Biến đổi tích phân fourier trong các không gian Schwartz L1(Rn) và L2(Rn) và ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học giải tích: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỆN VĂN MẠNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER TRONG CÁC KHÔNG GIAN SCHWARTZ, L1(Rn) VÀ L2(Rn) VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - Năm 2013 Mục lục MỞ ĐẦU DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER 1.1 Các khơng gian sở 1.1.1 Không gian Rn 1.1.2 Không gian Lp (Rn ) 1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian Schwartz 1.3 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L1 (R) 1.3.1 Định nghĩa, vài tính chất đơn giản ví dụ 1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue 1.3.3 Đạo hàm hàm biến đổi tích phân Fourier 1.3.4 Cơng thức nghịch đảo 1.3.5 Chập hai hàm 1.3.6 Tính biến đổi tích phân Fourier 1.3.7 Định lý khả tích 1.3.8 Khả tích Abel khả tích Gauss 1.3.9 Một vài ứng dụng định lý khả tích 1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn 1.3.11 Tính khả tích theo chuẩn 1.3.12 Đạo hàm hàm biến đổi tích phân Fourier chúng 1.4 Biến đổi tích phân Fourier không gian L1 (Rn ) 1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue, chập hai hàm 1.4.2 Định lý tính 1.4.3 Công thức khả tích Gauss 1.4.4 Định lý khả tích Gauss 1.4.5 Ứng dụng định lý khả tích, cơng thức nghịch đảo 1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval 1.5 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L2 1.5.1 Phép biến đổi không gian Hilbert 1.5.2 Định lý Plancherel 6 6 7 10 10 12 14 16 18 21 22 27 28 30 33 33 37 37 38 40 42 43 44 44 44 45 1.5.3 1.5.4 1.5.5 Tổng quát tính khả tích Biến đổi tích phân Fourier L2 (Rn ) Đạo hàm hàm biến đổi tích phân chúng 52 54 Fourier 58 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Bài toán Dirichlet nửa mặt phẳng 2.2 Bài toán Neumann nửa mặt phẳng 2.3 Bài toán Cauchy với phương trình khuếch tán 2.4 Bài toán Cauchy với phương trình sóng KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 66 68 69 74 77 78 MỞ ĐẦU Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier ứng dụng mạnh mẽ Toán học đại, Vật lý, Cơ học, nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật khác Đặc biệt áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo hàm riêng nói chung tốn giá trị ban đầu hay tốn biên nói riêng ứng dụng thú vị nhiều nhà khoa học quan tâm Vì vậy, biến đổi tích phân Fourier nhà khoa học nghiên cứu nhiều, kết lĩnh vực vô phong phú đa dạng Luận văn trình bày kiến thức biến đổi tích phân Fourier ứng dụng để giải phương trình đạo hàm riêng Nội dung luận văn gồm hai chương Biến đổi tích phân Fourier Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier không gian Schwartz, L1 (Rn ) L2 (Rn ) Ứng dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo hàm riêng Chương đề cập đến phương pháp sử dụng phép biến đổi