Giải tích Malliavn và ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 Mục lục Lời nói đầu Cơng thức tích phân phần trừu tượng 1.1 1.2 2.2 Trường hợp chiều 1.1.1 Vấn đề độ nhạy 1.1.2 Mật độ phân bố 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp nhiều chiều Giải tích Malliavin Brown 2.1 iii 12 Trường hợp hữu hạn chiều 12 2.1.1 Các định nghĩa tính chất 12 2.1.2 Các toán tử vi phân Các tính chất 14 Trường hợp vô hạn chiều 18 2.2.1 Miền xác định tập Domp (D) = D1,p 2.2.2 Miền xác định tập Domp (δ) 20 2.2.3 Các tính chất 20 2.2.4 Các ví dụ 25 2.2.5 Công thức Clark - Ocone 30 2.2.6 Miền xác định tập Domp (L) 31 2.2.7 Cơng thức tích phân phần 33 19 2.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 34 2.4 Các đạo hàm bậc cao cơng thức tích phân phần 41 2.5 Quá trình khuếch tán 44 i 2.6 Phụ lục Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) 48 Áp dụng vào Tài 53 3.1 Cơng thức Clark - Ocone danh mục đầu tư tái tạo 53 3.2 Tính toán độ nhạy 57 3.3 3.2.1 Tập Delta 59 3.2.2 Một số ví dụ khác 63 Kỳ vọng có điều kiện 69 3.3.1 Thủ tục đường chéo công thức 69 3.3.2 Công thức địa phương 74 ii LỜI NÓI ĐẦU Giải tích Malliavin hình thành từ năm 70 kỷ XX đến năm 80, 90 lượng khổng lồ công việc thực lĩnh vực Lý thuyết phần lớn xây dựng tính tốn ngẫu nhiên Itơ nhằm mục đích nghiên cứu cấu trúc phân bố không gian hàm Wiener Đầu tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh điều kiện Hormander phân bố q trình khuếch tán có mật độ mịn với cách ông chứng minh định lý xác suất Hormander Sau người ta dùng phương pháp giải tích nhiều tốn khác có liên quan tới trình ngẫu nhiên Cuối người ta tìm ứng dụng giải tích Malliavin phương pháp số xác suất, chủ yếu lĩnh vực tốn tài Những ứng dụng khác phương pháp trước cơng thức tích phân phần giải tích Malliavin dùng để giải thích cách chắn vấn đề thuật toán phi tuyến Bố cục luận văn gồm ba chương : Chương 1: “Cơng thức tích phân phần trừu tượng ” Chương nhằm giới thiệu cơng thức tích phân phần trừu tượng Từ ta đưa kết quan trọng : vấn đề độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown” Chương đưa khái niệm hàm đơn giản, trình đơn giản, từ khái niệm người ta đưa định nghĩa đạo hàm Malliavin Tiếp theo đưa định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan hệ tích phân Skorohod với tích phân Itơ, từ mối quan hệ ta thấy tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itơ Áp dụng cơng thức tích phân phần trừu tượng để suy tính chất quan trọng tích phân : cơng thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone công thức tích phân phần Malliavin Ngồi chương cịn giới thiệu q trình khuếch tán phân tích hỗn độn Wiener, tập Domp (D), Domp (δ), Domp (L) Chương 3: “Áp dụng vào tài chính” Ta áp dụng kết chương iii chương vào chương Trước tiên áp dụng công thức Clark – Ocone để tìm danh mục đầu tư tái tạo, tức tìm cổ phiếu φit để lựa chọn việc đầu tư tái tạo; tìm giá tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu thời điểm t, nghĩa kỳ hạn toán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H Áp dụng việc tính tốn độ nhạy chương cơng thức tích phân phần Malliavin để tính tốn độ nhạy Việc tính tốn độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an tồn hay khơng, độ nhạy thấp phương án đầu tư an tồn ngược lại độ nhạy cao cần tính đến việc thay đổi phương án đầu tư khác Một áp dụng tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng có điều kiện giúp ta định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không Luận văn dựa sở tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - Est Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trường đại học