Luận văn sư phạm Toán tử tuyến tính trong không gia L2[a,b] và ứng dụng

Trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán ************* HOàNG THị DUYÊN TOáN Tử TUYếN TíNH TRONG KHÔNG GIAN L2[a,b] Và ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Giải tích Hà NộI 2013 LỜI CẢM ƠN Khóa luận với đề tài: “Tốn tử tuyến tính khơng gian L2 [a,b] ứng dụng” thực trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, động viên, khích lệ thầy cơ, bạn bè gia đình Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô khoa Toán đào tạo trang bị cho em kiến thức giúp em thực khóa luận Đồng thời, em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, khuyến khích, tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận thành cơng Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Phùng Đức Thắng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Trong q trình thực khóa luận, em khơng tránh khỏi thiếu xót, kính mong thầy nhận xét góp ý để nghiên cứu em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực Hoàng Thị Duyên LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan vấn đề tơi trình bày khóa luận kết nghiên cứu thân tơi, hướng dẫn tận tình ThS Phùng Đức Thắng, không trùng với kết cơng trình nghiên cứu khác Nếu sai xót tơi hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên thực Hoàng Thị Duyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích vơ hướng 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian L2 [a,b] Chương Tốn tử tuyến tính khơng gian L2 [a,b] 2.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 2.2 Toán tử compact 12 2.3 Toán tử tự liên hợp 20 2.4 Toán tử compact tự liên hợp 22 2.5 Toán tử dương 24 2.6 Toán tử chuẩn tắc 28 2.7 Toán tử Unita 29 Chương Ứng dụng: Giải phương trình tích phân 32 KẾT LUẬN 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vào đầu kỉ này, nhiều nhà toán học dành thời gian họ cố gắng sử dụng ý tưởng kĩ thuật trừu tượng để giải hầu hết vấn đề thực tiễn Lí cho sử dụng trừu tượng trở nên rõ ràng tái cấu trúc tốn tử khơng gian Hilbert Ví dụ toán tử coi điểm khơng gian thích hợp tốn tử tích phân xem ánh xạ từ điểm vào điểm khác Khái niệm điểm dẫn đến việc hiểu đối tượng đơn giản so với tưởng tượng Với cách hình dung cấu trúc tổng qt đạt hiểu biết sâu sắc vấn đề phức tạp nói tới Với mong muốn tìm hiểu trừu tượng hóa vấn đề như: phương trình tích phân giải tích hàm, em lựa chọn đề tài “Tốn tử tuyến tính không gian L2 [a,b] ứng dụng” để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận ý vào loại tốn tử tuyến tính khác khơng gian L2 [a,b] Đó tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử compact, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử chuẩn tắc toán tử Unita Sáu toán tử có tính chất đặc biệt Mục đích đưa tảng cho loại toán tử khác đề cập Để thực điều này, khóa luận đưa ví dụ cho loại tốn tử với kết định từ phương trình tích phân giải tích hàm Điều cho phép có động lực để tiếp tục nghiên cứu toán tử Chúng ta bắt đầu việc xem xét toán tử bị chặn, mà đặt sở cho việc nghiên cứu toán tử sau Toán tử kiểm tra toán tử compact Tốn tử compact trình bày với chi tiết hữu dụng Chúng ta ý đến toán tử vừa compact tự liên hợp Sự kết hợp toán tử đưa cho định lí nói tính chất hàm riêng giá trị riêng tốn tử Tiếp theo khóa luận trình bày tốn tử dương, mà đưa kết quan trọng định lí Mercer Những tốn tử chuẩn tắc có tính chất tuyệt vời đưa dạng định lí giúp sử