tích phân Fourier để tìm nghiệm tốn biên toán giá trị bạn đầu phương trình đạo hàm riêng Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, thông qua luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô hội đồng phản biện đọc đưa ý kiến quý báu giúp luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau Đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Hành tổ chức, Khoa Khoa học trường Cao đẳng Thủy sản gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt khóa học Do lực, kinh nghiệm thời gian nhiều hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn tác giả Vì vậy, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện nội dung hình thức Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Mạnh DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R tập số thực C tập số số phức Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm Zn+ = {(α1 , α2 , , αn )|αj ∈ Z+ , j = 1, , n} (α1 , α2 , , αn ), αj ∈ Z+ , j = 1, , n đa số |α| = α1 + α2 + + αn (β1 , β2 , , βn ), α ≤ β ↔ αj ≤ βj , với j xα = xα1 xα2 xαnn Dj = ∂ toán tử lấy đạo hàm riêng theo xj ∂xj 10 D = (D1 , D2 , , Dn ) 11 Dα = D1α1 D2α2 Dnαn 12 Djαj = ∂ αj α ∂xj j 13 C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục cấp k} 14 C ∞ (Rn ) = 15 Γ(t) = +∞ ∞ k n k=1 C (R ) xt−1 e−x dx hàm Gamma Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER 1.1 1.1.1 Các không gian sở Không gian Rn Không gian Euclide Rn không gian véc tơ trường số thực mà phần tử có dạng x = (x1 , x2 , , xn ) Tích vơ hướng hai phần tử x y , x, y ∈ Rn số xác định (x, y) = n xj yj Chuẩn x Rn j=1 xác định n ||x|| = j=1 |xj |2 Chuẩn gọi chuẩn Euclide 1.1.2 Không gian Lp (Rn ) Không gian Lp (Rn ), (1 ≤ p ≤ +∞) tập hợp tất hàm số xác định đo Rn , cho |f (x)|p dx < +∞ (1.1) Rn Trong Lp (Rn ) hai hàm gọi đồng với chúng hầu khắp nơi, phần tử Lp (Rn ) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương chúng hầu khắp nơi Lp (Rn ) f ∈ Lp (Rn ), f = f (x) = hầu khắp nơi Rn Khi Lp (Rn ) khơng gian véc tơ với phép cộng hai hàm số nhân số với hàm số Chuẩn Lp (Rn ) định nghĩa sau  p1  ||f (x)|| =  Rn |f (x)|p dx (1.2) Khi Lp (Rn ) với chuẩn (1.2) không gian định chuẩn đầy đủ (Banach) 1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) tập hợp S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn )| xα D β ϕ(x) < cαβ , ∀x ∈ Rn , α, β ∈ Zn+ , với khái niệm hội tụ định nghĩa sau n n Dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi hội tụ đến ϕ S(R ) lim sup xα D β ϕk (x) − xα D β ϕ(x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn n Khi ta viết lim ϕk = ϕ Dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi dãy Cauchy k→∞ S(Rn ) hai điều kiện sau xảy lim sup + ||x||2 m D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = 0, ∀β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn l→∞ lim sup + ||x||2 m k→∞ x∈Rn l→∞ 1.2 |β|≤m D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = Biến