Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song (NCKH)

Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH ——————–o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN VÀ MƠ HÌNH MÁY SONG SONG Mã số: ĐH2015–TN08-10 Chủ nhiệm đề tài: TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN, 08/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH ——————–o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN VÀ MƠ HÌNH MÁY SONG SONG Mã số: ĐH2015–TN08-10 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN, 08/2018 ii Mục lục Thành viên tham gia đơn vị phối hợp ii Bảng ký hiệu iv Danh sách hình vẽ v Thông tin kết nghiên cứu vi Information on research results ix Mở đầu Chương Một số kiến thức toán lập lịch 1.1 Bài toán lập lịch 1.1.1 Lời dẫn 1.1.2 Các định nghĩa 1.1.3 Phân loại toán lập lịch 1.2 Tìm lời giải tốn lập lịch 1.2.1 Trình tự thực (trình tự khả thi) trình tự tối ưu 1.2.2 Trình tự thực khơng trì hỗn trình tự thực trì hỗn 1.2.3 Sơ lược thuật toán độ phức tạp toán lập lịch 4 11 11 11 12 Chương Một dạng điều kiện cần cực trị toán tối ưu 18 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động toán cân 21 iii 2.2.1 2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều 2.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach toán điểm bất động 2.2.3 Bài toán cân không gian Hilbert Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân 2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh 2.3.2 Phương pháp lai ghép Chương Điều kiện tối ưu số toán lập biểu mơ hình máy đơn, mơ hình máy song song 3.1 Điều kiện tối ưu toán tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn 3.1.1 Bài tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn 3.1.2 Điều kiện tối ưu toán tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn 3.2 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn 3.2.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn 3.2.2 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn 3.3 Điều kiện tối ưu toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn 3.3.1 Bài tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn 21 22 23 24 24 34 36 38 38 39 41 41 42 44 44 3.3.2 3.4 3.5 3.6 Điều kiện đủ để tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn tối ưu 3.3.3 Điều kiện cần đủ tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa thời gian thực tối đa công việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào trình thực 3.4.1 Bài tốn tối thiểu hóa thời gian thực tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào trình thực 3.4.2 Điều kiện cần đủ toán tối thiểu hóa thời gian thực tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào trình thực Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn 3.5.1 Bài tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn 3.5.2 Điều kiện cần đủ toán tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 3.6.1 Bài tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 3.6.2 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 45 45 47 47 48 50 50 51 55 55 56 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 ii Thành viên tham gia đơn vị phối hợp I Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên TS Nguyễn Văn Minh, Trường ĐH Kinh tế & QTKD - Đại học Thái Nguyên ThS-GVC Nguyễn Thị Thu