dụng lí thuyết toán tử tự liên hợp toán tử chuẩn tắc Kết thúc mục II phần trình bày tốn tử Unita chúng liên quan đến toán tử khác Sau phần nội dung việc trình bày phương trình tích phân, bao gồm phân loại phương trình tích phân định lí tồn nghiệm phương trình tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khơng gian L2  a, b tính chất tốn tử khơng gian ứng dụng phương trình tích phân Phạm vi nghiên cứu kiến thức khơng gian Hilbert, tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu sử dụng lí luận, cơng cụ tốn học -Nghiên cứu sách tham khảo tài liệu liên quan -Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương có bố cục sau: Chương I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích vơ hướng 1.2 Khơng gian Hilbert 1.3 Khơng gian L2 [a,b] Chương II Tốn tử tuyến tính khơng gian L2 [a,b] 2.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 2.2 Tốn tử compact 2.3 Tốn tử tự liên hợp 2.4 Toán tử compact tự liên hợp 2.5 Toán tử dương 2.6 Toán tử chuẩn tắc 2.7 Tốn tử Unita Chương III Ứng dụng: Giải phương trình tích phân CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian tuyến tính X trường P ( P ฀ ฀ ) Gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X x X vào P, kí hiệu , thỏa mãn: i)  y, x   x, y x, y  X ii)  x  y, z   x, z   y, z x, y, z  X iii)  x, y    x, y x, y  X ,   P iv)  x, x  x  X  x, x   x   Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với x  X đặt ฀ x ฀  x, x Chứng minh rằng:  x, y  x y , x, y  X Chứng minh Nếu x, y  bất đẳng thức Nếu x, y     ฀ ta có  x   x, y y, x   x, y y  x, x   x, y y   x, y y, x   x, y y  x, x   x, y x, y   x, y y, x   x, y x, y  x  2 x, y   x, y y y, y Ta nhận tam thức bậc  không âm với   ฀ Do đó: x, y  x, y  x  X , x  x 2 y   x, y  x 2 y   x, y  x y x, x xác định chuẩn X Thật x, x   x    P :  x  x, x  0; x   x, x   x   x,  x   x, x   x 2 x  y  x  y, x  y  x, x  y  y, x  y  x  x, y  x, y  y 2 2  x  x, y  y  x  x y  y  ( x  y )2 Vậy x  y  x  y x, y  X 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tuyến tính ฀ ฀ trang bị tích vô hướng, X gọi không gian Hilbert dãy Cauchy X hội tụ đến phần tử X Định nghĩa 1.3 Những phần tử x , y không gian Hilbert trực giao với x, y  , kí hiệu x  y trực chuẩn có thêm x  1, y  Định nghĩa 1.4 Một hệ trực chuẩn en , n  1, 2, không gian Hilbert X đủ phần tử X trực giao với tất en vectơ Định lí 1.2 Cho en , n  1, 2, hệ trực chuẩn đủ không gian Hilbert X Khi  x  X ta có  x   x, en en n 1  x   x, en n 1 Định nghĩa 1.5 Cho A tập hợp vectơ khơng gian Hilbert X Khi Lin ( A) giao tất không gian X mà chứa A Clin( A) bao đóng Lin ( A) Cách khác Lin ( A) tập hợp tất tổ hợp tuyến tính phần tử A Nếu A hữu hạn Clin ( A)  Lin ( A) Định lí 1.3 Cho en , n  1, 2, hệ trực chuẩn không gian Hilbert X Khi phát biểu sau tương đương i) en đủ ii) X  Clin e , n 1 n  iii) x  X , x   x, en 2 n 1 1.3 Không gian L2  a, b Định nghĩa 1.6 Không gian L2  a, b tập hợp hàm bình phương khả tích Lesbegue  a, b  , có giá trị thực phức đo Borel: b f  t   L2  a, b   f  t  dt   a Khơng gian trang bị tích vơ hướng b f , g   f  t  g  t dt a với chuẩn, metric tương ứng f  b  f  t  dt d  f ,g  a b  a  Kết luận: L2  a, b không gian Hilbert 10 f  t   g  t  dt  2e -ixt 1  ixs    e f ( s ) ds  dt  1  1    ei(s t ) x dsdt 1 1 Với thay đổi biến, ta kết luận T T  T T  hay T toán tử chuẩn tắc 2.7 Toán tử Unita Định nghĩa 2.9 Tốn tử U tác dụng lên khơng gian Hilbert X gọi Unita