Nghiên Cứu Điều Kiện Cần Và Đủ Của Giải Pháp Tối Ưu Đối Với Một Số Vấn Đề Lập Kế Hoạch Gia Công

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ MƠ NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CỦA GIẢI PHÁP TỐI ƯU ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ LẬP KẾ HOẠCH GIA CƠNG TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ MƠ NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CỦA GIẢI PHÁP TỐI ƯU ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ LẬP KẾ HOẠCH GIA CƠNG TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM HỒNG TRƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu iii Lời nói đầu 1 Một số kiến thức vấn đề gia công máy đơn 1.1 Vấn đề trình tự gia cơng máy đơn 1.1.1 1.1.2 1.2 Lời dẫn Các định nghĩa 1.1.3 Phân loại vấn đề trình tự gia cơng 10 Tìm lời giải vấn đề gia công máy đơn 13 1.2.1 Trình tự thực (trình tự khả thi) trình tự tối ưu 13 1.2.2 Trình tự gia cơng khơng trì hỗn trình tự gia cơng trì hỗn 14 1.2.3 Sơ lược thuật toán độ phức tạp vấn đề trình tự gia cơng 15 Điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn 19 2.1 Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành gia cơng cơng việc tương đương mơ hình máy đơn (1 Cj ) 21 2.1.1 Vấn đề Cj 21 2.1.2 Điều kiện cần đủ vấn đề Cj 22 ii 2.2 Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành gia cơng cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn (1 wj Cj ) 24 2.2.1 2.2.2 2.3 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn (1 Lmax ) 27 2.3.1 2.3.2 2.4 Vấn đề wj Cj 24 Điều kiện cần đủ vấn đề wj Cj 25 Vấn đề Lmax 27 Điều kiện đủ để vấn đề Lmax tối ưu 28 2.3.3 Điều kiện cần đủ vấn đề Lmax 29 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian gia cơng tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào q trình gia cơng (1 |rj | Cmax ) 31 2.4.1 Vấn đề |rj | Cmax 31 2.5 2.4.2 Điều kiện cần đủ vấn đề |rj | Cmax 33 Vấn đề tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn (1 Uj ) 35 2.5.1 Vấn đề Uj 35 2.5.2 Điều kiện cần đủ vấn đề Uj 37 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: Jj công vụ thứ j Pj tập máy sử lý Tj công việc thứ j pj thời gian gia công (thực hiện) công việc Tj rj thời gian đạt đến hay thời gian chuẩn bị dj kỳ hạn biểu thị thời gian hoàn thành hạn định nhiệm vụ Tj wj trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng nhiệm vụ Tj Cj thời gian hồn thành cơng việc Tj n j=1 Cj tổng thời gian hồn thành cơng việc từ T1 đến Tn Lời nói đầu Hàng ngàn dạng vấn đề xếp lĩnh vực tổ hợp tối ưu hóa, nhiều kết lý thuyết phát triển Cụ thể, chúng thúc đẩy ứng dụng thực tế, việc nghiên cứu vấn đề xếp khía cạnh thuật tốn, bao gồm phép tính tốn phức tạp, thuật toán đa thức, thuật toán sấp xỉ, có nhiều tiến năm gần Tổ hợp tối ưu hóa có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học - công nghệ, kinh tế - xã hội Tối ưu hóa q trình đến "tốt nhất" Phương pháp tối ưu hóa biện pháp, thuật toán, kỹ xảo, thao tác, nhằm đến điểm tối ưu Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trị quan trọng Trong luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia công mơ hình máy đơn Lập kế hoạch gia cơng phần