L’Aquila Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy cô trường đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội thầy viện Tốn học trang bị kiến thức, dìu dắt tạo điều kiện cho thời gian học tập đây, đặc biệt thầy TS Nguyễn Thịnh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cường iv Chương Cơng thức tích phân phần trừu tượng Trong chương này, ta nghiên cứu phép tính Malliavin trừu tượng, cơng thức tích phân phần ta nhấn mạnh vài kết quan trọng :tính tốn độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện 1.1 Trường hợp chiều Cho (Ω, F, P) không gian xác suất E kỳ vọng chuẩn P Bộ Cck (Rd ) Cbk (Rd ) không gian hàm f : Rd → R khả vi liên tục bậc k, compact đạo hàm hạn chế tập tương ứng Khi hàm khả vi vơ hạn, ta có tập tương ứng Cc∞ (Rd ) Cb∞ (Rd ) Định nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R biến ngẫu nhiên khả tích Ta nói cơng thức tích phân phần IP (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.1) Hơn nữa, ta có cơng thức tích phân phần IPk (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích Hk (F ; G) cho: IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.2) Nhận xét 1.1.2: - Bằng cách sử dụng kết tiêu chuẩn quy, kiểm tra hàm Cc∞ (R) IPk (F ; G) chuyển thành Cck (R) Cb∞ (R), Cbk (R) - Rõ ràng IP1 (F ; G) IP (F ; G) H1 (F ; G) H(F ; G) Hơn nữa, ta có cơng thức IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta suy công thức IP2 (F ; G) với H2 (F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương tự cho đạo hàm bậc cao Ví dụ: Trong IPk (F ; 1) cho xác định Hk (F ; 1) ≡ Hk (F ) cách xác định lại: H0 (F ) = 1, Hk (F ) = H(F ; Hk−1 (F )), k ≥ - Nếu có cơng thức IP (F ; G) từ E(H(F ; G)) = suy G = (1.1) Hơn nữa, H(F ; G) IP (F ; G) : Với biến ngẫu nhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = 0) ta sử dụng H(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) ) Trong số học điều đóng vai trị quan trọng ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp Monte Carlo cho ta phương sai tối thiểu Cũng lưu ý để thực thuật tốn Monte Carlo ta có mơ F H(F ; G) Trong số trường hợp, H(F ; G) tính tốn trực tiếp Nhưng giải tích Malliavin cho ta hệ thống phép tốn để tính toán điều Thường ứng dụng F lời giải phương trình ngẫu nhiên H(F ; G) xuất tổng hợp toán tử vi phân F Những điều có liên quan tới phương trình ngẫu nhiên ta sử dụng số xấp xỉ phương trình để tạo thuật tốn cụ thể Ví dụ: Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm khả vi ∆ biến ngẫu nhiên Gauss có kỳ vọng phương sai σ Khi đó: E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆) ∆ − g (∆)] σ (1.3) ∆ − g (∆) Từ ứng dụng trực σ tiếp cơng thức tích phân phần với có mặt mật độ Gauss ta có cơng thức IP (F ; G) với H(F ; G) = g(∆) p(x) = √ x2 exp(− ) ta có : 2σ 2πσ E(f (∆)g(∆)) = f (x)g(x)p(x)dx =− f (x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx =− f (x)[g (x) + g(x) = E(f (∆)[g(∆) p (x) ]p(x)dx p(x) ∆ − g (∆)]) σ Giải tích Malliavin tạo H(F ; G) cho lớp lớn biến ngẫu nhiên - (1.3) đại diện cho ví dụ đơn giản kiểu này, khơng phải mục tiêu phần Ở ta đưa vài hệ tính chất 1.1.1 Vấn đề độ nhạy Trong nhiều ứng dụng ta xem xét đến số có dạng E(φ(F x )) F x loại biến ngẫu nhiên số tham số hữu hạn x Một ví dụ điển hình F x = Xtx trình khuếch tán x Để nghiên cứu độ nhạy yếu tố với tham số x, ta chứng minh x → E(φ(F x )) khả vi tìm biểu thức đạo hàm Có hai cách để giải vấn đề này, : cách tiếp cận theo quỹ đạo cách tiếp cận theo phân bố Cách tiếp cận theo quỹ đạo : giả sử x → F x (ω) khả vi hầu khắp nơi ω ( trường hợp x → Xtx (ω) ví dụ) φ khả vi Khi : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) cách tiếp cận không thực φ không khả