thỏa mãn điều kiện sau f  X i) Uf  f ii) U có nghịch đảo tất phần tử X cho U  liên hợp U Định lí 2.7 Cho tốn tử tích phân  isx e f ( x ) dx 2  Ff ( x )   ánh xạ không gian L2 [- ,  ] vào Tốn tử Unita nên   F ( f ) ds     f dx  (được biết công thức Parseval ) F  f ( x)     -isx e f ( x ) dx 2 liên hợp F nghịch đảo Tổng quát hơn, ta có      F ( f ) F ( g )ds   f ( x ) g ( x )dx với f , g phần tử thuộc L2 [- ,  ] 33 Toán tử F xác có giá trị riêng 1, i,  1,  i , giá trị riêng bội số vô hạn Chứng minh: Xét hàm f  x   L2 [-,] biểu thị  f ( x )   f kk ( x ) k 0 với i  vectơ riêng trực chuẩn xác định n      x n 2 x  k ( x )    e D e   4   Dãy  pn  x  xác định n pn  x    f k k ( x ) k 0 dãy Cauchy L2 [- ,  ] mà giới hạn f  x  rõ ràng xác định dãy Cauchy thứ L2 [- ,  ] Từ có F ( pn )  F ( p m )  n  k  m 1 f k  pn ( x )  pm ( x ) Ta có n lim F ( pn )   i k f kk ( s )  F ( f ) n  (2.11) k 0 Tổng quát, ta thấy   f ( x )   f nn ( x ) , g ( x )   g nn ( x ) n0 n0 Khi   F ( f )   f ni nn ( s ) , F ( g )   g ni nn ( s ) n 0 n 0 34      F ( f ) F ( g )ds   f ( x ) g ( x )dx Bây ta kiểm tra toán tử liên hợp F  F f ( x)     -isx e f ( x ) dx 2 Thấy F  (n ( x))  (i )n n (s) nên F  F  (n ( x))   f   F  (n ( x))   n ( x) dẫn đến nghịch đảo F F  Chúng ta nghiên cứu giá trị riêng F Giả sử   n 0 n0 F ( f )   f ni nn ( s )    f nn ( s ) Khi đó: (  i n ) f n  với  n  có giá trị riêng 1, i,  1,  i Nếu   fn n  4k f n  trường hợp lại F  f   f  f ( x)   f k4 k ( x) k 0 F  f   if  f ( x )   f k 14 k 1 ( x ) k 0 F  f    f  f ( x )   f k  24 k  ( x ) k 0 F  f   if  f ( x )   f k  34 k  ( x ) k 0 Mỗi giá trị riêng bội số vô hạn Kết suy rõ ràng F bị chặn khơng tốn tử compact 35 CHƯƠNG ỨNG DỤNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN  Phân loại phương trình tích phân Phương trình với hàm ẩn dấu tích phân gọi phương trình tích phân Phương trình có dạng x   x    K  x , t  f  t  dt a  cho f hàm ẩn gọi phương trình tích phân Volterra loại 1, hàm K hạt nhân Nếu hàm ẩn xuất dấu tích phân x f  x    K  x , t  f  t  dt    x  a gọi phương trình tích phân Volterra loại Tương tự, phương trình với cận tích phân sau b   x    K  x , t  f  t  dt a b f  x    K  x , t  f  t  dt    x  a gọi phương trình tích phân Fredholm loại Nếu   phương trình gọi nhất, ngược lại không Bổ đề 3.1 (ánh xạ co) Cho S tập đóng khơng gian Banach cho T : S  S ánh xạ co Khi i) Phương trình Tx  x có nghiệm S ii) Nghiệm x thu từ giới hạn dãy  xn  phần tử S xác định xn  Txn 1 , n  1, 2, x 36 phần tử S x  lim T n x n  Bổ đề kết tồn tính mà cịn đưa thuật tốn cho việc tìm nghiệm phương pháp lặp, biết phương pháp xấp xỉ liên tiếp Bổ đề 3.1 sử dụng để chứng minh tồn tìm nghiệm phương trình tích phân, vi phân đại số Bổ đề sau tổng quát hóa hữu dụng cho bổ đề 3.1 Nó có vai trị quan trọng cho chứng minh tồn tính nghiệm loại phương trình tích phân Bổ đề 3.2 Cho E không gian Banach T : E  E Nếu T m ánh xạ co với m  ฀ , T có điểm bất động x  E x  limT n x với x  E n Định lí 3.1 Nếu A tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach E  phần tử E Khi tốn tử xác định Tf   Af   có điểm bất động với  đủ nhỏ Chính xác hơn, k số dương cho Af  k f f E Tf  f có nghiệm với  k  Chứng minh Vì A bị chặn, tồn số k cho Af1  Af  k f1  f 37  f1 , f  E Do Tf1  Tf   Af1  Af   k f1  f k Nên T ánh xạ co với   Trong trường hợp T có điểm bất động theo bổ đề 3.1 Định lí 3.2 (Sự tồn tính nghiệm phương trình tích phân Fredholm tuyến