Hường, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên ThS-GVC Trần Thị Mai, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên II Đơn vị phối hợp Department of Mathematics, East China University of Science and Technology, Shanghai, China Department of Mathematics, Luoyang Teachers Education University, Luoyang, Henan, China School of Mathematical Science, Guangxi Teachers Education University, Nanning, Guangxi, China Mục lục iv Bảng ký hiệu Tj T = {T1 , T2 , , Tn } J = {J1 , J2 , , Jn } P = {P1 , P2 , , Pn } M = {M1 , M2 , , Mn } p r d w Cj Cj wj Cj Cmax Lj Lmax Uj Uj PT SPT WSPT EDD EST Công việc thứ j Tập hợp nhiệm vụ Tập hợp máy xử lý Thời gian thực Thời gian đến Kỳ hạn Trọng số Thời gian hồn thành thực cơng việc Tj Tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số khác Độ dài thời gian thực Thời gian chậm trễ nhiệm vụ Tj Thời gian trễ tối đa công việc Đơn vị phạt nhiệm vụ trễ hẹn Tj Tổng công việc trễ nhiệm vụ tương đương Processing Time Shortest Processing Time first Weighted Shortest Processing Time first Earliest Due Date first Earliest Start Time first v Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 Ví dụ đồ thị ràng buộc ưu tiên Ví dụ đồ thị ràng buộc ưu tiên (a) dạng xích; (b) dạng nhập; (c) dạng xuất 1.3 Trình tự tối ưu Ví dụ 1.2.1 1.4 Sơ đồ Grant Charts Ví dụ 1.2.2 1.5 Trình tự khả thi Ví dụ 1.2.4 1.6 Quan hệ tổng quát hóa số toán lập lịch dựa theo điều kiện máy xử lý 1.7 Quan hệ tổng quát hóa số toán lập lịch dựa theo điều kiện ràng buộc 1.8 Quan hệ tổng qt hóa số tốn lập lịch dựa theo điều kiện hàm mục tiêu 1.9 Mối quan hệ số toán độ dài thời gian biểu tối đa 1.10 Mối quan hệ số toán trễ tối đa 11 11 12 15 15 16 16 16 vi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Điều kiện tối ưu số vấn đề lập kế hoạch thực mơ hình máy đơn mơ hình máy song song - Mã số: ĐH2015–TN08-10 - Chủ nhiệm: TS Phạm Hồng Trường - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh – Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: Từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 09 năm 2017 Mục tiêu: Tìm điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu số tốn lập lịch điển hình mơ hình máy sản xuất đơn mơ hình máy sản xuất song song • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian thực tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào q trình thực • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ Tính sáng tạo: Đề tài tập trung nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu số vấn đề lập kế hoạch thực điển hình mơ hình máy sản xuất đơn hình máy sản xuất song song theo mục tiêu đặt đề tài Cụ thể, đề tài nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu số vấn đề lập kế hoạch thực sau đây: • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn 50 3.5 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn 3.5.1 Bài tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn Bài tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn kí hiệu 1|| Uj Chúng giả sử phần trước n công việc T1 , T2 , , Tn xử lý máy đơn với thời gian xử lý tương ứng p1 , p2 , , pn kỳ hạn tương ứng d1 , d2 , , dn Đối với trình tự π, thời gian hồn thành cơng việc Tπ(i) Cπ(i) = ij=1 pπ(i) Một công việc Tπ(i) gọi công việc hạn Cπ(i) dπ(i) gọi công việc trễ trường hợp khác Vấn đề đặt tối thiểu hóa số cơng