ứng dụng tối ưu hóa Đó hoạt động trình quản lý cấp cơng ty Trong phạm vi doanh nghiệp, nhà máy sản xuất lập kế hoạch gia công khâu đầu tiên, chức quan trọng trình quản lý sở để thúc đẩy hoạt động kinh doanh có hiệu cao, đạt mục tiêu đề Lập kế hoạch gia công làm giảm chồng chéo hoạt động làm lãng phí nguồn lực doanh nghiệp để sử dụng nguồn lực cách có hiệu quả, cực tiểu hóa chi phí nhằm đạt mục tiêu đề Chính việc nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn sản xuất nhà máy đóng vai trị quan trọng Việc tìm giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia công mô hình máy đơn giúp nhà sản xuất đảm bảo điều kiện: Đáp ứng kì hạn giao hàng, tối thiểu hóa chậm trễ cơng việc tham gia vào q trình gia cơng, tối thiểu hóa thời gian gia công tối đa công việc, tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc Luận văn phân tích, tìm hiểu, nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia công mô hình máy đơn Một số vấn đề tài liệu [1] nói đến, nhiên luận văn vấn đề nghiên cứu đầy đủ điều kiện cần điều kiện đủ Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Hồng Trường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên,10 tháng năm 2017 Tác giả Hoàng Thị Mơ Chương Một số kiến thức vấn đề gia công máy đơn 1.1 Vấn đề trình tự gia cơng máy đơn (xem [1]) 1.1.1 Lời dẫn Vấn đề trình tự gia công máy đơn vấn đề trình tự gia cơng đơn giản nhất, đồng thời vấn đề xếp quan trọng Vấn đề trình tự gia cơng máy đơn tương đối dễ tìm phương pháp giải quyết, phương pháp có tác dụng cụ thể việc nghiên cứu vấn đề trình tự xếp phức tạp hơn, giúp cho việc tìm thuật toán xấp xỉ vấn đề trình tự gia cơng máy đơn giới thiệu vấn đề tồn sống thực, có bối cảnh thực tế Vì vậy, vấn đề trình tự gia cơng máy đơn có phạm vi ứng dụng lớn, nâng cao hiệu suất lao động, có ý nghĩa to lớn Việc nghiên cứu thuộc tính cấu trúc vấn đề xếp gia công lĩnh vực phong phú Vấn đề trình tự gia cơng đời chủ yếu lĩnh vực chế tạo máy, sau phát triển lĩnh vực hệ thống máy tính, lập kế hoạch giao thông vận tải, quản lý sản xuất Từ xếp kế hoạch sống hàng ngày, lập kế hoạch nhân viên, xây dựng thời khóa biểu nhà trường, từ tính tốn kế hoạch bay cho chuyến bay cho sân bay lớn cần dùng đến phương pháp lý luận vấn đề trình tự gia công Trước đưa định nghĩa vấn đề trình tự gia cơng máy đơn, xem xét vài ví dụ ứng dụng thực tế lĩnh vực Ví dụ 1.1.1 Sắp xếp điều hành chuyến bay Một sân bay, có vài chục cửa máy bay, ngày có vài trăm chuyến bay cất cánh hạ cánh Cửa sân bay có kiểu kích cỡ khơng giống nhau, kích cỡ máy bay khác (số lượng hành khách chứa khác nhau) vài cửa cho phép xếp máy bay cỡ lớn vài cửa cho phép xếp với máy bay cỡ nhỏ Các máy bay có thời gian biểu để hạ cánh cất cánh Do ảnh hưởng thời tiết nhân tố khác sân bay, thời gian biểu có tính ngẫu nhiên lớn Khi máy bay vào đến cửa vào để hành khách lên xuống, máy bay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có), xếp hành lý Nếu có máy bay khơng thể hạ cánh ảnh hưởng đến máy bay khác sân bay, ảnh hưởng đến việc chiếm hữu cửa vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại máy bay khác đưa vào sử dụng Nhân viên phụ trách điều động sân bay