tính khơng loại 2) Phương trình b f  x     K  x , y  f  y  dy    x  (3.1) a có nghiệm f  L2  a, b với hạt nhân K liên tục  a, b   a,b ,   L2  a, b k  k  1, b b  K  x , y  dxdy a a Chứng minh Xét toán tử Tf b  x     K  x , y  f  y  dy    x  a Vì   L2  a, b , để Tf  L2  a, b ta cần chứng minh b  K  x , y  f  y  dy  L  a , b  a Bằng bất đẳng thức Schwarz ta thấy b b a a  K  x, y  f  y  dy   K  x, y  f  y  dy 38 (3.2) 1 b 2  b 2 2    K  x, y  dy    f  y  dy  a  a  Do b  b  2 K x y f y dy  K x y dy f y dy , ,            a   a  a  b b b  2 a K  x, y  f  y  dy dx  a  a K  x, y  dy a f  y  dy dx b b  a b  b b   K  x, y  a a b dydx  f  y  dy a Vì b b  K  x , y  dydx   b  f y dy   a a a nên (3.2) thỏa mãn T ánh xạ L2  a, b vào Chú ý toán tử xác định b  Af  x    K  x , y  f  y  dy a bị chặn Do theo định lí 3.1, phương trình Tf  f có nghiệm nhất,  k 1 Ví dụ 3.1 Xét phương trình tích phân b f x   e x y f  y  dy    x  a  hàm cho trước Vì 39 (3.3) eb  e a   x 2 y   a a  e  dxdy  ea b b b nên phương trình (3.3) có nghiệm Ở   e a b eb  e a Định lí 3.3 (Sự tồn tính nghiệm phương trình tích phân Fredholm khơng tuyến tính) Giả sử i) b  K  x, y, f  y   dy f  L2  a, b M f a ii) K  x , y , z1   K  x, y , z   N  x, y  z1  z  iii) b b   N  x, y  x, y, z1 , z2   a, b dxdy  k   a a Thì phương trình Fredholm khơng tuyến tính b f  x     K  x , y , f  y   dy    x  (3.4) a có nghiệm f  L2  a, b ,   L2  a, b   cho  k  Chứng minh Xét toán tử Tf   Af   b  Af  x    K  x , y , f  y   dy a Khi Tf1  Tf   b   K  x, y, f  y    K  x, y, f  y   dy  a 40 bb 2        K  x, y , f1  y    K  x, y , f  y   dy  dx  aa     bb 2        N  x, y  f1  y   f  y  dy  dx  aa       k f1  f Rõ ràng  k  T tốn tử co, có điểm bất động Điểm bất động 1nghiệm phương trình (3.4) Chú ý K  x, y, f ( y)   K  x, y  f ( y) phương trình (3.4) quy phương trình (3.1) Nên định lí 3.3 bao gồm trường hợp tuyến tính Định lí 3.4 (Phương trình tích phân Volterra loại 2) Giả sử   L2  a, b , hạt nhân K thỏa mãn điều kiện: b b   K  x, y  (3.5) dxdy   a a Khi phương trình x f  x     K  x , y  f  y  dy    x  (3.6) a có nghiệm L2  a, b với   ฀ Nghiệm viết dạng  x n 1 a f  x     x     n  K n  x , t   t  dt (3.7) hạt nhân Kn  x, t  thỏa mãn hệ thức truy hồi K1  x, t   K  x, t  x K n  x , t    K  x ,   K n 1  , t  d  a 41  n  2 (3.8) Chứng minh Đặt x A x   K  x, y  dy a b B  y    K  x, y  dx y Từ (3.5) A B hàm khả tích, nên tồn số M cho b  A  x  dx  M a b  B  y  dy  M a Ta đưa vào hàm    a, b  xác định x   x    A  t  dt a Rõ ràng    x   M , x  a, b Xét toán tử x Tf  x     K  x , y  f  y  dy    x  a Ta T n ánh xạ co với n  ฀ sử dụng bổ đề (3.2) để kết luận T có điểm bất động Điểm bất động phải nghiệm (3.6) Nếu viết Tf  Wf   Ở x Wf  x    K  x , y  f  y  dy a 42 Khi T n f    W   2W 2    nW n f Những toán tử W m viết dạng x W g   x    K  x , y  g  y  dy m m a hạt nhân K n xác định (3.8) Với m  ta có x z a a W g   x    K  x , z  K  z , y  g  y  dydz Tích phân xem tích phân kép miền tam giác  y , z  : a  y  z , a  z  x Sau hốn vị thứ tự tích phân, ta thu x x W g   x     K  x, z  K  z, y  dzg  y  dy a y Nếu ta kí hiệu x K  x, y    K  x, z  K  z , y  dz y Khi lập luận tương tự, ta có x x W g   x     K  x, z  K  z, y  dzg  y  dy a y Và tiếp tục nói trước m Để ước lượng W , ta kiểm tra K m Với m  , áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta 2 x K  x, y    K  x, z  K  z, y  dz y 43 x x 2   K  x, z  dz  K1  z , y  dz  A  x  B  y  y y Tương tự x x 2 K  x, y    K  x, z  dz  K  z , y  dz y y x  A  x  B  y   A  z  dz  A  x  B  y     x     y   y Bằng quy nạp, ta Km   x     y   x, y   A  x  B  y  m2 ! m2  với m   Do T f1  x   T f  x    m m 2m x  K  x, y   f  y   f  y   dy m 2 a  2m x  A  x  B  y     x     y   m  ! a    2m 2m A  x    x  m2  m  ! A x    x  m2 x dy  f1  y   f  y  dy a x  B  y  dy f1  f M 2 a m2  m  ! f1  f Lấy tích phân với x  a, b  , ta thu m m T f1  T f 2  2m Mm  f f  m  1! Do  n  ฀ cho  2n Mn 1  n  1! 