đổi tích phân Fourier khơng gian Schwartz Định nghĩa 1.1 Biến đổi tích phân Fourier Ff (ξ) hay f (ξ) hàm f (x) ∈ S(Rn ) xác định ei(x,ξ) f (x)dx, Ff (ξ) ≡ f (ξ) := ξ ∈ Rn Rn Nhận xét Tích phân xác định (1 + |x|)−m dx < +∞, |f (ξ)| ≤ cm với m > n Rn Tiếp theo ta chứng minh tính chất sau biến đổi Fourier Ff ∈ S(Rn ) Dβ f (ξ) = (i)|β| F(xβ f (x)), ξ α f (ξ) = (i)|α| F (D α f (x)) (ξ), với α, β ∈ Zn+ Thật vậy, ta có Dξβ f (ξ) = (ix)β ei(x,ξ) f (x)dx = (i)|β| F(xβ f (x))(ξ), Rn ei(x,ξ) xβ f (x) có tích phân Rn hội tụ theo ξ Do Ff ∈ C ∞ (Rn ) Mặt khác, phép tính tích phân phần ta có ei(x,ξ) (iDx )α f (x)dx (−iDx )α ei(x,ξ) f (x)dx = ξ α f (ξ) = Rn Rn = (i)|α| F(Dxα f (x))(ξ) Như vậy, với α, β ∈ Zn+ ta có ei(x,ξ) (iDx )β ((ix)α f (x))dx ξ β Dξα (Ff )(ξ) = Rn Vì sup ξ β Dξα (Ff )(ξ) ξ∈Rn ≤ sup Dxβ ((x)α )f (x)) (1 + ||x||)n+1 x∈Rn Rn ≤ C sup (1 + ||x||2 )n+1+|α| x∈Rn γ≤β dx (1 + ||x||)n+1 |D γ f (x)| Từ đó, ta có Ff ∈ S(Rn ), biến đổi tích phân Fourier ánh xạ tuyến tính liên tục S(Rn ) Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Fourier hàm f (x) = e− ||x|| Lời giải Theo định nghĩa ta có ei(x,ξ)− ||x|| dx f (ξ) = Rn 2 = e− ||ξ|| e− (||x|| −2i(x,ξ)−||ξ||2 ) dx Rn n +∞ − 21 ||ξ||2 e− (t−iξj ) dt = e j=1−∞ z2 Để tính tích phân cuối ta xét hàm f (z) = e− biến phức z miền xác định DR Hình 1.1 Ta xét hướng dương vòng quanh biên ∂DR Vì f (z) hàm chỉnh hình miền xác định nên theo Định lý Cauchy ta có z2 e− dz = ∂DR Nhưng ξj R − z2 e − t2 dz = ∂DR e − 21 (R+iτ )2 e dt + i −R dτ + e −R Nếu R → +∞, − 12 (t+iξj )2 R e− (−R+iτ ) dτ dt + i ξj ξj e− (±R+iτ ) dτ → 0 DR −R t R Hình 1.1 Do +∞ +∞ − 21 (t+iξj )2 e t2 e− dt, dt = −∞ j = 1, , n −∞ Sử dụng Định lý Fubini hệ tọa độ cực ta tính tích phân cuối sau  +∞ 2 2π +∞  −∞ t2 e− dt e− (t = +s2 ) dtds = R2 +∞ e−m dm = 2π = 2π Vì ta có +∞ e− (t+iξj ) dt = −∞ √ 2π, r2 e− rdr dθ Nhưng, với biến h biểu thức tích phân làm trội α2 |f (α)|2 + |g(α)|2 thuộc L2 Vì vậy, ta cho h → dấu tích phân (1.104) ta | − iαf (α) − g(α)|2 dα = R Do đó, g(α) = −iαf (α) hầu khắp nơi Vì vậy, Định lý 1.36 ta có, g(x) = f ′ (x) hầu khắp nơi 64 Chương ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Xuyên suốt chương ta giả sử u(x, t) hàm hai biến x t, −∞ < x < +∞ t > Vì có mặt hai biến nên cần phải cẩn thận nhận biết biến đổi tích phân Fourier theo biến để tính tốn Ví dụ, cố định t, hàm u(x, t) trở thành hàm biến x ta lấy biến đổi tích phân Fourier theo biến x Ta ký hiệu biến đổi u(α, t) Do u(x, t)eiαx dx F(u(x, t))(α) = u(α, t) = (2.1) R Để minh họa cho việc sử dụng ký hiệu ta tính tốn vài biến đổi có ích sau Ta giả thiết hàm u(x, t), hàm x, có đầy đủ tính chất để ta tự sử dụng tính chất tốn tử biến đổi tích phân Fourier từ Chương Cho u(x, t) với −∞ < x < +∞ t > 0, ta có ∂ d u(x, t) (α) = u(α, t), ∂t dt (2.2) dn ∂n u(x, t) (α) = u(α, t), n = 1, 2, , ∂tn dtn (2.3) ∂ u(x, t) (α) = (−iα)u(α, t), ∂x (2.4) ∂n u(x, t) (α) = (−iα)n u(α, t), n = 1, 2, n ∂x (2.5) F F F F 65 Hai đẳng thức cuối hệ (2.1) Định lý 1.19 Để chứng minh (2.2) ta bắt đầu với vế bên phải đạo hàm dấu tích phân theo biến t ta có d d u(α, t) = dt dt ∂ u(x, t)eiαx dx ∂t u(x, t)eiαx dx = R R Biểu thức cuối biến đổi tích phân Fourier ∂ u(x, t) hàm biến x, ∂t suy (2.2) Lập lại đạo hàm dấu tích phân ta có (2.3) Chú ý bên vế phải (2.2) (2.3) ta có sử dụng đạo hàm thơng thường theo t thay cho đạo hàm riêng Lý chủ yếu để nhấn mạnh rằng, ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo hàm riêng ta biến đổi phương trình đạo hàm riêng trìu tượng theo u(x, t) thành phương trình vi phân thơng thường theo u(α, t), t biến Điều trở nên rõ ràng qua toán sau 2.1 Bài tốn Dirichlet nửa mặt phẳng Tìm nghiệm phương trình Laplace nửa mặt phẳng uxx + utt = 0, −∞ < x < +∞, t ≥ 0, (2.6) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x), −∞ < x < +∞, u(x, t) → |x| → +∞, t → +∞ (2.7) (2.8) Dưới giả thiết thêm rằng, với t cố định, hàm x → u(x, t) thuộc L1 (R), ta lấy biến đổi tích phân Fourier tốn theo biến x Theo (2.3), (2.5) ta có F[utt (x, t)] = d2 d2 F [u(x, t)] = u(α, t), dt2 dt2 F[uxx (x, t)] = −α2 u(α, t) Do phương trình Laplace trở thành −α2 u(α, t) + d2 u(α, t) = dt2 Bây coi α số giải phương trình vi phân với biến t Nghiệm tổng quát u(α, t) = A(α)e−tα + B(α)etα 66 Vì u(α, t) bị chặn với t > 0, nên ta phải có A(α) = với α < 0, B(α) = với α > 0, điều có nghĩa ta viết u(α, t) = C(α)e−t|α| , C(α) = A(α) + B(α) Với t = 0, ta có u(α, 0) = f (α) = C(α) Từ suy (2.9) u(α, t) = f (α)e−t|α| Sử dụng Định lý chập (Định lý 1.4), ta xây dựng cơng thức nghiệm dạng biểu thức tích phân Thật vậy, e−t|α| biến đổi tích phân Fourier hàm t = Pt (x) π t + x2 Từ suy u(x, t) = (Pt ∗ f ) (x) = t π R f (ξ) dξ (x − ξ)2 + t2 (2.10) Công thức gọi cơng thức tích phân Poisson với nửa mặt phẳng t > Chú ý lim u(x, t) = f (ξ) t→0+ lim t→0+ R t dξ, π (x − ξ)2 + t2 đó, định nghĩa Cauchy hàm delta sử dụng, δ(x − ξ) = lim t→0+ t π (x − ξ)2 + t2 Công thức cơng nhận nghiệm phương trình Laplace với nguồn lưỡng cực (x, t) = (ξ, 0) Nói riêng, f (x) = T0 H(a − |x|) = T0 |x| < a, |x| > a, nghiệm (2.10) rút gọn thành a tT0 u(x, t) = π −a dξ (ξ − x)2 + t2 x+a x−a T0 [tan−1 ( ) − tan−1 ( )] π t t T0 2at = tan−1 ( ) π x + t2 − a2 = 67 Các đường cong nửa mặt phẳng mà nhiệt độ trạng thái ổn định số biết đến đường đẳng nhiệt Trong trường hợp này, Các đường cong biểu diễn họ cung tròn x2 + t2 − βt = a2 , với tâm trục t hai điểm cuối cố định trục x x = ±a Đồ thị cung trịn hiển thị Hình 2.1 Đặc biệt với f (x) = δ(x) nghiệm suy từ (2.10) u(x, t) = t π R δ(ξ)dξ t = 2 (x − ξ) + t π x + t2 t a −a x Hình 2.1 Hơn nữa, ta dễ dàng suy nghiệm toán Neumann nửa mặt phẳng t > từ nghiệm toán Dirichlet 2.2 Bài toán Neumann nửa mặt phẳng Tìm nghiệm phương trình Laplace uxx + utt = 0, −∞ < x < +∞, t ≥ 0, (2.11) với