cần đưa phương pháp xếp cửa vào cho máy bay hạ cánh cất cánh cho hiệu suất sử dụng sân bay cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh Đây vấn đề xếp trình tự có ứng dụng lớn Ví dụ 1.1.2 Trình tự xử lý máy tính thực hệ thống thao tác đa nhiệm, phát sinh thêm nhiệm vụ Về tổng quan ta hiểu đồng thời tiến hành nhiều tiến trình Tuy nhiên thời điểm CPU tiến hành tiến trình Thời gian đạt đến tiến trình khơng Vấn đề đặt đặt tiến trình làm cho hiệu suất sử dụng CPU cao thời gian để thay đổi tiến trình ngắn nhất? Đây vấn đề xếp Ngoài thời gian đạt đến tiến trình thời gian thay đổi khơng biết trước, kì vọng tốn, phương sai, thời gian đạt đến ngẫu nhiên thời gian thay đổi biết trước Lúc mục tiêu tối thiểu hóa kì vọng thời gian trung chuyển Như vấn đề xếp xuất biến lượng ngẫu nhiên gọi vấn đề trình tự xếp ngẫu nhiên 1.1.2 Các định nghĩa Vấn đề trình tự gia cơng vấn đề tổ hợp tối ưu hóa quan trọng, sử dụng số máy xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối ưu số lượng nhiệm vụ công việc cho Khi thực giải nhiệm vụ công việc này, cần thỏa mãn số điều kiện giới hạn như: thời gian đạt đến, thời gian hạn định phải hoàn thành, thứ tự thực nhiệm vụ, Mục đích làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu, hàm mục tiêu thơng thường khoảng thời gian gia công, cách thức hiệu suất sử dụng máy xử lý Trong vấn đề trình tự gia công, số lượng, chủng loại máy xử lý, thứ tự công việc (nhiệm vụ), thời gian đạt đến, hạn chế hồn thành cơng việc, nhân tố rắc rối phức tạp, khó dùng tốn học mơ tả xác để đưa định nghĩa thứ tự thông thường Trong luận văn này, ta dùng cách thức sau để mô tả vấn đề trình tự gia cơng: Cho tập hợp n nhiệm vụ (task) Tập hợp m máy xử lý (processors) T = {T1 , , Tn } P = {P1 , , Pm } Tập hợp s loại nguồn lực (resources) R = {R1 , , Rs } Mục đích vấn đề trình tự gia cơng xếp điều kiện định đưa để hoàn thành hạng mục nhiệm vụ đưa ra, xếp máy xử lý nguồn lực (nếu có) phân phối xếp nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt tối ưu ∗ Máy xử lý: Vấn đề máy đơn vấn đề trình tự gia cơng có máy xử lý Nếu số máy xử lý nhiều một, ta gọi vấn đề trình tự gia cơng đa máy Vấn đề trình tự gia cơng song song vấn đề trình tự gia công đa máy, tất máy xử lý có cơng ta gọi vấn đề trình tự gia cơng song song 30 Định lý 2.3.4 Một trình tự xếp π tối ưu vấn đề Lmax có cơng việc chủ chốt Tπ(r) cho dπ(i) ≤ dπ(r) với ∀i < r Chứng minh Giả sử trình tự xếp π giải pháp tối ưu Chúng ta chứng minh điều kiện cần cách đánh số công việc chủ chốt π Đầu tiên, xét trường hợp có cơng việc chủ chốt Nếu có tồn i < r cho dπ(i) > dπ(r) , π = ( , π(i), , π(r), ) thay đổi thành π = ( , π(r), π(i), ) Dễ thấy thời gian trễ Tπ(i) π nhỏ Tπ(r) π thời gian trễ công việc khác không tăng khơng tăng Vì Lmax (π ) < Lmax (π), điều mâu thuẫn với tối ưu π Tiếp theo, giả sử điều kiện cần giữ nguyên tất trình tự tối ưu nhỏ k cơng việc chủ chốt xét trường hợp π có k ≥ công việc chủ chốt Nếu khẳng định không giữ ngun π, cơng việc chủ chốt Tπ(r) , tồn i < r cho dπ(i) > dπ(r) Như vậy, thay đổi cơng việc Tπ(i) tới vị trí sau Tπ(r) làm cho Tπ(r) khơng cịn công việc chủ chốt Kết trình tự tối ưu π có k công