việc trễ n f (π) = Uπ(i) , i=1 đó, Uπ(i) =    Cπ(i) > dπ(i) Cπ(i) dπ(i) Ví dụ 3.5.1 Xét tốn 1|| Uj , n = 6, p = (3, 1, 4, 1, 3, 2), d = (2, 10, 6, 4, 11, 12) Nếu công việc thứ tự từ công việc T1 → T2 → T3 → T4 → T5 → T6 Ta có C1 = > d1 nên U1 = C2 = + = < d2 nên U2 = C3 = + + = > d3 nên U3 = C4 = + + + = > d4 nên U4 = C5 = + + + + = 12 > d5 nên U5 = C6 = + + + + + = 14 > d6 nên U6 = Khi đó, tổng cơng việc trễ 6i=1 Ui = Mặt khác, thay đổi thứ tự công việc thành T1 → T4 → T3 → T2 → T5 → T6 Ta có C1 = > d1 nên U1 = C4 = + = = d4 nên U4 = C3 = + + = > d3 nên U3 = C2 = + + + = < d2 nên U2 = C5 = + + + + = 12 > d5 nên U5 = C6 = + + + + + = 14 > d6 nên U6 = 51 Khi đó, tổng cơng việc trễ i=1 Ui = Như vậy, ta thấy rằng, thay đổi thứ tự thực cơng việc, tổng cơng việc trễ tất cơng việc (có thể) khác Vậy vấn đề phải tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ Rõ ràng trình tự (một dãy tất cơng việc) có tập công việc hạn (gọi tắt tập hạn); ngược lại, tập hạn tương ứng với vài trình tự xếp với thứ tự khác nhau, mà tương đương định nghĩa chúng có giá trị hàm mục tiêu Và trình tự tối ưu tập hạn cực đại Vì thế, yêu cầu trình tự tối ưu giảm thiểu yêu cầu tập hạn cực đại Vì vậy, chúng tơi giới hạn tốn đây, xem xét để tìm tập hạn cực đại Như tập hạn cực đại gọi giải pháp tối ưu (chứ khơng gọi trình tự tối ưu) Thuật toán Moore cho toán giới thiệu nhiều sách lý thuyết xếp Thuật tốn cho chúng tơi biết làm để tìm giải pháp tối ưu Tiếp theo giới thiệu đặc điểm tất giải pháp tối ưu; chúng tơi tổng quát từ trường hợp đặc biệt, gọi tập then chốt Trong phần này, từ tập then chốt chúng tơi chìa khóa cấu trúc giải pháp tối ưu 3.5.2 Điều kiện cần đủ tốn tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn Ta biết thuật toán sau điều kiện đủ giải pháp tối ưu (xem [34]) (1) Sắp xếp cơng việc theo trình tự EDD (2) Tính tốn thời gian hồn thành thực cơng việc, khơng có cơng việc bị trễ chuyển đến bước (5) Ngược lại chuyển đến bước (3) (3) Lấy nhiệm vụ trễ (giả sử nhiệm vụ thứ k) (4) Trong k công việc phía trước, lựa chọn xóa cơng việc có thời gian thực dài nhất, đạt trình tự phận, chuyển đến bước (2) (5) Lấy công việc bị xóa bước (4) xếp phía sau trình tự phận ta trình tự tối ưu Chúng nhắc lại khái niệm hệ độc lập Cho E tập hợp hữu hạn τ ⊆ 2E họ tập hợp E Khi (E, τ ) gọi hệ thống độc lập thỏa mãn điều kiện sau (i) ϕ ∈ τ ; (ii) I ∈ τ, I ⊆ I → I ∈ τ Ở đây, tập hợp τ gọi tập độc lập tập khác 2E \ τ gọi tập phụ thuộc Tập hợp tập độc lập cực đại gọi sở; tập hợp tập phụ thuộc cực tiểu gọi vòng Chú ý khái 52 niệm "cực đại" "cực tiểu" có ý nghĩa bao hàm tập hợp Một hệ thống độc lập gọi mô thỏa mãn thêm điều kiện; (iii) Với I, I ∈ τ thỏa mãn |I| > |I | phải tồn phần tử e ∈ I \ I cho I ∪ e ∈ τ Thuật toán tham lam tốn tối ưu hóa mơ vai trò quan trọng tổ hợp tối ưu hóa Điều thú vị tốn 1|| Uj khơng tốn tối ưu mơ phỏng, thuật tốn tham lam (đưa đây) có ý nghĩa Đặt E = {1, 2, , n} biểu thị tập tất cơng việc đánh số trình tự EDD (d1 d2 · · · dn ) Cho tập X ⊆ E, thời gian hồn thành X định nghĩa p(X) = pi i∈X Một tập hợp E gọi hạn tất cơng việc hạn, chúng xếp theo trình tự EDD Đặt Ni = {1, 2, , i} biểu thị tập hợp i số tự nhiên Khi tập hợp I ⊆ E hạn p(I ∩ Ni ) di , ∀i ∈ I Chú ý rằng, tập tập hợp hạn hạn Vì vậy, xác định họ tập hợp hạn τ = {I ⊆ E : p(I ∩ Ni ) di , i ∈ I}, có hệ thống độc lập (E, τ ) Trong đề tài này, tập hợp hạn I tập hợp độc lập Và toán 1|| Uj rút gọn thành toán tập hợp độc lập cực đại (E, τ ) Trong phát biểu khác, giải pháp tối ưu tập hợp độc lập cực đại (một tập hợp độc lập với số phần đủ cực đại) ngược lại Trong mô phỏng, tập hợp độc lập tối đa (một sở) tập hợp độc lập cực đại (với cỡ lớn nhất) Tuy nhiên, hệ thống độc lập tổng quát, ta nói, hệ thống (E, τ ) tập hợp nghiên cứu, tập hợp độc lập tối đa không thiết phải tập hợp độc lập cực đại Nhiệm vụ chọn tập hợp độc lập cực đại từ độc lập tối đa Điều có liên quan đến thời gian xử lý Xét mối quan hệ thứ tự tập hợp E sau Trình tự thời gian xử lý (gọi tắt trình tự PT (Processing Time)) tập hợp S = {i1 , i2 , , ik } E (pi1 , pi2 , , pik ) với pi1 pi2 · · · pik Như vậy, tất tập hợp E xếp theo thứ tự từ điển trình tự PT Ví dụ, trình tự PT tập hợp S S tương ứng (1, 1, 2, 4) (1, 2, 2, 3), thứ tự S đứng trước S Tiếp theo, chúng tơi đưa định nghĩa thức tập hợp chủ chốt Đó yếu tố tập hợp giải pháp tối ưu Định nghĩa 3.5.2 Một tập hợp hạn S ⊆ E gọi tập hợp then chốt thỏa mãn hai điều kiện: (i) S tập hợp độc lập tối đa (một sở hệ thống độc lập) 53 (ii) S tối thiểu khía cạnh thứ tự từ điển trình tự PT Theo định nghĩa này, tập hợp then chốt không độc lập tối đa, tối thiểu theo thứ tự thời gian xử lý Để có nó, chúng tơi tiếp tục lựa chọn công việc miễn việc chọn tập hợp S hạn Trong đó, chúng tơi ln chọn cơng việc với thời gian xử lý khả thi nhỏ Vì vậy, tập hợp then chốt sinh thuật toán tham lam sau: (1) Đặt E = {1, 2, , n} tập hợp công việc tuân theo thứ tự EDD S := ∅ (2) Kết thúc E = ∅ (3) Chọn công việc k ∈ E với thời gian xử lý nhỏ Pk Cho E := E \ {k} (4) Nếu S ∪ {k} độc lập (đúng hạn), S := S ∪ {k} Quay lại bước (1) Chúng ta thuật toán tham lam xây dựng tập hợp độc lập cực đại, giải pháp tối ưu cho tốn 1|| Uj Nói cách khác, tập then chốt tối ưu Để hệ thống điều đó, chúng tơi bổ đề sau Bổ đề 3.5.3 (xem [1], [34]) Trong thuật toán trên, giả sử S tập hợp độc lập bao gồm vài tập hợp độc lập cực đại I (giải pháp tối ưu) Cho k ∈ E \ S công việc có thời gian xử lý nhỏ Nếu S ∪ {k} độc lập, tồn tập hợp độc lập cực đại I ∗ bao gồm S ∪ {k} Chứng minh Chứng minh: Giả sử tập hợp độc lập tối đa I chứa S khơng chứa k Khi D = I ∪ {k} phụ thuộc (nó có cơng việc trễ) Do S ∪ {k} độc lập, thấy D chắn bao gồm S ∪ {k} Giả sử cơng việc D có thứ tự công việc E, cụ thể là, theo thứ tự EDD Gọi i công việc D \ S ∪ {k} (với kì hạn nhỏ nhất) Vì i ∈ E \ S, pi pk Nó đủ thấy điều sau đây: Mệnh đề 3.5.4 I ∗ = (I \ {i}) ∪ {k} = D \ {i} độc lập Xét hai trường hợp sau: Trường hợp i < k Cho A, B tập hợp công việc trình tự D tương ứng trước sau k Khi I thay đổi thành I ∗ , công việc B giữ hạn thời gian hồn thành khơng tăng (chú ý pi pk ) Mặt khác, A tập I A độc lập, rõ ràng công việc A \ {i} hạn I ∗ Như công việc k, cho t thời gian bắt đầu k trình tự D, thời gian hồn thành cơng việc cuối j A Khi t dj dk Khi I thay đổi thành I ∗ , thời gian hồn thành k 54 khơng lớn t (do pi pk ), k hạn Trường hợp k < i Cho A, B tập hợp cơng việc trình tự D tương ứng trước sau I Giống trên, I thay đổi thành I ∗ , cơng việc B hạn Từ i công việc không thuộc S ∪ {k}, A tập hợp S ∪ {k}, A độc lập Điều có nghĩa là, tất cơng việc A hạn Tóm lại, I ∗ độc lập |I| > |I ∗ |, I ∗ tập hợp độc