Phương trình hàm với các giá trị trung bình và áp dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị ii 1.1 Hàm cộng tính 1.2 Giá trị trung bình Lagrange 1.3 Tỷ sai phân 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu 14 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange 16 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự 16 2.2 Phương trình hàm với biến tự 27 2.3 Phương trình hàm với n biến tự 31 2.4 Một số ví dụ áp dụng 33 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu 39 3.1 Các phương trình dạng Stamate 39 3.2 Phương trình Kuczma 44 3.3 Phương trình chuyển động theo quy tắc Simpson 50 3.4 Một số mở rộng 59 3.5 Một số ví dụ áp dụng 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo i 82 MỞ ĐẦU Phương trình hàm chun đề khó, hay xuất đề thi Olympic hay đề thi HSG quốc gia, quốc tế Tuy nhiên, chuyên đề lại khơng dạy cách thống cho học sinh trường sư phạm Điều gây khó khăn cho giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG Là giáo viên dạy chuyên, muốn nghiên cứu sâu phương trình hàm chọn phương trình hàm làm luận văn thạc sĩ Phương trình hàm vơ rộng lớn, thời gian ngắn, tơi nghiên cứu lĩnh vực nhỏ Được định hướng thầy hướng dẫn, tơi chọn phương trình hàm liên quan tới đại lượng trung bình Có đại lượng trung bình là: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa trung bình bình phương Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình trình bày rõ ràng cụ thể tài liệu [1] Do đó, luận văn mình, tơi trình bày phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình giải tích trung bình Lagrange trung bình Pompeiu Nội dung Luận văn gồm có chương: Chương I Những kiến thức chuẩn bị Chương II Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange Chương III Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu Hà Nội, Ngày tháng 12 năm 2014 Học viên thực Lê Thị Nhàn ii Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương trình bày số kiến thức nhằm chuẩn bị cho chương II chương III, bao gồm định nghĩa hàm cộng tính, giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu số tính chất chúng Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Hàm cộng tính Định nghĩa 1.1 Hàm số f : R −→ R gọi hàm cộng tính thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Phương trình (1.1) đề cập A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809), A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng quát Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm số f : R −→ R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = ax, ∀x ∈ R, đó, a ∈ R số tùy ý Định lý 1.1 (Xem [8]) Cho hàm số f : R −→ R hàm cộng tính liên tục Khi đó, f hàm tuyến tính, nghĩa f (x) = ax, ∀x ∈ R, đó, a số thực tùy ý Định lý 1.2 (Xem [8]) Nếu hàm cộng tính liên tục điểm liên tục điểm R Như vậy, chứng tỏ hàm cộng tính liên tục tuyến tính Thậm chí giảm điều kiện liên tục liên tục điểm, hàm cộng tính cịn tuyến tính Trải qua nhiều năm, tồn hàm cộng tính gián đoạn tốn mở Các nhà tốn học khơng thể chứng minh hàm cộng tính liên tục khơng đưa ví dụ hàm cộng tính gián đoạn Nhà tốn học người Đức G Hamel vào năm 1905 người thành công việc chứng minh tồn hàm cộng tính gián đoạn (xem [8]) 1.2 Giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.3 (Định lý Lagrange) Mọi hàm f : R → R liên tục [x1 , x2 ], khả vi (x1 , x2 ), tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η) x1 − x2 (1.2) Ý nghĩa hình học Định lý Lagrange: Nếu có cát tuyến cắt đồ thị (C) hàm f hai điểm A(x1 , f (x1 )) B(x2 , f (x2 )) đồ thị (C) tồn điểm C(η, f (η)), η ∈ (x1 , x2 ) cho tiếp tuyến C song song với đường thẳng AB f (x1 ) − f (x2 ) Tỷ số gọi tỷ sai phân hàm f hai điểm x1 − x2 phân biệt x1 , x2 Trong mục tiếp theo, chúng tơi tìm hiểu trình bày số kết có liên quan đến tỷ sai phân 1.3 Tỷ sai phân Định nghĩa 1.3 (Xem [8]) Tỷ sai phân hàm f : R → R n điểm phân biệt x1 , x2 , , xn kí hiệu f [x1 , x2 , , xn ] xác định bởi: f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , , xn ] = f [x1 , x2 , , xn−1 ] − f [x2 , x3 , , xn ] , ∀n ≥ x1 − xn Theo định nghĩa trên, ta có f (x1 ) − f (x2 ) , x1 − x2 f [x1 , x2 ] = f [x1 , x2 , x3 ] = (x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 ) (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) Định lý 1.4 Tỷ sai phân n- điểm f biểu diễn thành n f (xj ) f [x1 , x2 , , xn ] = , ∀n ∈ N∗ n (1.3) (xj − xk ) j=1 k=1 k=j Chứng minh : Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Với n = n = 2, ta có f [x1 ] = f (x1 ) f (x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) f (x1 ) + = x1 − x2 x2 − x1 x1 − x2 Do đó, biểu thức n = n = Giả sử biểu thức với n, ta cần chứng minh biểu thức với n + Theo định nghĩa tỷ sai phân (Định nghĩa 1.3), ta có f [x1 , x2 , , xn+1 ] = (f [x1 , x2 , , xn ] − f [x2 , x3 , , xn+1 ]) x1 − xn+1 f [x1 , x2 ] = Theo giả thiết quy nạp, vế phải (VP) biểu thức trở thành VP = x1 − xn+1 n n − xj − xk f (xj ) j=1 k=1 k=j n+1 n+1 xj − xk f (xj ) j=2 k=2 k=j Phân tích n n f (xj ) j=1 k=1 k=j n 1 = f (x1 ) + xj − xk x − x k k=2 n n f (xj ) j=2 k=1 k=j xj − xk n+1 n+1 f (xj ) j=2 k=2 k=j n 1 = f (xn+1 ) + xj − xk x − x n+1 k k=2 n n+1 f (xj ) j=2 k=2 k=j xj − xk Khi n n f (x1 ) 1 VP = + x1 − xn+1 k=2 x1 − xk x1 − xn+1 n f (xj ) j=2 n f (xn+1 ) 1 − − x1 − xn+1 k=2 xn+1 − xk x1 − xn+1 n k=1 k=j xj − xk n n+1 f (xj ) j=2 k=2 k=j xj − xk n f (xn+1 ) f (x1 ) + = x1 − xn+1 