việc chủ chốt Điều mâu thuẫn với giả thiết quy nạp Ngược lại, giả sử có cơng việc chủ chốt Tπ(r) cho dπ(i) ≤ dπ(r) , ∀i < r Chúng ta giả sử dπ(r) ≤ dπ(j) , ∀j > r Nếu điều khơng vài j, Lπ(r) = Cπ(r) − dπ(r) < Cπ(j) − dπ(j) = Lπ(j) mâu thuẫn với Lπ(r) = Lmax (π) dπ(i) ≤ dπ(r) ≤ dπ(j) , ∀i < r < j Như xếp lại thứ tự công việc trước π(r) công việc sau π(r) tương ứng, theo quy tắc EDD có trình tự xếp π Do π tuân theo quy tắc EDD tối ưu Và thứ tự xếp không làm thay đổi Lπ(r) , dẫn đến Lmax (π) ≤ Lmax (π ) π tối ưu Định lí chứng minh Ví dụ 2.3.5 Xét vấn đề Lmax , n = 6, p = (3, 1, 4, 1, 3, 2), 31 d = (2, 10, 6, 4, 11, 12) Biết thời gian trễ tối đa (maximum lateness): Lmax = max{Lj } đó, Lj = Cj − dj , thời gian chậm trễ nhiệm vụ Tj Ta có: d1 < d4 < d3 < d2 < d5 < d6 Theo quy tắc EDD ta tìm trình tự tối ưu [T1 , T4 , T3 , T2 , T5 , T6 ] Với C1 = 3; C4 = 4; C3 = 8; C2 = 9; C5 = 12; C6 = 14 Ta có L1 = 1; L4 = 0; L3 = 2; L2 = 1; L5 = 1; L6 = Trễ tối đa Lmax = 2.4 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian gia cơng tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào q trình gia cơng (1 |rj | Cmax ) (xem [5]) 2.4.1 Vấn đề |rj | Cmax Vấn đề |rj | Cmax vấn đề thời gian gia công tối đa với thời gian tham gia vào q trình gia cơng Ở đây, thời gian đạt đến cơng việc Tj rj ≥ với (j = 1, 2, , n) Đối với trình tự xếp π, thời gian hồn thành cơng việc Tπ(i)  r i=1 π(1) + pπ(1) , Cπ(i) = max{C π(i−1) , rπ(i) } + pπ(i) , i ≥ Ví dụ 2.4.1 Xét vấn đề trình tự xếp |rj | Cmax với n = 4, p = (3, 1, 2, 4), r = (5, 2, 9, 10) Tính tổng thời gian gia công tối đa công việc thứ tự từ công việc T1 −→ T2 −→ T3 −→ T4 Ta có Khi 32 C1 = + = C2 = + = C3 = + = 11 C4 = 11 + = 15 Cj = 43 Mặt khác, thay đổi thứ tự công việc thành T2 −→ T1 −→ T4 −→ T3 Ta có Khi C2 = + = C1 = + = C4 = 10 + = 14 C3 = 14 + = 16 Cj = 41 Như vậy, ta thay đổi thứ tự thực công việc, thời gian gia cơng tối đa cơng việc (có thể) khác Vậy vấn đề phải tối thiểu hóa Cmax (π) = Cπ(n) 33 Đối với trình tự xếp π cho, cơng việc Tπ(r) gọi then chốt n rπ(r) + pπ(j) = Cmax (π) j=r Điều có nghĩa từ thời gian rπ(r) đến kết thúc máy tiếp tục xử lý mà không bị gián đoạn Chú ý có nhiều cơng việc chủ chốt Chỉ trước công việc chủ chốt máy có thời gian nghỉ (trừ Tπ(1) rπ(1) = 0) 2.4.2 Điều kiện cần đủ vấn đề |rj | Cmax (xem [5]) Một điều kiện đủ biết giải pháp tối ưu rπ(1) ≤ rπ(2) ≤ ≤ rπ(n) Ví dụ 2.4.2 Xét vấn đề trình tự xếp |rj | Cmax với n = 4, p = (3, 1, 2, 4), r = (5, 2, 9, 10) Ta có r2 < r1 < r3 < r4 nên trình tự tối ưu T2 −→ T1 −→ T3 −→ T4 Ta có Khi Cj = + + 11 + 15 = 37 Ngồi ta cịn dùng thuật tốn quy tắc ưu tiên thời gian bắt đầu sớm (Earliest start time first, kí hiệu EST) ∗ Thuật tốn EST (xem [4]) (1) Giả sử thời gian gia công nhiệm vụ máy xử lý bắt đầu t, nhiệm vụ dãy cịn chưa gia cơng, ta định nghĩa 34 thời gian gia công bắt đầu sớm sj , thời gian hoàn thành nhiệm vụ Cj sau: sj = max{rj , t}, Cj = sj + pj (2) Trong nhiệm vụ dãy cịn chưa gia cơng, chọn nhiệm vụ có thời gian gia cơng sớm sj nhỏ để gia cơng (nếu có nhiều nhiệm vụ lựa chọn nhiệm vụ có thời gian hồn thành gia cơng Cj nhỏ nhất) (3) Nếu hồn thành xong tất dừng lại, chưa xong