lập tối đại bao gồm S ∪ {k} Liên tục sử dụng kết để bước thuật toán, chúng tơi có kết luận sau Bổ đề 3.5.5 (xem [1], [34]) Thuật toán tham lam giải cách xác tốn tập độc lập cực đại toán 1|| Uj Thuật toán tham lam coi hình thức kép thuật tốn Moore (chúng xem thuật tốn phá vỡ vòng tròn) Cả hai thuật tốn có độ phức tạp O(n log n) Nhiều thảo luận hệ thống độc lập tốn trình tự đưa [8] Bây giờ, chúng tơi tiến hành trình bày kết phần - điều kiện cần đủ tối ưu Bằng chuyển đổi tập hợp độc lập I Chúng có nghĩa biến đổi I cách thay yếu tố, I thay đổi thành I = (I \ {i}) ∪ {k} (trong đó, i ∈ I k ∈ / I), tập hợp kết I độc lập Điều cho biết biến đổi hệ thống độc lập mô Định lý 3.5.6 [34]) Một tập hợp độc lập I tối ưu toán 1|| Uj thu cách làm cho số chuyển đổi từ tập hợp then chốt I ∗ Chứng minh Phần "nếu" rõ ràng, từ tập hợp quan trọngI ∗ tối ưu (theo bổ đề 2) |I| = |I ∗ |, I tối ưu Chúng ta chứng minh phần "chỉ nếu" sau Cho I tập hợp độc lập tối đa Khi |I| = |I ∗ | Chúng ta gọi d = |I \ I ∗ | = |I ∗ \ I| khoảng cách I I ∗ Nó đủ thấy điều sau Mệnh đề 3.5.7 (xem [1], [34]) Ta thu từ I ∗ cách làm cho d chuyển đổi Với định nghĩa khoảng cách d, điều kiện d = Giả sử cho tất giải pháp tối ưu với khoảng cách nhỏ d từ I ∗ xét trường hợp |I \ I ∗ | = d Giả sử I ∗ thu thuật toán tham lam suốt thuật tốn, k cơng việc khơng có I, S tập hợp cơng việc chọn trước k Điều có nghĩa là, S ∪ {k} ⊆ I ∗ , S ⊆ I ∗ , k ∈ / I Giống phần chứng minh Bổ đề 1, D = I ∪ {k} tập hợp phụ thuộc Chúng ta phân biệt hai trường hợp sau Trường hợp Có công việc i I \ I ∗ mà i < k Từ I xử lý sau k thuật tốn tham lam, có pi pk Bằng cách làm 2-chuyển đổi i k, có I = (I \ {i}) ∪ {k} Bằng cách sử dụng lập luận trường hợp 1, 55 dễ dàng I độc lập Từ I có khoảng cách d − từ I ∗ Mệnh đề rút từ giả thiết quy nạp Trường hợp Tất công việc I \ I ∗ xếp sau k Chúng lựa chọn công việc i I \ I ∗ Khi i > k pi pk Cho I = (I \ {i}) ∪ {k} Khi I biến đổi thành I , công việc sau i hạn (từ thời gian hồn thành không tăng) tập hợp công việc trước i tập hợp I ∗ độc lập Vì thế, I độc lập có khoảng cách tới I ∗ d − Điều kiện rút từ giả thiết quy nạp tới I Quay trở lại Ví dụ 3.5.1 toán Ta xếp cơng việc theo thứ tự từ điển trình tự PT sau: T2 → T4 → T6 → T1 → T5 → T3 Khi tổng cơng việc trễ 6i=1 Ui = Đó trình tự tối ưu 3.6 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 3.6.1 Bài tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ Cho n công việc J1 , , Jn xếp thực m máy M1 , , Mm Khơng có ràng buộc cơng việc Mỗi cơng việc có thời gian thực pj (j = 1, 2, , n) Tất công việc chuẩn bị sẵn trước bắt đầu trình tực Với trình tự thực bất kỳ, giả sử máy Mi (i = 1, 2, , m) liên tục thực gia công ni công việc Ji,1 , Ji,2 , , Ji,ni Như vậy, máy Mi (i = 1, 2, , m), thời gian hoàn thành công việc s Ci,s tổng thời gian hồn thành tính ni ni Ci,s = s=1 ni s pi,l = s=1 l=1 spi,ni −s+1 s=1 Tổng thời gian hoàn thành m máy n m ni Cj = j=1 m ni Ci,s = i=1 s=1 spi,ni −s+1 i=1 s=1 Bài toán Pm || Cj gọi tốn tối thiểu hóa thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 56 Theo Peter Brucker, trình tự SPT (Shortest Processing Time) lời giải tối ưu toán Pm || Cj Như vậy, tập hợp công việc máy, tuân theo quy tắc SPT (tuân theo thứ tự không tăng thời gian gia công pj (j = 1, 2, , n)) Ví dụ 3.6.1 Xét tốn P3 || 8j=1 Cj