k=2 x1 − xk xn+1 − x1 k=2 xn+1 − xk n + j=2 f (xj ) x1 − xn+1 n+1 n k=1 k=j − xj − xk n+1 k=2 k=j xj − xk n 1 = f (x1 ) + f (xn+1 ) x − xk x − xk k=2 k=1 n+1 n + j=2 f (xj ) − x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 n k=2 k=j xj − xk Mặt khác n j=2 n = j=2 1 f (xj ) − x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 f (xj ) (xj − x1 )(xj − xn+1 ) n = n+1 f (xj ) j=2 k=1 k=j n k=2 k=j n k=2 k=j xj − xk xj − xk xj − xk Do n+1 V P = f (x1 ) + x − x k k=2 n n+1 f (xj ) j=2 k=1 k=j n 1 + f (xn+1 ) xj − xk x − x n+1 k k=1 Vậy ta có hệ thức n+1 f [x1 , x2 , , xn+1 ] = n+1 f (xj ) j=1 k=1 k=j xj − xk Nhận xét 1.1 Vai trò xi , i = 1, n định nghĩa f [x1 , x2 , , xn ] Định lý 1.5 Giả sử f (x) = xl , l ∈ N,  0 n > l + 1, f [x1 , x2 , , xn ] = n = l + 1,  x1 + · · · + xn n = l với số nguyên dương n Chứng minh : Với f (x) = xl , l ∈ N, ta đánh giá f [x1 , x2 , , xn ] Khi n = 2, ta có f (x1 ) − f (x2 ) xl1 − xl2 f [x1 , x2 ] = = x1 − x2 x1 − x2 l−1 (x1 − x2 ) xk1 xl−1−k k=0 = x1 − x2 l−1 xp11 xp22 , xk1 xl−1−k = = k=0 p1 +p2 =l−1 p1 , p2 số nguyên khơng âm Khi n = 3, ta có f [x1 , x2 , x3 ] = f [x1 , x3 ] − f [x2 , x3 ] x1 − x2 xp11 xp33 − = = p1 +p3 =l−1 xp22 xp33 p2 +p3 =l−1 x1 − x2 2 l−3 l−2 l−2 l−1 l−1 [(x1 −x2 )xl−2 +(x1 −x2 )x3 +· · ·+(x1 −x2 )x3 +(x1 −x2 )] x1 − x2 l−3 2 l−4 = xl−2 +(x1 +x2 )x3 +(x1 +x1 x2 +x2 )x3 +· · ·+ p1 +p2 =l−3 xp11 xp22 x3 + k1 +k2 =l−2 xk11 xk22 xp11 xp22 xp33 , = p1 +p2 +p3 =l−2 với p1 , p2 , p3 , k1 , k2 số nguyên không âm Tương tự, phép quy nạp, ta có xp11 xp22 xpnn , f [x1 , x2 , , xn ] = p1 +p2 +···+pn =l−n+1 p1 , p2 , , pn số ngun khơng âm Khi với n = l, ta có xp11 xp22 xpl l f [x1 , x2 , , xl ] = p1 +···+pl =1 Vì p1 , p2 , , pl số nguyên không âm nên từ p1 + · · · + pl = 1, suy pk = pj = 0, ∀j = k Do ta có l xp11 xp22 xpl l = p1 +···+pl =1 xj j=1 l xj f [x1 , x2 , , xl ] = j=1 Tương tự, n = l + p l+1 xp11 xp22 xl+1 =1 f [x1 , x2 , , xl+1 ] = p1 +···+pl+1 =0 f [x1 , x2 , , xl+1 ] − f [x2 , x3 , , xl+2 ] = x1 − xl+2 f [x1 , x2 , , xl+2 ] = Định lý chứng minh Định lý 1.6 Giả sử f : R → R có đạo hàm cấp n liên tục đoạn [min {x0 , x1 , , xn } , max {x0 , x1 , , xn }] Nếu tất điểm x0 , x1 , , xn phân biệt f [x0 , x1 , , xn ] = dt1 tn−1 t1 dt2 f n (n) tk (xk − xk−1 ) dtn , n ≥ x0 + k=1 (1.4) với x, y ∈ R f (x) = αx3 + βx2 + 2γx + δ g(x) = αx2 + βx + γ, (3.174) α, β, γ số tùy ý Chứng minh : Dễ dàng kiểm tra (3.174) thỏa mãn (3.173) Để chứng minh chiều ngược lại, giả sử y = (3.173) ta có f (x) = δ + x[g(x) + γ], (3.175) δ = f (0) γ = g(0) Thay (3.175) vào (3.173) rút gọn, ta có y[g(x) − αx2 − γ] = x[g(y) − αy − γ], với x, y ∈ R Do g(x) = αx2 + βx + γ (3.176) Từ (3.176) (3.175), ta có