quay lại bước (1) Ví dụ 2.4.3 Xét vấn đề trình tự xếp |rj | Cmax với n = 4, p = (3, 1, 2, 4), r = (5, 2, 9, 10) Tìm trình tự EST t = 0, s2 = min{sj |j = 1, 2, 3, 4}, s2 = 2, C2 = Do từ thời gian t = bắt đầu gia công nhiệm vụ T2 t = 3, s1 = 5, C1 = Do từ thời gian t = bắt đầu gia công nhiệm vụ T1 t = 8, s3 = 9, C3 = 11 Do từ thời gian t = bắt đầu gia công nhiệm vụ T3 t = 11, s4 = 11, C4 = 15 Do từ thời gian t = 11 bắt đầu gia công nhiệm vụ T4 Ta có trình tự EST [T2 , T1 , T3 , T4 ] Cj = 37 Định lý 2.4.4 (xem [5]) Một trình tự xếp π tối ưu vấn đề |rj | Cmax tồn công việc then chốt Tπ(r) cho rπ(r) ≤ rπ(j) , ∀j > r Chứng minh Phần thuận hiển nhiên, hàm mục tiêu đạt giá trị thấp Chúng ta cần chứng minh phần ngược Đầu tiên, xét trường hợp mà có cơng việc chủ chốt Tπ(r) trình tự tối ưu π Ta giả sử ngược lại ∃j > r cho rπ(j) < rπ(r) Chú ý máy phải có thời gian nghỉ trước rπ(r) Chúng ta chuyển 35 Tπ(i) tới vị trí trước Tπ(r) trình tự π Do thời gian nghỉ trước Tπ(r) phải rút ngắn, dẫn đến Cmax (π ) < Cmax (π), mâu thuẫn với tối ưu π Tiếp theo, áp dụng phương pháp quy nạp số lượng công việc then chốt Đối với công việc then chốt Tπ(r) , rπ(j) < rπ(r) với vài j > r, có trình tự tối ưu π cách chuyển Tπ(j) tới vị trí trước Tπ(r) , Tπ(r) khơng cịn cơng việc then chốt Bằng cách sử dụng giả thiết quy nạp cho π , ta kết cần chứng minh Quay trở lại ví dụ ban đầu Dãy xếp thực tối ưu là: T2 −→ T1 −→ T3 −→ T4 Ta có cơng việc then chốt T3 T4 2.5 Vấn đề tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn (1 Uj ) (xem [5]) 2.5.1 Vấn đề Uj Xét vấn đề xếp cổ điển Uj phần Giả sử phần trước n công việc T1 , T2 , , Tn xử lý máy đơn với thời gian xử lý p1 , p2 , , pn kỳ hạn tương ứng d1 , d2 , , dn Đối với trình tự π, thời gian hồn thành cơng việc Tπ(i) Cπ(i) = i j=1 pπ(j) dπ(i) Một công việc Tπ(i) gọi công việc hạn Cπ(i) ≤ gọi công việc trễ trường hợp khác Vấn đề đặt 36 tối thiểu hóa số cơng việc trễ n f (π) = Uπ(i) i=1 Uπ(i)  1, C π(i) > dπ(i) = 0, C dπ(i) π(i) Ví dụ 2.5.1 Xét vấn đề Uj , n = 6, p = (3, 1, 4, 1, 3, 2), d = (2, 10, 6, 4, 11, 12) Các công việc thứ tự từ công việc T1 −→ T2 −→ T3 −→ T4 −→ T5 −→ T6 Ta có C1 = > d1 nên U1 = C2 = + = < d2 nên U2 = C3 = + + = > d3 nên U3 = C4 = + + + = > d4 nên U4 = C5 = + + + + = 12 > d5 nên U5 = C6 = + + + + + = 14 > d6 nên U6 = Ui = Khi tổng cơng việc trễ i=1 Mặt khác, thay đổi thứ tự công việc thành T1 −→ T4 −→ T3 −→ T2 −→ T5 −→ T6 Ta có C1 = > d1 nên U1 = C4 = + = = d4 nên U4 = C3 = + + = > d3 nên U3 = C2 = + + + = < d2 nên U2 = C5 = + + + + = 12 > d5 nên U5 = C6 = + + + + + = 14 > d6 nên U6 = Ui = Khi tổng cơng việc trễ i=1 Như vậy, ta thấy rằng, thay đổi thứ tự thực công việc, tổng cơng việc trễ tất cơng việc (có thể) khác 37 Vậy vấn đề phải tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ Rõ ràng trình tự (một dãy tất cơng việc) có tập công việc hạn(gọi tắt tập hạn); ngược lại, tập hạn tương ứng với vài trình tự xếp với thứ tự khác nhau, mà tương đương định nghĩa chúng có giá trị hàm mục tiêu Và trình tự tối ưu tập hạn cực đại Vì thế, u cầu trình tự tối ưu giảm thiểu yêu cầu tập hạn cực đại Vì giới hạn vấn đề đây, xem xét để tìm tập hạn cực đại