điều kiện biên ut (x, 0) = f (x), −∞ < x < +∞ (2.12) Điều kiện rõ đạo hàm thông thường biên, Vật lý, biểu diễn lưu lượng chất lỏng hay dịng nhiệt biên 68 Chúng ta định nghĩa hàm v(x, t) = ut (x, t) cho t u(x, t) := (2.13) v(x, η)dη, số thêm vào vế phải Rõ ràng, hàm v(x, t) thỏa mãn phương trình Laplace ∂2v ∂2v ∂ ut ∂ ut ∂ + = + = (uxx + utt ) = 0, ∂x2 ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂t với điều kiện biên v(x, 0) = ut (x, 0) = f (x), với − ∞ < x < +∞ Do đó, v(x, t) thỏa mãn phương trình Laplace với điều kiện Dirichlet biên Do đó, nghiệm cho (2.10), v(x, t) = f (ξ) dξ (x − ξ)2 + t2 t π R Khi nghiệm u(x, t) tìm từ (2.13) dạng t t v(x, η)dη = π u(x, t) = ηdη R f (ξ) dξ (x − ξ)2 + η t = π f (ξ)dξ R = 2π ηdη , (x − ξ)2 + η (t > 0) f (ξ) ln[(x − ξ ) + t2 ]dξ, R số thêm vào nghiệm Nói cách khác, nghiệm tốn Neumann xác định tới số 2.3 Bài tốn Cauchy với phương trình khuếch tán Ta xét tốn giá trị ban đầu cho phương trình khuếch tán chiều với không nguồn hay góp ut = κuxx , −∞ < x < +∞, t > 0, (2.14) κ số khuếch tán, với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x), −∞ < x < +∞ 69 (2.15) Trước hết, ta thông qua giả thiết thêm f (x) ∈ L1 (R), với t > cố định hàm x → u(x, t) thuộc L1 (R) Khi ta lấy biến đổi tích phân Fourier tốn Theo (2.2), (2.5) ta có F[ut (x, t)] = d d F[u(x, t)] = u(α, t), dt dt F[uxx (x, t)] = −α2 u(α, t) Khi đó, tốn giá trị ban đầu trở thành −κα2 u(α, t) = d u(α, t), dt u(α, 0) = f (α) Bây coi α số, giải phương trình vi phân với biến t Nghiệm tổng quát u(α, t) = A(α)e−κα t , A(α) số phụ thuộc vào α Cho t = 0, sử dụng điều kiện ban đầu, ta có u(α, 0) = A(α) = f (α) Do u(α, t) = f (α)e−κα t Để tìm u(x, t) ta ý u(α, t) tích hai biến đổi tích phân Fourier, với a > 0, gọn ta ký hiệu eh(x) = exp (h(x)), ta có F(e−ax ) = exp(−at2 + iα)dt R √ α2 iα exp[−( at − √ )2 − ]dt 4a a = R = exp(− α2 ) 4a √ iα exp[−( at − √ )2 ]dt a R Thực phép đổi biến ξ = √ iα at − √ ta a √ iα exp[−( at − √ )2 ]dt = √ a a R e−ξ dξ, R a F(e−ax ) = √ exp(− α2 ) 4a e−ξ dξ R 70 Mặt khác e−ξ dξ = √ π, R nên cuối ta có π −α2 /4a e a F(e−ax )(α) = Bằng cách đổi biến κt = ta có F Đặt , 4a x2 √ ) (α) = e−κα t exp(− 4κt πκt x2 E(x, t) = √ ) exp(− 4κt πκt Khi ta có u(α, t) = F[E(x, t)](α).F[f (x)](α) Theo Định lý chập (Định lý 1.4) suy u(x, t) = E(x, t) ∗ f (x) = √ πκt f (ξ) exp[− (x − ξ)2 ]dξ 4κt (2.16) R Biểu thức tích phân phức tạp nghiệm bao gồm giá trị ban đầu f (x) hàm Green (hay, hàm sơ cấp) G(x − ξ, t) phương trình khuếch tán với khoảng vô hạn (x − ξ)2 G(x − ξ, t) = √ ] exp[− 4κt πκt Vì vậy, với biểu thị qua G(x − ξ, t), nghiệm (2.16) viết sau u(x, t) = f (ξ)G(x − ξ, t)dξ R Sao cho, giới hạn t → 0+ , hình thức trở thành u(x, 0) = f (x) = f (ξ) lim G(x − ξ, t)dξ t→0+ R Giới hạn G(x − ξ, t) biểu diễn qua hàm delta Dirac δ(x − ξ) = lim t→0+ (x − ξ)2 √ ] exp[− 4κt πκt 71 (2.17) Đồ thị hàm G(x, t) Hình 2.2 với giá