Số máy thực m = : M1 , M2 , M3 số công việc n = Các công việc xếp theo thứ tự không tăng thời gian gia công sau (p1 , p2 , , p8 ) = (1, 1, 2, 3, 5, 6, 6, 8) Ta có ni s=1 Tổng thời gian hồn thành m máy Ci,s Cj = (1 + + 10) + (1 + + 14) + (2 + 8) = 46 j=1 3.6.2 Điều kiện tối ưu tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ Trong toán Pm || Cj , tổng thời gian hoàn thành m máy n m ni = j=1 spi,ni −s+1 i=1 s=1 Xét trường hợp sau Không tính tổng qt, giả sử trình tự SPT n công việc π = (J1 , , Jn ) n = k.m+h, k ∈ {1, 2, }, h ∈ {0, 1, , m−1} Chúng ta biết toán Pm || Cj giải thứ tự SPT π Theo đó, có sơ đồ thực gia cơng sau Do đó, có kết sau Định lý 3.6.2 (xem [30], [31]) Giả sử n = km + h, k ∈ {1, 2, }, h ∈ {0, 1, , m − 1} trình tự SPT n công việc π= {J1 , J2 , , Jm }, {Jm+1 , Jm+2 , , J2m } , {J(k−1)m+1 , J(k−1)m+2 , , Jkm }, m công việc m công việc {Jkm+1 , Jkm+2 , , Jkm+h } h công việc m cơng việc 57 Nếu trình từ σ tao cách xếp liên tục tùy ý nhóm h công việc h máy (mỗi máy có cơng việc): {J1 , J2 , , Jm }, cách xếp nhóm m cơng việc tùy ý nhóm m máy (mỗi máy có cơng việc): {J(i−1)m+h+1 , J(i−1)m+h+2 , , Jim−1 , Jim }, {Jim+1 , Jim+2 , , Jim+h }, h công việc (m-h) cơng việc σ trình tự tối ưu toán Pm || Chú ý: Nếu h = toán Pm || Cj Cj tối ưu theo trình tự SPT π = (J1 , J2 , , Jn−1 , Jn ) n j=1 (k−1)m km Cj = j=(k−1)m+1 j=(k−2)m+1 m 2m pj + · · · + (k − 1) pj + pj + k j=m+1 pj j=1 58 Chúng ta có n Cj = p1 + (p1 + pm+1 ) + (p1 + pm+1 + p2m+1 ) + · · · j=1 + (p1 + pm+1 + p2m+1 + · · · + p(k−1)m+1 )+ + p2 + (p2 + pm+2 ) + (p2 + pm+2 + p2m+2 ) + · · · + (p2 + pm+2 + p2m+2 + · · · + p(k−1)m+2 ) + ······+ + pm−1 + (pm−1 + p2m−1 ) + (pm−1 + p2m−1 + p3m−1 ) + · · · + (pm−1 + p2m−1 + p3m−1 + · · · + p(k)m−1 ) + pm + (pm + p2m ) + (pm + p2m + p3m ) + · · · + (pm + p2m + · · · + pkm ) Từ đó, chúng tơi có kết sau Hệ 3.6.3 (xem [30]) Giả sử n = km, k ∈ {1, 2, } trình tự SPT n cơng việc π= {J1 , J2 , , Jm }, {Jm+1 , Jm+2 , , J2m } , {J(k−1)m+1 , J(k−1)m+2 , , Jkm }, m công việc m công việc m công việc {J(k−1)m+h+1 , J(k−1)m+h+2 , , Jkm+h } m cơng việc trình từ σ tạo dãy m công việc tùy ý m máy (mỗi máy có cơng việc) {Ji , Ji+1 , , Ji+m−1 }, (i ∈ {1, m + 1, 2m + 1, , (k − 1)m + 1}) trình tự tối ưu Định nghĩa 3.6.4 Cho hai tập cơng việc A B Nếu trình tự σ, công việc tập công việc A gia công trước công việc tập cơng việc B ta gọi tập cơng việc A ưu tiên so với tập công việc B Ký hiệu A ∝ B Tiếp theo, xét trường hợp tỷ số n/m số nguyên, nghĩa xét trường hợp n = km, k ∈ {1, 2, } Chúng ta có định lý sau 59 Định lý 3.6.5 (xem [30]) Một trình tự σ = (J1 , , Jn ) tối ưu toán P m|| với hai tập công việc cho Cj Sa , Sb (a, b ∈ {1, 2, , k}, a < b), ta có Sa ∝ Sb pi pj với Ji ∈ Sa , Jj ∈ Sb , S1 = {J1 , J2 , , Jm } S2 = {Jm+1 , Jm+2 , , J2m } ··· Sk = {J(k−1)m+1 , J(k−1)m+2 , , Jkm } Chú ý: Trong trường hợp n = km + h, k ∈ {1, 2, } , h ∈ {0, 1, , m − 1}, ta có kết sau Định lý 3.6.6 (xem [30]) Một trình tự σ = (J1 , , Jn ) tối ưu toán P m|| với hai tập công việc cho Sa , Sb (a, b ∈ {1, 2, , k}, a < b), ta có Sa ∝ Sb pi pj với Ji ∈ Sa , Jj ∈ Sb , S1 = {J1 , J2 , , Jh }, h công việc S2 = {Jh+1 , Jh+2 , , Jh+m }, m công việc ··· Sk = {J(k−1)m+h+1 , J(k−1)m+h+2 , , Jkm+h } m công việc Cj 60 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương đưa