Như tập hạn cực đại gọi giải pháp tối ưu (chứ khơng gọi trình tự tối ưu) Thuật toán Moore cho vấn đề giới thiệu nhiều sách lý thuyết xếp [3, 4, 5] Thuật toán cho biết làm để tìm giải pháp tối ưu Tiếp theo giới thiệu đặc điểm tất giải pháp tối ưu; tổng quát từ trường hợp đặc biệt, gọi tập then chốt Trong phần này, từ tập then chốt chìa khóa cấu trúc giải pháp tối ưu 2.5.2 Điều kiện cần đủ vấn đề Uj Ta biết thuật toán sau điều kiện đủ giải pháp tối ưu Thuật toán 2.5.1 (1) Sắp xếp cơng việc theo trình tự EDD (2) Tính tốn thời gian hồn thành gia cơng cơng việc, khơng có cơng việc bị trễ chuyển đến bước Ngược lại chuyển đến bước (3) Lấy nhiệm vụ trễ (giả sử nhiệm vụ thứ k) (4) Trong k công việc phía trước, lựa chọn xóa cơng việc có thời gian gia cơng dài nhất, đạt trình tự phận, chuyển đến bước (5) Lấy công việc bị xóa bước xếp phía sau trình tự phận ta trình tự tối ưu 38 Chúng ta nhắc lại khái niệm hệ độc lập [4] Cho E tập hợp hữu hạn τ ⊆ 2E họ tập hợp E Khi (E, τ )được gọi hệ thống độc lập thỏa mãn điều kiện (i) φ ∈ τ (ii) I ∈ τ, I ⊆ I ⇒ I ∈ τ Ở đây, tập hợp τ gọi tập độc lập tập khác 2E \τ gọi tập phụ thuộc Tập hợp tập độc lập cực đại gọi sở; tập hợp tập phụ thuộc cực tiểu gọi vòng Chú ý khái niệm "cực đại " "cực tiểu" có ý nghĩa bao hàm tập hợp Một hệ thống độc lập gọi mô thỏa mãn thêm điều kiện (iii) Với I, I ∈ τ thỏa mãn |I| > I Phải tồn phần tử e ∈ I\I cho I ∪ {e} ∈ τ Thuật toán tham lam vấn đề tối ưu hóa mơ vai trò quan trọng tổ hợp tối ưu hóa Điều thú vị vấn đề trình tự Uj không vấn đề tối ưu mơ phỏng, thuật tốn tham lam (đưa đây) có ý nghĩa Đặt E = {1, 2, , n} biểu thị tập tất công việc đánh số trình tự EDD (d1 ≤ d2 ≤ ≤ dn ) Cho tập X ⊆ E , thời gian hoàn thành X định nghĩa p(X) = pi i∈X Một tập hợp E gọi hạn tất cơng việc hạn, chúng xếp theo trình tự EDD Đặt Ni = {1, 2, , i} biểu thị tập hợp i số tự nhiên Khi tập hợp I ⊆ E hạn p(I ∩ Ni ) ≤ di , ∀i ∈ I 39 Chú ý tập tập hợp hạn hạn Vì vậy, xác định họ tập hợp hạn τ = {I ⊆ E : p(I ∩ Ni ) ≤ di , i ∈ I} có hệ thống độc lập (E, τ ) Trong luận văn này, tập hợp hạn I tập hợp độc lập Và vấn đề trình tự Uj rút gọn thành vấn đề tập hợp độc lập cực đại (E, τ ) Trong phát biểu khác, giải pháp tối ưu tập hợp độc lập cực đại (một tập hợp độc lập với số phần đủ cực đại) ngược lại Trong mô phỏng, tập hợp độc lập tối đa (một sở) tập hợp độc lập cực đại (với cỡ lớn nhất) Tuy nhiên, hệ thống độc lập tổng quát, ta nói, hệ thống (E, τ ) tập hợp nghiên cứu, tập hợp độc lập tối đa không thiết phải tập hợp độc lập cực đại Nhiệm vụ chọn tập hợp độc lập cực đại từ độc lập tối đa Điều có liên quan đến thời gian xử lý Xét mối quan hệ thứ tự tập hợp E sau Trình tự thời gian xử lý (gọi tắt trình tự PT) tập hợp S = {i1 , i2 , , ik } E (pi1 , pi2 , , pik ) với pi1 ≤ pi1 ≤ ≤ pik Như tất tập hợp E xếp theo thứ tự từ điển trình tự PT Ví dụ, trình tự PT tập hợp S S tương ứng (1, 1, 2, 4) (1, 2, 2, 3), thứ tự S đứng trước S Tiếp theo, đưa định nghĩa thức tập hợp chủ chốt Đó yếu tố tập hợp giải pháp tối ưu Định nghĩa 2.5.2 Một tập hợp hạn S ⊆ E gọi tập hợp then chốt thỏa mãn hai điều kiện: (i) S tập hợp độc lập tối đa (một sở hệ thống độc lập) (ii) S tối