44 với m  n Khi T ánh xạ co, từ bổ đề (3.2) suy phương trình (3.6) có nghiệm viết dạng lim T n f    W    2W 2   3W 3  n  tương đương với  x n 1 a f  x     x     n  K n  x , t   t  dt Định lí 3.5 (Phương trình tích phân Volterra nhất) Phương trình tích phân Volterra x f  x     K  x , t  f  t  dt , x   0,1 (3.9) có nghiệm tầm thường f  Chứng minh Từ (3.9) có f x   x  K  x , t  f  t  dt   (3.10) Mp p  f  t  dt M số cho K  x , t   M với x, t   0,1 Do đó, việc sử dụng (3.9) (3.10), ta thu f x   x  K  x, t   Mpdt   M px Tiếp tục trình ta n  Mnp x n1  0 f  x   M p  n  1!  n  1! n n Điều f  x   x   0,1 45 n  KẾT LUẬN Không gian L2 [a,b] không gian hàm nhận giá trị thực phức, đo Borel có bình phương khả tích Lesbegue Nó khơng gian Hilbert nên có đầy đủ tính chất khơng gian Các tốn tử khơng gian L2 [a,b] tốn tử khơng gian Hilbert, khóa luận trình bày loại tốn tử là: tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử compact, tốn tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử chuẩn tắc tốn tử Unita với tính chất đưa dạng định lí ví dụ cụ thể Các toán tử sinh L2 -hạt nhân K  x, y  hàm liên tục [a,b]  [a,b] Ứng dụng quan trọng tốn tử khơng gian L2 [a,b] giải nghiệm phương trình tích phân Fredholm, Volterra loại 2; khơng nhất, có sử dụng tính chất điểm bất động ánh xạ co 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.N.Kolmogorov, X.V.Fomin, Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, (bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất Giáo dục, 1971 [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, tập 1, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1978 [3] GS.TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [4] Schechter M, Những nguyên lí giải tích hàm, 1973 [5] A.Mukherjea and K.Pothoven, Real and Functional Analysis, part B, Plenum Press, 1986 [6] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications Press, 1982 [7] David Porter and David S.G.Stirling , Integral Equations: A Practical Treatment, Cambridge Press, 1990 [8] Harry Hochstadt, Integral Equations, John Wiley & Sons Publication, 1973 [9] H.L.Royden , Real Analysis, Macmilan Publishing Company, 1988 [10] K.O.Friedrichs, Spectral Theory of operators in Hilbert space, Springer-Verlag, 1973 47 ... khơng gian L2 [a,b] 2.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 2.2 Toán tử compact 2.3 Toán tử tự liên hợp 2.4 Toán tử compact tự liên hợp 2.5 Toán tử dương 2.6 Toán tử chuẩn tắc 2.7 Toán tử Unita Chương III Ứng. .. “Tốn tử tuyến tính khơng gian L2 [a,b] ứng dụng? ?? để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận ý vào loại tốn tử tuyến tính khác khơng gian L2 [a,b] Đó tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử. .. Tốn tử tuyến tính khơng gian L2 [a,b] 2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 2.2 Toán tử compact 12 2.3 Toán tử tự liên hợp 20 2.4 Toán tử compact tự liên hợp 22 2.5 Toán tử