vi Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại nhờ sử dụng uyển chuyển mật độ phân bố F x Vì cách tiếp cận ta giả thiết F x ∼ px (y)dy x → px (y) khả vi với y Khi đó: ∂x E(φ(F x )) = φ(y)∂x px (y)dy = φ(y)∂x ln px (y)px (y)dy = E (φ(F x )∂x ln px (F )) Đôi người ta gọi ∂x ln px (F ) hàm điểm Nhưng cách làm dùng ta biết mật độ phân bố F x Nếu mật độ phân bố F x sử dụng cơng thức tích phân phần IP (F x ; ∂x F x ) ta có đẳng thức : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) = E (φ(F x )H(F x ; ∂x F x )) Ta thấy đẳng thức φ không khả vi khơng có đạo hàm số hạng đầu cuối Trong thực tế ta sử dụng số lập luận thông thường sau chuyển qua giới hạn Do ta thu H(F x ; ∂x F x ) Giải tích Malliavin máy cho phép tính tốn số lượng lớn lớp biến ngẫu nhiên cho trường hợp mật độ phân bố cách rõ ràng (ví dụ q trình khuếch tán) Đây cách tiếp cận Fourni’e, [12] [13] tính tốn kiểu Hy Lạp (độ nhạy giá người châu Âu lựa chọn người Mỹ với tham số định) vấn đề Toán tài 1.1.2 Mật độ phân bố Sau ký hiệu 1A (x) 1x∈A   1, x ∈ A hàm tiêu, nghĩa là: 1A (x) =  0, x ∈ /A Bổ đề 1.1.3 Giả sử F thỏa mãn công thức IP (F ; 1) Khi phân bố F liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue mật độ phân bố cho bởi: p(x) = E(1[x,∞) (F )H(F ; 1)) (1.4) Hơn p liên tục p(x) → |x| → ∞ Chứng minh: Hình thức lập luận sau: Từ δ0 (y) = ∂y 1[0;∞) (y), áp dụng công thức IP (F ; 1) ta có E(δ0 (F − x)) = E ∂y 1[0;∞) (F − x) = E 1[0;∞) (F − x)H1 (F ; 1) = E(1[x;∞) (F )H(F ; 1)) Sử dụng (3.19) ta dễ nhận  T ρ ηt dBt2 − ∂ρ ST = ST   T 1− ηt dBt1  = ST G ρ2 (3.21) với T T ηt dBt2 G= ρ − 1− ρ2 ηt dBt1 (3.22) T Ta sử dụng quy tắc chuỗi Dexp(F ) = exp(F )DF , mối liên hệ Dsi φr dWri = φs mối liên hệ (3.21) để thu T T Ds1 ST = ST Ds1 0 1− = ST ρ2 ηt dBt2 ηt dBt1 + ρ − ρ2 × ηs = ∂ρ ST ηs (3.23) − ρ2 G − ρ2 G Sử dụng công thức đối ngẫu B ta nhận   T G E (φ (ST )∂ρ ST ) = E  Ds1 φ(ST ) ds = E (φ(ST )Θρ ) ηs T − ρ2 Ds1 φ(ST ) = φ (ST )Ds1 ST = φ (ST )∂ρ ST ηs Θρ = T 1− ρ2 δ1 G η Bây giờ, sử dụng tính chất tích phân Skorohod tích q trình tương thích, ta có T δ1 G η η = Gδ1 − ds = ηs Hơn nữa, dễ thấy Ds1 G = − T Θρ = G ηs−1 dBs1 + ηs−1 dBs1 − ρ − ρ2 kết luận ta nói với T T Ds1 G Ds1 G ds ηs ηs ∂ρ E (φ(ST )) = E (φ(ST )Θρ ) ρT − ρ2 66 Độ nhạy biến động cho tùy chọn thay đổi Cho S S hai tài sản tài sau dSt1 = rSt1 dt + σ1 St1 dWt1 , S01 = x1 dSt2 = rSt2 dt + σ2 St2 dWt2 , S02 = x2 W W hai chuyển động Brown với mối liên hệ d W1 , W2 t = ρdt, ρ ∈ (−1, 1) Xem xét tùy chọn trả đô la ST1 > ST2 , tức số phải trả φ = 1{S >S } T T Ở ta muốn tính tốn độ nhạy biến động, ví dụ ∂σ1 Π Đầu tiên ta viết Wt1 = − ρ2 Bt1 + ρBt2 , Wt2 = Bt2 B B hai chuyển động Brown độc lập Khi W W hai chuyển động Brown với mối liên hệ ρ phương trình vi phân liên quan tới (S , S ) trở thành dSt1 = rSt1 dt + σ1 St1 − ρ2 dBt1 + ρdBt2 , dSt2 = rSt2 dt + σ2 St2 dBt2 , S01 = x1 S02 = x2 Tại thời điểm T ta có ST1 = x1 exp (r − σ12 )T + σ1 − ρ2 BT1 + σ1 ρBT2 ST2 = x2 exp (r − σ22 )T + σ2 BT2 Bây ta đặt ST = ST1 x1 = exp ST2 x2 (σ − σ22 )T + σ1 1 − ρ2 BT1 + (σ1 ρ − σ2 )BT2 (3.24) ta muốn tính ∂σ1 E(1[1,∞) (ST )) Đặt Π = E(φ(ST )) ∂σ1 Π = E [φ(ST )∂σ1 ST ] 67 (3.25) Chú ý − ρ2 BT1 + ρBT2 ∂σ1 ST = ST (3.26) ∂σ1 ST ST = (3.27) − ρ2 BT1 + ρBT2 Giờ Ds1 ST = ST Ds1 σ1 − ρ2 = ST σ1 − ρ2 σ1 = ∂σ1 ST − ρ2 BT1 + (σ1 ρ − σ2 )BT2 − ρ2 BT1 + ρBT2 − ρ2 σ1 Ds1 (φ(ST )) = φ (ST )Ds1 ST = φ (ST )∂σ1 ST − ρ2 BT1 + ρBT2 Do φ (ST )∂σ1 ST = Ds1 (φ(ST )) − ρ2 BT1 + ρBT2 σ1 (3.28) − ρ2 Sử dụng công thức đối ngẫu B , ta có   B + ρB − ρ D (φ(S )) T T s T T E (φ (ST )∂σ1 ST ) = E  ds T σ1 − ρ = G = T σ1 − ρ2 E (φ(ST )δ1 (G)) − ρ2 BT1 + ρBT2 T Ds1 Gds từ Ds1 G = Giờ δ1 (G) = Gδ1 (1) − − ρ2 1s