thiểu khía cạnh thứ tự từ điển trình tự PT Theo định nghĩa này, tập hợp then chốt không độc lập tối đa, tối thiểu theo thứ tự thời gian xử lý Để có nó, chúng 40 ta tiếp tục lựa chọn công việc miễn việc chọn tập hợp S hạn Trong đó, ln chọn công việc với thời gian xử lý khả thi nhỏ Vì vậy, tập hợp then chốt sinh thuật toán tham lam sau: (1) Đặt E = 1, 2, , n tập hợp công việc tuân theo thứ tự EDD S := ∅ (2) Kết thúc E = ∅ (3) Chọn công việc k ∈ E với thời gian xử lý nhỏ Pk Cho E := E\{k} (4) Nếu S ∪ {k} độc lập (đúng hạn), S := S ∪ {k} Quay lại (1) Chúng ta thuật toán tham lam xây dựng tập hợp độc lập cực đại, giải pháp tối ưu cho vấn đề Ui Nói cách khác, tập then chốt tối ưu Để hệ thống điều đó, bổ đề sau Bổ đề 2.5.3 Trong thuật toán trên, giả sử S tập hợp độc lập bao gồm vài tập hợp độc lập cực đại I (giải pháp tối ưu) Cho k ∈ E\S cơng việc có thời gian xử lý nhỏ Nếu S ∪ {k} độc lập, tồn tập hợp độc lập cực đại I ∗ bao gồm S ∪ {k} Chứng minh Giả sử tập hợp độc lập tối đa I chứa S không chứa k Khi D = I ∪ {k} phụ thuộc (nó có cơng việc trễ) Do S ∪ {k} độc lập, thấy D chắn bao gồm S ∪ {k} Giả sử cơng việc D có thứ tự công việc E, cụ thể là, theo thứ tự EDD Gọi i công việc D\(S ∪ {k}) (với kì hạn nhỏ nhất) Vì i ∈ E\S, pi ≥ pk Nó đủ thấy điều sau Điều kiện: I ∗ = (I\{i} ∪ {k} = D\{i} độc lập Xét hai trường hợp sau: Trường hợp i < k Cho A, B tập hợp cơng việc trình 41 tự D tương ứng trước sau k Khi I thay đổi thành I ∗ , công việc B giữ hạn thời gian hồn thành khơng tăng (chú ý pi ≥ pk ) Mặt khác, A tập I A độc lập, rõ ràng công việc A\{i} hạn I ∗ Như công việc k, cho t thời gian bắt đầu k trình tự D, thời gian hồn thành cơng việc cuối j A Khi t ≤ dj ≤ dk Khi I thay đổi thành I ∗ , thời gian hoàn thành k không lớn t (do pi ≥ pk ), k hạn Trường hợp k < i Cho A, B tập hợp công việc trình tự D tương ứng trước sau I Giống trên, I thay đổi thành I ∗ , công việc B hạn Từ i cơng việc khơng thuộc S ∪ {k}, A tập hợp S ∪ {k}, A độc lập Điều có nghĩa là, tất cơng việc A hạn Tóm lại, I ∗ độc lập |I ∗ | = |I|, I ∗ tập hợp độc lập tối đại bao gồm S ∪ {k} Đây điều phải chứng minh Liên tục sử dụng kết để bước thuật toán, có kết luận sau Bổ đề 2.5.4 Thuật tốn tham lam giải cách xác vấn đề tập độc lập cực đại, vấn đề trình tự Ui Thuật tốn tham lam coi hình thức kép thuật tốn Moore (chúng xem thuật tốn phá vỡ vịng trịn) Cả hai thuật tốn có độ phức tạp O (nlogn) Nhiều thảo luận hệ thống độc lập vấn đề trình tự đưa [5] Bây giờ, tiến hành trình bày kết phần điều kiện cần đủ tối ưu Bằng 2-chuyển đổi tập hợp độc lập I Chúng có nghĩa biến đổi I cách thay yếu tố, I thay đổi thành I = (I\{i}) ∪ {k} (ở i ∈ I k ∈ / I), tập hợp kết I độc lập Điều cho biết biến đổi hệ thống độc lập mô Định lý 2.5.5 Một tập hợp độc lập I tối ưu vấn đề Ui thu cách làm cho số 2-chuyển đổi từ 42 tập hợp quan trọng I ∗ Chứng minh Phần "nếu" rõ ràng, từ tập hợp quan trọng I ∗ tối ưu (theo bổ đề 2) |I| = |I ∗ |, I tối ưu Chúng ta chứng minh phần "chỉ nếu" Cho I tập hợp độc lập tối đa Khi |I| = |I ∗ | Chúng ta gọi d = |I\I ∗ | = |I ∗ \I| khoảng cách I I ∗ Nó đủ thấy điều sau Điều kiện: Ta thu từ I ∗ cách làm cho d 2-chuyển đổi Bằng lời