng thuật toán giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hịa miền hình trịn Mơ tả chi tiết bước cần tiến hành thuật tốn Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab version 7.0 tiến hành xây dựng chi tiết thuật toán, kiểm tra độ xác thuật tốn máy tính điện tử Ứng dụng thuật tốn nghiên cứu phương trình Navier-Stokes mơi trường dịng chảy không nén Hướng phát triển luận văn mở rộng ứng dụng thuật toán giải trức tiếp nhanh số toán thực tế phức tạp 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Vũ Vinh Quang, Trần Thị Xuân (2010), “Kết xây dựng phần mềm Q_X_2010 tìm nghiệm số tốn biên hỗn hợp”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):72-77 [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng chương trình RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số hằng”,Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Ngun, T.69(07):56-63 Tài liệu tiếng Anh [4] A Karageorghis and T Tang (1996), A spectral domain decomposition apptoach for steady Navier-Stokes problems in circular geometries, Com-put Fluids, 25, 541-549 [5] M.-C Lai (2002), A simple compact fourth-order Poisson solver on polar geometry, J Comput Phys., 182.337-345 [6] M.-C Lai (2002), Fourth- order finite difference scheme for the incompressible Navier-Stokes equations in a disk, Int J Numer Methods Partial Differential Eq., 18, 56-68 [7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [8] Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu, Fast direct solver for the biharmonic equation on a disk and its application to incompressible flows Corresponding author Department of Applied Mathematics, National Chiao Tung University, 101, Ta Hsueh Road, Hsinchu 300, TAIWAN E-mail: mclai@math.nctu.edu.tw [9] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, basel 42 PHẦN PHỤ LỤC Thuật toán truy đuổi đường chéo function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); %Buoc xuoi for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; %Buoc nguoc u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end; %%%%% % chuong trinh test he truy duoi clear; clc; a(1)=0;a(2)=4;a(3)=1; c(1)=100;c(2)=18;c(3)=25; b(1)=-4;b(2)=4;b(3)=0; f(1)=7;f(2)=23;f(3)=39; x=truyduoi(a,b,c,f,3) f f1=c(1)*x(1)+b(1)*x(2) f2=a(2)*x(1)+c(2)*x(2)+b(2)*x(3) f3=a(3)*x(2)+c(3)*x(3) Thuật tốn giải trực tiếp nhanh giải hệ phương trình sai phân miền tròn function nghiem_tdcuc = nghiem_tdcuc(m) clc; M=2^m; deltar=2/(2*M+1); k=1;gk=g(1);hk=h(1); D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; d(i)=-2-k^2/(i-1/2)^2; s(i)=1+1/(2*(i-1/2)); l(i)=1-1/(2*(i-1/2)); F(i+M)=f(ri)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for i=2:M-1 43 T(i,i)=d(i);T(i,i+1)=s(i);T(i,i-1)=l(i); D(i,i)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=-deltar^2; D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for i=1:M uk(i)=x(i); end; saiso=0; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; if abs(u(ri)-uk(i))>saiso saiso=abs(u(ri)-uk(i)); end; end; saiso function u=u(r) %u=r^4; %u=sin(r); u=exp(r)-1; function du=du(r); %du=4*r^3; %du=cos(r); du=exp(r); function v=v(r) k=1; %v=(16-k^2)*r^2; %v=-sin(r)+cos(r)/r-k^2*sin(r)/r^2; v=(1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)+k^2/r^2; function dv=dv(r) k=1; %dv=2*(16-k^2)*r; %dv=(-1-(1+k^2)/r^2)*cos(r)+(-1/r+2*k^2/r^3)*sin(r); dv=(-1/r^2+2*k^2/r^3+1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)-2*k^2/r^3; function d2v=d2v(r) k=1; %d2v=2*(16-k^2); %d2v=2*(1+k^2)/r^3*cos(r)-(-1-(1+k^2)/r^2)*sin(r)+(1/r^2-6*k^2/r^4)*sin(r) +(-1/r+2*k^2/r^3)*cos(r); d2v=(2/r^3-6*k^2/r^4-1/r^2+2*k^2/r^3-1/r^2+2*k^2/r^3+1 +1/r-k^2/r^2)*exp(r)+6*k^2/r^4; function f=f(r) k=1; f=d2v(r)+1/r*dv(r)-k^2/r^2*v(r); 44 function g=g(r) g=u(r); function h=h(r) h=du(r); Thuật toán giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền tròn function nghiem_tdcuc_1 = nghiem_tdcuc_1(m) clc; M=2^m;N=M; for k=1:N for j=1:M; utong(k,j)=0; end; end; deltar=2/(2*M+1);gk=1;hk=4; for k=-N/2:N/2-1; teta=2*pi/N; D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for t=1:M rt=(t-1/2)*deltar; d(t)=-2-k^2/(t-1/2)^2; s(t)=1+1/(2*(t-1/2)); l(t)=1-1/(2*(t-1/2)); F(t+M)=f(rt,teta)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for t=2:M-1 T(t,t)=d(t);T(t,t+1)=s(t);T(t,t-1)=l(t); D(t,t)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=deltar^2;D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for t=1:M uk(t)=x(t)*exp(i*k*teta); end; uk %utong(k,:)=uk; end; saiso=0; for t=1:M for j=1:N 45 rt=(t-1/2)*deltar; tetaj=2*j*pi/N; if abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j))>saiso saiso=abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j)); end; end; end; saiso function u=u(r,teta) u=r^4; function du=du(r,teta) du=4*r^3; function f=f(ri,teta) k=1; f=(4-k^2)*(16-k^2); ... Để giải hệ phương trình (2.5)-(2.6) với hệ điều kiện (2.7), người ta sử dụng phương pháp bao gồm phương pháp phổ, phương pháp phương trình tích phân phương pháp phổ sai phân Sau xét phương pháp. .. Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hịa miền hình trịn Nội dung chương trình bày kết nghiên cứu phương pháp giải trực tiếp tốn song điều hịa miền hình trịn phương pháp sử dụng phép... thức phương pháp sai phân, kết xây dựng chương trình giải số tốn biên miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa phép biến đổi tọa độ cực áp dụng phương trình song điều