f (x) = αx3 + βx2 + 2γx + δ (3.177) ta chứng minh xong bổ đề Bây giờ, ta xác định nghiệm tổng qt phương trình hàm (3.117) Bài tốn 3.8 Giả sử s t số thực Tìm tất hàm f, g, h, ϕ, ψ : R → R thỏa mãn phương trình hàm (3.117) với x, y ∈ R Lời giải Giả sử x = y (3.117), ta thấy f (x) = g(x), (3.178) với x ∈ R Thay (3.178) vào (3.117), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + ϕ(x) + ψ(y)] (3.179) Đổi chỗ x y (3.179) kết hợp với phương trình (3.179), ta có h(sx + ty) + ϕ(x) + ψ(y) = h(sy + tx) + ϕ(y) + ψ(x), với x, y ∈ R, x = y Ta thấy (3.180) x = y 68 (3.180) Bây ta xét trường hợp: Trường hợp Giả sử s = = t Thay vào (3.180), ta ϕ(x) − ψ(x) = ϕ(y) − ψ(y), ∀x, y ∈ R Do ϕ(x) = ψ(x) − δ, ∀x ∈ R, (3.181) đó, δ số Thay (3.181) vào (3.179), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] (3.182) Do từ kết Bài toán 3.7, (3.178) (3.181) ta khẳng định nghiệm  f (x) = ax2 + (b + d)x + c      g(x) = f (x) ϕ(x) = ax + b−δ  b+δ  ψ(x) = ax +    h(x) = tùy ý với h(0) = d, a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s = t = (Trường hợp s = t = làm tương tự trường hợp này.) Trong trường hợp này, từ (3.180), ta có h(ty) + ψ(y) − ϕ(y) = h(tx) + ψ(x) − ϕ(x), (3.183) với x, y ∈ R Do ψ(x) = ϕ(x) − h(tx) − δ, (3.184) δ số Thay (3.184) vào (3.179) với s = 0, ta thấy f (x) − f (y) = (x − y)[ϕ(x) + ϕ(y) − δ] (3.185) Từ Bài toán 3.5, (3.178) (3.184), ta có khẳng định nghiệm  f (x) = ax2 + bx + c      g(x) = f (x) ϕ(x) = ax + b+δ  b−δ  ψ(x) = ax + − h(tx)    h(x) = tùy ý, a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s = t = Tiếp theo, ta xét trường hợp 69 riêng: Trường hợp 3.1 Giả sử s = t Từ (3.180), ta h(tx + ty) + ϕ(x) + ψ(y) = h(ty + tx) + ϕ(y) + ψ(x) (3.186) Do đó, ta có ϕ(x) = ψ(x) − δ, (3.187) δ số Thay (3.187) vào (3.179), ta f (x) − f (y) = (x − y)[h(tx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] Từ kết Bài toán 3.7,  f (x) =      g(x) = ϕ(x) =   ψ(x) =    h(x) = (3.188) (3.187) (3.178), ta 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α f (x) 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β − 2δ 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β + 2δ a( xt )3 + b( xt )2 + A( xt ) + d, a, b, c, d, α, β, γ, δ số tùy ý A : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.2 Giả sử s = −t Từ (3.180), ta h(ty − tx) + ϕ(x) + ψ(y) = h(tx − ty) + ϕ(y) + ψ(x), (3.189) với x, y ∈ R Hay h(tx − ty) − h(ty − tx) = H(x) − H(y), (3.190) H(x) = ϕ(x) − ψ(x) Giả sử x = (3.190), ta có h(−ty) − h(ty) = d − H(y), (3.191) d = H(0) Thay (3.191) vào (3.190), ta có H(x − y) − d = H(x) − d − H(y) + d, tức H(x) − d cộng tính tập số thực Do ψ(x) = ϕ(x) + A0 (x) − d, (3.192) A0 : R → R hàm cộng tính Thế (3.192) vào (3.179), ta f (x) − f (y) = (x − y)[h(ty − tx) + ϕ(x) + ϕ(y) + A0 (y) − d], 70 (3.193) tức F (x) − F (y) = (x − y)[K(tx − ty) + φ(x) + φ(y)], (3.194)   F (x) = f (x) + dx K(x) = h(−x) − 21 A0 ( xt )  φ(x) = ϕ(x) + 21 A0 (x) (3.195) Do đó, từ kết Bài tốn 3.7, (3.178), (3.192) (3.195), ta lại có khẳng định nghiệm   f (x) = 2ax3 + cx2 + (2β − d)x − A(x) + α     g(x) = f (x) ϕ(x) = 3ax2 + cx − 12 A0 (x) + β   ψ(x) = 3ax2 + cx + 21 A0 (x) + β − d    h(x) = −a( x )2 − t A( x ) + A ( x ), x = 0, t x t t a, b, c, d, α, β số tùy ý A0 , A : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.3 Giả sử s2 = t2 Cho y = (3.180), ta h(sx) + ϕ(x) + ψ(0) = h(tx) + ϕ(0) + ψ(x) (3.196) Hay ϕ(x) = h(tx) − h(sx) + ψ(x) + ϕ(0) − ψ(0), ∀x ∈ R (3.197) Thay (3.197) vào (3.180) rút gọn, ta có h(sx + ty) − h(sx) − h(ty) = h(sy + tx) − h(tx) − h(sy) y x Thay x y (3.179), ta s t y xt − ys x y x f −f = h(x + y) + ϕ +ψ s t st s t Đặt   F (x) = stf ( xs ) Φ(x) = ϕ( x )  Ψ(y) = ψ( sy ) t (3.198) (3.199) (3.200) thay (3.200) vào (3.199), ta có F (x) − F sy = (xt − ys)[h(x + y) + Φ(x) + Ψ(y)] t 71 (3.201) Lần lượt cho y = x = (3.201), ta có F (x) = F (0) + xt[h(x) + Φ(x) + Ψ(0)] (3.202) sy ) = F (0) + ys[h(y) + Φ(0) + Ψ(y)], (3.203) t tương ứng Thay (3.202) (3.203) vào (3.201), ta (sau rút gọn) F( xt[Ψ(0)−Ψ(y)−h(y)]−ys[Φ(0)−Φ(x)−h(x)] = (xt−ys)[h(x+y)−h(x)−h(y)] (3.204) Đổi chỗ x y , ta yt[Ψ(0)−Ψ(x)−h(x)]−xs[Φ(0)−Φ(y)−h(y)] = (yt−xs)[h(x+y)−h(x)−h(y)] (3.205) Trừ theo vế (3.205) (3.204), ta có xP (y) − yP (x) = (x − y)(s + t)[h(x + y) − h(x) − h(y)], (3.206) P (x) = t[Ψ(0) − Ψ(x) − h(x)] + s[Φ(0) − Φ(x) − h(x)] (3.207) Theo kết Bài toán 3.4, nghiệm tổng quát (3.206) P (x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d (s + t)h(x) = −ax3 − bx2 − A(x) − d, (3.208) A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Thay dạng h(x) (3.208) vào (3.198), ta 3astxy(s − t)(x − y) = 0, với x, y ∈ R Vì = s2 = t2 = nên a = Do đó, ta có (s + t)h(x) = −bx2 − A(x) − d (3.209) Thay (3.209) vào (3.197), ta ϕ(x) = ψ(x) + b(s − t)x2 + A(sx − tx) + α, s+t (3.210) α = ϕ(0) − ψ(0) Thay (3.209) (3.210) vào (3.179), ta k(x) − k(y) = (x − y)[α0 xy + Γ(x) + Γ(y)], 72 (3.211)  d   k(x) = f (x) + ( s+t − α)x 2 Γ(x) = ψ(x) − A(tx) − bts+tx s+t  α = − 2bst s+t (3.212) Theo Bổ đề 3.3, ta có k(x) = α0 x3 + βx2 + 2γx + δ Γ(x) = α0 x2 + βx + γ, (3.213) β, γ, δ số Do từ (3.213), (3.212), (3.210) (3.209), ta có 2bstx3 d f (x) = − + βx2 + (2γ + α − )x + δ s+t s+t A(sx) bs(s − 2t)x2 + βx + +γ+α ϕ(x) = s+t s+t bt(t − 2s)x2 A(tx) ψ(x) = + βx + +γ s+t s+t bx2 A(x) d h(x) = − − − s+t s+t s+t b d A(x) Coi số b, d, hàm cộng tính A(x), s+t s+t s+t ta có nghiệm f (x) = −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d)x + δ ϕ(x) = bs(s − 2t)x2 + βx + A(sx) + γ + α ψ(x) = bt(t − 2s)x2 + βx + A(tx) + γ h(x) = −bx2 − A(x) − d Kết luận: g(x) = f (x), ∀x ∈ R   ax2 + (b + d)x + c     ax2 + (b + d)x + c   ax + (b + d)x + c f (x) = 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α     2ax3 + cx2 + (2β − d)x − A(x) + α    −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d)x + δ 73 nếu nếu nếu s=0=t s = 0, t = s = 0, t = s=t=0 s = −t = 0 = s2 = t2 =  ax + b−δ s = = t    b+δ  ax + s = 0, t =    b+δ ax + s = 0, t = ϕ(x) = δ  2ax + bx + cx − A(x) + β − s = t =     3ax + cx − A0 (x) + β s = −t =   bt(s − 2t)x + βx + A(sx) + γ + α = s2 = t2 =  ax + b+δ s = = t    b−δ  s = 0, t = ax + − h(tx)    b−δ ax + − h(sx) s = 0, t = ψ(x) = δ  2ax + bx + cx − A(x) + β + s = t =     s = −t = 3ax2 + cx + 21 A0 (x) + β − d,   bs(t − 2s)x + βx + A(tx) + γ = s2 = t2 =  tùy ý với h(0) = d s = = t     tùy ý s = 0, t =    tùy ý s = 0, t = h(x) = x x x a( t ) + b( t ) + A( t ) + d s = t =    x t x x  −a( t ) − x A( t ) + A0 ( t ), x = s = −t =    −bx2 − A(x) − d = s2 = t2 = A0 , A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d, α, β, γ, δ số thực tùy ý 3.5 Một số ví dụ áp dụng Bài tốn 3.9 Tìm tất hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm x2 f (y) − y f (x) = xy(x − y)h(x + y), ∀x, y ∈ R (3.214) Lời giải Cho y = 0, ta f (0) = Với xy = 0, ta có (3.214) ⇔ Đặt g(x) = xf (y) yf (x) − = (x − y)h(x + y), ∀x, y = y x f (x) − h(0) k(x) = h(x) − h(0), ta có k(0) = phương x trình xg(y) − yg(x) = (x − y)k(x + y), ∀x, y = 74 (3.215) Cho y = −x phương trình trên, ta có g(−x) = −g(x), ∀x = Thay y −y , ta có −xg(y) + yg(x) = (x + y)k(x − y), ∀x, y = Vậy ta có (x − y)k(x + y) = −(x + y)k(x − y), ∀x, y = Đặt u = x + y v = x − y , ta có vk(u) = −uk(v), ∀u + v, u − v = (3.216) Chọn v = 1, ta có k(u) = au, ∀u = ±1 Thay vào phương trình trên, ta có auv = −auv, ∀u, v = ±1, u = ±v Từ đó, ta suy a = Vậy k(u) = 0, ∀u = ±1 Cho u = (3.216), ta k(1) = k(−1) = Vậy k(u) = 0, ∀u ∈ R Do đó, h(x) = b, ∀x ∈ R (b = h(0)) Từ phương trình (3.215), ta có xg(y) = yg(x), ∀x, y = Vậy g(x) = ax, ∀x = Từ đó, ta có f (x) = ax2 + bx, ∀x = Do f (0) = nên f (x) = ax2 + bx, ∀x ∈ R Kết luận: f (x) = ax2 + bx h(x) = b, với x ∈ R, a, b số tùy ý Bài toán 3.10 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm xf (y) − yf (x) = (x − y) f x−y x+y −f 2 75 , ∀x, y ∈ R (3.217) Lời giải Cho y = (3.217), ta f (0) = Tiếp tục cho y = −x, ta f (−x) = f (x), ∀x = Suy f hàm số chẵn Thay y −y (3.217) sử dụng f hàm số chẵn, ta có xf (y) + yf (x) = (x + y) f x+y x−y −f 2 , ∀x, y ∈ R (3.218) Cộng theo vế (3.217) (3.218), ta xf (y) = y f x+y x−y −f 2 , ∀x, y ∈ R (3.219) Đổi chỗ x y (3.219), ta có yf (x) = x f x+y x−y −f 2 , ∀x, y ∈ R (3.220) Từ (3.219) (3.220), ta có x2 f (y) = y f (x), ∀x, y ∈ R Do f (x) = ax2 , ∀x ∈ R (a số tùy ý) Bài tốn 3.11 Tìm tất hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm x[f (x) − g(y)] − y[f (y) − g(x)] = (x − y)f (x + y), ∀x, y ∈ R (3.221) Lời giải Ta có (3.221) ⇔ xf (x) − xg(y) − yf (y) + yg(x) = (x − y)f (x + y) ⇔ −xg(y) + yg(x) = (x − y)f (x + y) − xf (x) + yf (y) ⇔ −xg(y) + yg(x) + yf (x) − xf (y) = (x − y)[f (x + y) − f (x) − f (y)] ⇔ y[f (x) + g(x)] − x[f (y) + g(y)] = (x − y)[f (x + y) − f (x) − f (y)] Đặt h(x) = f (x) + g(x) k(x) = −f (x), ta xh(y) − yh(x) = (x − y)[k(x + y) − k(x) − k(y)], ∀x, y ∈ R 76 Theo kết Bài toán 3.4, ta có h(x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d k(x) = −ax3 − bx2 − A(x) − d, A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Suy f (x) + g(x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d f (x) = ax3 + bx2 + A(x) + d Vậy f (x) = ax3 + bx2 + A(x) + d g(x) = 2ax3 + bx2 + cx − A(x), A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Từ phương trình xf (y) − yf (x) = f (ξ) + ξf (ξ), x−y xét f (x) = x + x3 , ta có VP = −x2 y − xy ξ = x2 y + xy Thay x x + y y x − y , ta có tốn sau Bài tốn 3.12 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm (x − y)f (x + y) − (x + y)f (x − y) = 4xy(x2 − y ), ∀x, y ∈ R Lời giải Đặt u = x + y v = x − y , ta có x = (3.222) u+v u−v , y = 2 (3.222) trở thành vf (u) − uf (v) = u3 v − uv , ∀u, v ∈ R Hay v[f (u) − u3 ] = u[f (v) − v ], ∀u, v ∈ R Vậy f (u) = au + u3 , ∀u ∈ R, a số tùy ý Bài tốn 3.13 Tìm tất hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm xf (y) − yf (x) = h(2x + 3y), ∀x, y ∈ R, x = y (3.223) x−y 77 Lời giải Từ (3.223), ta có xf (y) − yf (x) = (x − y)h(2x + 3y), ∀x, y ∈ R (3.224) Cho y = 0, ta xf (0) = xh(2x), ∀x ∈ R Đặt f (0) = b h(x) = b, ∀x = Do đó, từ phương trình (3.224), ta có xf (y) − yf (x) = b.(x − y), ∀x, y ∈ R, 2x + 3y = (3.225) Cho y = 1, ta f (x) = xf (1) − b(x − 1) = ax + b, ∀x = − , a = f (1) − b Cho x = − y = (3.224), ta 3 f (2) + 2f − = + h(3) 2 Hay 3 (2a + b) + 2f − = b 2 3 Từ đó, ta có f − = − a + b Tức f (x) = ax + b, ∀x ∈ R Cho x = y = −2 (3.224), ta 3f (−2) + 2f (3) = 5h(0) Hay 3(−2a + b) + 2(3a + b) = 5h(0) Suy h(0) = b Do h(x) = b, ∀x ∈ R Vậy f (x) = ax + b h(x) = b, với x ∈ R, a, b số tùy ý Từ Bài toán 3.3, chọn g(x) = x3 ta có tốn sau Bài tốn 3.14 Tìm tất hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm x+y x3 f (y) − y f (x) = (x3 − y )h , ∀x, y ∈ R (3.226) 78 Lời giải Đặt g(x) = f (x) − f (0), k(x) = h(x) − f (0), ta g(0) = phương trình (3.226) trở thành x3 g(y) − y g(x) = (x3 − y )k x+y , ∀x, y ∈ R Cho y = 0, ta k(x) = 0, ∀x = Do x3 g(y) = y g(x), ∀x, y ∈ R, x + y = (3.227) (3.228) Đặt g(1) = a cho y = 1, ta g(x) = ax3 , ∀x = −1 Cho x = −1 y = (3.228), ta có 23 g(−1) = −g(2) = −a.23 Suy g(−1) = −a, g(x) = ax3 , ∀x ∈ R (3.229) Thay (3.229) vào (3.227), ta (x3 − y )k x+y = 0, ∀x, y ∈ R Cho y = −x = 0, ta k(0) = Do k(x) = 0, ∀x ∈ R Vậy f (x) = ax3 + b h(x) = b, a, b số tùy ý Bài tốn 3.15 Tìm tất hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)[h(2x + 3y) + x + y + 2], ∀x, y ∈ R (3.230) Lời giải Lần lượt cho y = x = 0, ta f (x) = x[h(2x) + x + 2], ∀x ∈ R, (3.231) f (y) = y[h(3y) + y + 2], ∀y ∈ R (3.232) 79 Từ đó, ta có h(2x) = h(3x), ∀x ∈ R Thế (3.231), (3.232) vào (3.230) sử dụng (3.233), ta có xh(2x) − yh(2y) = (x − y)h(2x + 3y), ∀x, y ∈ R Đổi chỗ x y , ta có yh(2y) − xh(2x) = (y − x)h(2y + 3x), ∀x, y ∈ R Do h(2x + 3y) = h(2y + 3x), ∀x, y ∈ R, x = y Đặt u = 2x + 3y v = 3x + 2y , ta có h(u) = h(v), ∀u, v ∈ R, u = v Cho v = 0, ta h(u) = d, ∀u = Cho v = u = 0, ta h(0) = d Vậy h(u) = d, ∀u ∈ R Thay vào (3.230), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[x + y + + d], ∀x, y ∈ R = x2 − y + (2 + d)x − (2 + d)y Hay f (x) − x2 − (2 + d)x = f (y) − y − (2 + d)y, ∀x, y ∈ R Từ đó, ta f (x) = x2 + (2 + d)x + c, ∀x ∈ R, d, c số tùy ý Kết luận: f (x) = x2 + (2 + d)x + c h(x) = d, d, c số tùy ý 80 (3.233) Kết luận Sau tìm hiều nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm nảy sinh từ chúng, luận văn hoàn thành đạt số kết sau: Giới thiệu tổng quan định lý giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu, khái niệm liên quan với tính chất chúng Khảo sát cách chi tiết hệ thống toán phương trình hàm xuất từ định lý với số mở rộng chúng Đưa số ví dụ áp dụng cách xây dựng hệ thống tập thông qua tốn phương trình hàm Với đạt được, hi vọng luận văn tài liệu có ích cho quan tâm tới phương trình hàm ứng dụng định lý giá trị trung bình Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa thể nghiên cứu thêm phương trình hàm liên quan tới giá trị trung bình khác, hay định lý giá trị trung bình theo nhiều biến phương trình hàm liên quan Đó hướng phát triển luận văn 81 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] J Aczél (1966), Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, New York - London [5] T Boggio (1947), Sur une proposition de M Pompeiu, Mathematica (Cluj), 23:101-102 [6] T Boggio (1948), Sur la formule des accroissements finis, Acad Serbe Sci Publ Inst Math., 3:219-226 [7] PL Kannappan, P.K Sahoo, M.S Jacobson (1995), A characterization of low degree polynomials, Demonstratio Mathematica, 28: 87-96 [8] P.K Sahoo, T Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd 82