chứng minh kết ví dụ minh họa kết chứng minh điều kiện tối ưu tốn lập lịch: • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian thực tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào trình thực máy đơn • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ 61 Kết luận Các kết qủa đề tài là: • Đề tài nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số toán lập kế hoạch thực mơ hình máy đơn máy song song đồng tốc Cụ thể nghiên cứu chứng minh điều kiện cần đủ tốn: • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc tương đương mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc có thời gian đến mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa tổng cơng việc trễ mơ hình máy đơn • Tối thiểu hóa thời gian thực tối đa cơng việc mơ hình máy đơn với thời gian tham gia vào q trình thực • Bài tốn tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ • Nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp lai ghép giải bất đẳng thức biến phân, dạng điều kiền cần cực trị toán cực trị Hướng nghiên cứu tiếp theo: Nội dung đề tài phát triển số toán lập lịch khác mơ hình đa máy nghiên cứu toán ngược toán đề cập phạm vi đề tài 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thị Mơ (2017), Nghiên cứu điều kiện cần đủ giải pháp tối ưu số toán lập kế hoạch gia cơng mơ hình máy đơn, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] A Nagurney (1993), Network Economics: A Variational Inequality Approach, Kluwer Academic Publishers, Boston [3] C Heuberger (2004), “Inverse combinatorial optimization: A survey on problems, methods, and results”, Journal of Combinatorial Optimization, 8, pp 329-361 [4] C W Duin, A Volgenant (2006), “Some inverse optimization problem under the Hamming distance”, European Journal of Operational Research, 170, pp 887-899 [5] F Zhang, Ng T C, G C Tang (2011), “Inverse scheduling: applications in shipping”, International journal of shipping and transport logistics, 3, pp 312-322 [6] G Marino and H K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for stric pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 329, 336–346 [7] H K Xu (1991), "Inequalities in Banach spaces with applications", Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 16(12), pp 1127–1138 [8] H Y Tang, C L Zhao (2002), Introduction to scheduling, Beijing Science Press [9] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [10] J R Jackson (1995), “Scheduling a production line to minimize maximum tardiness (Research Report 43) Management Science Research Project, University of California, Los Angeles, USA [11] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge 63 [12] K R Baker and G D Scudder (1990), “Sequencing with earliness and tardiness penalties: A review”, Operations Research, 38, pp 22-36 [13] L C Ceng, Q H Ansari, and J C Yao (2008), "Mann-type steepest-descent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), pp 987–1033 [14] L C Liu, J Z Zhang (2006), “Inverse maximum flow problems under the weighted Hamming distance”, Journal of Combinatorial Optimization, 12, pp 395-408 [15] M Pinedo (1995), Scheduling: Theory, algorithm, and system, Prentice Hall, Englewood Clifls N.J [16] M Smith (1979), “Existence, uniqueness, and stability of traffic equilibria”, Transportation Research , 