mở đầu d, điều kiện d = Giả sử cho tất giải pháp tối ưu với khoảng cách nhỏ d từ I ∗ xét trường hợp |I\I ∗ | = d ≥ Giả sử I ∗ thu thuật toán tham lam suốt thuật toán, k cơng việc khơng có I, S tập hợp công việc chọn trước k Điều có nghĩa là, S ∪ {k} ⊆ I ∗ , S ⊆ I ∗ , k ∈ / I Giống phần chứng minh bổ đề 1, D = I ∪ {k} tập hợp phụ thuộc Chúng ta phân biệt hai trường hợp: Trường hợp Có cơng việc i I\I ∗ mà i < k Từ I xử lý sau k thuật tốn tham lam, có pi ≥ pk Bằng cách làm 2-chuyển đổi i k, có I = (I\{i}) ∪ {k} Bằng cách sử dụng lập luận trường hợp 1, dễ dàng I độc lập Từ I có khoảng cách d − từ I ∗ điều kiện rút từ giả thiết quy nạp Trường hợp Tất công việc I\I ∗ xếp sau k Chúng ta lựa chọn công việc i I\I ∗ Khi i > k pi ≥ pk Cho I = (I\{i}) ∪ {k} Khi I biến đổi thành I , cơng việc sau i hạn (từ thời gian hồn thành khơng tăng) tập hợp công việc trước i tập hợp I ∗ độc lập Vì thế, I độc lập có khoảng cách d − từ I ∗ Điều kiện rút từ giả thiết quy nạp tới I Hồn thành việc chứng minh Quay trở lại ví dụ ban đầu Ta xếp công việc theo thứ tự từ Ui = Đó điển trình tự PT Khi tổng cơng việc trễ i=1 trình tự tối ưu 43 Kết luận Luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn Cụ thể nghiên cứu điều kiện cần đủ vấn đề : - Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành gia cơng cơng việc tương đương mơ hình máy đơn - Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành gia cơng cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn - Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn - Tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn - Tối thiểu hóa thời gian gia cơng tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào q trình gia cơng Nội dung đề tài phát triển số vấn đề lập kế hoạch thực gia cơng khác mơ hình đa máy nghiên cứu vấn đề ngược vấn đề đề cập phạm vi đề tài 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Việt Hưng (2016), Luận văn thạc sĩ: Một số vấn đề xếp lập kế hoạch gia cơng tối ưu mơ hình máy đơn, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] P.H Truong, L.X Wen (2014), "The inverse Parallel Machine Scheduling Problem With Minimum Total Completion Time", Journal of Industrial and Management Optimization, Vol 10(2), 613-620 [3] P Brucker (2011), Scheduling algorithms, Berlin: Springer [4] M Pinedo (1995), Scheduling: Theory, Algorithm, and Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [5] Y Lin, X Wang (2007), "Necessary and sufficient conditions of optimality for some classical scheduling problems", European Journal of Operational Research 176, 809-818 ... hiểu, nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn Một số vấn đề tài liệu [1] nói đến, nhiên luận văn vấn đề nghiên cứu đầy đủ điều kiện cần điều kiện. .. hệ vấn đề (1), (2), (3), (4), (5) 19 Chương Điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn Điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu nhiệm vụ vấn đề tối ưu hóa Một số. .. i=1 trình tự tối ưu 43 Kết luận Luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số vấn đề lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn Cụ thể nghiên cứu điều kiện cần đủ vấn đề : - Tối thiểu hóa