trị khác κt Rất quan trọng để dẫn biểu thức tích phân (2.17) bao gồm phân bố nhiệt độ ban đầu f (x), hàm Green G(x − ξ, t) biểu diễn đường đặc trưng nhiệt độ dọc theo kim loại thời điểm t nhờ xung đơn vị ban đầu nhiệt độ x = ξ Trong Vật lý, ý nghĩa nghiệm (2.17) phân bố nhiệt độ ban đầu f (x) suy biến thành phổ độ lớn lực xung f (ξ) điểm x = ξ tạo thành nhiệt độ cuối f (ξ)G(x − ξ, t) Do đó, nhiệt độ cuối lấy tích phân để tìm nghiệm (2.17) Ta thực phép đổi biến ξ−x √ = ζ, κt dξ dζ = √ , κt để biểu diễn nghiệm (2.16) dạng √ f x + κtζ e−ζ dζ u(x, t) = √ π (2.18) R 2.4 κt = 1/60 1.6 1.2 κt = 1/16 0.8 κt = 1/4 0.4 −3 −2 −1 x Hình 2.2 Tích phân nghiệm (2.16) hay (2.18) gọi biểu diễn tích phân Poisson phân bố nhiệt độ Tích phân hội tụ với thời gian t > 0, tích 72 phân nhận từ việc đạo hàm dấu tích phân biểu thức (2.18) theo x theo t hội tụ lân cận điểm (x, t) Vì vậy, nghiệm u(x, t) đạo hàm cấp tồn với t > u(x, t) t = 0.1 1.5 t = 0.5 t = 2.0 0.5 −4 −3 −2 −1 x Hình 2.3 Thời gian phát triển nghiệm (2.20) Cuối cùng, ta xét trường hợp đặc biệt điều kiện ban đầu không liên tục dạng T0 x ≥ 0, f (x) = T0 H(x) = x < 0, T0 số Trong trường hợp này, nghiệm (2.16) trở thành +∞ T0 u(x, t) = √ πκt Thực phép đổi biến η = ξ−x √ , κt exp[− ta biểu diễn nghiệm (2.19) dạng = e−η √ −x/2 κt (2.19) +∞ T0 u(x, t) = √ π (x − ξ)2 ]dξ 4κt T0 dη = √ π x T0 T0 erf ( √ ) + , 2 κt 73 +∞ e−η √ −x/2 κt T0 dη + √ π e−η dη hay u(x, t) = x T0 [1 + erf ( √ )] 2 κt (2.20) Nghiệm cho (2.20) với T0 = Hình 2.3 Nếu f (x) = δ(x), nghiệm (2.16) cho x2 u(x, t) = √ ) exp(− 4κt πκt 2.4 Bài tốn Cauchy với phương trình sóng Tìm nghiệm tốn giá trị ban đầu với phương trình sóng utt = c2 uxx, −∞ < x < +∞, t > 0, (2.21) dịch chuyển ban đầu, (2.22) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x), ∂ u(x, 0) = g(x), ∂t vận tốc ban đầu (2.23) Trước hết, ta giả thiết thêm f, g có biến đổi tích phân Fourer, với t cố định u(x, t) có biến đổi tích phân Fourer Khi đó, với t cố định, lấy biến đổi tích phân Fourier hai vế toán giá trị ban đầu, sử dụng (2.3) (2.5), ta có d2 u(α, t) = −c2 α2 u(α, t), dt (2.24) u(α, 0) = f (α), (2.25) d u(α, 0) = g(α) dt (2.26) với điều kiện ban đầu Giải phương trình vi phân thường với u(α, t) d2 u(α, t) + c2 α2 u(α, t) = 0, dt2 t biến Ta nghiệm tổng quát u(α, t) = A(α)eicαt + B(α)e−icαt , A(α) B(α) số theo t (chúng phụ thuộc vào α) Từ điều kiện ban đầu (2.25) (2.26) ta có A(α) + B(α) = f (α) A(α) − B(α) = 74 g(α) icα Giải với A(α) B(α) ta g(α) icαt e − e−icαt u(α, t) = f (α) eicαt + e−icαt + 2icα Do đó, sử dụng công thức nghịch đảo ta  u(x, t) = + Sử dụng kết f (x) = 1 2π  R  2c 2π 2π R (2.27)  f (α){e−iα(x−ct) + e−iα(ct+x) }dα  g(α) −iα(x−ct) {e − e−iα(ct+x) }dα iα e−iαx f (α)dα, g(x) = 2π R e−iαx g(α)dα, R ta có nghiệm cuối x+ct 1 [f (x − ct) + f (x + ct)] + u(x, t) = 2c 2π R x+ct = 1 [f (x − ct) + f (x + ct)] + 2c x−ct hay e−iαξ dξ g(α)dα  dξ  