13B, pp 295–304 [17] P Brucker (2001), Scheduling algorithms, Berlin: Springer [18] P Brucker (2004), Scheduling algorithms, Berlin: Springer [19] P Brucker, Natalia V Shakhlevich (2009), “Inverse scheduling with maximum lateness objective”, Journal of Scheduling, 12, pp 475-488 [20] P Brucker, Natalia V Shakhlevich (2011), “Inverse scheduling: two-machine flow-shop problem”, Journal of Scheduling, 14(3), pp 239-256 [21] P Hartman, G Stampacchia (1966), “On some nonlinear elliptic differential functional equations”, Acta Math., 115, pp 271–310 [22] P L Combettes and S A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonl Convex Anal., 6(1), pp 117–136 [23] R Chen and Y Song (2007), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroup", J Comput Appl Math., 200, pp 566–575 [24] R J Chen, F Chen, G C Tang (2005), “Inverse problems of a single machine scheduling to minimize the total completion time”, Journal of Shanghai Second Polytechnic University, 22(2), pp 1-7 [25] R K Ahuja, J B Orlin (2001), “Inverse optimization”, Operations Research, 49, pp 771-783 [26] R T Rockafellar (1970), "On the maximality of of sums of nonlinear monotone operators", Transactions of The American Mathematical Society, 149, pp 75–88 [27] R W Conway, W L Maxwell, L W Miller (1967), Theory of scheduling, Addison Wesley, Reading, Mass., USA [28] S Dafermos (1980), “Traffic equilibrium and variational inequalities”, Transportation Science, 14, pp 42–54 64 [29] Truong P H, Wen L X (2012), “The inverse problem of the total weighted completion time problem with unit processing time on identical parallel machines”, Journal of East China University of Science and Technology, 38(6), pp 757-761 [30] Truong P H, Wen L X (2014), "The inverse Parallel Machine Scheduling Problem With Minimum Total Completion Time", Journal of Industrial and Management Optimization, 10(2), pp 613-620 [31] Truong P H, Wen L X (2014), "Inverse scheduling problem of the total weighted completion time problem with unit processing time on identical parallel machines for two types of norm l1 and l2 ", Journal of Guangxi Teachers Education University: Natural Science Edition, 31(1), pp 36-40 [32] W A Horn (1974), “Some simple scheduling algorithms”, Naval Research Logistics Quarterly, 21, pp 177-185 [33] W Takahashi, Y Ueda (1984), "On Reich’s strong convergence theorem for resolvents of accretive operators", J Math Anal Appl 104(2), pp 546–553 [34] Y Lin, X Wang (2007), “Necessary and sufficient conditions of optimality for some classical scheduling problems”, European Journal of Operational Research, 176, pp 809-818 [35] Z Opial (1967), Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings, Bull Amer Math Soc., 4, pp 591–597 ... cứu tìm điều kiện tối ưu số tốn lập lịch mơ hình máy đơn mơ hình máy song song • Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu điều kiện tối ưu số toán lập lịch mơ hình máy đơn mơ hình máy song song Cách... TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH ——————–o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN VÀ MƠ HÌNH MÁY... mơ hình máy sản xuất song song đồng tốc độ Tính sáng tạo: Đề tài tập trung nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu số vấn đề lập kế hoạch thực điển hình mơ hình máy sản xuất đơn hình máy