x−ct 2π R  e−iαξ g(α)dα , x+ct 1 u(x, t) = [f (x − ct) + f (x + ct)] + 2c g(ξ)dξ (2.28) x−ct Nghiệm thường gọi nghiệm d’Dalembert phương trình sóng Cách thức hình dạng nghiệm bộc lộ vài đặc tính quan trọng phương trình sóng Trước hết, chất cách thức nghiệm cho thấy tồn nghiệm d’Dalembert, nghiệm cho thấy f (x) khả vi liên tục cấp hai g(x) khả vi liên tục Thứ hai, điều kiện kéo theo f (x ± ct) (2.28) âm nhiễu lan truyền dọc theo đường đặc trưng với vận tốc không đổi c Kết hợp hai điều kiện gợi ý giá trị nghiệm ví trí x thời điểm t phụ thuộc vào giá trị ban đầu f (x) x − ct x + ct giá trị g(x) hai điểm Khoảng (x − ct, x + ct) gọi miền phụ thuộc biến (x, t) Cuối cùng, nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu, nghĩa là, toán đặt chỉnh Nói cách khác, thay đổi nhỏ f (x) hay g(x) mang tới thay đổi nhỏ nghiệm u(x, t) 75 u(x, 0) 0.8 u(x, 1) 0.6 0.4 0.5 0.2 −4 −2 0.8 −4 −2 −4 x −2 u(x, 2) 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x −4 −2 x x u(x, 3) Hình 2.4 Thời gian phát triển nghiệm (2.29) Nói riêng, f (x) = e−x g(x) = 0, thời gian phát triển nghiệm (2.28) với c = Hình 2.4 Trong trường hợp này, nghiệm trở thành 2 u(x, t) = [e−(x−t) + e−(x+t) ] (2.29) Như Hình 2.4, dạng ban đầu f (x) = e−x đặt móng để chia thành hai truyền sóng tương tự theo hướng ngược với vận tốc đơn vị 76 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau Trình bày cách có hệ thống, tổng quan kiến thức quan trọng biến đổi tích phân Fourier không gian Schwartz, L1 (Rn ) L2 (Rn ) gồm định nghĩa, tính chất, phép tốn tử Các tính chất, định lý đa phần chứng minh cách cụ thể, đồng thời sử dụng cơng thức biến đổi tích phân Fourier để tìm biến đổi Fourier số hàm, có hình vẽ minh họa Hệ thống đưa ví dụ minh họa rõ nét ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào giải phương trình đạo hàm riêng Vì thời gian, kiến thức kinh nghiệm cịn nhiều hạn chế nên Luận văn nghiên cứu phép biến đổi tích phân Fourier trường số thực Rn mà chưa đưa kết tương tự cho trường số phức Cn Luận văn đưa ví dụ ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào giải phương trình đạo riêng trường hợp số chiều nhỏ, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Tác giả cố gắng nghiên cứu khắc phục hạn chế hướng nghiên cứu sau hồn thành khóa học thạc sĩ 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giải Tích tập III, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2008 [2] Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết Hàm suy rộng Không gian Sobolev, 2005 [3] Ander Vretblad, Fourier Analysis and Its Applications, 2003 [4] Ronald N Bracewell, The Fourier transform and Its applications, 1999 [5] S Bochner and K Chandrasekharan, Fourier Transforms, Princeton University Press, 1949 [6] Taylor and Francis Group, Integral Transforms and Their Applications, 2007 [7] Walter Rudin, Functional analysis, 1991 [8] Tài liệu từ Internet 78